高三一轮复习-三角函数、三角恒等变换、解三角形讲义(带答案)
个性化辅导授课教案【重点知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】考点一 三角函数式的化简与给角求值 【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简： （1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α2）2＋2cos α＝________．(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝______．【答案】(1)cos α (2) 6 【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________．【解析】(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝14＋14＝12.【答案】(1)C (2)12考点二 三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.【规律方法】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【变式探究】 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.【解析】(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.考点三 三角变换的简单应用【例3】 (2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.【规律方法】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【变式探究】 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .【随堂练习】考点一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求22cos 3sin 122sin()4AA A π--+ 的值．【解析】 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15.∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴22cos 3sin 122sin()4AA A π--+＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A＝3134314⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝13. 【方法技巧】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．【变式探究】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．考点二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【方法技巧】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤：①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【变式探究】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．三、三角函数的图像与性质【考情解读】1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． 【重点知识梳理】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数 奇函数递增 区间 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2递减 区间 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]无对称中心 (k π，0)⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴 方程x ＝k π＋π2x ＝k π无【高频考点突破】考点一 三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为____________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3【答案】(1){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z } (2)A【规律方法】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【变式探究】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【解析】(1)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .【答案】(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π4(2)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【答案】(1)A (2)A 【规律方法】(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．【变式探究】 (1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 (2)若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3【答案】(1)A (2)C 考点三 三角函数的单调性【例3】 (1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]【答案】(1)⎣⎡⎦⎤0，π4 (2)A 【规律方法】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．【变式探究】 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32C ．2D ．3 (2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．【答案】(1)B (2)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )四、函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像【考情解读】1. 了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【重点知识梳理】1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.X－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象．2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．