定积分的应用,教学设计
定积分的简单应用教学设计_定积分的应用,教学
设计
教案
课题
定积分的应用
教学目标
知识目标
①理解微元法的原理；
②借助Matlab软件，掌握运用定积分求解实际应用问题。
能力目标
①培养学生在信息化条件下查阅、检索资源的能力；
②能利用数学软件计算定积分；
③培养学生的观察和分析能力，进一步发展学生的应用数学能力和创新能力。
素养目标
①创设愉悦的学习情境，让学生处于积极思考、大胆质疑的学习气氛中，提高学生的学习兴趣和课堂效率；
②在团队协作氛围中，培养学生的职业能力和职业素养。
教学重点
微元法的基本步骤，运用微元法解决实际问题，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点
根据实际问题做出图形，确定积分变量、积分区间，运用数学建模思想求解实际问题。
教学资源
课件；智慧职教空间；世界大学城空间课程；爱课程MOOC网站
教学参考书
高职高专“十二五”规划教材《应用数学》、“十二五”职业教育国家规划教材《高等数学》
作业
①课后巩固课堂内容；
②利用网络资源，自主拓展学习定积分求解实际问题；
③进一步学习并掌握Matlab软件的应用。
教学过程设计
教学环节
教学内容
教学环境、教学方法、资源
时间
(分钟)
任务准备
利用手机、电脑等智能设备，通过QQ群、微信群发布预习任务书，让学生重温定积分概念、定积分的计算、定积分的几何意义。
爱课程网站，世界大学城空间、QQ群、微信等
课前
图片讨论
引入新课
1.引例：展示赵州桥图片
思考：古老赵州桥的拱形的面积怎样计算？
引入定积分应用的新课学习内容。
2.展示洒水车等不同图片
思考：找到图中所示图片的内在联系，引出微元法。
观看图片资源，播放PPT
1.展示法
2.引导互动
10
学习新知
掌握重点
1.微元法：分割取近似，作和求极限
（1）“分割、取近似”，将区间作任意分割，任取一子区间[]，得到所求量的局部近似值；
（2）“作和、求极限”，将各子区间的近似值相加，并求极限..
2.微元法求解步骤
第一步：选取积分变量，并确定其变化区间
第二步：在内任取一小区间，求了这个子区间对应的部分量的一个合理近似值，得到积分微元
第三步：得问题U的定积分表达式
.
播放PPT，利用matlab软件演示微元法的解题思路。
1.讲授法
10
3.微元法求平面图形的面积
根据取变量、求微元、列积分的步骤，分析-型区域，-型区域的面积。
-型区域：为积分变量，微元是竖着的小矩形的面积：由,所以 d.
-型区域：为积分变量，微元是横着的小矩形的面积：由,所以.
