(精品)江苏省苏州市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)
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2016-2017
学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B=
．
2．复数z=，其中i是虚数单位，则复数z
的虚部是 ．
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1
的离心率为 ．
4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45
的样本，其中高一年级抽
20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300
人，则该校学生总数
是 人．
5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4
，则
目标受损但未完全击毁的概率为 ．
6．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x
的
取值范围是 ．
7．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y
的最大值是 ．
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2=7，S7=﹣7，则a
7
的值为 ．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y
﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a= ．
10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9
，若在该长方体上面钻一个圆柱形
的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为 ．
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11．已知正数x，y满足x+y=1
，则的最小值为 ．
12．若2tanα=3tan，则tan（α﹣）=
．
13．已知函数f（x）=若关于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0
恰有三个
不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为 ．
14．已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O
内
一点（含圆周），则的取值范围为 ．
二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
15．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x
．
（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，
若sinB=2sinA，求a，b的值．
16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M
为线段
AC
1
的中点．
求证：
（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；
（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．
17．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1
）
【江苏省无锡市】2017届高三上学期期末数学试卷-答案
∵ ABCD 为矩形，∴ O 点为中点，
∵ E 为 PC 中点，
∴ OE∥PA ，
∵ OE 平面 PAD ， PA 平面 PAD ，
∴ OE∥平面 PAD ，…8 分
同理可得： OF∥平面 PAD ，…10 分
∵ OE OF O ，
∴平面 OEF / / 平面 PAD ，…12 分
∵ EF 平面 OEF ，
∴ EF∥ PAD …14 分
17．解：（1）∵ EM BM ， B MEN ，
∴ △BMN≌△EMN ，
∴ BNM MNE ，
∵ AME 2 ，
∴ BNM MNE ，
设 MN x ，
在 △BMN 中， BM xsin ，∴ EM BM xsin ，
∵ r 1 4e 8 0 ，
∴ ex 5 x 4 x 1 ，
从而有
-
1 4
1
m
5 4
2m e1m
，
即当 x 1,1 m ， G x1 H x2 恒成立．
21．解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 8sin ，即 2 8 sin ．
1，
n1
∴ n 2 时， Ti 1 3T2 2T1 4T3 3T2 n 1Tn nTn1 i 1
n 1Tn 2T1 n 1Tn 1．
n1
∴存在关于 n 的整式 g n n 1，使得 Tn 1 Tn g n 1 对一切 n 2 ， nN* 都成立． i 1
n
1
2
2n
3n 4
22n 3n
2
0
江苏省苏州市-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=．3．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．4．已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=．5．函数y=e2x﹣1的零点是．6．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为．7．若函数f（x）=，则f（log23）=．8．函数的单调递增区间为．9．设是两个不共线向量，，，，若A、B、D 三点共线，则实数P的值是．10．若=﹣，则sin2α的值为．11．f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．12．如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为．13．如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．14．函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f（2），则a=．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．16．已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．17．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．18．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）19．如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．20．已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．