第4章 几何造型方法分解
基本曲面
1.直纹面:是通过一条轮廓按照指定方向扫描一定长度获得曲面， 如图4.7所示。 2. 路径扫描 : 是由一条封闭或不封闭的轮廓沿一定路径扫描而成， 如图4.8所示。
图4.7 直纹面
图4.8 路径扫描
3.旋转扫描 :是一条轮廓线绕一条回转中心旋转扫描而成，旋转角度有 90、 180、270、360度及任意，如图4.9所示。 4.混合扫描:是通过连接几个封闭轮廓生成一个连续曲面。混合扫描与实体 的混合扫描一样，也有平行、旋转、一般三种形式。图4.10为平行混合扫 描的实例。（ a）(b) Nhomakorabea常见曲面模型
(c)
(d)
（a）旋转曲面 （b）直纹面 (c) 贝塞尔曲面 （d）样条曲线（或NURBS曲面）
在曲面造型系统中，曲面的生成方法有：利用轮廓直接生成的，如各 种扫描曲面等，称为基本曲面；在现有的曲面基础或实体上生成曲面， 如复制等，称为派生曲面；利用空间曲线自由生成曲面，称为自由曲 面。 基本曲面是单一方法生成的一个连续曲面。很多造型系统提供标准的 基本曲面，如圆柱面、球面、圆锥面、环面等，在高级的曲面造型系 统中，还提供通过基本曲面的方法获得曲面。基本曲面的生成多种多 样，下面介绍几种生成基本曲面的方法，如直纹面、路径扫描、旋转 扫描、混合扫描等。
立方体线框模型设计结构
（a）立方体 （b）顶点表 （c）棱线表
综上所述线框模型具有以下特点： 1 ）数据结构简单，易于实现，占内存少，对硬件系统 要求不高，系统成本低。 2 ）线框模型直观性好，创建模型操作简便灵活，易学 易用。 3）计算机处理速度快。 4）线框模型在计算机绘图方面得到广泛应用。
有了三维物体的三维数据，可以产生任意视图，视图之 间可以保持正确的投影关系，利用投影法得到零件的三 视图，生成任意视点的轴测图和透视图。
第4章 几何造型方法
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 概述 线框模型 曲面模型 实体模型 特征造型
4.1 概述
几何模型是由几何信息和拓扑信息构成的模型，为图形的 显示和输出提供信息，并且作为设计的基础为分析、模拟、 加工等提供信息。在设计方面，显示零部件形状、计算物 理特性、生成零部件的工程图等。在加工方面，几何模型 提供与加工有关的信息，并且进行工艺过程制定、数控编 程及刀具轨迹形成。在装配方面，利用几何模型进行模拟 装配过程，进行运动部件的干涉和碰撞检查。三维实体的 描述是建立在几何信息和拓扑信息的基础上，只有拓扑信 息正确，所描述的三维实体才是唯一的。
4.2 线框模型
线框模型:通过顶点和棱线（直线、曲线）描述物体的 外形，在计算机内生成二维或三维图像。这种模型是 最早应用的三维几何模型，用户需要逐点、逐线创建 三维模型。线框模型用于创建的图素有点、线、圆弧、 样条曲线、贝塞尔曲线等。
下面以立方体为例说明线框模型，如下图所示。
立方体的线框模型在计算机内存储的数据结构如下图中的（ b ）、 （c）所示。首先设定、、坐标轴，用其8个顶点坐标表示立方体在 空间中的几何信息，用其 12条边表示其拓扑信息。用、…表示 8个 顶点，用、…表示12条边。为了表示立方体的空间位置，用表的形 式表示顶点坐标和棱线，图素的可见性用属性表示，0代表可见，1 代表不可见。
7）线框模型不能计算物体的几何特性。 由于线框模型仅仅提供顶点和棱线信息，无法计算物体的面积、体积、重量、惯 性距等特性。线框模型所有的棱线都是可见的，所以不能实现消隐处理、剖切处 理、两个面的求交处理，也无法实现CAM、CAE的操作。 8）缺乏有效性。 线框模型的数据结构表达的是顶点和棱线的约束条件，缺少边与面、面与面、面 与体之间的关系信息，即拓扑信息，因此无法构建有效的实体。 9）线框模型不能表达复杂物体。 线框模型只能表达简单的平面立体和曲面立体。对于简单曲面立体，其棱线无法 用几个顶点坐标表示，对于棱线表达带来一定的困难，必须借助辅助线完成。对 于复杂立体无法用线框模型描述。
4.3 曲面模型
曲面模型：是CAD软件技术发展的产物，具有很好的使用价值。很多的复 杂零件采用曲面模型进行描述，如汽车车身、飞机零部件、模具等。曲面 模型是把由高级曲线（包括样条曲线、贝塞尔曲线等）构成的封闭区域作 为一个整体，从而创建曲面模型。常见的曲面模型有贝塞尔曲面、样条曲 面、NURBS曲面等，如下图所示。
拓扑信息
拓扑信息是指物体的几何元素（顶点Vertex、棱线Edge、 表面Face）数量以及它们之间的相互关系的信息。例如 某一表面与其它面之间的相邻关系、面与顶点之间的包含 关系等均为拓扑信息。