【高频考点突破】考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 【解析】(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(3)法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【变式探究】 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【解析】(1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表： 2x －π3－π30 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图．考点二 利用三角函数图象求其解析式【例2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．【解析】(1)由三角函数图象得T 2＝11π12－7π12＝π3，即T ＝2π3，所以ω＝2πT＝3.又x ＝7π12是函数单调增区间中的一个零点，所以3×7π12＋φ＝3π2＋2k π，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以f (0)＝223·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝23.【答案】(1)C (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 【规律方法】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32 B ．－62C. 3 D ．－ 3 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为______．(2)由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0＜φ＜π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.【答案】(1)D (2)1考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 【规律方法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【变式探究】 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．五、解三角形（正弦定理和余弦定理）【考情解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；【重点知识梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c22bc cos__A；b2＝c2＋a22ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin_C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .【高频考点突破】考点一 利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】(1)由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ，所以sin A ＝BC ·sin BAC ＝3×225＝31010.【答案】 (1)C (2) 3【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．【变式探究】在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝c . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围．考点二 三角形形状的判断例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2，故选B.【答案】B 【提分秘籍】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 【变式探究】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．考点三 三角形的面积问题例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【解析】(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a ＝ 21.又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.【方法技巧】三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．考点四 解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【解析】(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，2分即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.4分则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.6分【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现． 【随堂练习】考点三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.【方法技巧】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【变式探究】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值． 【解析】(1)由3a ＝2c sin A ，根据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32， 又0<C <π2，则C ＝π3. (2)由已知条件⎩⎨⎧ 12ab sin C ＝332a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6a 2＋b 2－7＝ab ， (a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝3ab ＋7＝25，∴a ＋b ＝5.。
三角函数复习讲义(含答案)
一.任意角、弧度制正角：射线按逆时针方向旋转形成的角1.任意角的概念负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角2.象限角：角的顶点于原点，始边重合于X轴的正半轴，终边落在第几象限就是第几象限。
如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}例题：1.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素写出来.解析：S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.2.把下列各角化成弧度,并且判断角在哪个象限。