2016-2017学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=2．【考点】函数的值．【分析】由题意得当x＜0时，f（x）=﹣x+1，由此能求出f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，∴当x＜0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）+1=2．故答案为：2．3．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由正切的差角公式tan（α﹣β）=解之即可．【解答】解：tan（α﹣β）===，故答案为．4．已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=10．【考点】平面向量坐标表示的应用．【分析】由题意，已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），将此两点坐标代入向量求模的公式，计算即可得到||的值【解答】解：由题意A（﹣3，4）、B（5，﹣2），∴||===10故答案为105．函数y=e2x﹣1的零点是0．【考点】函数的零点．【分析】令y=0，求出x的值，即函的零点即可．【解答】解：令y=0，即e2x=1，解得：x=0，故答案为：0．6．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为y=sin（2x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin2x，再函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin[2（x﹣）]，写出要求的结果．【解答】解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin2x，再函数y=sin2x的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）对图象，∴所求函数的解析式为：y=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．7．若函数f（x）=，则f（log23）=9．【考点】函数的值．【分析】由log23＞log22=1，得到f（log23）=，由此利用对数性质及运算法则能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，log23＞log22=1，∴f（log23）===9．故答案为：9．8．函数的单调递增区间为．【考点】复合三角函数的单调性．【分析】令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．【解答】解：令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为故答案为．9．设是两个不共线向量，，，，若A、B、D 三点共线，则实数P的值是﹣1．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】要求三点共线问题，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判断，本题知道，要根据和算出，再用向量共线的充要条件．【解答】解：∵，，∴，∵A、B、D三点共线，∴，∴2=2λ，p=﹣λ∴p=﹣1，故答案为：﹣1．10．若=﹣，则sin2α的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】由三角函数公式化简已知式子可得cosα﹣sinα=0或cosα+sinα=，平方可得答案．【解答】解：∵=﹣，∵2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或cosα+sinα=，平方可得1﹣sin2α=0，或1+sin2α=，∴sin2α=1，或sin2α=﹣，∵若sin2α=1，则cos2α=0，代入原式可知应舍去，故答案为：﹣．11．f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为|x+t|≥|x|在[t，t+2]恒成立，去掉绝对值，得到关于t 的不等式，求出t的范围即可．【解答】解：f（x）=x2，x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，即|x+t|≥|x|在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，或x≤（1﹣）t在[t，t+2]恒成立，解得：t≥或t≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．12．如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为[0.）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】设的夹角为θ，，则cosθ∈[﹣1，0），2==2+2cosθ即可．【解答】解：设的夹角为θ，，则cosθ∈[﹣1，0），2==2+2cosθ∈[0，2）的范围为：[0，），故答案为[0，）．13．如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6，求解即可．【解答】解：由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l===．故答案为：．14．函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f（2），则a=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（0）=0可求c，根据f（﹣2）≤f（x）≤f（2），利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：∵函数是奇函数且定义域内有0∴f（0）=0解得c=0，故f（x）=．x＞0，a＞0，f（x）==≤（ax=时取等号）∵f（﹣2）≤f（x）≤f（2），∴2a=，∴a=．故答案为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（Ⅰ）利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算．（Ⅱ）把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算．（Ⅲ）因为向量与互相垂直，所以，它们的数量积等于0，解方程求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）=（1，2）﹣2（﹣3，1）=（1+6，2﹣2）=（7，0）．（Ⅱ）=﹣．（Ⅲ）因为向量与互相垂直，所以，（）•（）=0，即因为=5，，所以，5﹣10k2=0，解得．16．已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得tan2β．（II）由已知可求范围α+β∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos （α+β）的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cosα的值，结合范围，可求α=．