常见的数据结构
对于三维物体的造型系统的常见数据结构有翼边数据结构和双链三表数据结 构。 翼边数据结构（Winged Edge Structure）是存储与边有关的信息。从已知的 边可以得知与这条边有关的顶点、面、边的信息。这种数据结构具有数据结 构简单、对顶点、边、面的操作快的优点、但是需要的储存空间大。 双链三表数据结构采用体、面、顶点三个表存储三维实体的信息。顶点表 描述顶点的坐标，确定了顶点的空间位置，即三维物体的空间位置和大小， 设置了前置指针和后续指针；面表描述了用于定义某面的全部顶点号，设有 顶点的前置指针和后续指针，确定此面与各顶点的关系；体表描述物体的表 面信息，还设有指向某个面的前置指针和后续指针。这种数据结构具有储存 空间小、对数据表操作方便的特点。
5）线框模型具有二义性。 虽然物体用计算机表示出所有的棱线，但是物体的真实 形状需要人确定。当物体比较复杂时，棱线过多，容易 引起不确定的理解。例如，对下图所示的物体可能有的 几种理解。
线框模型的二义性 （a）原物体 （b）第一种理解 （C）第二种理解
6）线框模型表达的信息不完整。 因为线框模型是用顶点和棱线描述物体的形状， 表示的形状特征的信息不够充分。
几何信息
几何信息是指一个物体在欧式空间的位置信息，反 映物体的大小及位置。通常用三维的直角坐标系表 示各种数据，如空间中的点，用、、坐标表示；空 间的直线，用两端点的坐标表示或两端点的位置矢 量表示；空间的平面，用平面方程表示；空间的曲 面，如圆柱面、球面等用二次方程表示；自由曲面 用贝塞尔曲面、样条曲面、孔斯曲面等表示。
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机械制图 第四章 立体及其表面交线的投影
2.圆柱与圆锥体表面相交
圆柱与圆锥相交的三种情形 例：求作圆柱与圆台的相贯线投影
3.圆台与球体表面相交，辅助截平面法的应用
例：求作圆台与半球的相贯线投影 例：求作圆柱与半球的相贯线投影
4.辅助截平面的选择
原则：应使辅助截平面与两曲面立体的截交线的 投影简单易画（例如是直线或圆） 有时候选择是可以多种多样的：如上例中圆柱与 半球相贯
利用投影积聚性法 辅助截平面法
二、求作相贯线的方法
求作步骤：先分析两相交基本体的种类、相对 位置，是否有积聚性的投影（若有，则不需求 作），然后再进行作图。 1.两圆柱体表面相交 两圆柱面相交的三种情形 例：求作两圆柱相贯线的投影。 轴线相交两圆柱表面交线的特点 例：求作套筒的相贯线投影。
求作顶针的表面交线
A
Ⅰ Ⅰ
Ⅴ Ⅴ B 求连杆头的表面交线
(a) 两平面立体 相交
(b) 平面立体与 曲面立体相 交
(c) 两曲面立体 相交
其相贯线可看成由平面立体上 有关表面分别切割另一基本体所产 生的截交线所围而成。
立体相交的三种情形
相贯线为两回转 体相交的表面交 线——本节讨论
(a) 两外圆柱面 相交（柱柱相贯）
1
2′(8′ ) 3′(7′ )
4′(6′ ) 5′
6″
a3″ 5″ 4″
(6)
7 8 1 2 3
(5)
(4)
a1 a2 a
3
求作圆柱与圆锥台的相贯线投影
1 求特殊点： Ⅰ、Ⅳ
Rv
Ⅴ、III
2 求一般点： Ⅱ、Ⅵ
求作圆台与半球的相贯求作圆柱与半球的相贯线投影
(a) 画长方体
第四章 几何建模与特征建模PPT课件
16
程序主流程
初始化链表
edge[18][2], p[12][4]
初始化各变换矩阵 Tv[4][4], Th[4][4], Tw[4][4]
坐标变换的计算
mat(*p, *t, *pt)
绘制变换后的图形 drawView(*pt)
17
§4-3 曲面建模
➢ 曲面建模（Surface Modeling ）
第四章 几何建模与特征建模
§4-1 基本概念 §4-2 线框建模 §4-3 表面建模 §4-4 实体建模 §4-5 特征建模
1
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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制形状、曲线在多边形的两端点处与多边
形过之两个点的边相切。
控制多边形
光滑的参数曲线
控制多边形顶点
25
Bezier曲线的矢量表达式
n
P(t) PiBi,n(t) 0t1 t0
式中 P i 空间矢量，即特征多边形的顶点
Bi,n(t)Cn iti(1t)ni Bernstein基函数
Cni
n! i!(n i)!