实例讲解.计算由曲线及所围成的图形的面积。
1)画图：利用matlab数学软件画出平面图形的草图；
2)选变量，定区间：选x为积分变量，利用数学软件求交点，并写出积分区间；
3)写出面积微元；
4)利用matlab数学软件计算定积分。
利用matlab软件快速计算定积分的值
1.引导法
2.实验法
15
解决引例：如图所示，一抛物线形拱桥的跨度为6米,高为3米，此抛物线形拱桥的横截面积为多少？
引导学生建立直角坐标系，抽象出数学模型，利用微元法、借助Matlab软件求解。
通过建立直角坐标系，将赵州桥案例抽象出数学模型。
1.讲授法
2.引导法
10
课堂演练
巩固提升
案例1：①求椭圆所围成图形的面积。
②求椭圆绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。
思路：
问题①：将图形分成四个区域，只需求第一象限的面积即可，此时问题简化为一个x-型区域。
问题②：将旋转体看成弧BAC绕y轴旋转而成的，再用截面法即可求得。
设计意图：
1）强化“微元法”的步骤；
2）让学生展示思路和解题过程，既培养主观能动性，又培养语
言表达能力；
3）教师负责指导学生建立数学模型并用数学软件求解。
利用matlab数学软件演示实际问题的求解过程。
1.讲授法
2.引导法
3.实验法
4.互动法
20
案例2：修建大桥时，通常要用桥墩来固定并减轻桥身的压力，因此要先下一个圆柱形围囹，且抽尽其中的水以便施工.若现在已知围囹直径为20米，水深27米，围囹高出水面3米，求抽尽其中的水要做多大的功？
解题思路：
1）将抽水过程看作一薄层一薄层地抽；
2）求出抽每一薄层水所做的功，即功微元dW；
3）将dW无限累加，即得总功。
通过实物模型或图片，引导学生应用微元法解决实际问题，并利用Matlab软件计算。
1.实验法
2.互动交流
3.展示法
20
思维拓展
课堂延伸
拓展：学生分组完成作业：
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，求：
1）水箱的表面积和体积；
2）水箱装满水时，水箱的一个端面所承受的压力。
要求学生实
测数据，网上搜索有关的资料，确定解决思路，建立模型，并求解。
1）教师将提供必需的数学软件、课件和学习资料；
2）对学生的实操过程和结果进行评比；
3）学生的实操成绩按比例纳入学期总成绩。
目标：充分体现学生的课外学习，培养学生应用数学知识解决问题的意识和能力。
通过洒水车实物模型或图片，引导学生实测数据，网上搜索有关的资料，确定解决思路，建立模型，并求解。
5
任务拓展
通过作业及视频学习，实现知识上的延伸和拓展。
课后
课后小记。
定积分及其应用-教案
高等数学教学教案第5章 定积分及其应用授课序号011i i n x x x b -<<<<=，将区间,)n ，每小区间的长度记为i i x x ∆=-2,,)n .在区间1[,i x -，作乘积()i f ξ(1,2,,)i n =.求和，得1ni =∑(4)记1max{}i i nx λ≤≤=∆(1,2,,)i n =，当0λ→时，取上述和式的极限，得1lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.如果对于[,]a b 的任意分法及小区间1[,]i i x x -上点i ξ的任意取法，上述极限都存在，则称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，此极限值为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑，其中()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，()d f x x 称为被积表达式，[,]a b 称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限，1()niii f x ξ=∆∑称为()f x 在[,]a b 上的积分和．对于定积分的定义，我们还有以下几点重要说明. （1）定积分()d baf x x ⎰是一个数值，它只与被积函数()f x 和积分区间[,]a b 有关，而与积分变量的符号无关，即()d ()d ()d bb baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰．按照定积分的定义，记号()d baf x x ⎰中的,a b 应满足关系a b <，为了研究的方便，我们补充规定：① 当a b =时，()d ()d 0baaaf x x f x x ==⎰⎰；② 当a b >时，()d ()d b aabf x x f x x =-⎰⎰.（2）关于可积性的问题：定理5.1 函数()f x 在[,]a b 上连续，则函数()y f x =在区间[,]a b 上可积.定理5.2函数()f x 在[,]a b 上有界且只有有限个间断点，则函数()y f x =在区间[,]a b 上可积．（3）定积分的几何意义：①由引例1可知，在[,]a b 上()0f x ≥时，定积分()d baf x x⎰表示由曲线()y f x =和直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形的面积；②在[,]a b 上()0f x ≤时，由曲线()y f x =和直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()d baf x x ⎰表示上述曲边梯形授课序号02授课序号03授课序号04教 学 基 本 指 标教学课题 第5章 第4节 定积分的应用课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 平面图形的面积、旋转体的体积 教学难点 旋转体的体积 参考教材作业布置课后习题大纲要求 掌握用定积分表达和计算平面图形的面积、旋转体的体积.