画法几何点、直线与平面投影
7第二章 投影法基础(5)直线、平面相对位置
四. 直线与平面的相对位置两平面的相对位置(一). 直线与平面平行•
两平面平行
(
二). 直线与平面的交点• 两平面的交线
(三). 两直线垂直• 直线与平面垂直• 两平面垂直基本要求基本要求
（一）平行问题1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。(一). 直线与平面平行• 两平面平行
1、直线与平面平行
几何条件若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
例题1例题2
2、平面与平面平行
几何条件若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
例题3例题4例题51、直线与平面平行若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
本课程只介绍特殊位置平面与直线平行问题特殊位置平面与直线平行投影特性
当直线与垂直于投影面的平面平行时，则它们在这个投影面上的投影也平行。
AB
CDP
ba′b′
ab
a2、两平面平行
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行E
FDA
CB
本课程只介绍特殊位置两平面平行问题特殊位置两平面平行投影特性
当两个互相平行的平面垂直于同一投影面时，则它们在这个投影面上的投影也一定平行。[例题1] 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行(二). 直线与平面的交点、两平面的交线
1、直线与平面相交只有一个交点
2、两平面的交线是直线
画法几何点线面投影的习题
范文 2-1 根据点的空间位置，画出点的投影图
2-2 根据点的坐标，画出点的投影图和空间位置
2-3根据点的两面投影求第三投影，并判定其相对位置 范文
2-4 已知点B在点A的正上方10，点C在点B的正左方10，求A、B、C的三面投影，并标明其可见性。
b'
b b” c'
c” c ( a” ) ( ) ab” A
A A
B B
B
c׳
d C C
C D D 范文 2-5 已知长方体的投影图，试判定棱线AB、AC、CD与投影面的相对位置，并标明其侧面投影。
2-6 注出三棱锥SABC各棱线的水平和正面投影，并判定它们属于哪类直线。
2-7 求直线AB的第三投影。 范文
2-8 分别求出直线CD和EF的实长及其倾角α和β。
2-9 已知直线AB与V面的倾角β=300，求其水平投影ab。
范文
2-10 判定点K是否在直线AB上。
不在
2-11 判定下列直线的相对位置（平行、相交、交叉） 范文
2-12 求点M到直线AB的距离。
2-13求一距H面为20的水平线，与两交叉直线AB、CD相交 范文
2-14判定两条交叉直线AB、CD对V、W面重影点的可见性
2-15试求两条直线AB、CD之间的距离
范文
2-16已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影
2-17求下列平面的第三投影，并判定它们与投影面的相对位置
2-18试判定A、B两点是否在下列平面内
范文
2-19 完成平面五边形的正面投影
2-20判定3条相互平行的直线是否在同一平面内
通过作图可知：左边两条平行直线可确定一平面，右边的平行线没有过该平面上的某一点，所以三条平行线不在同一平面。
2-21已知直线CD在⊿ABC平面内，试求c′d′ 范文
2-22试在⊿ABC内取一点K，使K距H面、V面均为20
画法几何及工程制图2
1
§ 点的二面投影〔two-plane projection of point〕
一、二面投影体系的成立及点的二面投影
点是形体最底子的元素。在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。空间点用大写字母暗示，投影点用小写字母暗示。
图 2
设立一个投影面P，那么A1、 A2、 A3点在投影面P上的正投影是独一的。但反过来，假设知道了点的一个投影，却不克不及确定点的空间位置〔缺少一个坐标〕。因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不敷的。