【解答】（本题满分为14分）解：（I）∵，，可得：sin=， (2)分∴tan==﹣2，…4分∴tan2β==…7分（II）∵，，∴α+β∈（，），又∵，∴cos（α+β）=﹣=﹣，…9分∴cosα=cos（α+β﹣β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（）×（﹣）+×（）=，∵，∴α=．…14分17．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．【考点】指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）可令t=x+1，则x=t﹣1，代入可得f（t），即f（x）的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；（2）运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；（3）f（x）在（﹣1，1）上为增函数．由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证．【解答】解：（1）f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x），可令t=x+1，则x=t﹣1，可得f（t）=lg（1+t）﹣lg（1﹣t），即有f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，则函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，即为lg（1+x）＜lg10（1﹣x），可得0＜1+x＜10（1﹣x），解得﹣1＜x＜，则不等式的解集为（﹣1，）；（3）证明：f（x）在（﹣1，1）上为增函数．理由：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣[lg（1+n）﹣lg（1﹣n）]=lg﹣lg=lg•=lg•，由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，可得0＜＜1，0＜＜1，则0＜•＜1，即有lg•＜0，则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．18．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】（1）根据当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，可求得一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元；（2）函数为分段函数，当0≤x≤100时，p为出厂单价；当100＜x＜550时，；当x≥550时，p=51，故可得结论；（3）根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本，求出利润函数，利用利润为6000元，可求得结论．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则（个）因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．…（2 ）当0≤x≤100时，p=60；…当100＜x＜550时，；…当x≥550时，p=51．…所以…（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则…当0＜x≤100时，L≤2000；…当x≥500时，L≥6050；…当100＜x＜550时，．由，解得x=500．答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元．…19．如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．【考点】向量在几何中的应用．【分析】（I）延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，证明四边形ACA1B是平行四边形，即可证明：；（II）证明•（﹣）=（+）•（﹣）=•+•，即可得出：为常数，并求该常数；（III）确定•（+）=2x（﹣x），利用基本不等式，求的范围．【解答】（I）证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，∵D是BC的中点，∴四边形ACA1B是平行四边形，∴=+，∵；（II）证明：∵=+，∴•（﹣）=（+）•（﹣）=•+•，∵DE⊥BC，∴•=0，∵•=（）=，∴•（﹣）=（III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，，∴||==，同理+=2，∴•（+）=•2=||•||，设||=x，则||=﹣x（0），∴•（+）=2x（﹣x）≤2=1，当且仅当x=时取等号，∴•（+）∈（0，1]．20．已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）对g（x）配方，求出对称轴x=a，讨论若1≤a≤3时，若a＞3时，若a＜1，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求a的值；（2）由题意可得（2x）2﹣2•2x+1﹣k•4x≥0，化为k≤（2﹣x）2﹣2•2﹣x+1，令t=2﹣x，求出t的范围，求得右边函数的最小值即可得到k的范围；（3）令y=0，可化为|2x﹣1|2﹣2•|2x﹣1|+1+2k﹣3k•|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2x﹣1|，讨论t的范围和单调性，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，记m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得k的范围．【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+1﹣a2在区间[1，3]上的值域[0，4]．若1≤a≤3时，g（x）的最小值为g（a）=1﹣a2，由1﹣a2=0，可得a=1（﹣1舍去），g（x）=（x﹣1）2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；若a＞3时，g（x）在[1，3]递减，g（x）的最小值为g（3），由g（3）=10﹣6a=0，解得a=（舍去）；若a＜1，则g（x）在[1，3]递增，g（x）的最小值为g（1），由g（1）=2﹣2a=0，解得a=1．综上可得，a=1；（2）由g（2x）﹣k•4x≥0即（2x）2﹣2•2x+1﹣k•4x≥0，化为k≤（2﹣x）2﹣2•2﹣x+1，令t=2﹣x，由x≥1可得0＜t≤，则k≤t2﹣2t+1，0＜t≤，记h（t）=t2﹣2t+1，0＜t≤，由单调递减，可得h（t）的最小值为（﹣1）2=，则k的取值范围是k≤；（3）令y=0，可化为|2x﹣1|2﹣2•|2x﹣1|+1+2k﹣3k•|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2x﹣1|，则t＞0，由2x﹣1＞﹣1，当x＜0时，t=|2x﹣1|=1﹣2x，t∈（0，1]且递减，当0＜x＜1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（0，1）且递增，当x=1时，t=1．当x＞1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（1，+∞）且递增，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，记m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，则或，解得k＞0或k无实数解，综上可得，k的取值范围是（0，+∞）．2017年2月28日。