教 学 基 本 内 容5.4.1 定积分的元素法(1)选变量. 例如选x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，也即积分区间. (2)求微元. 任取],[b a 的一个区间[d ]x,x x +，求出相应于这个区间上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的元素d ()d U f x x =.(3)列积分. 根据d ()d U f x x =写出表示总量U 的定积分d ()d bbaaU U f x x ==⎰⎰.上述方法叫做元素法（或微元法），利用元素法可以计算平面图形的面积、立体的体积等.5.4.2 平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积(1)在平面直角坐标系中求由曲线()y f x =,()y g x =和直线x a =,x b =围成的图形的面积A ，其中函数()f x ，()g x 在区间],[b a 上连续，且()f x ≥()g x ，如图5.11所示．利用元素法，步骤如下.①选取x 为积分变量，变化区间为],[b a .②在区间],[b a 上任取小区间[d ]x,x x +，在该小区间上对应的 那部分图形的面积记A ∆，它可以用以()()f x g x -为高、以d x 为底的小矩形面积近似代替，并记为面积元素d A ，即d [()()]d A f x g x x =-.③在区间],[b a 上对面积元素d A 作定积分，求得平面图形面积为[()()]d baA f x g x x =-⎰.(2) 类似地，由曲线1()x y ψ=,2()x y ψ=和直线y c =，()y d c d =≤围成的图形（见图 5.12）的面积为21[()()]d dc A y y y ψψ=-⎰．*2. 极坐标系下平面图形的面积某些平面图形，用极坐标来计算它们的面积比较方便.设曲线由()r r θ=表示， 求由曲线()r r θ=及射线θα=，βθ=所围的图形的面积. 此类图形称为曲边扇形. 现在要计算它的面积.这里()r r θ=在[,]αβ上连续，且()0r θ≥，02πβα<-≤.由于当θ在[,]αβ上变动时，极径()r r θ=也随之变动，因此所求的图形的面积不能直接利用扇形面积公式212A R θ=来计算. 我们利用元素法计算曲边扇形面积，步骤如下. (1)取极角θ为积分变量，它的变化区间为[,]αβ.(2)在区间[,]αβ上任取一小区间[,d ]θθθ+，该小区间上对应的窄曲边扇形的面积可以用半径为()r r θ=、中心角为d θ的扇形面积来近似代替，从而得到该窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素21d ()d 2A r θθ=. (3)在闭区间[,]αβ上对面积元素作定积分，便得到所求曲边扇形的面积21()d 2A r βαθθ=⎰.5.4.3 体积1. 旋转体的体积由一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴．例如，圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体．(1)计算由连续曲线()y f x =和直线x a =, x b =及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积，如图5.18所示．利用元素法计算该旋转体的体积，步骤如下.①取x 为积分变量，变化区间为[,]a b .②在区间[,]a b 任取小区间[,d ]x x x +，相应于小区间[,d ]x x x +上的旋转体薄片的体积可近似的看作以()f x 为底面半径、以d x 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素2d π[()]d V f x x =.③在区间[,]a b 对体积元素求定积分，便得到所求旋转体的体积公式2π[()]d baV f x x =⎰．(5.7)(2)类似地，可计算出由连续曲线()x y ϕ=和直线y c =，y d =及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的旋转体(见图5.19)的体积. 2π[()]d dcV y y ϕ=⎰． (5.8)5.4.4 经济问题已知变化率求总量问题可利用定积分计算.设总产量()Q t 的变化率为()Q t '，则由1t 到2t 时间内生产的总产量为21()d t t Q Q t t '=⎰.例题讲解例5.21 求在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，曲线sin y x =与直线01x y ==，所围成的图形面积.例5.22 求由椭圆22221x y a b+=所围成的图形的面积.例5.23 求由抛物线22y x =+与直线0x y -=所围成的图形面积. 例5.24 计算心形线(1cos )r a θ=+ (0a >)所围图形的面积.例5.25 计算由椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．例5.27 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成α角，计算该平面截圆柱体所得立体的体积．x图5.18授课序号05。
高等数学教案-定积分及其应用
的面积.