现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V〔也称正面或V面〕、程度投影面H〔也称程度面或H面〕，从而构成二投影面体系。V面和H面的交线OX称为投影轴。
A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影，用a’暗示。
A点的在H面上的投影称为A点的程度投影或A点的H投影，用a暗示。
图 3
我们需要把这种空间关系在一种图纸上〔一个平面上〕表达出来。保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90º直至与V面重合，从而得到点的二面投影图。为简便起见，投影图中投 2 影面的边框不必画出。
在点的二面投影体系中，X、Y、Z三个坐标均能表达，故点的二面投影就独一确立了点在空间的相对位置〔相对二面投影体系〕。
图4
容易得出点在二面投影体系中的投影规律：
⒈点的两投影的连线⊥投影轴。证明。
⒉投影点到投影轴的距离，反映该空间点到另一投影面的距离。
二、点在四个象角中的投影
平面本身是可以无限耽误的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它们把空间分为四个局部──四个象限或象角。别离用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标识表记标帜。
画投影图时仍然保持V面不动，前H面向下旋转与下V重合，后H面向上旋转与上V重合，只画OX轴，不必注投影面标识表记标帜，也不消画边框。
3
⒈在四个象角内的点。
（1） A点在Ⅰ象角内。其正面投影a’在OX轴上方，程度投影a在OX轴下方。
（2） B点在Ⅱ象角内。H面之上，V面之后。正投影b’在OX轴上方，程度投影b也在OX轴上方。
大一土木画法几何知识点
大一土木画法几何知识点
一、引言
在土木工程领域，画法几何是一项重要的技能。它涉及到设计和绘制建筑图纸、轨道图等。掌握画法几何知识点对于土木工程师来说至关重要。本文将介绍大一学生在土木专业学习过程中需要了解和掌握的一些画法几何知识点。
二、平面几何基础
1. 点、线、面的基本概念
在画法几何中，点、线、面是最基本的几何要素。点指的是没有长度、宽度和高度的几何位置；线是由无数个点组成的，在图纸上通常用直线段表示；面则是由无数个线段围成的，用来表示二维图形。
2. 基本几何形状
了解基本的几何形状对于土木工程师来说至关重要。常见的几何形状包括：直线、射线、线段、角、三角形、四边形、圆等。
3. 平行与垂直 平行和垂直是在画法几何中经常使用的概念。平行指的是两条或多条直线永远不会相交；垂直则是指两条线段或两个平面成直角。
三、投影方法
1. 正交投影
正交投影是土木工程中最为常用的投影方法之一。它能够将三维物体投影到一个与观察方向垂直的平面上，从而更好地表示物体的形状和尺寸。
2. 透视投影
透视投影是一种更加真实感的投影方法，它能够模拟出远近物体的大小变化。在土木工程中，透视投影常用于绘制建筑立面图或透视图。
四、坐标系和尺度
1. 坐标系 坐标系是在画法几何中描述和定位点、线、面的重要工具。常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系，使用不同的坐标系可以更加方便地表示和计算几何信息。
2. 尺度
尺度是绘图时用来表示实际尺寸与图纸尺寸比例的关系，它是画法几何中必须要考虑的因素之一。常见的尺度包括比例尺和比例因子，通过合适的尺度可以减小图纸的尺寸，便于实际操作。
五、常见几何图形的绘制
1. 平面图形绘制
平面图形的绘制是画法几何中的核心内容之一。包括：直线的绘制、折线和多边形的绘制、圆的绘制等。
2. 空间图形绘制
在土木工程中，需要绘制的不仅仅是平面图形，还有空间图形。例如，绘制建筑物的透视图、房间的立体图等。
《画法几何》课程思政
1
2-1课程目标
课程
教学
目标 1.掌握正投影法的基本理论，形体表达的方法，运用投影法的理论、方法绘制和阅读工程图样；
2.能通过作图解决一般空间定位和度量问题，培养学生对空间几何问题的图解能力，培养学生空间想象力和创造性构型设计能力；
