向量坐标运算练习
向量坐标运算练习
一、选择题（5×10=50分）
1.下列说法正确的有（）个
（1）向量的坐标即此向量终点的坐标
（2）位置不同的向量其坐标可能相同
（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
（4）相等的向量坐标一定相同
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若向量AB=(1,2),BC=(3,4),则AC等于( )
(A)(4,6) (B)(-4,-6)(C)(-2,-2) (D)(2,2)
3、已知M（3，-2）N（-5，-1），且MPMN2则MP=（）
A．（-8，1） B．(,)142 C．（-16,2） D．(8,-1)
4、下列各组向量相互平行的是（）
A．(1,2),(3,5)ab B．(1,2),(2,1)ab
C．(2,1),(3,4)ab D．(2,1),(4,2)ab
5．已知(,3)ax,(3,1)b, 且//ab, 则x等于 ( )
A．－1B．－9 C．9 D．1
6、已知向量(2,4) (1,2)ab则a与b的关系是（）
A．不共线 B．相等C．同向D．反向
7．已知向量3,1a，1,3b，,7ck，若acb∥，则k =（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
8、已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x, y),若AB和CD是相反向量,则D点的坐标是（）
A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)
9．四边形ABCD是平行四边形，(2,4)AB，(1,3)AC，则AD= （ ）
（A）(1,1)（B）(1,1) （C）(2,4)（D）(3,7)
10．已知向量(3,4)a，(sin,cos)b，且 a//b，则tan（ ）
A．43B．43C．34D．34
二、填空题（5×4=20分）
11．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则12AC→－14BC→的坐标是________．
12．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC→＝2BD→，则x＋y＝________.
13．若向量BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，则BC＝________．
14．已知平面向量，，且//，则＝________.
三、解答题
15、（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (2,
1)，B (－1,3) ，C (3,4)，求第四个顶点D的坐标。
16、（12分）已知O是坐标原点，A(2，-1),B(-4，8),且30ABBC,
求OC的坐标.
(1,2)a(2,)bm
ab
23ab
17、（12分）若点A（－1，－1），B（1，3），C（x，5）三点共线，
求点C坐标.
18．（12分）已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，
b
表示c.
19、（12分）向量PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),当k为何值时,A、B、
C三点共线?
20、（12分）已知)1,2(,)0,1(ba，当实数k为何值时，向量
bak
与ba3平行？并确定此时它们是同向还是反向。
平面向量基本定理及坐标运算
平面向量基本定理及坐标表示（一）
典题热身：
1．已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x等于 ( )
A．9
B．6
( )
C．5 D．3 2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，则c＝ A．4a－2b B．4a＋2b
C．－2a＋4b
D．2a＋4b
3．下列各组向量中，能作为基底的组数为 )
[例 1] 如图，在平行四边形 ABCD 中，M， N 分别为 DC，BC 的中点，已知 AM ＝c， AN ＝d，试用 c，d 表示 AB ， AD .
解：
法一：在△ADM 中， ①
1 AD ＝ AM － DM ＝c－ AB 2
解:
(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 5 m＝ ， 9 得 8 n＝ . 9
－m＋4n＝3， 所以 2m＋n＝2，
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 16 ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－ . 13 (3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
4x－4－2y－1＝0， 由题意得 x－42＋y－12＝5， x＝3， 得 y＝－1 x＝5， 或 y＝3.
∴d＝(3，－1)或(5,3)．
本例(2)成立的前提下，a＋kc与2b－a是同向还是反向．
变式练习 3．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a －3b 平行；平行时它们是同向还是反向？
再现知识点：
1．两个向量的夹角
定义 范围
已知两个 非零 向量 a， 作 OA b， 向量夹角 θ 的范围是 ＝a， OB ＝b，则∠AOB＝θ 叫 [0，π] ， θ＝ 0或π 时， 当 做向量 a 与 b 的夹角(如图) π 两向量共线， θ＝ 当 时， 2 两向量垂直，记作 a⊥b.
高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 含答案
值．
解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)
＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
3π
＝ 32＋02＋12· k2＋22＋ －1 2·cos 4
10 ＝－
2
k2＋5.
3π ，求实数 k 的
4
则 3k－1＝－
10 k2＋5，
2
3－ 105
3＋ 105
解得 k＝
BA AM
aλ )．
→→ ∵ BM⊥AC1，∴ BM· ＝0.