b
b
2. 当 函 数 f (x) 在 [a, b]上 非 正 时 ， f (x)dx 的 值 是 一 个 负 值 ， f (x)dx 表 示 由 y f (x) ， 直 线
a
a
x a, x b 和 x 轴所围成的曲边梯形（在 x 轴的下方）的面积的相反数．
3.当函数
f
b
(x) 在区间[a,b] 上有正有负时，定积分 a
3 dx
例 4.求定积分（1） 1 1 x2 ；
9
（2）
4
x 1
x dx ．
1
例 5．求定积分 |1 x | dx ． 2
2x 1， x≤2，
例 6.设
f
(x)
1
x2，
2
求 k (2 k x≤4，
2)
的值，使
3 f (x)dx 40 ．
k
3
例 7.一辆汽车正以 10 m/s 的速度匀速直线行驶，突然发现一障碍物，于是以-1 m/s2 的加速度减速，求汽
a
a
x
[a,b] 上的函数, 称为积分上限函数, 记作 ( x) f (t)dt , x [a,b] . a
x
2.定理：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则积分上限函数 ( x) f (t)dt 在区间[a,b] 上可导，且 a
(x) ( x f (t)dt) f (x), x [a,b] . a
例 15.求定积分 x arctan x dx ． 0
例 16.某工厂排出大量废气，造成了严重污染，于是工厂通过减产来控制废气的排放量，若第 t 年废气的
排放量为
C(t)
20 ln(t 1) (t 1)2
定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在几何中的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积； 教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数． 教学过程设计（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？ (二)、探究新知，揭示概念【热身训练】练习１．计算dx x ⎰--2224 ２．计算 ⎰-22sin ππdx x【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdx x 0sin =⎰-ππdx xyx ππ图2（三）、分析归纳，抽象概括探究由曲线所围平面图形的面积解答思路ab XA0 yAab曲边梯形（三条直边，一条曲边）ab XA0 y曲边形面积 A=A 1-A 2a b1xyN M Oa b AB CD)(1y f x =)(2y f x =xy N M O abAB CD)(1x f y =)(2x f y =（四）、知识应用，深化理解例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201yxx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1200xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =x x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．课堂练习如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ， 宽为常数b ．求证：抛物线拱的面积bh s 32=h b。
定积分的计算和应用教案
定积分的计算和应用教案一、引言定积分是微积分的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在本教案中，我们将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
二、定积分的计算方法1. Riemann和定积分Riemann和定积分是定积分最基础的计算方法之一。
它通过将区间分成若干小区间，并在每个小区间上取样点来逼近曲线下的面积。
2. 积分基本公式积分基本公式是定积分的重要工具，它包括线性性质、分部积分、换元积分等。
通过运用这些公式，我们可以简化计算过程，提高效率。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是指定积分可以表示曲线下的面积。
我们可以通过划分区间，近似求解曲线与x轴之间的面积，从而得到定积分的几何意义。
4. 定积分的数值计算定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现，其中包括梯形法则、辛普森法则等。
这些方法可以在计算机上进行快速计算，提高计算精度和效率。
三、定积分在实际问题中的应用1. 曲线长度的计算定积分可以用来计算曲线的长度。
通过将曲线分割成小线段，计算每个小线段的长度并求和，即可得到曲线的总长度。
2. 平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积。
通过将图形分成若干小区域，计算每个小区域的面积并求和，即可得到图形的总面积。
3. 物体的质量和质心定积分可以用来计算物体的质量和质心。
通过将物体分成若干小部分，计算每个小部分的质量和质心的位置，并求和，即可得到物体的总质量和质心的位置。
4. 动力学问题定积分在动力学问题中有广泛的应用。
例如，通过计算物体在某段时间内受到的力的积分，可以求解物体的位移、速度、加速度等动力学参数。
四、案例分析以汽车行驶过程中的路程计算为例，通过定积分来计算车辆在不同时间段内的行驶路程。
通过将时间段分割成若干小时间段，计算每个小时间段内的速度，并将速度与时间段长度相乘求和，即可得到总行驶路程。
五、总结本教案介绍了定积分的计算方法和应用，包括Riemann和定积分、积分基本公式、定积分的几何意义和数值计算方法等。
定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S .解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ402x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84 ＝403.方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程．解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. ∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)，切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习 (阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个 ,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定 .
