中子输运方程
多重网格扩散综合加速的三维离散纵标中子输运程序SN3C
为 为 ，
阶第 ｍ个球谐 函数 ；ｋ 为本征值 ；下角标 ｇ代表 第 ｇ群 。
利 用有 限差分 方 法离 散 空 间变 茸 ．可得
２ 源迭代 的扩散综合加速方法
在反应堆物理分析中，最常用到的 ｋ 本征值 问题 的三维 Ｘ Ｙ －－ Ｚ几何 Ｇ群分群离散纵标方程为
惫（ 亿 ¨ ，） ｚ＋ ，
（ （ ｕ ： 厂 ｎ
，
７ － ｔｃｚ ｚ Ｉ ＋ｎ ＋ｎ 。ｊ， 惴ｊ， ７ ｇ ，，） （ ） ＋ ｇ ｃ Ｊ ｙ （ ，
Ｇ Ｍ
＝
： ＋ ｕ ） ＋
岛
，
ｆ
∑∑（＋Ｚ ， ｙ） ，， ２ １ ，ｚ １） ｇ ，Ｚ
ｌ ＝０ ｍ ＝０
６ ＋ ／ Ｊ＋１ ２， ＋１／ ＋ １２ ／ 七 ２
，
，
Ｃｉ １ ２ Ｊ ｌ ２ 七 ｌ ２ ＋ ＋／ ＋ ／ ，＋ ／
，
对于方程（） １ 的求解 ， 熟知的方法是幂迭代方 法 。在幂迭代的每一步 ， 都需要求解 Ｇ个单群输 运方程【 方程（）， ２ 各单群方程之间通过方程（） 】 ３ 耦 合在一起 。求解方程（） ２的基 本方法是源迭代方 法 【。 节 首 先讨论 源迭 代 的扩 散综 合加 速 方法 。 ¨本
摘要 ：为提 高已开发三维 中子输运 数值计算程 序 Ｓ Ｃ的效率 ，本文采用一致 的扩 散综合 加速方法加速 Ｎ３ 源迭代 ，并 用 Ｃ ｅｙｈ ｖ加速方 法提高幂迭代 的收敛速 度。针对 扩散综合加速方法 中求 解扩散方程的特点 ， ｈｂ ｓｅ 发 展了基于完全多重网格方法的求解技术 ，数值试验 的结 果显示 ，Ｓ Ｃ的计算结果 与 Ｍｏ ｔ Ｃ ｒ Ｎ３ ｎｅ ａｌ ｏ方法 以及 Ｅ ＮＴ 的计算结果符合很好 ；并 且 ，对于 中小 规模的问题 ，完全 多重 网格方法 的效率 可与具有最优松 弛因 ＶＥ 子的块超松弛方法相 比；对于较大规模 的问题 ，完全多重 网格方 法的性 能更好 。 关键词 ：离散纵标方 法 ；扩 散综合 加速方法 ；完全 多重 网格 方法 ；中子输运方程 ；数值计算
中子扩散方程
中子扩散方程中子扩散方程是描述中子在核材料中扩散行为的数学模型。
它是核反应堆物理中的重要方程，对于研究核材料的中子输运和反应过程具有重要意义。
本文将从中子扩散方程的基本原理、推导过程以及应用领域等方面进行介绍和探讨。
一、中子扩散方程的基本原理中子扩散方程是基于扩散理论和输运理论建立的一种描述中子传输的数学模型。
中子在核材料中的传输过程可以看作是中子在空间中扩散和输运的过程。
中子扩散方程描述了中子在核材料中的扩散行为，它是一个偏微分方程，其一般形式可以表示为：∇·(D∇Φ) + ΣaΦ = ΣsΦ + νΣfΦ其中，Φ表示中子通量密度，D表示扩散系数，Σa表示吸收截面，Σs表示散射截面，ν表示中子释放数，Σf表示裂变截面。
这个方程描述了中子在核材料中的扩散行为和与核材料的相互作用。
中子扩散方程的推导过程涉及到扩散理论和输运理论的基本原理。
在推导过程中，需要考虑中子的输运、中子与核材料的相互作用以及中子源项等因素。
通过应用一系列的物理假设和数学推导，最终可以得到中子扩散方程的一般形式。
三、中子扩散方程的应用领域中子扩散方程在核材料研究和核反应堆物理中具有广泛的应用。
它可以用于描述核材料中子传输的过程和特性，研究核材料的裂变和吸收行为，分析核反应堆的热工和动力学特性，评估核反应堆的安全性能等。
在核能工程中，中子扩散方程被广泛应用于核反应堆的设计和分析。
通过对中子扩散方程的求解，可以得到中子通量、功率分布、反应速率等重要参数，为核反应堆的设计和运行提供重要依据。
同时，中子扩散方程也可以用于核材料的辐照损伤分析、核燃料的寿命评估等方面。
中子扩散方程在核材料科学研究中也具有重要意义。