AC1
1 即 a2λ ＋a2λ －a2＋a2λ ＝0，解得 λ ＝ ，
3
→
aaa
∴ AM＝ ， ， ，
(－ 3)
33
→ → → 2a a a
＝＋ ＝
.
(
3)
DM DA AM ， ，
33
( ∴ M 点坐标为
2a a a
3).
，， 33
规律方法 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下
CA
→→ AB·CA
→→ |AB||CA|
－7
1
＝
＝－ .
14 × 14 2
Earlybird
晨鸟教育
已知三点 P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和 P3(1,0,1)，O 为坐标原点，求|OP1＋
→→ OP2
→ →→
＋OP3|及 与 夹角的余弦值． P1P2 P1P3
→→→
解：OP1＋ ＋ ＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)， OP2 OP3
或 k＝
4
4
(舍)，
Earlybird
晨鸟教育
平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示
的坐标．
如果P1P=
1 2
PP2
(如图)，那么
y
OP=OP1+P1P=OP1+13 P1P2
P2
=OP1+ 13(OP2-OP1)
=
2 3
OP1+
13OP2
P P1
O
=(2x13+x2 ，2y13+y2)． x 即点P的坐标是 (2x13+x2，2y13+y2)．
同理，如果P1P=2PP2，那么点P的坐标是 ( x1+32x2，y1+32y2)．
理由．
x
∴顶点D的坐标为（2，2）．
CHENLI
8
向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件是有且 只有一个实数λ，使得
a=λb．
如何用坐标表示两个共线向量？
CHENLI
9
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0．则由a=λb， 有
(x1，y1)=λ(x2，y2)
即 消去λ后得：
x1=λx2， y1=λy2．
解：
即 同理可得
a + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ） =（x1+x2）i+（y1+y2）j
a + b =（x1+x2，y1+y2）
a - b =（x1-x2，y1-y2）
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相 应坐标的和（差）．
CHENLI
3
λa =λ（x1i+y1j） =λx1i+λy1j
x
∴
1=3-x 2=4-y
∴ x=2 y=2
∴顶点D的坐标为（2，2）．
2023年高考数学微专题练习专练26平面向量基本定理及坐标表示含解析理
专练26 平面向量基本定理及坐标表示命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件．[基础强化]一、选择题1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．已知平面向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，1)C ．(－1，0)D ．(－1，2)3．已知a ＝(2，1)，b ＝(1，x )，c ＝(－1，1).若(a ＋b )∥(b －c )，且c ＝m a ＋n b ，则m ＋n 等于( )A ．14B ．1 C ．－13D ．－124．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( )A.2B ．4 C ．6D ．85．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A.(2，0) B ．(－3，6) C ．(6，2) D ．(－2，0)6．已知向量m ＝(sin A ，12)与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )64C ．π3D ．π27．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，3y －5)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则xy 的最大值是( )A ．26B ．2512C ．2524D ．2568．设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A ．(－65，85) B ．(－6，8)C ．(65，－85)D ．(6，－8)9．[2022·安徽省蚌埠市质检]如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB ＝2DC ，点E 为线段BC 靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO →＝xAB →＋yBC →，则x ＋y 的值为( )A ．1B ．57C ．1417D ．56 二、填空题10．[2021·全国甲卷]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________． 11．[2022·安徽省滁州市质检]已知a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，则|a －b |＋a ·b ＝________．12．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．[能力提升]13．已知在Rt△ABC 中，A ＝π2，AB ＝3，AC ＝4，P 为BC 上任意一点(含B ，C )，以P为圆心，1为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设AQ →＝aAB →＋bAC →，则a ＋b 的最大值为( )124C ．1712D ．191214．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A ．65B ．85C ．2D ．8315．[2022·东北三省三校模拟]在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF (含端点)上的动点，若CG →＝λCB →＋μCD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．16．如图，已知平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．