§4-1 基本概念
➢ 建模的基本概念
建模：
建模步骤： 1. 抽象化 2. 格式化 3. 具体化 4. 数字化
3
§4-1 基本概念
➢ 建模的基本概念
数据
所谓计算机内部表示：
计算机内部采用相应的 模型 结构
数据模型来描述、存储、
表达现实世界的物体及
其相关属性。
算法
CAD/CAM建模技术研究产品数据模型在计算机 内部的建立方法、过程及采用的数据结构和算 法。建模技术是CAD/CAM系统核心技术。
平面构成 第四章
图4-6 混合基本形的组合
图4-7 混合基本形的组合
2. 间隙空间 所谓间隙空间，是指基本形之间围合所造成的空间形态，也就是我们经常说的 “负形”或“虚形”。一般有两种形式，即分离组合间隙与环状组合间隙。 分离组合间隙，顾名思义就是基本形两两相离，其中空间所形成的间隙形式。因 为没有围合，所以间隙空间无外轮廓，外形不明确，具有延展性（图4-8）。
正形、负形以及形与形的组合关系应多尝试。但排列一定不是单纯的元素罗列，而是有 意识地加以组合、配置、构成。 二、基本形群化的构成形式 基本形群化的方法有很多，如对称、平衡、平移、反映、旋转、扩大、错位、回旋 等，但其形式可分为三大类（图4-20、图4-21）。
图4-20 基本形的群化
图4-21 基本形的群化
图4-13 形的差叠
（5）透叠 5 面与面交叠时，交叠部分产生透明效果觉，形象前后之分并不明显（图4-14）。
图4-14 形的透叠
（6）联合 面与面互相交叠而无前后之分，可以联合成为一个多元化的形象。联合的形象常 处于同一空间平面，而其色彩与肌理必须保持一致（图4-15）。
图4-15 形的联合
（7）减缺 面与面覆叠时，前面的形象并不画出来，只出现后面的减缺形象。减缺可使原有 形象变为另一新的形象（图4-16）。
图4-16 形的减缺
（8）重合（重叠） 面与面完全重叠，成为一个独立的形象。绝对的重复并没有实际意义。因此， 重合与覆叠、透叠、联合、减缺之间有相似之处，只是相重合的面积不同而已（图 4-17）。
图4-17 形的重合
第二节
基本形的群化
在实际设计中，面对限定的空间和各种类型的元素，要想有一个出色的表现 效果，就需要在这个限定的空间中，组织多个元素的基本形式，运用规律性的方 法，形成设计图面。也就是说，当有了特定的基本形时，还要有各种有秩序的变 化形式，才能构成一个完整的画面（图4-18）。
第四章 素描的造型要素和规律讲解
图4-7 强奸 [西] 毕加索
例、透视关系，这样才能构成物体丰富的造型关系 , 如图 4-7 所示，毕加索 的《强奸》画面多用大小、形状不同的圆形，加强了体面的膨胀和体积感。 也
就是在造型上，要从对形体体面的认识出发，理解形体各体面的衔接 转折关系，把握形体主要的不同方向面的的变化和组合。 综上所述，在素描造型中要牢固树立“形体”的概念，体”认识 上，对形体及其主要体面关系的认识越准确，形体的立体感的表现就 愈充分。 二、 结构 结构一词，是借助建筑学的术语，原意是组合与连接的意思。 在素描造型中，结构则主要指物像的内部构造和组合关系。素描的形 体与结构是外观与内涵的关系。结构是形成物像外观的内在依据，只 有充分理解了结构，才能准确把握物像的外表特征。在造型艺术范畴， 结构一词有着特定的含义，对此可从以下三个方面来理解。 1. 结构是指包含于物象外在形态之中的内部构造。比如，人体和动物 的骨骼、肌肉所构成的解剖关系，即是形成人物外形特征和体面关系 的内部构造。是人物造型的基础。其他物体的内部构成框架及其构成 关系称构成结构，是物像形体的内在依据。绘画中对物体的结构关系 的
图4-9 粗茶淡饭 [西]
毕加索
这种多样化会引起形体和色彩方面的变 化，这种变化将使整个画面生动起来， 起到吸引眼球的作用。但这种多样化应 是适度的，不能超过一定的范围，否则 会适得其反。所以说构图艺术最基本的 原则就是统一之中找变化。 2. 构图的形式 根据画面中主体物的分布可分为: 三角形构图、圆形构图、十字形构图、 "S”形构图、四边形构图等。 （1）三角形构图给人以稳定、雄伟、崇 高、开阔的感觉，倒置的三角形却又是 最不稳定的；而倾斜三角形的感觉在两 者之间，有动荡之势。三角形构图的三 大类在创作中也常见运用。图4-10 盖斯 德保尔的作品《画家的母亲》外轮廓采 用的是直角三角形，由于底边是水平的， 所以整个画面看起来还是稳定的，有利 地衬托的画家要表现的主题。