通过对中子扩散方程的研究，可以深入了解中子与核材料的相互作用机制，揭示核材料的结构和性能对中子传输的影响规律，为新材料的设计和开发提供理论指导。
总结：中子扩散方程是核反应堆物理中的重要方程，它描述了中子在核材料中的扩散行为。
粒子输运方程
粒子输运方程
粒子输运方程是一类重要的数学方程，它描述了物质中的粒子在空间和时间上的输运规律。
这些粒子可能是电子、光子、中子或其他类型的粒子。
粒子输运方程的研究对于理解物质基本特性，甚至是生命体系的运作规律具有重要的意义。
粒子输运方程的基本结构是一阶偏微分方程组成的，它描述了物质粒子在空间和时间上的定向移动。
具体而言，粒子输运方程包括以下几个方面的内容：
首先，它描述了粒子在空间中的输运方式。
这个过程通常是通过扩散、漂移和降解等来进行的。
扩散是指粒子之间的随机运动，漂移是指粒子在外部场的作用下移动，而降解则是指粒子在不同条件下的退化或衰变。
其次，粒子输运方程还描述了粒子在时间上的演化规律。
这个过程通常以时间为自变量，考虑粒子数量的变化和粒子的突变行为等。
最后，粒子输运方程也考虑了粒子量子力学的特性。
例如，它可以包括量子随机游走、量子跃迁和量子纠缠等。
以上几个方面组成了粒子输运方程的基本结构。
但是，由于实际物质系统的复杂性和多样性，粒子输运方程的解法通常需要结合物理特性、化学特性和数学模型等多种因素。
总的来说，粒子输运方程作为一个通用的数学模型，对于解决现
实生活中的许多核心问题具有重要的作用。
其应用范围包括材料科学、医学、环境科学等。
例如，生物系统对于光信号、磁信号等的传递和
控制，以及塑料和电子元件制造工艺中的化学反应扩散过程均可以由
粒子输运方程模拟。
因此，粒子输运方程的研究对于各行各业的发展
和创新都具有着重要的意义。
积分输运方程迭代解法的推广
∑
式中，
为中子从 网格 ｉ 到网格 Ｊ的迁移项
ｏ ，．
＝
＝
Ｐ ｃ（ ，∑尹 尹 ） ｆ ！
ｇ
，
（ ７ ）
（） ８
而 是 网格 ｆ 的源项
，
∑
ｇ 一 ．
（ ＝ ｇ ＋ 尹 ［ ） （ ｇ ） 尹舻 （ ） （， （ ∑ ） 用蒙特卡罗方法处理这些积分 。增殖系数可以写成
（７ １）
准 则 为
） 一
３ 验 证
× ＋ ＜‘ ８ （ ｌ Ⅲ ｃ ｌ一 。 Ｉ
为验证该迭代方法 的正确性 ， 本文对 ４ 能群 、 包 含以下 ３ 个区域的燃料栅元模型进行计算（ 见图 １。 ） ① 区域 ｌ （ 燃料 区） ：半径 ， ０ １ ；Ｕ ２ ． ．ｃ ＝ ４ｍ Ｏ 富集度
２ 迭 代方 案
积分输运方程广泛应用于小尺寸系统（ 例如 ：反应堆燃料栅元） 中，其在增殖介质中
的形式为
ｅｒ ） （ Ｅ＋ｌｐｆ ，） ｐ ，） （ Ｅ ＝ ） Ｚ（ Ｅ ｅ ［ Ｅ】 ， ， ｄ ｘ一
｛ 州
＋
］ ｝
式中 ， 。 ， ） （ Ｅ 表示固定源 ；Ｋ为增殖系数 ； （，， ） Ｐ Ｅ 为中子 自由程 ；∑（，） Ｅ 为总宏 尹 观截面；∑ （， Ｅ 为群间散射截面 ； （， 为裂变谱 ； （， ） （， ）， Ｅ ） Ｅ ＝ Ｅ∑ （ 。 反应堆计算的通常 目的是解出特征函数 （ 或 ） 和特征值 。对于多群结构 ，方 程变 为如下 形式
） （） ｐ ｆ （，） ＝ｌ ｄ ｅ （ 占 ｘ－ ） ｌ
（） ３
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维普资讯
ｃ —＝ ｄ ｇ， ， 薹 ｇ ｃ ｒ
钍基熔盐快堆多物理耦合研究
钍基熔盐快堆多物理耦合研究熔盐堆是第四代核能系统的六种候选堆型之一，特殊之处在于采用液态熔盐作为燃料，其在固有安全、核燃料循环、小型化、核资源的有效利用和防止核扩散等方面有其突出的优点。