(1) 120 °(2) 75 °(3) 135 °(4) 300 °(5) - 210°二.任意角的三角函数常见角的三角函数：角α30º45º60°120°135°150°角α的弧度数sinαcosαtanα三角函数的诱导公式sin（2kπ+α）=sinα k∈z sin（π+α）=－sinα k∈z sin（－α）=－sinαcos（2kπ+α）=cosα k∈z cos（π+α）=－c osα k∈z cos（－α）=cosαtan（2kπ+α）=tanα k∈z tan（π+α）=tanα k∈z tan（－α）=－tanαcot（2kπ+α）=cotα k∈z cot（π+α）=cotα k∈z cot（－α）=－cotαsin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα cot （π－α）=－cotα cot （π/2+α）=－tanα cot （π/2－α）=tanα tanα ·cotα=1 sin 2(α)+cos 2(α)=1 三.三角函数的图像和性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx练习1..求三角函数值（1）sin30osin120o sin780o cos60o cos225o2. 已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴< ，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案：D2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
新高考一轮复习特训 三角恒等变换 (含答案)高中数学 高考专区 一轮复习
2025届新高考一轮复习特训 三角恒等变换一、选择题1．在ABC △中，D 为边BC 上一点，DAC ∠=4AD =，2AB BD =，且ADC △的面积为ABD ∠=( )2．sin20cos40cos20cos50+︒︒︒︒的值是( )C.3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=α=( )4．已知25cos 2cos αα+=,()cos 2αβ+=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ3,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( )A.cos 0θθ-=,则tan 2θ=( )A.-6．已知α为锐角，cos α=2α=( )7．已知()sin αβ-=3tan αβ=,则()sin αβ+=( )8．已知πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π26α⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.C.二、多项选择题9．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sin()3sin2BA B A A-++=，且c==A.22cos15︒ B.sin27cos3cos27sin3︒︒+︒︒C.2sin15sin75︒11．下列化简正确是( )A.sin45cos451︒︒=B.22ππcos sin1212-=4040sin80︒+︒=三、填空题12．已知tanα，tanβ是方程2330x x--=的两个实数根，()tan22αβ+=________. 13．(1tan13)(1tan32)+︒+︒=________.14．已知()()4tan114tan17A B+-=,则()tan A B-=________.四、解答题15．已知sinα=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若tanβ=tan2()αβ-的值.16．在ABC△=的12=（1）求C ;（2）若32a b c +=且,求的外接圆半径.17．记ABC △1sin A =+.(1)若A B =,求C ；18．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5=，cos A =（1）求B ；（2）设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥.19．在ABC △中,角A ,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos b A c+=（1）求B 的大小;（2）若c =2b +=,求ABC △的面积.（3）已知πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.3a =ABC △参考答案1．答案：A解析：因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯=△4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则ADC ∠=在△=sin DBBAD =∠，解得sin BAD ∠=因为ADB ∠=BAD为锐角，所以cos BAD ∠==所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD -∠==∠故选：A 2．答案：A解析：原式sin20cos40cos20sin 40sin 60=︒︒︒︒=︒=+故选：A.3．答案：B解析：因为tan2α==π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin02α≠，所以22cos 2cos α-=cos 1cos αα-=+，所以cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以α=α=解析：25cos 2cos αα+= ,210cos cos 30αα∴--=,cos α∴=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=432255α=⨯⨯=ππ,42α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2π,3π)αβ+∈,coscos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++故选：B.5．答案：Bcos 0θθ-=,得tan θ=则22tan tan 21tan θθθ===-故选:B.6．答案：D解析：法一：由题意，，又为锐角，所以，所以法二：由题意，2cos 12sin α==-22α=，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.sin α∴=222cos sin ααα=-=()cos 2αβ+=()3sin 25αβ∴+=47324525525=-⨯+⨯=2cos 12sin α==-22sin 2α===αsin 02α>sin2α=解析：由tan 3tan αβ==cos 3cos sin αβαβ=,又()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-=sin αβ=cos αβ=所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=8．答案：A解析：ππππsin 2cos 2cos 2cos26336αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22ππ1cos22cos 121663αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．