《建筑学基础》第四章__形态构成
设计人G· 里特维德是家居 设计师兼建筑师，受荷兰 当时“风格派”的影响。 风格派艺术家倡导艺术作 品应该是几何形体和纯粹 的色块的组合构图。这座 施罗德住宅是风格派艺术 主张在建筑领域的典型表 现。由光光的墙板、简洁 的体块，大片玻璃组成横 竖错落，若即若离的构图， 与当时著名的荷兰画架蒙 德里安的绘画有十分相似 的意趣，如同一座三维的 风格派绘画
4场感的规律住宅庭院空间的围合斯扎玛杜街公寓住宅楼布达佩斯弗伦茨匈牙利建筑师充分利用格勒尔山的自然景观条件将该建筑综合体平面取自然的s形布设并面向其周围的山体环境敞开凹进的部分则自然围合成半封闭的内部空间形成一个围合感极好的较大的花小巷中的围合邻里和连桥景观5空间法与聚集法的主要区别在于形体之间的距离6影响空间感的因素体量大小高度四变形类1主要特征
第四章
形态构成
概述
自然形态
形态
现实形态 抽象形态
人造形态 偶发形态
抽象形态是不表现任何具体形象的形态， 它往往表现出在自然形态中不易见到的 力和动的精神。
形态构成就是形态要素以一定的方法、 法则构成各种千变万化的形态，是一种 纯粹的抽象形态的构成练习。
第一节 形的基本要素及特征
1、在研究形态构成时，应从两个方面入手 研究形态构成的自身规律
威尼斯圣马可广场
圣马可广场东侧是圣马可大教堂 和四角形钟楼，西侧是总督府和 圣马可图书馆
住宅庭院空间的围合
斯扎玛杜街公寓住宅楼，布达佩斯，弗伦茨，匈牙利
建筑师充分利用格勒尔山的自然景观条件，将 该建筑综合体平面取自然的“S”形布设，并面向其 周围的山体环境敞开，凹进的部分则自然围合成半 封闭的内部空间，形成一个围合感极好的较大的花 园。
网格式：平面式、空间式 线形式：直线、曲线
三维几何建模技术
物性计算、有限元分析 用集合运算构造形体
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
4.3 实体模型的构造方法
常常是采用一些基本的简单的实体（体素），然后 通过布尔运算生成复杂的形体。 实体建模主要包含两个方面的内容：体素的定义与 描述，体素之间的布尔运算。 体素的定义方式有两类： １）基本体素 可以通过输入少量的参数即可定义的体素。 ２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
E:{E1, E2, E3, E4}
E2
V1 F1 E
E1
F2
E E3 V2
E
E4
4.2 几何建模技术
• 几何建模系统分类 （1）二维几何建模系统 （2）三维几何建模系统 • 根据描述方法及存储的几何信息、拓扑信 息的不同，三维几何建模系统可分为三种 不同层次的建模类型： 线框建模、表面建模、实体建模。
产品建模的步骤：
现实物体
抽象化
想象模型
格式化
信息模型 具体化 计算机内部模型
4.1 几何造型技术概述
产品建模技术的发展 20世纪60年代 几何建模技术产生 初始阶段主要采用线框结构，仅包含 物体顶点和棱边的信息。线框建模 表面建模，增加面的信息。
20世纪70年代
20世纪70年代末 实体建模，包含完整的形体几何信 息和拓扑信息。
4.2 几何建模技术
1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每 条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其 组成边。
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
4.3 实体模型的构造方法
常常是采用一些基本的简单的实体（体素），然后 通过布尔运算生成复杂的形体。 实体建模主要包含两个方面的内容：体素的定义与 描述，体素之间的布尔运算。 体素的定义方式有两类： １）基本体素 可以通过输入少量的参数即可定义的体素。 ２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
E:{E1, E2, E3, E4}
E2
V1 F1 E
E1