鉴于GIF目标和钍基熔盐快堆在燃料增殖、核废料嬗变和安全方面具有良好的性能，自2005年，国际上液态燃料熔盐堆的设计和研发工作集中在快谱钍基熔盐堆技术研发，尤其是罐式堆芯结构熔盐快堆。
钍基熔盐快堆特殊的设计和运行方式，使得钍基熔盐快堆堆芯中子、缓发中子先驱核、温度和流场内在强耦合，导致新的重要的物理效应。
随着计算机技术发展，核反应堆多物理场耦合技术正成为国内外研究的前沿。
因此，构建钍基熔盐堆多物理综合仿真模拟平台，研制钍基熔盐快堆三维多物理耦合程序，作为熔盐快堆多物理多尺度耦合分析的有效平台和工具，对于理解熔盐快堆多物理耦合的重要特性和优化钍基熔盐快堆的设计，无论是在学术研究还是在工程应用上都具有重要的现实意义。
本论文首先回顾了熔盐堆发展历史及现状，介绍了多物理场耦合技术的发展及应用，简述了熔盐堆多物理耦合国内外研究现状。
然后，详细推导了考虑流体运动影响的熔盐堆中子输运方程，通过P1近似、分群理论和雷诺平均法，获得熔盐快堆多群中子扩散方程；基于传质组份守恒原理，考虑熔盐快堆对流输运和湍流输运效应，详细推导了熔盐快堆缓发中子先驱核浓度方程；从流体动力学三大基本守恒方程出发，采用雷诺平均法和涡粘模型，获得了熔盐快堆湍流N-S方程、湍流动能k方程、湍流耗散率ε方程和以温度T 表示的湍流能量方程。
这些中子物理方程、热工水力方程及其边界条件，共同构成了钍基熔盐快堆多物理耦合数学模型。
为了选择合适的数值方法求解钍基熔盐快堆多物理耦合模型，分析评估了钍基熔盐快堆多物理耦合模型方程的空间离散方法和时间离散方法，介绍了用于求解离散方程的多种有效算法，以及所采用的多物理耦合方案。
通过构建钍基熔盐堆综合仿真模拟平台，依据推导的钍基熔盐快堆多物理耦合数学模型，有限体积空间离散方法，Euler全隐式时间离散方法，采用Gauss-Seidel迭代法、松弛迭代法、共轭梯度法、双共轭梯度法、预处理共轭梯度法和预处理双共轭梯度法六种代数方程组求解算法，以及串行、隐式、内耦合的耦合方案，编制并验证了钍基熔盐快堆三维多物理耦合程序-TMSR3D。
中子扩散理论
第二章 单速中子扩散理论§2.1单速中子扩散方程的建立§2.1.1几个概念：⎰ΩΩΩΩΩ→Ωπ41111),,()()()(d v r n v r n v v r t n v r t n v r t v r t ＝，中子密度：，，，中子角通量密度：，，，中子角密度：，，，，，，中子输运过程：标量中子通量密度（而电磁学和热传导中的通量是矢量。
） 1.输运理论(t r a n s p o r t t h e o r y )：根据Boltzman 线性输运方程处理介质内中子或γ射线徙动问题的理论。
2.扩散过程：由中子密度大的地方向小的地方运动。
3.扩散理论(d i f f u s i o n t h e o r y )：根据在均匀介质中中子流密度与中子通量密度的梯度成正比的假定描述中子扩散过程的近似理论。
§2.1.2斐克定律：(十分类似于气体和溶液扩散中所用的著名的菲克定律)几个假设：①无限，均匀；②散射各向同性(Isotropic scattering)； ②Σa<<Σs ； ④缓慢变化。
][),,,(.1内的中子期望数围立体角周内以及运动方向在附近内，能量在附近时刻在中子密度中子角密度ΩΩ≡ΩΩ⇒d dE E r d r t dEd r d t E r n),,,(),,,()()(.2t E r vn t E r density neutron Angular Ω≡Ω⇒φ标量中子通量密度中子角通量密度φφ=ΩΩΩ=ΩΩ=Ωt E r t E r n v t E r j current neutron Angular 为单位矢量，故而：中子流角密度),,,(),,,(),,,()(.3的净流量。
中子穿过面积：净中子流密度中子流密度A d A d t r J d t E r j t E r J =⋅ΩΩ=⎰),(),,,(),,()(.44π：分中子流密度±J .5 反应率。