答案：AD解析：因为sin()sin()3sin 2B A B A A -++=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 32sin cos B A B A B A B A A A -++=⨯，即sin cos 3sin cos B A A A =.当cos 0A =，即A ===sin c C ==当cos 0A ≠时，sin 3sin B A =，由正弦定理可得3b a =，由余弦定理可得22222(3)7cos 223a b c a a C ab a a +-+-===⋅1=（负值舍去）.综上，1a =或a =10．答案：BCD解析：选项A ：22cos 151cos301︒=+︒=选项B ：sin 27cos3cos 27sin 3sin 30︒︒+︒︒=︒=选项C ：2sin15sin 752sin15cos15sin 30︒=︒︒=︒=212tan 22.51tan 4521tan 22.52︒=⋅=⋅︒=-︒故选：BCD.11．答案：BCD解析：A:因为()11sin 45cos 45sin 245sin 9022︒︒=⨯︒=︒=所以本选项不正确;B:因22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭所以本选项正确;()4040cos 60sin 40sin 60cos 40sin 6040︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒()sin 18080sin 80=︒-︒=︒,所以本选项正确;()11tan 222.5tan 4522=⨯︒=︒=所以本选项正确,故选:BCD 解析：tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，则有tan tan 3αβ+=，tan tan 3αβ=-，因此()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-()()()232tan22291tan 116αβαβαβ++===-+-.13．答案：2解析：因为()tan13tan 32tan 45tan 133211tan13tan 32︒+︒︒=︒+︒==-︒︒,整理得tan13tan 32tan13tan 321︒+︒+︒︒=,所以(1tan13)(1tan 32)1tan 32tan13tan 32tan13112+︒+︒=+︒+︒+︒︒=+=.故答案为:214．答案：4为解析：因为()()4tan 114tan 17A B +-=,所以()tan tan 41tan tan A B A B -=+⋅,所以()tan tan tan 41tan tan A BA B A B--==+⋅,故答案为:4（2）13tan(2)9αβ-=解析：（1）因为sin α=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==所以ππsin sin cos cos 44ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3455==（2）由（1）tan α=232tan 291tan 116ααα===--所以()241tan2tan73tan 22411tan2tan 173αβαβαβ---===++⨯16．答案：（1）2π3C ==sin 2sin cos A B C B +=,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,则2sin cos sin 0B C B +=,且()0,πB ∈,则sin 0B ≠,可得cos C =且()0,πC ∈,所以C =（2）因为32a b c +=且3a =,则290b c =->,可得c >由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即()()22192923292c c c ⎛⎫=+--⨯-⨯- ⎪⎝⎭,整理可得210210c c -+=,解得7c =或3c =（舍去）,所以ABC△的外接圆半径2sin cR C===17．答案：（1）答案见解析（2）()0,1解析：（1）由A B=1sin A =+1sin A =+,则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10AA +-=,解之得sin A =1A =-又0A <<A =B =2π3=（2）A ,B 为ABC△的内角,则1sin 0A +>1sin =+0>,则A 、B 均为锐角222cos sin 1tancos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan222A A AA AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又0B <<π42A <-<π4B =π4B <<则π22A B =-,则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos cos cos b A b B B B b B b B B B-====-令cos t B =π04B ⎛<< ⎝1t <<又()2f t t =⎫⎪⎪⎭单调递增,0f =,(1)1f =可得1021t t <-<,则2cos B -)0,1,)0,1（2）详见解析解析：（1） 在ABC △中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A=>，∴sin A ==5=，∴sin sinb A B a ===又5ba =>=，A B >，∴B=（2） ()sin sin C A B =+=+=∴sin sin a Cc A===∵23CD BD BC BA BC =-=-∴(222220333CD BA BA BC BA BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，∴CD BA ⊥ ，∴CD AB ⊥.19．答案：（1）π6B =解析：（1）cos b A c = ,∴由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=,又()sin sin sin cos cos sin ,C A B A B A B =+=+sin cos A A B =sin 0A ≠,cos B ∴=()0,πB ∈ ,π6B ∴=;（2）π6B = ,c =∴由余弦定理可得cosB ==2233b a -+=,又2a b +=,解得1a b ==,111cos 1222ABC S a B ∴==⨯=△;（3）因为απ5π36α<+<又因为π4πsin sin 353α⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以α则π3cos ,35α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ππππ3sin sin cos 63235ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
高三数学一轮复习 第3章 三角函数第6课时 三角恒等变换精品课件
＝cos cos
θ－sin θ＋sin
θ θ
＝11－ ＋ttaann
θ θ
＝11＋ －1212＝3
答案： 3