F2
E E3 V2
E
E4
4.2 几何建模技术
• 几何建模系统分类 （1）二维几何建模系统 （2）三维几何建模系统 • 根据描述方法及存储的几何信息、拓扑信 息的不同，三维几何建模系统可分为三种 不同层次的建模类型： 线框建模、表面建模、实体建模。
产品建模的步骤：
现实物体
抽象化
想象模型
格式化
信息模型 具体化 计算机内部模型
4.1 几何造型技术概述
产品建模技术的发展 20世纪60年代 几何建模技术产生 初始阶段主要采用线框结构，仅包含 物体顶点和棱边的信息。线框建模 表面建模，增加面的信息。
20世纪70年代
20世纪70年代末 实体建模，包含完整的形体几何信 息和拓扑信息。
4.2 几何建模技术
1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每 条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其 组成边。
人教版七年级数学第四章《几何图形初步》知识点汇总
人教版七年级数学第四章《几何图形初步》知识点汇总七年级数学期末复第四章《几何图形初步》知识点汇总1.几何图形①定义：几何图形是从实物中抽象出来的各种图形。
②分类：几何图形分为平面图形和立体图形。
③平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面内，如直线、三角形等。
④立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内，如圆柱体。
2.常见的立体图形①柱体：A棱柱，B圆柱。
②椎体：A棱锥，B圆锥，球体等。
3.立体图形的三视图从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、左视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。
①会观察小正方体堆积图形画出三视图。
②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数。
4.立体图形的展开图①圆柱的平面展开图是矩形。
②圆锥的平面展开图是扇形。
③ n棱柱的侧面展开图是n个形，n棱柱有个底面，都是n边形，n棱柱的平面展开图是多边形。
④ n棱锥的侧面展开图是n个形，n棱锥有个底面，是n 边形，n棱锥的平面展开图是多边形。
⑤正方体的展开图共分四类。
①掌握在正方体展开图中找相对面的方法。
②会根据展开图中的图案判断是哪个图形的展开图。
5.点、线、面、体几何图形的组成：由点、线、面、体组成。
点是构成图形的基本元素，点动成线，线动成面，面动成体。
6.直线①点与直线的位置关系：第一种关系：点在直线上，或者说直线经过点；第二种关系：点在直线外，或者说直线不经过点。
②直线公理：经过两点有且只有一条直线（简称：两点确定一条直线）。
7.直线与直线的位置关系①同一平面内，两条直线的位置关系分为平行和相交。
②当两条不同的直线相交时，我们就称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点。
8.射线①表示方法：端点字母必须写在前。
②判断两条射线是同一条射线的方法：它们有一个公共端点，并且在这个公共端点的一侧的点相同。
9.线段①基本性质：线段是有限长的直线段，有两个端点。
②两点之间的距离是线段的长度。
设计构成第四章 立体构成
6．线织面构成 线织面构成是指由直线构成的曲面，如圆锥体面、圆柱体面、螺旋体面等。以基 本线织面为基础，加上连接位置差异、运动方向变化等可得到变化无穷的线织面，如 下图所示。
三、面材的立体构成
（一）连续性面材构成
连续性面材构成是使用一个单独的面做起伏、卷曲、折叠、翻转等变化。不管面 形是几何形还是自由形，也不管造型是富有规律还是随意，连续性面材构成都能够体 现出面本身的连续意义，如下图所示。
（2）破坏 破坏有可能是破旧立新，也可能是对美好事物的损坏。破坏的力量来自于外力， 如撞击、火烧、冲击、腐蚀等。破坏所产生的新形态往往能产生令人震惊的视觉美感， 如下图所示。