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的 ,求球的体积.
三、当堂检测.
1.将由直线=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
2. 求由直线,x轴,轴以及直线x=1围成的'区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
1 .将由曲线=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
3.求由曲线 ,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1. 定积分应用之二求旋转几何体的体积。
2. 旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:。
高数教案_定积分应用
课 题: 定积分的几何应用 目的要求：掌握定积分的微分元素法掌握利用定积分求平面图形面积的方法掌握利用定积分求体积的方法掌握利用定积分求弧长的方法 教学重点：利用定积分求面积和体积的方法 教学难点：利用定积分求面积和体积的方法 教学课时：4教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：定积分解题的条件：(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [a,b]有关，且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 [a,b]上的整体量，当把 [a,b]分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1ni i F F ==∑ .(2) 所求量 F 在区间 [a,b]上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [a,b]的长不成正比.（否则的话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了） 用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δnii F F ==∑;第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ=L第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn ii F F ==∑≈1()Δniii f x ξ=∑；第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的1()Δniii f x ξ=∑极限，则得1lim ()Δ()d nb i i ai F f x f x x λξ→===∑⎰.观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为x ；i x ∆换为 dx ）. 而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [a,b]上无限累加，即在 [a,b]上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的微元法. 定积分应用的微元法：(一) 在区间 [a,b]上任取一个微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为 F 的微元); （二） 将微元dF 在[a,b]上积分（无限累加），即得: ()d .b aF f x x =⎰微元法中微元的两点说明：(1) ()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分 dF;(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 d ()d F f x x = . 用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.（1） 曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及 OX 轴所围图形，如下页左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b aA f x x =⎰.（2） 由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下页右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积[()()]d b aA f x g x x =-⎰.（3）由左右两条曲线(),()x y x y ψϕ==及,y c y d ==所围成图形（图见下左）面积微元（注意，这时就应取横条矩形 dA ，即取 y 为积分变量）d [()()]d A y y y ϕψ=-，面积[()()]d d cA y y y ϕψ=-⎰.例 求两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形的面积 .解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交点以确定积分区间：解方程组22,,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点（0，0）及（1，1）.(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA 均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0，1]，于是2d )d ,A x x =(3)将A 表示成定积分，并计算:13123200211)d 33 3.A x x x x ⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰ 练习 求22y x =及4y x =-所围成图形面积. 解 作图（如下图）求出交点坐标为(2,2),(8,4)A B -. 观察图得知，宜取 y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），于是得 :21d [(4)]d ,2A y y y =+-A ＝4422322111[(4)]d 418.226y y y y y y --⎛⎫+-=+-=⎪⎝⎭⎰极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线()r r θ=及两条射线,θαθβ==所围成的图形（如右下图）.取 θ为积分变量，其变化范围为[,]αβ，在微小区间 [,d ]θθθ+上“以常代变”，即以小扇形面积 dA 作为小曲边扇形面积的近似值，于是得面积微元为21d ()d ,2A r θθ=将dA 在[,]αβ上积分,便得曲边扇形面积为21()d .2A r βαθθ=⎰例22.解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限 θ的变化范围为 π[0,]4，于是ππ22244014cos 2d sin 2.2A a a a θθθ=⨯==⎰练习 求心形线 1cos r θ=+及圆3cos r θ=所围成的阴影部分面积（如右下图）.