三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的 公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的 方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0rad/s， 故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6－4.8cos3π0t ，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 cos3π0t＝－1，得3π0·T＝π，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
【变式训练】 3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当 年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变 化．
【变式训练】
1.化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xx＋＋12π4
解析：
原式＝212·cs4oincso4ππ4s－4－x－xx4·ccooss22xπ4＋－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
＝12cos α－12sin α＝
3－1 4.
②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2. 由①得 α－β＝±π4， 由②得 α＝π6.由 α、β 为锐角，得 β＝51π2. 从而 2β－α＝23π.
cos β＝cos α－12， ③
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第4讲 简单的三角恒等变换课件 文
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(2)因为 tan α＝－13，
所以5sin2α2＋8sin2sα2icnosα－α2＋π411cos2α2－8
＝5sin2α2＋cos2α2sin＋α4－sincoαs＋α6·1＋c2os α－8
＝5＋4sinsinα＋α－3＋co3scαos
α－8＝4sin sin
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1. 已知函数 f(x)＝ 2sin 2x＋ 2cos 2x， x∈R. (1)求 f(x)的最大值和最小正周期；
(2)若 fα2－π8＝ 23，α 是第二象限的角，求 sin 2α.
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[解] (1)因为 f(x)＝2 22sin 2x＋ 22cos 2x ＝2cosπ4sin 2x＋sinπ4cos 2x＝2sin2x＋π4，
10°·
2sin 80°
＝2sin
50°＋2sin
1 10°×2cos
10°＋
3 2 sin
co
＝2 2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2 2sin(50°＋10°)＝2 2× 23＝ 6.
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(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 x∈0，π2时，求函数 f(x)的值域．
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[解]
(1)f(x)＝2sin
x
3 2 sin
x＋12cos
x
＝ 3×1－c2os 2x＋12sin 2x
＝sin2x－π3＋ 23.
高三第一轮复习三角恒等变换
三角恒等变换【提纲挈领】主干知识归纳 1.常用的三角公式 （1）同角公式. （2）诱导公式. （3）和差角公式. （4）二倍角公式. （5）降幂公式：21cos 2sin2αα-=，21cos 2cos2αα+=，21cos 2tan1cos 2ααα-=+.（6）万能公式：22tan2sin 1tan2ααα=+，221tan 2cos 1tan2ααα-=+，22tan 2sin 1tan2ααα=-.（7）辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，cos ϕ=、sin ϕ=.方法规律总结1. 三角恒等变换的主题是求值、化简、证明.2.对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.3.三角变换包括变换的对象、目标、依据和方法；三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分）；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法.【指点迷津】 【类型一】求值【例1】：已知角α的终边与单位圆相交于点1cos ,2P α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 2α=（）. A ．12-B ．12C．【解析】：因为角α的终边与单位圆相交于点⎛⎫ ⎪⎝⎭1P cos α,-2，所以1sin α=-2．故⎛⎫ ⎪⎝⎭2112cos2α=1-2sin α=1-2-=22.答案：B【例2】：已知3sin 5θ=-，θ为第四象限角，则tan2θ=()．A ．35-B ．34-C ．13-D ．43【解析】：因为3sin θ=-5，θ为第四象限角，所以4cos θ=5.故θsin θ2tan==θ2cos23θθ-2sincossin θ1522===-θ4cos θ+1322cos1+25. 答案：C【例3】：已知α、β为锐角，且4tan 7,tan 3αβ==，则αβ+=________． 【解析】：因为()⋅47+tan α+tan β3tan α+β===-141-tan αtan β1-73，且0<α+β<π，所以3π4α+β=.答案：3π4【类型二】化简【例1】：化简：2222tan15cos15cos 751tan 15-+=-( )A．6-B．6 C．4- D．4【解析】：原式＝2o2ooo ocos 15-sin 15+tan30=cos30+tan30=236答案：B 【例2】：已知5,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=( ) A ．sin cos 22θθ- B ．cos sin 22θθ- C ．sin cos θθ-D ．cos sin θθ-【解析】：θθsin -cos 22，且⎛⎫ ⎪⎝⎭π5πθ∈,22，所以⎛⎫ ⎪⎝⎭θ2π5π∈,44，且θθsin >cos 22，故θθsin -cos 22. 答案：A【例3】：()s i n 40t a n 103-=________．【解析】：原式＝⎛ ⎝o o o sin10sin10o o sin40=sin40o ocos10cos10 ()o o o 2sin40sin 10-60=ocos10o o o o o -2sin40sin502sin40cos40sin80==-=-=-1o o o cos10cos10cos10. 答案：-1 【类型三】证明 【例1】：求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++.