3.能正确的使用绘图工具和仪器，掌握并贯彻、执行国家技术制图标准，具有一定的标准化意识和工程意识。
思政
育人
目标 1.在知识传授、能力培养中，弘扬社会主义核心价值观，培养学生的规矩意识；
2.传承“兵团精神、胡杨精神”，培养学生严肃认真、一丝不苟的工作作风；
3.会用辩证的思维解决问题。
改革
思路 1.“课程思政”的实施思路与重点措施
（1）在新修订的教学大纲中增加价值引领方面的考量内容，让课程思政写进教学大纲。
教学大纲是教师组织教学的指导性文件，以往的教学大纲制定中只制定了相应的课程目标而没有育人目标，我们首先要以本课程教学大纲的修订为契机，结合工程认证对人才培养的要求，融入课程思政育人目标。
（2）加强教师课程思政建设培训，提高教师的育人水平。
积极参与全国有关课程建设的培训研讨、学习交流，开阔教师的改革视野，进一步明确课程思政改革的思路和方向。使教师自身能在尊重课程自身建设规律的前提下，在实现课程的知识传授、能力培养等基本功能的基础上，挖掘并凸显其价值引领功能。
（3）认真凝练课程特色，组织教研组对课程建设的经验进行梳理总结，进一步提炼特色，丰富成果形式。组织任课教师认真梳理教学内容，从知识中发掘思政元素，凝练教材的育人功能。从自然科学知识的来源于发展，技术与应用以及与社会的关系角度深刻挖掘所授知识内涵所蕴含的哲学、思想、思维、逻辑，找准这些哲学道理与所授知识的连接点和切入点。
（4）重组知识模块、扩展专业内容，引领学生用科学的思路和方法思考问题、解决问题，形成正确的世界观、价值观和人生观。
教学内容中蕴含着丰富的认识论、方法论、辨证法，教师可从学科发展史、大师成才路以及教师自身的经验教训等故事中发掘价值观、从失败教训中多维度分析问题，从术、道、德三个方面分析问题原因，对学生进行情感教育。 2
画法几何第四版练习册答案
画法几何第四版练习册答案
画法几何是工程图学中的一个重要分支，它涉及到图形的绘制、分析和理解。本练习册旨在帮助学生通过练习来巩固和深化对画法几何的理解和应用。以下是《画法几何第四版练习册》的部分答案，以供参考。
第一章：点、线、面的投影
1. 问题：如何确定一个点在平面上的投影？
答案：首先确定点相对于平面的位置，然后根据点到平面的垂直距离，使用投影规则找到该点在平面上的投影。
2. 问题：给定两条相交线段，如何找到它们的交点？
答案：通过分析两条线段的投影，可以确定它们在空间中的交点。这通常涉及到计算交点的坐标。
第二章：平面图形的绘制
1. 问题：如何绘制一个圆的投影？
答案：首先确定圆心的投影，然后根据圆的半径，绘制圆的投影。圆的投影可能是一个椭圆或一个圆，取决于观察的角度。
2. 问题：如何绘制一个多边形？
答案：首先确定多边形的顶点，然后依次连接相邻顶点，形成闭合图形。
第三章：立体图形的投影
1. 问题：如何绘制一个立方体的三视图？
答案：立方体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图。正视图显示立方体的前面和后面，侧视图显示立方体的侧面，俯视图显示立方体的顶部。
2. 问题：如何确定一个圆锥的投影？
答案：圆锥的投影通常是一个圆和一个三角形。圆是圆锥底面的投影，三角形是圆锥侧面的投影。
第四章：剖面图和断面图
1. 问题：什么是剖面图？
答案：剖面图是一种通过假想的切割面来显示物体内部结构的图形表示方法。
2. 问题：如何绘制一个物体的断面图？
答案：首先确定切割面的位置，然后根据切割面与物体相交的部分，绘制出断面图。
第五章：轴测图
1. 问题：什么是轴测图？
答案：轴测图是一种通过改变投影角度来更直观地展示三维物体的图形表示方法。
2. 问题：如何绘制一个物体的轴测图？
答案：选择适当的轴测投影方式，然后根据物体的尺寸和形状，绘制出轴测图。
《画法几何与阴影透视》第2章点、直线、平面的投影 复习思考题答案
1 第2章点、直线、平面的投影复习 思考题答案
复习思考题：
2.1 简述为什么不能用单一的投影面来确定空间点的位置？
答：因为投影不具有可逆性。从投影不能确定点的空间位置。
2.2 为什么根据点的两个投影便能作出其第三投影？具体作图方法是怎样的？
答：因为点的任意两个投影的坐标已经标识了空间坐标情况，故可以通过点的两个投影作出第三个投影。作图方法是：