2017学年江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷及参考答案
2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为．3．（5分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．4．（5分）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，则输出的y的值为．5．（5分）若直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于．6．（5分）已知A，B∈{﹣3，﹣1，1，2}且A≠B，则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为．7．（5分）若实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值为．8．（5分）若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm），侧面积为8（单位：cm2），则它的体积为（单位：cm3）．9．（5分）已知抛物线y2=16x的焦点恰好是双曲线﹣=1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．10．（5分）已知cos（+α）=（0＜α＜），则sin（π+α）=．11．（5分）已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，则f（0）=．12．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a4+a3﹣2a2﹣2a1=6，则a5+a6的最小值为．13．（5分）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足=+，则||的最小值是．14．（5分）已知一个长方体的表面积为48（单位：cm2），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是（单位：cm3）．二、解答题（共10小题，满分130分）15．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，•=﹣18．（1）求BC的长；（2）求tan2B的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．17．（14分）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．（1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan≈3）2）求S的最小值．18．（16分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆C 的上顶点A的直线l：y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设=λ．（1）若点P（﹣3，0），点Q（﹣4，﹣1），求椭圆C的方程；（2）若λ=3，求椭圆C的离心率e的取值范围．19．（16分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）恒成立．（1）若A n=n2，b1=2，求B n；（2）若对任意n∈N*，都有a n=B n及+++…+＜成立，求正实数b1的取值范围；（3）若a1=2，b n=2n，是否存在两个互不相等的整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=g（x）•h（x），其中函数g（x）=e x，h（x）=x2+ax+a．（1）求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；（2）当0＜a＜2时，求函数f（x）在x∈[﹣2a，a]上的最大值；（3）当a=0时，对于给定的正整数k，问函数F（x）=e•f（x）﹣2k（lnx+1）是否有零点？请说明理由．（参考数据e≈2.718，≈1.649，e≈4.482，ln2≈0.693）21．（10分）已知a，b∈R，若点M（1，2）在矩阵A=对应的变换作用下得到点N（2，﹣7），求矩阵A的特征值．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标．23．（10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．24．（10分）已知F n（x）=（﹣1）0C n0f0（x）+（﹣1）1C n1f i（x）+…+（﹣1）n C n n f n （x），（n∈N*）（x＞0），其中，f i（x）（i∈{0，1，2，…，n}）是关于x的函数．（1）若f i（x）=x i（i∈N），求关于F2（1），F2017（2）的值；（2）若f i（x）=（i∈N），求证：F n（x）=（n∈N*）．2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={﹣1，0} ．【解答】解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．2．（5分）设=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则ab的值为0．【解答】解：由，得a=0，b=1．∴ab=0．故答案为：0．3．（5分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是200．【解答】解：∵学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴=，∴学校的教师人数为10×20=200．故答案是：200．4．（5分）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，则输出的y的值为﹣15．【解答】解：执行算法流程图，可得该程序的作用是计算分段函数y=的值，x=5，不满足条件x＜0，有y=5﹣4×5=﹣15．输出y的值为﹣15．故答案为：﹣15．5．（5分）若直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于2．【解答】解：∵圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心到直线x+y﹣2=0的距离d==1，∴弦长|AB|=2=2．故答案为：2．6．（5分）已知A，B∈{﹣3，﹣1，1，2}且A≠B，则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为．