专练26 平面向量基本定理及坐标表示1．D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．2．D 12a －32b ＝(12，12)－(32，－32)＝(－1，2).3．C ∵a ＋b ＝(3，1＋x )，b －c ＝(2，x －1)， ∵(a ＋b )∥(b －c )，∴3(x －1)＝2(x ＋1)， 得x ＝5，∴b ＝(1，5)，又c ＝m a ＋n b ， ∴(－1，1)＝m (2，1)＋n (1，5)∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－1，m ＋5n ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，n ＝13，∴m ＋n ＝－23＋13＝－13.4．D ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，CB →＝(a ＋b ，－1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴(a －1)×(－1)＝1×(a ＋b )，∴2a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8(当且仅当b a ＝4a b 即a ＝14，b ＝12时等号成立)5．A 设点N 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6) 又MN →＝－3a ＝(－3，6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.6．C ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3. 可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3， ∴sin (2A －π6)＝1.∵A ∈(0，π)，∴(2A －π6)∈(－π6，11π6).因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.故选C.7．C ∵a ∥b ，∴3y －5＝－2x ，∴2x ＋3y ＝5，又x ，y 均为正数，∴5＝2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，(当且仅当2x ＝3y ，即：x ＝54，y ＝56时等号成立)，∴xy ≤2524，故选C.8．D 由题意不妨设b ＝(－3m ，4m )(m <0)，则|b |＝（－3m ）2＋（4m ）2＝10，解得m ＝－2或m ＝2(舍去)，所以b ＝(6，－8)，故选D.9．C 根据向量的线性运算法则，可得AO →＝xAB →＋yBC →＝xAB →＋y (BA →＋AC →) ＝xAB →－yAB →＋yAC →＝(x －y )AB →＋y ·(AD →＋DC →)＝(x －y )AB →＋y ·(2AF →＋12AB →)＝(x －y )AB →＋2yAF →＋12yAB →＝(x －y 2)AB →＋2yAF →，因为B ，O ，F 三点共线，可得x －y2＋2y ＝1，即2x ＋3y －2＝0；又由BO →＝BA →＋AO →＝BA →＋xAB →＋yBC →＝BA →－xBA →＋y ·43BE →＝(1－x )BA →＋4y 3BE →，因为A ，O ，E 三点共线，可得1－x ＋4y3＝1，即3x －4y ＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －2＝03x －4y ＝0，解得x ＝817，y ＝617，所以x ＋y ＝1417.10．－103解析：c ＝(3，1)＋(k ，0)＝(3＋k ，1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103. 11．0解析：a ＝(1，3)，a ＋b ＝(－1，2)，b ＝(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a －b ＝(3，4)，|a －b |＋a ·b ＝9＋16＋(－2－3)＝0. 12．3解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，则AM →＝12(AB →＋AC →)×23＝13(AB →＋AC →)，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 13．C根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，4)，B (3，0)，易知点Q 运动的区域为图中的两条线段DE ，GF 与两个半圆围成的区域(含边界)，由AQ →＝aAB →＋bAC →＝(3a ，4b )，设z ＝a ＋b ，则b ＝z －a ，所以AQ →＝(3a ，4z －4a ).设Q (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3a ，y ＝4z －4a ，消去a ，得y ＝－43x ＋4z ，则当点P 运动时，直线y ＝－43x ＋4z 与圆相切时，直线的纵截距最大，即z 取得最大值，不妨作AQ ⊥BC 于Q ，并延长交每个圆的公切线于点R ，则|AQ |＝125，|AR |＝175，所以点A 到直线y ＝－43x ＋4z ，即4x ＋3y －12z ＝0的距离为175，所以|－12z |32＋42＝175，解得z ＝1712，即a ＋b 的最大值为1712. 14．B建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.15．[1，4]解析：根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为23，以中心O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则可得F (－23，0)，D (3，3)，C (23，0)，B (3，－3)， 设点G 的坐标为(m ，n )，则CG →＝(m －23，n )， CB →＝(－3，－3)，CD →＝(－3，3)，由CG →＝λCB →＋μCD →可得：m －23＝－3λ－3μ， 即λ＋μ＝－33m ＋2， 数形结合可知：m ∈[－23，3]，则－33m ＋2∈[1，4]，即λ＋μ的取值范围为[1，4].16．6解析：解法一：如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1＋OA 1，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt△OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，B (－12，32)，C (3，3). 由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.。