【证明】：左边＝()()221+2sin θcos θ-1-2sin θ2sin θcos θ+2sin θ=222sin θcos θ+2cos θ1+2sin θcos θ+2cos θ-1()()2sin θsin θ+cos θ==tan θ2cos θsin θ+cos θ＝右边，所以等式成立.【例2】：求证：()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ . 【证明】：因为()sin α+β=sin αcos β+cos αsin β，()sin α-β=sin αcos β-cos αsin β，两式相减得()()-sin α+βsin α-β=2cos αsin β，即()()⎡⎤⎣⎦1cos αsin β=sin α+β-sin α-β2.【例3】：已知1tan 12tan θθ-=+，求证：tan 24tan 4πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【证明】：因为1-tan θ=12+tan θ，所以1tan θ=-2.故⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭12-2tan θ42tan2θ===-2231-tan θ11--2，⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭1π1+-tan +tan θπ424-4tan +θ=-4=-4=-π1431-tan tan θ1-1-42. 所以等式成立. 【类型四】综合应用【例1】：已知tan 2θ=-2,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求22cos sin 124θθπθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】：原式＝cos θ-sin θ1-tan θ=1+tan θsin θ+cos θ.因为⎛⎫⎪⎝⎭π2θ∈,π2，所以⎛⎫⎪⎝⎭ππθ∈,42.又2tan θtan2θ=21-tan θ，解得tan θ=2.1-2【例2】：已知12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,02παπβπ<<<<，求cos2αβ+的值. 【解析】：因为π<α<π,0<β<π2，所以3ππ0-42βα<α-<π,-<β<22. 又⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭β1α2cos α-=-,sin -β=，所以⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ8022sin α-=1-cos α-=， ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα522cos -β=1-sin -β=229，故⎛⎫ ⎪⎝⎭βsin α-=29，⎛⎫ ⎪⎝⎭αcos -β=23于是，⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦α+ββαβαcos=cos α---β=cos α-cos -β22222 ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭βα+sin α-sin -β22⋅⋅12=-=933927. 【例3】：已知2sin cos 2sin ,sin cos sin θθαθθβ+==，求证：224cos 2cos 2αβ=.【证明】：因为sin θ+cos θ=2sin α，所以21+2sin θcos θ=4sin α.又2sin θcos θ=sin β，所以221+2sin β=4sin α，即()()221+21-cos β=41-cos α， 整理得，224cos α=1+2cos β，降次得，2cos2α=cos2β，平方得，224cos 2α=cos 2β.【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题 1．已知cos18m =，则2sin 9= ()．A.12m - B. 12m + C．2D.2【解析】：o1-cos181-m 2o sin 9==22．答案：A 2．已知3sin ,5θθ=为第二象限角，则sin 2θ的值为 ( ) ．A ．1225-B ．1225C ．2425-D ．2425【解析】：因为3sin θ=,θ5为第二象限角，所以4cos θ=-5，从而⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭3424sin2θ=2sin θcos θ=2-=-5525. 答案：C 3．已知()11tan ,tan 43ααβ=+=，则tan β= ( )．A ．17B.113 C. 16 D ．413【解析】：()()()⋅⎡⎤⎣⎦11-tan α+β-tan α134tan β=tan α+β-α===111+tan α+βtan α131+34. 答案：B4．已知[)0,2x π∈，则函数()cos 22x xf x =+的零点是( ) A.6π B. 3π C ．6π或3π D. π或3π 【解析】：因为()⎛⎫⎪⎝⎭x x x πf x +cos 2sin +2226，由()f x =0，得⎛⎫ ⎪⎝⎭2x πsin +=26.又[)x ∈0,2π，所以)⎡⎣x ππ7π+2666∈,，故x ππ+=263或x π2π+=263，解得πx =3或x =π. 答案：D 5= ( )．A ．sin 4- B. sin 42cos 4- C ．2cos 4sin 4- D ．2sin 4cos 4- 【解析】：原式＝sin4-cos4-cos4=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4. 答案：C 二、填空题6．已知33cos ,52πθπθ=-<<，则2sin cos 22θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】：因为33πcos θ=-,π<θ<52，所以4sin θ=-5.故原式＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2θθθθθθ4922sin -cos =sin-2sin cos +cos =1-sin θ=1--=22222255. 答案：957．已知34παβ+=，则()()1tan 1tan αβ--=________．【解析】：因为3πα+β=4，所以()3πtan α+β=tan4，即+tan αtan β=-11-tan αtan β，整理得，++tan αtan β=-1tan αtan β.于是()()()()+2-1tan αtan β1-tan α1-tan β=1-tan α+tan β+tan αtan β=1-+tan αtan β=.答案：2 8．化简：()sin 5013tan10+=________.【解析】：原式＝()⋅o o oo o 2sin50sin 30+10cos10osin50=o ocos10cos10o o o2cos40sin40sin80===1o o cos10cos10.答案：1 三、解答题 9．已知()()13cos,cos 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值. 【解析】：因为()1cos α+β=5，1cos αcos β-sin αsin β=5 （1） ()3cos α-β=5，3cos αcos β+sin αsin β=5（2）（1）+（2）得，2cos αcos β=5 （3） （2）－（1）得，1sin αsin β=5（4） （4）÷（3）得，1tan αtan β=.10.