【解答】解：直线Ax+By+1=0的斜率为﹣，所有情况有=12种，即﹣3，3，，﹣，1，1，，，﹣，，2，﹣2，满足直线Ax+By+1=0的斜率小于0的情况有4种，∴所求概率为=，故答案为．7．（5分）若实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值为8．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故答案为：8．8．（5分）若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm），侧面积为8（单位：cm2），则它的体积为（单位：cm3）．【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD，底面ABCD的中心为O取CD中点E，连结PE，OE．则PE⊥CD．OE==1．∵S侧面=4S△PCD=4××CD×PE=8，∴PE=2．∴PO=，∴正四棱锥体积V==．故答案为．9．（5分）已知抛物线y2=16x的焦点恰好是双曲线﹣=1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程：y2=16x，其焦点坐标为（4，0），则双曲线﹣=1的右焦点坐标为（4，0），则c=4，有12+b2=16，解可得b=2，则双曲线的方程为﹣=1，则该双曲线的渐近线方程y=±x；故答案为：y=±x．10．（5分）已知cos（+α）=（0＜α＜），则sin（π+α）=．【解答】解：∵0＜α＜，∴∈（），又cos（+α）=，∴sin（+α）=，∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣sin[（）]=﹣sin（）cos+cos（）sin==．故答案为：．11．（5分）已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，则f（0）=．【解答】解：∵x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，∴=5﹣1=4，∴T=8，∵ω＞0∴ω=，∵f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，∴函数f（x）在[1，5]上为减函数，故+φ=2kπ，k∈Z，φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（0）=cos=，故答案为：．12．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a4+a3﹣2a2﹣2a1=6，则a5+a6的最小值为48．【解答】解：设a2+a1=x，等比数列的公比为q，则a4+a3 =xq2，a5+a6 =xq4．再由a4+a3﹣2a2﹣2a1=6，得xq2=6+2x，∴x=＞0，q＞1．∴a5+a6 =xq4 ==6•=6（q2+2+）=6（q2﹣2++4 ）≥6（4+4）=48，当且仅当q2﹣2=2时，等号成立，故a5+a6的最小值为48．故答案为：48．13．（5分）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足=+，则||的最小值是．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），则A（0，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）；=+==（）．=（）则||===．∴故答案为：14．（5分）已知一个长方体的表面积为48（单位：cm2），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是[16，20] （单位：cm3）．【解答】解：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，则a+b+c=9，ab+bc+ac=24，化简可得V=abc=c（c2﹣9c+24），c的范围[1，5]∴V′=3（c﹣2）（c﹣4），∴函数在（1，2），（4，5）上单调递增，（2，4）上单调递减，c=2时，V=20，c=4时，V=16，∴这个长方体的体积的取值范围是[16，20]．故答案为：[16，20]．二、解答题（共10小题，满分130分）15．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，•=﹣18．（1）求BC的长；（2）求tan2B的值．【解答】解：（1）由•=﹣18可得AB•AC•cosA=﹣18，∵AB=6，AC=3∴cosA==﹣，∵0＜A＜π，∴A=由余弦定理可得：BC==；（2）方法1：由（1）可得：a=3，b=3，c=6，可得：cosB==那么sinB=∴tanB=故得tan2B==．方法2：由（1）可得：cosA=﹣，A=那么：∵a=3，b=3，c=6，那么sinA=正弦定理可得：，可得sinB==，那么：cosB=∴tanB=故得tan2B==．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以CD∥EF．因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD．可得：AB∥EF，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．…（6分）（2）证明：在矩形ABCD中，CD⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF．由点F是棱PD中点．在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（12分）17．（14分）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．（1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan≈3）2）求S的最小值．【解答】解：（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM=，∠PME=，由正弦定理可得PM==，同理，在△PNE中，PN=，===，∴S△PMNM与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ=，∴0≤θ≤，=，0≤θ≤；综上所述，S△PMN（2）当2θ+=即时，S取得最小值=8（﹣1）平方米．18．（16分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆C 的上顶点A的直线l：y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设=λ．（1）若点P（﹣3，0），点Q（﹣4，﹣1），求椭圆C的方程；（2）若λ=3，求椭圆C的离心率e的取值范围．【解答】解：（1）由P（﹣3，0）在圆O：x2+y2=b2上，可得b=3．又点Q在椭圆C上，得，解得a2=18．∴椭圆C的方程为；（2）联立，得x=0或x P=，联立，得x=0或x Q=．∵=λ，λ=3，∴，∴，即．∵k2＞0，∴4e2＞1，得e，或．又0＜e＜1，∴．19．（16分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）恒成立．