（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（a′a丄OX）,即长对正；
（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（a′a"丄OZ），即高平齐；（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离（a" az =a
ax ），即宽相等。
2.3如何判断重影点在投影中的可见性？怎么标记？
答：重影点在投影中的可见性根据点的坐标值大小来判断。坐标值大者可见，反之不可见。不可见点加（）标识。
2.4空间直线有哪些基本位置？
答：空间直线与投影面的位置关系有倾斜、垂直、平行。
2.5如何检查投影图上点是否属于直线？
答：检查投影图上点是否属于直线可以采用定比法或者第三面投影法。
2.6什么是直线的迹点？在投影图中如何求直线的迹点？
答：空间直线与投影面的交点称为迹点。在投影图中利用迹点是属于投影面上的点的特征及属于直线上的点的投影特征（从属性）求解。
2.7试叙述直角三角形法的原理，即直线的倾角、线段的实长、与其直线的投影之间的关系。
答：以线段在某个投影面上的投影为一直角边，以线段的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，作一个直角三角形，此直角三角形的斜边就是所求线段的实长，而且此斜边和投影的夹角，就等于线段对该投影面的倾角。
2.8两直线的相对位置有几种？它们的投影各有什么特点？
2 答：两直线的相对位置关系有平行、相交、交叉。
两直线在空间相互平行，则它们的同面投影也相互平行。
两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且交点符合空间点的投影特性。
画法几何大一知识点总结
画法几何大一知识点总结
绪论
画法几何是一门应用数学学科，主要研究几何图形的构图、投影和透视等技巧。作为大一学生，了解画法几何的基本知识点对于提高绘图技能和创意设计能力都有着重要的作用。本文将对大一画法几何的知识点进行总结，帮助大家更好地理解和应用。
一、几何图形的基本构图
1. 线条的绘制
在绘制几何图形时，首先要掌握各种线条的绘制方法。常见的线条包括实线、虚线、点线等，通过灵活运用这些线条可以表达出不同几何形状的边界和结构。
2. 画法几何符号
画法几何中，常用的符号有角度符号、平行符号、相交符号等。掌握这些符号的绘制方法，可以更好地表示几何图形中的特殊关系，如角的大小、线的相对位置等。
3. 画法几何基本构图法 画法几何基本构图法包括直线段的画法、圆的画法和曲线的画法等。在画直线时，可以使用直尺或钢笔等工具辅助画出直线段。画圆时，可以利用圆规或定圆方法绘制出所需的圆形。当绘制曲线时，可以运用点线法、等分法等技巧来描绘出曲线的形状。
二、投影与透视
1. 正投影
正投影是将三维图形投影到一个平面上，使得投影图形与实际图形相似的过程。常见的正投影方法有平行投影和斜投影两种。平行投影是将图形的各个边按照平行线的方式投影到一个平面上，斜投影则是按照斜线的方式进行投影。
2. 透视
透视是一种能够表现出远近距离感的投影方法。在透视投影中，近处的物体较大，远处的物体较小，呈现出明显的透视效果。了解透视的原理和画法，可以更加准确地表达出三维图形在二维平面上的形状和空间特征。
三、几何图形的展开与折叠
1. 图形的展开 图形的展开是指将一个平面图形展开为一个平面上的几个部分的过程。在展开后的图形中，各个部分仍保持了原始图形的相对位置和尺寸。通过展开图形，可以更好地了解其内部结构和构成要素。
2. 图形的折叠
图形的折叠是指将平面上的几个部分按照一定的折叠方式重新叠合为一个整体的过程。通过折叠图形，可以还原出原始的平面图形，并观察其各个部分之间的空间关系和对称性。
画法几何与土木工程制图习题集答案第4章习题集答案
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1页 1.求作下图的W投影，在投影图上注明各指定表面名称，并在表格内填写各指定表面与投影面的相对位置。
2.判别平面与投影面的相对位置。 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