采用堆芯外探测器监测堆内功率分布
（1）反应堆运行过程中，引起功率分布变化 的物理因素是有限的。
（2）有限因素引起的功率分布变化，可以用 有限的变量来表示，即把变化后的功率分布表示 为预先确定的、有限数量的特征分布的组合，谐 波综合法即是一种可行的方法[3]。
94
核动力工程
Vol.31. S2. 2010
征量 r0、ri, j 的组合：
∑ ∑ r
≈W
× p =W
×
⎜⎛ ⎜⎝
a0
p0
+
T i =1
Ni j =1
ai,
j
pi,
j
⎟⎞ ⎟⎠
T Ni
∑ ∑ = a0r0 +
ai, j ri, j
i=1 j=1
（5）
因此，如果根据堆芯外探测器读数能确定出
有限的系数 a0 、 ai, j ，则通过式（4）就可以确定 出堆内功率分布。
（清华大学核能与新能源技术研究院，北京，100084）
摘要：堆芯外电离室是大多数反应堆上唯一的实时核测量探头。本文讨论了由堆芯外探测器监测堆内功 率分布的必要性、可能性，提出了基于谐波综合法、探测器空间响应函数的由堆芯外探测器监测堆内功率分 布的方法及其技术难点、关键技术。在低温供热堆、高温气冷堆上的初步数值验证结果表明，该方法是可行的。
图 1 高温气冷堆芯外探测器布置示意图 Fig. 1 Locations of Ex-Core Detectors in High-
Temperature Gas-cooled Reactor
对探测器的贡献，即 ri 处的单位强度裂变中子源 引起 r0 处探测器的读数（响应）为：
斐克定律和扩散方程的适用范围
每秒自dV内散射出来沿着 方向未经碰撞而到达dA
上的中子数是
1 4
s (r )es
l
cos dAdl
沿 方向每秒穿过dA的中子数等于沿l方向从负无穷到
0积分：
dA
4
s(r)es l cos dl
将(r) 在 P(r)点处泰勒展开：
(r) (r) l d L
D
d
dx
|a / 2d
S cosh(d / L) 2 cosh(a / 2L)
介质厚度与中子通量分布
当平板介质的厚度等于 或大于三个扩散长度时， 对于距自由表面大约一 个扩散长度以外的区域， 其中子通量密度分布可 以认为与无限厚介质情 况一样。
包含两种不同介质的情况
两种介质中的扩散方程：
表示：
(r, E,) n(r, E,)(E)
将中子密度和上式对所有立体角方向积分：
n(r, E) n(r, E, )d 4
(r, E) (r, E, )d 4
3.1 单能中子扩散方程
斐克定律
假设条件 ▪ 介质是无限的，均匀的 ▪ 在实验室坐标系中散射 是各向同性的 ▪ 介质的吸收截面很小 ▪ 中子通量密度是随空间 位置缓慢变化的函数
D1
d1
dx
|xa/2
D2
d2
dx
|xa/ 2
得方程的解：
1 A1 cosh(x / L1) C1 sinh(x / L1)
2
A e x / L2 2
C2ex / L2
3.3 反照率
定义：
J J
4
D
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1建立单个中子的真实运动历史 2对大量中子历史进行跟踪，得到充足随机试验值 3用统计方法估计某个随机变量的数值特征
中子输运方程的积分形式
裂变源或外源
散射项
以上方程建立在特征线上，称为特征线线方程。
则发射密度方程可写成
（8-17）
构造概率分布密度f(xm),随机变量h(xm)的函数 则数学期望为：
计算期望
该模型是发射密度的无偏估计
中子发射密度的三种估计方法：
直接俘获 吸收估计 隐俘获
2
碰撞估计
3
吸收估计方法：
直接俘获估计缺陷：
隐俘获：
隐俘获特点：
举例说明：
碰撞估计：
碰撞估计特点：