（3）切割移位 形体的切割移位是指将基本形打散后再进行移位重新组合，以探索部分与整体间 的关系；或者将形体进行切割，来探索实体与空间的关系。切割移位后形成的新形态 具有更强的视觉吸引力，如下图所示。
特异韵律是在规律的变化中寻求突破，以造成视觉上的跳跃感，产生奇特的效果， 有强调的作用，如下图所示。
四、稳定与轻巧
立体形态中的稳定体现在物理稳定和心理稳定两个方面。物理稳定是指立体重心 落在合适的位置上，符合了稳定的条件，物体才不会倾倒，如下图（左）所示。心理 稳定是指立体外观的量感重心满足了人们视觉上的稳定感觉，它是人们心理需求的一 种反映，是一种主观的视觉重心的确定，如下图（中）所示。一般来说，当物体重心 位于物体总高的三分之一以上时，会给人以轻巧感，显得优雅、从容，如下图（右） 所示。
第三节 立体构成的造型形式与方法
一、半立体构成 二、线材立体构成 三、面材立体构成
四、体块立体构成 五、综合立体构成
一、半立体构成
（一）半立体构成的抽象表现
1．切折 切折是指将一个平面通过切、折两种手段形成半立体造型的构成手法。其制作简 单却富于变化。以纸材为例，常见的切折形式有不切多折、一切多折与多切多折，如 图下图所示。
几何造型方法介绍和分类
1.2 实体模型的表示
Procedure ClassLine3D( L, S)
S
if S is a primitive Then
Op_S
ClassLine3DwrtPrim( L, S)
Left_S Right_S
else CombineLine3D( ClassLine3D( L, Left_S), ClassLine3D( L, Right_S), Op_S)
A B A B C
悬边
C
普通集合的交
正则集合的交
1.2 实体模型的表示
正则形体与非正则形体：
面是形体表面的一部分，不允许存在悬面； 不允许存在悬边； 边只有两个邻面； 点至少和三个面(或三条边)邻接，不允许存在孤立点。
P
有悬面
有悬边
一条边有两个以上的 邻面
点 P 的邻域非单 连通
1.2 实体模型的表示
3、几何运算的基础是对参与运算的元素进行分类
X on S
X out S
X in S
1.2 实体模型的表示
4、体素分类是求两组元素的组合
1.2 实体模型的表示
表1.2 对于拼合体 A B 的分类
1.2 实体模型的表示
5、当集合运算的结果有二义性时，利用邻域进行测试
A B P
A P B
（a）
（ b）
第1章 几何造型方法介绍和分类
1.1 几何造型方法 1.2 实体模型的表示 1.3 典型的几何造型系统 1.4 产品的数据交换标准
1.1 几何造型方法
1.1 几何造型方法
几何造型技术的发展 第一代：手工绘制工程图
第二代：二维计算机绘图
第三代：三维线架系统
[计算机辅助几何造型技术]第四章 B样条曲线与曲面
由图可知，三次均匀B样条曲线段之间是C2连续的.
– 凸包性
– 局部性 – 变差减小性、几何不变性、参数连续性
2015/4/19
24
特征顶点（控制点）对曲线形状的影响
– 特殊情况1：三点共线
1 1 ri ( 0 ) = Vi +1 + (Vi − Vi + 2 ) + Vi +1 3 2
2015/4/19
27
– 特殊情况4：三个顶点重合
8
10
12
1 2
{t} = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} {V } = {{0,0},{1,3},{4,4},{6,2},{5,-1},{9,-2},{13,2}}
2015/4/19
n=6 k =3
21
三次均匀B样条曲线的几何性质
– 性质一：端点性质
• 位置矢量
ri ( 0 ) = 1 (Vi + 4Vi +1 + Vi + 2 ) 6 1 =Vi +1 + (Vi − Vi +1 ) + (Vi + 2 − Vi +1 ) 6
合肥工业大学 飞行器制造工程 专业基础课程
计算机辅助几何造型技术
-- 第四章 B样条曲线与曲面
张兵 zhangbing_end@
2015/4/19
1
内容概要
B样条基函数的定义与性质 B样条曲线的定义、性质与分类 均匀B样条曲线 非均匀B样条曲线 B样条曲面
2015/4/19
{Vi } = {V0 ,V1 , ,Vn }
思考： 曲线次数由 谁确定？