（1）若A n=n2，b1=2，求B n；（2）若对任意n∈N*，都有a n=B n及+++…+＜成立，求正实数b1的取值范围；（3）若a1=2，b n=2n，是否存在两个互不相等的整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵A n=n2，∴a1=1，n≥2时，a n=A n﹣A n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，n=1时也成立，∴a n=2n﹣1．∵对任意n∈N*，a n﹣a n=2（b n+1﹣b n）恒成立．+1﹣b n=（a n+1﹣a n）=1．b1=2，∴b n+1∴数列{b n}是等差数列，公差为1，首项为2，∴B n=2n+=+n．﹣B n=a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=b n+1，可得b n+1=2b n，∴数列{b n}是等比数（2）B n+1列，公比为2．∴b n=，a n=B n==b1（2n﹣1）．∴==，∴+++…+=+…+=＜成立，∴b1＞，∴b1≥3．﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2n+1．∴n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）（3）由a n+1+…+（a2﹣a1）+a1=2n+2n﹣1+…+22+2==2n+1﹣2．当n=1时也成立．∴A n=﹣2n=2n+2﹣4﹣2n．又B n==2n+1﹣2．∴==2﹣．假设存在两个互不相等的整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列．等价于，，成等差数列，∴2×=1+＞1，∴2×＞1，即2s＜2s+1，令h（s）=2s﹣2s﹣1，则h（s+1）﹣h（s）=2s+1﹣2（s+1）﹣1﹣（2s﹣2s﹣1）=2s﹣2＞0，∴h（s）单调递增，若s≥3，则h（s）≥h（3）=1＞0，不满足条件，舍去．∴s=2，代入得：=1+，可得2t﹣3t﹣1=0（t≥3）．t=3时不满足条件，舍去．t≥4时，令u（t）=2t﹣3t﹣1=0（t≥4），同理可得函数u（t）单调递增，∴u（t）≥u（4）=3＞0，不满足条件．综上可得：不存在两个互不相等的整数s，t（1＜s＜t），使，，成等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=g（x）•h（x），其中函数g（x）=e x，h（x）=x2+ax+a．（1）求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；（2）当0＜a＜2时，求函数f（x）在x∈[﹣2a，a]上的最大值；（3）当a=0时，对于给定的正整数k，问函数F（x）=e•f（x）﹣2k（lnx+1）是否有零点？请说明理由．（参考数据e≈2.718，≈1.649，e≈4.482，ln2≈0.693）【解答】解：（1）∵g（x）=e x，∴g′（x）=e x，∴g′（1）=e，∴函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程为y﹣e=e（x﹣1），即y=ex；（2）f（x）=e x（x2+ax+a），f′（x）=（x+2）（x+a）e x=0，可得x=﹣a或x=﹣2．①﹣2a≥﹣2，即0＜a≤1时，f（x）在[﹣2a，﹣a]上递减，在[﹣a，a]上递增，∴f（x）max=f（a）；②﹣2a＜﹣2，即1＜a＜2时，f（x）在[﹣2a，﹣2]上递增，[﹣2，﹣a】递减，在[﹣a，a]上递增，∴f（x）max=max{f（﹣2），f（a）}=f（a）；综上所述，f（x）max=f（a）=（2a2+a）e a；（3）k=1，函数F（x）=e•f（x）﹣2k（lnx+1）无零点，k≥2，函数F（x）=e•f（x）﹣2k（lnx+1）有零点．理由如下：k=1时，证明ex2e x﹣2lnx﹣2＞0即可，即证明e•＞．令p（x）=e•，q（x）=，而p′（x）=，令p′（x）＞0，解得：x＞1，令p′（x）＜0，解得：x＜1，∴p（x）min=p（1）=e2，q′（x）=，令q′（x）＞0，解得：0＜x＜，令q′（x）＜0，解得：x＞，故q（x）max=q（）=e2，∴e•＞，故命题得证．21．（10分）已知a，b∈R，若点M（1，2）在矩阵A=对应的变换作用下得到点N（2，﹣7），求矩阵A的特征值．【解答】解：由题意得=，∴，∴a=4，b=1，∴A=，∴矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣5），由f（λ）=0，可得λ=3或5．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标．【解答】解：直线l的极坐标方程为θ=，直角坐标方程为y=x，曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为y=2﹣x2（﹣1≤x≤1），联立方程可得x2+x﹣2=0，∴x=1或x=﹣2（舍去），∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为（1，1）．23．（10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的．（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，满足条件的事件数是A43，∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1==（Ⅱ）设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X=0，1，2，3．P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==．∴X的分布列为：∴期望Eξ=0×+1×++3×=．24．（10分）已知F n（x）=（﹣1）0C n0f0（x）+（﹣1）1C n1f i（x）+…+（﹣1）n C n n f n （x），（n∈N*）（x＞0），其中，f i（x）（i∈{0，1，2，…，n}）是关于x的函数．（1）若f i（x）=x i（i∈N），求关于F2（1），F2017（2）的值；（2）若f i（x）=（i∈N），求证：F n（x）=（n∈N*）．【解答】解：（1）∵f i（x）=x i（i∈N），∴F n（x）=（﹣1）0C n0x0+（﹣1）1C n1x1+…+（﹣1）n C n n x n=（1﹣x）n，∴F2（1）=（1﹣1）2=0，F2017（2）=（1﹣2）2017=﹣1．证明：（2）∵f i（x）=（i∈N），∴F n（x）=（﹣1）0C n0f0（x）+（﹣1）1C n1f i（x）+…+（﹣1）n C n n f n（x）=，（n∈N*），①当n=1时，F n（x）==1﹣=，∴n=1时，结论成立；②假设n=k时，结论成立，即F k（x）==，（x）=则当n=k+1时，F k+1=1++（﹣1）=+======﹣==，∴n=k+1时，结论也成立．结合①②知F n（x）=（n∈N*）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
「精品」江苏省13市2017届高三数学上学期考试试题分类汇编复数与算法