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
平面向量（附例题_习题及答案）
平⾯向量（附例题_习题及答案）向量的线性运算⼀．教学⽬标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的⼏何意义、向量共线的含义、平⾏向量基本定理；4.理解平⾯向量基本定理，掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰、平⾯向量的坐标运算；5.理解⽤坐标表⽰平⾯向量的共线条件。
⼆．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有⼜有称为向量；（2）向量的⼤⼩（或称模）：有向线段的表⽰向量的⼤⼩；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平⾏向量），叫做相等向量。
2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三⾓形法则、平⾏四边形法则和多边形法则。
b.向量加法满⾜的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去⼀个向量相当于加上这个向量的相反向量。
⼀个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA。
b.三⾓形法则：“共始点，连终点，指向被减”。
（3）数乘向量a.定义：⼀般地，实数λ和向量a的乘积是⼀个向量，记作λa.b.数乘向量满⾜的运算律：（λ+µ）a=λ（µa）=λ（a+b）=3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平⾏向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则⼀定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平⾯向量基本定理如果是⼀平⾯内的的向量，那么该平⾯内的任⼀向量a，存在，使。
（2）平⾯向量的正交分解定义：把⼀个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中，分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个_______作为基底。
对于平⾯内的任⼀个向量，由平⾯向量基本定理可知，有且只有⼀对实数x，y使得____________，这样，平⾯内的任⼀向量a都可由__________唯⼀确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表⽰，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。
高中数学第六章平面向量及其应用之平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精练)(必修第二册)(学生版)
6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精练)【题组一 平面向量的基本定理】1．(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的是( )． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．(2020·北京高一期末)在下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =-，()25,10e =- C ．()13,5e =，()23,5e =-- D ．()12,3e =-，232,4e ⎛⎫=-⎪⎝⎭3．(多选)(2020·全国高一单元测试)如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )A ．λ1e +μ2e (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e +μ2e 的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ11e +μ12e 与λ21e +μ22e 共线，则有且只有一个实数λ，使得λ11e +μ12e =λ(λ21e +μ22e )D ．若实数λ，μ使得12λμ+=0e e ，则λ=μ=04．(2020·河南商丘市·高一期末)如图，在四边形ABCD 中，3AB DC =，E 为边BC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=( )A ．16- B ．1 C ．76 D ．565．(2020·山西运城市·高一月考)如图，在ABC 中，32AC AD =，3PD BP =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为( )A ．89B ．34C ．1112D ．796．(2020·太原市·山西大附中高一月考)如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为A ．12B ．23C ．13D ．17.(2020·全国高一单元测试)已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设,AD a BE b ==，则BC 等于( )A ．4233a b +B ．2433a b + C ．2433a b -D ．2433a b -+8．(2020·全国高一单元测试)如图在梯形ABCD 中，AD //BC ，,,,OA a OB b OC c OD d ====，且E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则( )A．1()2EF a b c d=+++B．1()2EF a b c d=-+-C．1()2EF c d a b=+--D．1()2EF a b c d=+--9．(2021·江苏高一)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a=，AD b=，E为BF的中点，则AE=( ) A．4255a b+B．2455a b+C．4233a b+D．2433a b+10．(2020·全国高一课时练习)在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足12BE BC=，13DF DC=．