已知函数()22cos sin 2cos sin f x x x x x =-+（1）函数()f x 的递增区间； （2）函数()f x 的零点.【解析】：（1）因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =sin2x+cos2x 2x+4由()πππ-+2k π≤2x +≤+2k πk ∈Z 224得，()3ππ-+k π≤x ≤+k πk ∈Z 88，所以函数()f x 的递增区间为(),⎡⎤⎢⎥⎣⎦3ππ-+k π+k π88k ∈Z .（2）由()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x 2x+4得，⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin 2x +=14，所以()ππ2x +=+2k πk ∈Z 24，解得()πx =+k πk ∈Z 8.所以函数()f x 的零点为()π+k πk ∈Z 8. 【二级目标】能力提升题组一、选择题 1．已知1cos 23θ=，则44cos sin θθ+的值为( )．A ．1 B.59 C ．1318 D ．1118【解析】：原式＝()()()212222cos θ+sin θ-2cos θsin θ=1-1+cos2θ1-cos2θ2()⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211152=1-1-cos 2θ=1-1-=2239.答案：B 2．已知24sin 225α=-，且3,4παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=( )．A ．45B.45-C ．35D ．35-【解析】：因为⎛⎫⎪⎝⎭3πα∈,π4，所以sin α>0，且⎛⎫ ⎪⎝⎭3π2α∈,2π2.又24sin2α=-25，所以⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222247cos 2α=1-sin 2α=1--=2525，7cos2α=25.故71-1-cos2α9225sin α===2225，于是3sin α=5.答案：C 二、填空题 3．cos 20cos 40cos60cos80= ________.【解析】：原式＝o o o o o2sin20cos20cos40cos60cos80o2sin20o o o o 2sin40cos40cos60cos80=o 4sin20o o o 2sin80cos60cos80=o 8sin20o osin160cos601==o168sin20. 答案：116三、解答题4.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值.【解析】：因为⎛⎫⎪⎝⎭π317π7πcos +x =,<x <45124，所以,⎛⎫⎪⎝⎭5πππ4<+x <2πsin +x =-3445. 由⎛⎫⎪⎝⎭π3cos +x =45，得-ππcosxcos sinxsin =44-sinx =由⎛⎫⎪⎝⎭π4sin +x =-45，得ππsincosx +cossinx =44+sinx =由-cosx sinx()()⎛ 7×-22552sinxcosx cosx+sinx sin2x+2sin x 28=-1-tanxcosx -sinx 755.【高考链接】1.（2015年四川文13）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值为________.【解析】：因为sin α+2cos α=0，所以tan α=-2，故22sin αcos α-cos α22sin α+cos α()()⋅2-2-12tan α-1===-122tan α+1-2+1.答案：-12.（2013年全国新课标II 卷理15）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则s i n c o s θθ+=________.【解析】：因为⎛⎫ ⎪⎝⎭π1tan θ+=42，所以-πtan θ+tan14=π21tan θtan4，解得1tan θ=-3.又θ为第二象限角，由⎧⎪⎨⎪⎩1sin θtan θ=-=3cos θ22sin θ+cos θ=1，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩sin θcos θ于是sin θ+cos θ=5答案：-53.（2014年全国新课标I 卷理8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ）.A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【解析】：⎛⎫ ⎪⎝⎭2ββββsin +cos sin +cos 1+sin β2222tan α===ββββcos β22cos -sin cos -sin 2222⎛⎫ ⎪⎝⎭β1+tan πβ2==tan +β421-tan2.因为πβ∈(0,)2，所以β2πππ+∈(,)442.又πα∈(0,)2，所以πβα=+42，即π2α-β=2. 答案：B。
高三理科数学一轮复习讲义：第四章三角函数与解三角形4.3两角和与差的正弦余弦和正切公式二倍角公式
- 1 - §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 考纲展示► 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 考点1 三角函数公式的基本应用
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝________________； cos(α∓β)＝________________；
tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝________________； cos 2α＝______________＝______________＝______________；
tan 2α＝2tan α1－tan2α.
(1)[教材习题改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________. (2)[教材习题改编]已知cos α＝－35，α∈π2，π，则sinα＋π3的值是________．
公式使用中的误区：角的范围；公式的结构． (1)若函数f(α)＝tan α＋21－2tan α，则α满足2tan α≠1，且α≠________.
(2)化简：12sin x－32cos x＝________. - 2 -
[典题1] (1)[2019·江西新余三校联考]已知cosπ3－2x＝－78，则sinx＋π3的值为( ) A.14 B.78 C．±14 D．±78
(2)已知cos θ＝－513，θ∈π，3π2，则sinθ－π6的值为________． (3)设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________． [点石成金] 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 考点2 三角函数公式的逆用与变形应用
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。