第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
第八章绕流运动
x
y
在以上二式中均取积分常数为零，这对流动的计算并无影响。
一 均匀流
设均匀流的速度为与 x 轴平行，那么
ux x y a
uy
y
x
0
求速度势函数: d uxdx uydy adx ax c
令 c=0， ax
求流函数 d uydx uxdy ady ay c 令 c=0， ay
得证。
§8.2 平面无旋流动
1 流网的性质
（2）流网中每一网格的边长之比等于和 的增值之比
若取 =，则流网网格为正方形网格。
／
证明：如右图所示，取相邻两线间的差 值为ΔC，流线间隔为Δn ，等势线间隔 为Δs。
us
q A
n
C n
且
us
s
s
C s
所以 C n，则流网网格为正方形网格。
§8.2 平面无旋流动
仍为
Γ
ur r 0, u r 2 r
由以上关系式知，r 0 时，u ，所以涡点为奇点，该式仅 适用于 r＞0 区域。由此式可见， 只是 的函数。
故有
d
u rd
2
d
积分得
2
速度和流函数的关系为
ur
1 r
0，
u r
r 上式表明 只是 的函数，所以
d
u dr
Γ 2 r
dr
点涡
上式积分得
Γ ln r 2
由上可知，点涡流场的等势线为不同极角的径线，即 =常数；流线为不同半径的同心圆
数。与点源（或点汇）相反。点涡的强度即沿围绕点涡的速度环量 Γ ＞0 时，环流为逆时针方
0，环流为顺时针方向。由斯托克斯定理知，点涡的强度 Γ 取决于旋涡的强度。
工程流体力学讲义
强制涡
r r0
ω
复合涡
自由涡
1.速度分布
前面已讨论过涡核内外的速度分布：
涡内：
与半径成正比如图
。由于
Hale Waihona Puke 这部分流体有旋。涡外：
与半径r成反比。
在时
当 不变 处 的 为常数
2、压力分布： 自由涡：由于是无旋流动，在自由涡中 任取一点与无穷远处写伯努利方程：
忽略位能
若
则
将
代入
在自由涡中 p与r 成平方关系,(抛物线）
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
有
p
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
这种流动也称纯环流。若设点涡的强度
为
则在半径r处由点涡所诱导的速
度为 而
例2：求有间断面的平行流的速度环量 Γ＝？
4
3
b
1L 2
u1 u2
例3：龙卷风的速度分布为 时
时
试根据 stokes law 来判断是否为有 旋流动。
如图，当
，流体以ω象刚体一样转
动，称风眼或强迫涡（涡核）。
在
区域，流体绕涡核转动，流体
质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转
称之为自由涡或势涡。
强制涡
y
d
c
vu
a
b
c’ d’
Δα
b’
a’ Δβ
定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度
称角变形速度，用 θ表示。 由定义有：
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
工程流体力学42有旋流动和无旋流动
旋流动还是无旋流动。
【解】 由于
?
x
?
1 2
??? ?
?w ?y
?
?v ?z
??? ?
?
0
?
y
?
1 ?? ? u 2 ? ?z
?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
? w ?? ? ?x ?
0
?
z
?
1 2
????
?v ?x
?
?u ?y
???? ?
?
1 a
2
?
0
所以该流动是有旋运动。
第二节 有旋流动和无旋流动
? ?v ?u ?
dΓ
?
?? ?
?
x
?
?y
??d ?
xdy
?
2?
zdA
dA
Ωz
?
dΓ dA
?
?v ?x
?
?u ?y
?
2?
z
涡量——以Ω 表示之。它定义为单位面积上的速度环量，
是一个矢量。
Ωx ?
?w ?y
?
?v ?z
?
2?
? x?
?
Ωy ?
?u ?
?z
?w ?x
?
2?
? y?
第二节 有旋流动和无旋流动
二、速度环量和旋涡强度
① 速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力
? 定义：
学中重要的基本概念之一——速度环量。
?