江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编复数与算法一、复数1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）复数2(1+2i)z =，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为5、（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知复数i i z 21-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为6、（无锡市2017届高三上学期期末）复数21z i=-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 7、（扬州市2017届高三上学期期中）复数)1(i i z -=的虚部为8、（扬州市2017届高三上学期期末）设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ． 9、（镇江市2017届高三上学期期末）已知复数z 满足))((i i z +-=321，其中i 为虚数单位，则=z复数答案：1、12、－33、1 4 5、－126、1－i7、18、09、二、算法1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为▲．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）右图是一个算法的流程图，则输出x的值为▲4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为 ．5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）阅读下面的流程图，如果输出的函数)(x f 的值在区间],[2141内，那么输入的实数x 的取值范围是 ．6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为.7、（扬州市2017届高三上学期期末）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5， 则输出的y 的值为 ▲ ．参考答案1、92、53、234、205、［－2，－1］6、437、－15。
江苏省镇江市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省镇江市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}321,,=A ，{}542,,=B ，则集合B A Y 的元素的个数为 ． 2、已知复数z 满足))((i i z +-=321，其中i 为虚数单位，则=z ． 3、若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为 ．4、袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只 球，则这2只球颜色不同的概率为 ．5、将函数)sin(425π+=x y 的图象向左平移)(20πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则=ϕ ．6、数列{}n a 为等比数列，且741531+++a a a ,,成等差数列，则公差=d ．7、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 42-=)(，则不等式x x f >)(的解集为 ．8、双曲线),(0012222>>=-b a by a x 的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 ．9、圆心在直线x y 4-=上，且与直线01=-+y x 相切于点),(23-P 的圆的标准方程为 ．10、已知椭圆)(0122>>=+n m ny m x 的左、右焦点分别为21F F ,，P 是以椭圆短轴为直 径的圆上任意一点，则=⋅21PF PF ． 11、定义在区间),(20π上的函数x x x f tan sin )(-=8的最大值为 ．12、不等式42<-x x a ln log （0>a 且1≠a ）对任意),(1001∈x 恒成立，则实数a的取值范围为 ．13、已知函数1221+=+x x y 与函数x x y 1+=的图象共有k （*∈N k ）个公共点：),(111y x A ，),(222y x A ，… ，),(k k k y x A ，则=+∑=ki i i y x 1)( ．14、已知不等式222≥+-+-)ln ()(λn m n m 对任意R ∈m ，),(+∞∈0n 恒成立，则实 数λ的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=n m ，其中),(20πα∈，且n m ⊥．（1）求α2cos 的值； （2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．16、在长方体1111D C B A ABCD -中，121AA EC BC AB ===． （1）求证：//1AC 平面BDE ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．17、如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=， 斜边m AB 400=．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AC BC AB ,,大道上嬉戏，所在位 置分别记为点F E D ,,．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端 时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．18、已知椭圆)(:012222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且点),(213-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 交椭圆C 于Q P ,两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且1=OH ， 求POQ ∆面积的最大值．19、已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-．（1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；（2）若对任意*∈N n ，22na S n n +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．20、已知函数x x x f ln )(=，)()(12-=x x g λ（λ为常数）．（1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值； （2）若21=λ，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤； （3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式恒)()(x g x f ≤成立，求实数λ的取值范围．