若λ=+BD AEμAF，则实数λ＋μ的值为( )A．15-B．15C．75-D．7511．(2021·河南))已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC a CA b==，，AB c=，则①AD＝－b－12a；②BE＝a＋12b；③CF＝－12a＋12b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确的等式的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．412．(2020·全国高一单元测试)在ABC中，3AB=，2AC=，60BAC∠=︒，点P是ABC内一点(含边界)，若23AP AB ACλ=+，则AP的最大值为( )A．273B．83C．2193D．213313．(2020·陕西商洛市·高一期末)如图，在ABC中，D为AB的中点，2DE EC=，若BE x AB y AC=+，则x y-=______.14．(2020·山东临沂市·高一期末)如图，在ABC中，已知D是BC延长线上一点，点E为线段AD的中点，若2BC CD=，且34AE AB ACλ=+，则λ=___________.15．(2020·北京高一期末)已知在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为()0,0，()1,0，()2,1，若BC AD=，则点D的坐标为______.16．(2020·全国高一)如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的动点，且2BE CF=，设()AC xAE yAF x y R=+∈，，则x y+的最大值是______．【题组二加减数乘的坐标运算】1．(2020·苍南县树人中学高一期中)已知()1,1A，()1,1B--，则向量AB为( )A．()0,0B．()1,1C．()2,2--D．()2,22．(2021·江苏高一)已知点()3,6A ，()2,5B ，则向量AB 的坐标是( ) A ．()1,1B ．()1,1--C ．()5,11D ．()6,303．(2021·湖南)已知ABCD 中，()3,7AD -=，()4,3AB =，对角线AC 、BD 交于点O ，则OC 的坐标为( ).A ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,52⎛⎫-⎪⎝⎭4．(2020·山西省古县第一中学高一期中)已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于( ) A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．(2021·湖南)已知a =(2，1)，b =(-3，4)，则a -b =( ) A ．(5，-3) B ．(-1，5)C ．(-3，5)D ．(-5，3)6．(2020·株洲市南方中学高一期末)已知点1,0A ，()3,2B ，向量()2,1AC =，则向量BC =( )A ．()0,1-B ．()1,1-C ．()1,0D ．()1,0-7．(2020·甘肃白银市·高一期末)设()2,3AB =，()1,4BC =-，则AC 等于( ) A ．()1,7-B ．()1,7C ．()1,7--D ．()1,7-8．(2020·桂阳县第二中学高一期中)已知()2,1a =-，()1,3b =，则23a b -+=( ) A ．()1,11--B ．()1,11-C ．()1,11-D ．()1,119．(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)已知点()0,1A ，()3,2B ，向量()4,3AC =--，则向量CB =( )． A ．()7,4--B ．()7,4 C ．()1,4-D ．()1,410．(2020·河北唐山市·开滦第一中学高一期末)若(1,2)OA =，(1,1)OB =-则AB 等于( )A ．()0,3-B ．()0,1C ．()1,2-D ．()2,3-11．(多选)(2020·湖北潜江市·高一期末)已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为( ) A ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【题组三 共线定理的坐标运算】1．(2020·新绛县第二中学高一月考)已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为( ) A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2．(2020·全国高一单元测试)设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是( ) A ．-4B ．2C ．4D ．83．(2021·湖南)已知()4,2a =-，(),5b k =，且//a b ，那么k =( ) A ．10B ．5C ．52-D ．-104．(2020·全国高一)已知向量()1,2a =，()2,b m =-，且()//a b a +，则m 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-5．(2021·广西南宁三中高一期中)已知向量(),12OA k =，()4,5OB =，(),10OC k =-，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( ) A ．23-B ．43C ．12D ．136．(2020·合肥市第六中学高一期末)已知向量()1,2a =，()3,3b =-，若ma nb +与3a b -共线，则m n=( ) A ．13B ．3C ．13-D ．3-7．(2020·武汉市第三中学高一月考)若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是( ) A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--8．(2020·山西忻州市·忻州一中高一期中)已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3,221⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭9．(2020·浙江高一期末)已知(5,4)a =，(3,2)b =，则与23a b -平行的单位向量为( )A ．525,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．