解 先求两线交点，以确定 θ的变化范围，解方程组：1cos ,3cos .r r θθ=+⎧⎨=⎩由3cos 1cos θθ=+得 1cos 2θ= ，故π3θ=± ，考虑到图形的对称性，得所求的 面积为：ππ2232π03112(1cos )d (3cos )d 22A θθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰ππ32π031cos 29(12cos )d (1cos 2)d 22θθθθθ+=++++⎰⎰ππ32π0331912sin sin 2sin 22422θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5π.4=用定积分求体积1. 平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积. 不妨设上述直线为 x 轴，则在 x 处的截面面积 ()A x 是x 的已知连续函数，求该物体介于 x=a 和 ()x b a b =<之间的体积（如右下图）.为求体积微元，在微小区间 [,d ]x x x +上视 ()A x 不变，即把[,d ]x x x +上的立体薄片近似看作 ()A x 为底， dx 为高的柱片，于是得d ()d ,V A x x =再在x 的变化区间[,]a b 上积分，则得公式 ()d .baV A x x =⎰例 设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成 α角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右下图）.解 取坐标系如图，则底圆方程为222,x y R +=在 x 处垂直于 x 轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为y 及 tan y αα，其面积为221()()tan 2A x R x α=-，从而得楔形体积为222201()tan d tan ()d 2RR R V R x x R x x αα-=-=-⎰⎰2232tan ()tan 33R x R x R αα=-=旋转体体积设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线,()x a x b a b ==<，及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积 V.在区间 [,]a b 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为:2()π().A x f x = 在x 的变化区间[,]a b 内积分，得旋转体体积为: 2π()d .baV f x x =⎰类似地，由曲线()x y ϕ=，直线,y c y d ==及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下页左图）为2π()d .d cV y y ϕ=⎰例 求由星形线 222333(0)x y a a +=> 绕x 轴旋转所成旋转体体积（如上右图）. 解 由方程 222333x y a +=解出 2y =22333()a x - ，于是所求体积为 2223330πd 2π()d a aaV y x a x x -==-⎰⎰42242233333322π(33)d π.105aa a x a x x x a =-+-=⎰ 平面曲线的弧长设有曲线()y f x =（假定其导数()f x '连续），我们来计算从 x a =到 x b =的一段弧长的长度 s ，弧长微元为:d s x =在x 的变化区间[,]a b 内积分，就得所求弧长:.aas x x ==⎰⎰若曲线由参数方程 (),()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤给出，这时弧长微元为d .s t ==于是所求弧长为: .s t βα=⎰注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的. 因此，为使弧长为正，定积分定限时要求下限小于上限.例 求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在 02πt ≤≤的一段长(0)a >.解 ()(1cos )x t a t '=-, ()sin y t a t '=,于是 d s t t == 2sind 2ta t =, 由于在[0,2π]上，sin02t≥， 故这一拱摆线长为 : 2π2π02sin d 4cos 8.22t t s a t a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰练习：作业：教学总结：。
定积分的应用教案
教学过程新课讲授【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型.【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.【课件展示】图1选择X为积分变量，曲边梯形面积为b bA f1(x)dx f2(x)dxa a图2选择丫为积分变量，曲边梯形面积为b bA f2(y)dy f i(y)dya a【例题实践】例2.计算由y x 4与y22x 所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程(同例1)【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。
巩固练习3 .根据图形特点选择适当的积分变量.(注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数)4.确定被积函数和积分区间.5.计算定积分，求出面积.练习5.计算由曲线y sin x与y cosx 及探索到的结果通过实践，学生都得到了一些教学过程新课讲授2y x解方程组2得到交点坐标为(2,-2)及y x(8,4)选y为积分变量1 4 1 2S (2 8) 6 y dy 182 22【抽象归纳】(三)解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳【教师点评】帮助学生修改、提炼，强调注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数.【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1.画草图，求出曲线的交点坐标.2 .将曲边形面积转化为曲边梯形面积.所围平面图形的面积.【学生活动】学生独立思考邀请一位解题心得，及时指导学生进行抽象归纳。