在流场中任取封闭曲线k，如图4-5所示。速度V 沿该封闭
曲线的线积分称为速度沿封闭曲线 k 的环量，简称速度环
流体力学第八章 绕流运动
由此得 24 Cd Re
（8-70）
二、悬浮速度 设在上升的气流中，小球的密度为 m，大于气体的密 度 , 即 m 。小球受力情况如下。 方向向上的力有： u 0 2 1 2 2 F C A C d u 绕流阻力 d d 0 1 3 D 2 8 FB d g 浮力 6 方向向下的力有： 1 重力 G d 3 m g
绕流物体的摩擦阻力作用，主要表现在附面层 内流速的降低，引起动量的变化。
附面层的动量方程为 d d dp 2 u x dy U u x dy 0 dx 0 dx 0 dx
、 p、 u x、 U 和 0。 附面层动量方程有五个未知数： dp 其中U可以用理想流体的势流理论求得， 可
u y
为平面无旋流动。
u x x y
平面无旋流动的速度势函数为 d u x dx u y dy 并满足拉普拉斯方程：
2 2 2 0 2 x y
义一个函数 , 令u x ,uy y x 满足上式的函数称为流函数。
由不可压缩流体平面流动的连续性方程可以定
第八章 绕流运动
第一节 无旋流动 第二节 平面无旋流动 第三节 几种简单的平面无旋运动 第四节 势流叠加 第五节 绕流运动与附面层基本概念 第六节 附面层动量方程 第七节 平板上层流附面层的近似计算 第八节 平板上紊流附面层的近似计算 第九节 曲面附面层的分离现象与卡门涡街 第十节 绕流阻力和升力
因此，无旋流动的前提条件是
u z u y y z u x u z z x u y u x x y 由不可压缩流体的连续性方程 u x u y u z 0 x y z 得出拉普拉斯方程 2 2 2 2 2 0 2 x z y
工程流体力学的名词解释
工程流体力学的名词解释一、名词解释。
1、雷诺数：是反应流体流动状态的数，雷诺数的大小反应了流体流动时，流体质点惯性力和粘性力的对比关系。
2、流线：流场中，在某一时刻，给点的切线方向与通过该点的流体质点的刘速方向重合的空间曲线称为流线。
3、压力体：压力体是指三个面所封闭的流体体积，即底面是受压曲面，顶面是受压曲面边界线封闭的面积在自由面或者其延长面上的投影面，中间是通过受压曲面边界线所作的铅直投影面。
4、牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。
5、欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。
6、拉格朗日法：通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法称为拉格朗日法。
7、自由紊流射流：当气体自孔口、管嘴或条缝以紊流的形式向自由空间喷射时，形成的流动即为自由紊流射流。
8、流场：充满流体的空间。
9、无旋流动：流动微团的旋转角速度为零的流动。
10、有旋流动：运动流体微团的旋转角速度不全为零的流动。
11、自由射流：气体自孔口或条缝向无限空间喷射所形成的流动。
12、稳定流动：流体流动过程与时间无关的流动。
13、不可压缩流体：流体密度不随温度与流动过程而变化的液体。
14、驻点：流体绕流物体迎流方向速度为零的点。
15、流体动力粘滞系数u：表征单位速度梯度作用下的切应力，反映了粘滞的动力性质。
16、压力管路的定义。
---凡是液流充满全管在一定压差下流动的管路都称为压力管路。
17、作用水头的定义。
----任意断面处水的能量，等于比能除以。
含位置、压力水头和速度水头。
单位为m。
18、层流：当流体运动规则，各部分分层流动互不掺混，流体质点的迹线是光滑的，而且流场稳定时，此种流动形态称为层流。
19、湍流：当流体运动极不规则，各部分流体相互剧烈掺混，流体质点的迹线杂乱无章，流场极不稳定时。
此种流动形态称为“湍流”。
20、表面张力：液体表面任意两个相邻部分之间的垂直与它们的分界线的相互作用的拉力。
第八章 势流
称函数ψ为流函数。注意到Oxy平面的流动只有速度分量 ux和 uy，且它们都只是x和y的函数，由式(8.3a)知涡量 V 只有z方向的分量
17
第八章 势流
u x x y
(8.16b)
15
第八章 势流
速度势函数等于常数的曲线称为等势线。平面内由于x 和y的微小变化而引起的速度势函数φ=φ(x，y)的变化为
在等势线上φ等于常数，dφ =0，则有
d u x dx u y dy dx dy x y
0 u x dx u y dy
等势线斜率
V 0
即以速度势函数φ的梯度表示的速度场为势流场。
8
第八章 势流
将式(8.5)代入不可压缩流动的连续方程，▽· V= ▽· ▽ φ=0，即 2 0 0 (8.6) 或 在直角坐标系中上式可写为
2 2 2 0 2 2 2 x y z
V 0
(8.4)
2
第八章 势流
§8-1 势流
无旋流动或势流是指涡量等于零的流动。由式(8.3a)， 一个流体微元绕z轴的旋转角速度
1 1 u y u x z z 2 2 x y
上式的物理意义可理解为一个矩形流体微元的两个相互垂直 的边(分别平行于x轴和y轴)各自绕z轴的旋转角速度的算术平 均值(图3.13)，旋转就是物质线元随时间连续改变其空间朝 向或方位。一个流动是否有旋或涡量是否等于零，要看流体 微团在运动过程中是否改变其空间方位，而与流体微团的运 动轨迹无关。
c11 c22
也是方程(8.7)的解，式中c1和c2是不全为零的任意常数。