525,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或525,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(1,2)或(1,2)--D ．(1,2)10．(2020·北京高一期末)如图，在ABC 中，13AN NC =.若AN AC λ=，则λ的值为______，P 是BN 上的一点，若13AP AB mAC =+，则m 的值为______.11．(2020·浙江高一期末)已知点(2,3),(5,4),(7,10)A B C .若()AP AB AC R λλ=+∈， (1)当点P 在第一、三象限角平分线上时，求λ的值； (2)当点,,,A B C P 为一平行四边形的四个顶点时，求λ的值.12．(2020·广东韶关市·高一期末)设非零向量a ，b 不共线. (1)若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；(2)若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线.【题组四 向量与三角函数的综合运用】1．(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ .2．(2020·江西赣州市·高一期末)已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.3．(2020·云南保山市·高一其他模拟)已知平面向量()2sin ,3a θ=-，()2cos ,1b θ=，0θπ<<． (Ⅰ)若a b ⊥，求sin 2θ的值；(Ⅱ)若//a b ，求θ的值．4．(2020·定边县第四中学高一期末)已知向量(sin ,cos 2sin )AB θθθ=-，(1,2)CD =. (1)已知(3,4)C ，求D 点坐标； (2)若//C B D A ，求tan θ的值【题组五 奔驰定理解三角形面积】1．(2020·江西)在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为( ) A ．14B ．13C ．23D ．162．(2020·河北)已知ABC 所在的平面内一点P (点P 与点A ，B ，C 不重合)，且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为( )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:33．(2021·山东)若点P 是ΔABC 所在平面内的任意一点,满足230PA PB PC ++=,则ΔPBC 与ΔPAC 的面积之比为A．12B．13C．14D．164．(2021·全国)已知ABC所在平面内一点P，满足12PA PB PC AB++=，则ABP△与ABC的面积的比值为( )A．16B．14C．13D．125．(2021·辽宁沈阳市·高一期末)已知点P在正ABC∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB++=，则ABP∆的面积与ABC∆的面积之比为( )A．1:1B．1:2C．1:3D．1:46．(2021·广东潮州)如图，P为ABC∆内一点，且满足2155AP AB AC→=→+→.则PBC∆的面积与ABC∆的面积之比为( ).A．12B．23C．35D．257．(2021·广东湛江)已知点P是ABC∆所在平面内一点，若3243AP BC BA=-，则PBC∆与ABC∆的面积比为( )A．31B．21C．32D．438(2021·湖北)已知P是ABC∆所在平面内一点，若BABCAP3243-=，则PBC∆与ABC∆的面积的比为( )A．31B．21C．32D．439．(2021·河南)已知点O为ABC内一点，且满足40OA OB OC++=，设OBC与ABC的面积分别为12,S S ，则12S S =( ) A ．18 B．16 C ．14 D ．1210．(2021·广东梅州)已知点M 是ABC 所在平面内一点，满足2134AM AB AC =+，则ABM ∆与BCM ∆的面积之比为( )A ．38 B ．83 C ．3 D ．1311．(2021·宝鸡中学)已知O 为ABC 所在平面内的一点，且满足OA OB CO +=，则OBC 的面积与ABC 的面积的比值为( )A ．13B ．12C ．23D ．3412(2021·辽宁 )已知O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，若OAB ∆的面积与OAC ∆的面积比值为13，则λ的值为 ( ) A ．32 B ．2 C ．13 D ．12 13．(2021·北京)如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14B ．13 C ．23 D ．16 14(2021·河南)如图，设P 为ABC ∆内一点，且2155AP AB AC =+，则ABP ∆的面积与ABC ∆的 面积之比等于( )．，A ．15B ．25 C ．35 D ．45 15．(2020·全国高三专题练习)设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为( )A ．3B ．13C ．2D ．1216．设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为( ) A ．3 B ．13 C ．2 D ．12 16．(2019·瓦房店市实验高级中学高一月考)设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有2OA OB OC ++=0，则AOC △的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．13。