教学过程成果展示A1 A2通过学生做这题体现分层教育法，使不同层次的学生都有不同的提o4 c osxdx o4si n xdxA2sin xdx 2cosxdx4 4【师生活动】解答思路清晰，表达正确问：此题还有其他解法吗？答：A A2所以只算一个A，取2倍就可同学把自己的成果展示给大以了. 教师点八、、评教学过程个别提问做的漂亮，解题时要注意发现题目的特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.2 2【例题实践】例3 .求椭圆£缶1(a 0,b 0) 所围成的面积【学生活动】学生独立思考.请一位同学讲解这道题目【课件展示】解题步骤应用提升如图，一桥拱的形b常数h ,宽为常数b.求抛物线拱的面积师生活动探究解题方法1•建立平面直角坐标系确定抛物线方程2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤巩固解题方法，锻炼发散思维把本节课的探究活动推向咼潮，解决了前面设下的悬念的同时，实现问：如何建立平面直角坐了生活中的教师点八、、评实际问题与抽象数学的完美结合。
1.7.1定积分在几何中的应用(教学设计)
1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计）教学目标：知识与技能目标：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
过程与方法目标：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
情感、态度与价值观目标：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。
教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
教学过程：一、复习回顾：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解： 问题1：（１）．计算dx x ⎰--2224 （２）．计算 sin x dx ππ-⎰解：（1）22222214⨯=-⎰-πdx x （2）0sin =⎰-ππdx x问题2：用定积分表示阴影部分面积解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为图2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与x y =2所围图形的面积．分析：找到图形----画图得到曲边形.1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.3、计算定积分.解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22x y xy 得到交点横坐标为 0=x 及1=xdxx f dx x f s b aba⎰⎰-=)()(21dy y g ba⎰)(1=s dyy g ba ⎰)(2－ yAB CD 2x y =x y =21∴ss =曲边梯形OABCs-曲边梯形OABDdx x ⎰=10dx x ⎰-121031233132x x -=313132=-= 变式训练1：计算由4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.分析：讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dy y S解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）y =x4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 例2（课本P57例2）：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．分析：A: 442128021⨯⨯-=-=⎰dx x s s sB: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰442122844021dx x dx x s s sC: dx y s s s ⎰+⨯+=-=4022124)84(21此题为一题多解，解体的大方向分为选X 做积分变量和选Y 做积分变量.问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法.问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X 做积分变量的类型；做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 变式训练2：计算由曲线x y sin =与x y cos =及0=x 、2π=x所围平面图形的面积．【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家21S S S +=dxxdxxS⎰⎰-=441sincosππdxxdxxS⎰⎰-=24242cossinππππ例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．变式训练3：（1）、求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
定积分在物理中的应用 说课稿 教案 教学设计
导数及其应用一、教学目标：知识与技能：1、进一步理导数的概念，掌握导数在研究函数单调性及极值和最值中的应用，完善学生对数的认识。
2、理解导数和定积分中体现的数学思想“以直代曲”；过程与方法：通过复习归纳常见题型，帮助学生形成解题模块。
提高解决复数问题的能力。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握导数的概念及应用，提升问题分析解决能力；难点：通过复习提高学生总结知识的能力和习惯。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．四、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图环节一： 1. 知识框图：问题1：你能用自己的方法，对本章学习的知识做一梳理总结吗？引进知识框图，帮助学生提高对知识的总结归纳能力。
.环节二： 2.概念辨析，完善认知1）导数1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与帮助学生提高对知自变量的增量Δx 的比ΔyΔx的极限，即lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f x0＋Δx －f x0Δx.函数y ＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2）.几种常见函数的导数公式3）．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件． 4）．利用导数研究函数的极值要注意(1)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(2)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号． 5）求函数的最大值与最小值 求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 6）．定积分的概念 定积分的思想就是无限分割、以直代曲、求和、 2．定积分的性质通过对形成的知识框图，进一步完善其中的知识要点。