2页 平面的投影——各种位置平面的投影 班级 姓名 成绩 1
3.过点、线作已知平面。
1．过点A作正垂面P,其α为30°. 2）过AB作铅垂面△ABC. 3) 过点A作一般面△ABC. 4) 过AB作一般面△ABC. 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
3页 4.过已知直线作平面图形。
1）作等边△ABC∥H面。 2）以AB为对角线作正方形垂直V面。 5.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
平面的投影——平面上的点和直线 班级 姓名 成绩 2 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
4页 6.求平面内点的另一投影。 7.求平面ABC内直线EF的H面投影。 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
5页 8.求平面ABCD上三角形EFG的H面投影。 9.补全平面五边形的H面投影。
平面的投影——平面上的点和直线 班级 姓名 成绩 3 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
6页 10.已知点A的两面投影，过点A作等腰三角形ABC的三面投影，该三角形为正垂面，α=30°，底边BC为正平线，长25mm,三角形的高为20mm. 12.已知一正方形ABCD的一边BC的H、V投影，另一边AB的V投影方向，补全此正方形的V、H投影。
11.已知一正方形ABCD的对角线AC，另一条对角线BD为H面平行线，作出该正方形的三面投影。 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
7页 平面的投影——平面对投影面的倾角 班级 姓名 成绩 4
13.求平面ABC内点D的V、H投影，使点D比A点低20，
在A点前20。 14.求三角形对H面的倾角α。 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
8页 15.求三角形对V面的倾角β。 16.求对H面倾角为α=60º的等腰三角形ABC，C点在V面上。
画法几何
1. 已知K点在直线AB上，求出K点的侧面投影。
解答：
分析：
错解原因是对“直线上点分线段的长度比与对应的投影的长度比相等”这一概念不清楚。
错解中直接在侧面投影上作a"k"=a'k'，其结果a'k'/k'b'≠a"k"/k"b"。因此，K点并不是线段AB上的点。正确的作图步骤应是：
（1） 由a"任作一直线；
（2） 在该直线上截取a"Ⅰ=a'k'、ⅠⅡ=k'b'；
（3）连接Ⅱb"；
（4）过Ⅰ作直线平行于Ⅱb"交a"b"于点k"，则点k"即为所求。
2. 用直角三角形法求直线AB与H面的倾角α及与V面的倾角β。
解答：
分析：
错解原因是对所求的直角三角形实形的构成要素模糊不清，对直角三角形方法的作图要领理解不透。直角三角形的作图要领归纳如下：
1. 以线段投影的长度为以一直角边；
2. 以线段的两端点相对于该投影面的距离差为另一直角边，该距离差可从线段的另一投影图上量得；
3. 所作直角三角形的斜边即为线段的实长；
4. 斜边与该投影的夹角为线段与该投影面的倾角。
所以，在求角α时，必须用线段水平投影长度与该线段两端点的高度坐标差作直角三角形；在求角β时，必须用线段正面投影长度与该线段两端点的前后坐标差作直角三角形。
作图步骤：
求α角。
（1） 以线段AB的水平投影ab为一条直角边，由端点b作直线垂直于ab；
（2） 在正面投影上求出直线AB的高度坐标差△ZAB；
（3） 在与ab垂直的直线上截取线段bB0=△ZAB；
（4） 连接aB0，则ab与aB0所夹的角度即为直线AB对H面的倾角α。
求β角的作图过程类似。
3. 已知直线AB对H面的倾角为30°，补全AB的水平投影。
解答：
分析：
错解误把直线AB对V面的倾角当作对H面的倾角了。解此题的关键是求B点的水平投影。为此，只要求出直线AB的水平投影长度即可。在以水平投影长度为直角边的那个直角三角形实形的要素中，已经知道了两个要素：α=30°，ΔZAB。根据这个条件，能够作出这个直角三角形，于是可以求出直线AB的水平投影长度。