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A．B．C．4D．8【答案】B．【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【考点】向量模的运算；利用正弦定理表示三角形的面积．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.在空间直角坐标系中，点P（1,3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（ )A．（-1,3，-5）B．（1,3，5）C．（1,-3，5）D．（-1,-3，5）【答案】B【解析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标为（x，y，-z），可知答案是B.【考点】空间直角坐标系点的对称问题.4.已知向量，且∥，则实数的值为．【答案】.【解析】由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=，建立方程解得k=.【考点】（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.5.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.6.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,选A7.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.【考点】空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．8.为空间的两个不同的点，且，空间中适合条件的点的集合表示的图形是 .【答案】经过点且与垂直的平面【解析】设点M（x,y,z），那么可知设A（0，0，0），B（0，0，1），，由则可知（x,y,z）（0，0，1）=1，z=1，可知表示的图形为过点B的与AB垂直的平面。
向量类型练习题
向量类型练习题向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
理解向量的性质和运算是我们学习数学的基础。
在这篇文章中，我将为大家准备了一些向量类型的练习题，帮助大家巩固对向量的理解和运用。
请大家根据题目要求，按照适当的格式进行回答。
练习题1：向量的计算已知向量A=<2, 4>，向量B=<-1, 3>，计算向量C=A+B，向量D=A-B，向量E=2A。
练习题2：向量的模长已知向量F=<3, 4>，求向量F的模长。
练习题3：向量的夹角已知向量G=<1, 2>，向量H=<3, 4>，求向量G和H的夹角。
练习题4：向量的数量积已知向量I=<1, 2>，向量J=<3, 4>，求向量I和J的数量积。
练习题5：向量的叉积已知向量K=<1, 2, 3>，向量L=<4, 5, 6>，求向量K和L的叉积。
练习题6：向量的投影已知向量M=<2, 3>，向量N=<4, 5>，求向量M在向量N上的投影。
练习题7：向量共线判断已知向量P=<1, 2>，向量Q=<2, 4>，判断向量P和Q是否共线。
练习题8：平面向量运动问题已知物体A在坐标系中的初始位置是P(1, 1)，向量V=<2, 3>表示物体A的速度，假设时间t为2秒，求物体A在t时刻的位置坐标。
练习题9：线段的中点坐标已知线段AB的起点坐标是A(1, 2)，终点坐标是B(5, 6)，求线段AB的中点的坐标。
练习题10：向量投影的应用已知平面上两点A(2, 3)和B(4, 1)，求线段AB在x轴上的投影长度。
以上是向量类型的练习题，请大家根据题目要求进行回答。
希望通过这些练习题，能够帮助大家加深对向量的理解和应用。
加油！。
高中数学向量专项练习(含答案)
高中数学向量专项练习一、选择题1. 已知向量若则（）A. B. C. 2 D. 42. 化简+ + + 的结果是（）A. B. C. D.3．已知向量, 若与垂直, 则（）A. -3B. 3C. -8D. 84．已知向量, , 若, 则（）A. B. C. D.5．设向量, , 若向量与平行, 则A. B. C. D.6．在菱形中, 对角线, 为的中点, 则（）A. 8B. 10C. 12D. 147．在△ABC中, 若点D满足, 则（）A. B. C. D.8．在中, 已知, , 若点在斜边上, , 则的值为（）．A. 6B. 12C. 24D. 489．已知向量若, 则（）A. B. C. D.10．已知向量, , 若向量, 则实数的值为A. B. C. D.11．已知向量, 则A. B. C. D.12．已知向量, 则A. B. C. D.13．的外接圆圆心为, 半径为, , 且, 则在方向上的投影为A. 1B. 2C.D. 314．已知向量, 向量, 且, 则实数等于（）A. B. C. D.15．已知平面向量, 且, 则实数的值为（）A. 1B. 4C.D.16．是边长为的等边三角形, 已知向量、满足, , 则下列结论正确的是（）A. B. C. D.17．已知菱形的边长为, , 则（）A. B. C. D.18．已知向量, 满足, , 则夹角的余弦值为( )A. B. C. D.19．已知向量=（1, 3）, =（-2, -6）, | |= , 若（+ ）·=5, 则与的夹角为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°20．已知向量, 则的值为A. -1B. 7C. 13D. 1121．如图, 平行四边形中, , 则（）A. B. C. D.22．若向量 , , 则 =（ ）A. B. C. D.23．在△ 中, 角 为钝角, , 为 边上的高, 已知 , 则 的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424. 已知平面向量 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.25．已知向量 , , 则A. （5,7）B. （5,9）C. （3,7）D.（3,9） 26．已知向量 , 且 , 则实数 ＝（ ）A. －1B. 2或－1C. 2D. －227．在 中, 若 点 满足 , 则 （ ）A. B. C. D.28．已知点 和向量 , 若 , 则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.29．在矩形ABCD 中, 则 （ ）A. 12B. 6C.D.30. 已知向量 , ,则 （ ）.A. B. C. D.31．若向量 与 共线且方向相同, 则 （ ）A. B. C. D.32．设 是单位向量, 且 则 的最小值是（ ）A. B. C. D.33．如图所示, 是 的边 上的中点, 记 , , 则向量 （ ）A. B. C. D.34．如图, 在 是边BC 上的高, 则 的值等于 （ ）ADCB35．已知平面向量的夹角为, （）A. B. C. D.36．已知向量且与共线, 则（）A. B. C. D.二、填空题37. 在△ABC中, AB＝2, AC＝1, D为BC的中点, 则＝_____________.38．设, , 若, 则实数的值为（）A. B. C. D.39．空间四边形中, , , 则（）A. B. C. D.40. 已知向量, , 满足, , 若, 则的最大值是 .41. 化简: = .42. 在中, 的对边分别为, 且, , 则的面积为 .43. 已知向量=（1, 2）, •=10, | + |=5 , 则| |= .44．如图, 在中, 是中点, , 则．45. 若| |=1, | |=2, = + , 且⊥, 则与的夹角为________。