七、理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动7-1 试证明极坐标中的不可压缩流体平面流动的旋转角速度为)1(21θωθθ∂∂-+∂∂=r z v r r v r v7-2 已知流场的速度分布为（1）yxy v y x x v y x 22,422--=-+=； （2）y x v x z v z x v z y x +=+=+=,,；（3）0,/=-=θv r k v r ；（4）θθθθ2sin 2,cos sin 2r v r v r -== 试确定：（1）流动是否连续；（2）流动是否有旋。
[连续，有旋；连续，无旋；连续，无旋；连续，有旋]7-3 不可压缩流体平面势流的流函数为1032+-+=y x xy ψ，试求其速度势。
[y x y x 232/)(22---=ϕ] 7-4 不可压缩流体平面势流的速度势为 x y x +-=22ϕ，试求其流函数。
[y xy +=2ψ] 7-5 已知有旋流动的速度场为,32,32,32y x v x z v z y v z y x +=+=+= 试求旋转角速度、角变形速度和涡线方程。
[z y x z y x z y x =========;2/5;3,2/12/1γγγωωωω]7-6 已知流场的速度分布为（1）x v x =， y v y -=；（2）x y x v x +-=22， )2(y xy v y +-=；（3）θcos )/11(2r v r -=，θθsin )/11(2r v +-= 试确定：（1）流动是否有势；（2）它们的速度势和流函数。
[有势，2/)(22y x -=ϕ，xy =ψ；有势，223)2/1(2/3/y x x x +-+=ϕ，y x x y )(3/23++-=ψ；有势，θϕcos )/11(2r r +=，θψsin )/11(2r r -=] 7-7 已知流场的流函数为（1）xy =ψ；（2）22y x -=ψ试确定：（1）二流场是否有势，若有势，求出速度势；（2）通过点)3,2(A 和点)7,4(B 的任意曲线的流量和沿该线的切向速度线积分。
理想流体的旋涡运动-PPT课件
( x ,y ,z ,t) 是矢量流场，称为涡量场
rotV
1 涡线、涡管和涡束 1843年H.L.F赫姆霍茨 Evaluation only. 1. 涡线 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 定义 : 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的 切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为
如同刚体一样转动，流体质点速度和离轴距离成正比．
(b)图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流．注意，自由面呈 现抛物曲面形状． (c)图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流，有趣的是面浆会顺 着圆柱向上“爬”．
(d) 图是流体以一定流速绕过圆柱时，圆柱后面将出现两列交替 排列的涡，称为卡门涡街．
e) 图是柱状涡，旋风就是这一类涡流，通常直径10m，面高达 1000m． (f) 图是碟状涡，海洋和大气层中很多为此类涡流．和柱状涡相 反，其直径达1000km，而高度约10km．
Evaluation only. (g) 图是人体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形成的涡流， ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 正是这个涡的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭．涡的这个作用 Copyright 早已由达 芬奇指出 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
有旋流动
Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
同济大学流体力学(下) 朱立明 课件
等流函数线与流线的关系； 等势函数线代表“等高线”的概念，流速为等高 线的梯度(速度方向)； 流体是从“低处向高处”流动。
流网：等流函数线和等势函数线
两线正交（证明）
0
§8-2、平面无旋流动
流函数与流量的关系
dq ux dy u y dx d
结果一样
M u v0 (1 ) sin 2 r 2 v0 r
§8-4、势流叠加
圆柱表面的速度分布： 圆柱表面的压强分布：
u r 0 u 2v sin 0
po
cp
2
v p
2 0
2
v2
p p0 2
2 v0
有限元法(任意微分方程)
用”区域”平均满足方程代替”点”满足的方 程
有限简单基本解法(无旋流体)
势流叠加（未知数少）
补充
复数变换
有一变换将z平面变换到 平面
1 z z
如在z平面上有一圆（r=1）
1 1 1 re i (r ) cos i(r ) sin r r re
Q AB Q CD Q AB dx x
2 Px u x dy dx U u x dy dx x 0 x 0
K AB dx x
K AC QACU
§8-7、附面层动量方程
p Px dx o dx x
2 0
v u 0 x y
2 i 0
无旋流
存在速度势Φ
u ,v x y
平面势流
平面流 不可压缩