江苏省镇江市2016—2017学年度第一学期高三期末统一考试高三数学答案及评分标准一、填空题二、解答题15. 解：法一（1）由m ⊥n 得，2cos sin 0αα-=， sin 2cos αα=， ……2分代入22cos sin 1αα+=，25cos 1α=且π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则cos α=sin α， ……4分则223cos22cos 1215αα=-=⨯-=-. ……6分 （2）由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-=，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---=……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分法二（1）由m ⊥ n 得，2cos sin 0αα-=，tan 2α=， ……2分 故22222222cos sin 1tan 143cos2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++. ……4分 （2）由（1）知，2cos sin 0αα-=，且22cos sin 1αα+=， π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则sin α=，cos α=， ……6分 由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-=，则cos()αβ-= ……9分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---==……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分16.证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 长方形，点O 为AC 的中点， ……2分1AA ∥1CC 且11AA CC =，由112EC AA =，则112EC CC =， 即点E 为1CC 的中点，于是在1CAC △中，1AC ∥OE . ……4分 又因为OE ⊂平面BDE ，1AC ⊂/ 平面BDE ．所以1AC ∥平面BDE ． ……6分 （2）连结B 1E ．设AB ＝a ，则在△BB 1E 中，BE ＝B 1E ，BB 1＝2a ．所以 22211BE B E BB +=，所以B 1E ⊥BE ． ……8分由ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，则A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，BE ⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1B 1⊥BE ． ……10分 因B 1E I A 1B 1= B 1，B 1E ⊂平面A 1B 1E ，A 1B 1⊂平面A 1B 1E ，则BE ⊥平面A 1B 1E ．……12分 又因为A 1E ⊂平面A 1B 1E , 所以A 1E ⊥BE ． 同理A 1E ⊥DE ．又因为BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以A 1E ⊥平面BDE ． ……14分 17.解：（1）依题意得300BD =，100BE =， 在△ABC 中，1cos 2BC B AB ==， ∴ π3B =， ……2分 在△BDE 中，由余弦定理得：2222212cos 3001002300100700002DE BD BE BD BE B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， ∴DE = ……6分答：甲乙两人之间的距离为m . ……7分 （2）由题意得22EF DE y ==，BDE CEF θ∠=∠=，在直角三角形CEF 中，cos 2cos CE EF CEF y θ=⋅∠=， ……9分 在△BDE 中，由正弦定理得sin sin BE DE BDE DBE =∠∠，即2002cos sin sin 60y yθθ-=o， ∴sin()3y θ=+，π02θ<<， ……12分 所以当π6θ=时，y有最小值. ……13分答：甲乙之间的最小距离为m . ……14分18.解：（1）由已知得c a =，221341a b +=， 解得24a =，12=b ， ……2分椭圆C 的方程是2214x y +=. ……4分（2）设l 与x 轴的交点为(,0)D n ，直线:l x my n =+，与椭圆交点为11(,)P x y ，22(,)Q x y ，联立x my n =+，2214x y +=，得222(4)240m y mny n +++-=，1,2y =∴ 12224y y mn m +=-+，212244n y y m -=+， ∴ 12122()24224x x m y y n n m +++==+，即224(,)44n mn H m m -++， ……6分由1OH =，得2222(4)16m n m +=+， ……10分则S △POQ 121211||||||22OD y y n y y =-=-，令22222121212224()[()4]1216(16)m T n y y n y y y y m +=-=+-=⋅⋅+， ……12分设24(4)t m t =+…，则2222411144(16)241444824m t m t t t t+==+++++„，……14分当且仅当144t t=，即12t =，S △POQ 1=， ……15分 所以△POQ 面积的最大值为1. ……16分 19.解：（1）112123b a a =+=+=， ……1分21234212123(13)3(31)()()()132n n n n n n S a a a a a a b b b ---=++++++=+++==-L L .……3分 （2）当2n ≥时，由22n n S a n =+，21121n n S a n --=+-，则2222111222(1)1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+， 221(1)0n n a a ---=，11(1)(1)0n n n n a a a a ----+-=，故11n n a a --=，或11n n a a -+=.（*） ……6分 下面证明11n n a a -+=对任意的n ∈N*恒不成立. 事实上，因123a a +=，则11n n a a -+=不恒成立；若存在n ∈N*，使11n n a a -+=，设0n 是满足上式最小的正整数，即0011n n a a -+=，显然02n >，且01(0,1)n a -∈，则00121n n a a --+≠，则由（*）式知，00121n n a a ---=，则020n a -<，矛盾. 故11n n a a -+=对任意的n ∈N*恒不成立，所以11n n a a --=对任意的n ∈N*恒成立. ……8分 因此}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)n a n n =+-=. ……10分 （3）因数列}{1+n n a a 为等比数列，设公比为q ，则当2n ≥ 时，1111n n n n n n a a a q a a a ++--==.即21{}n a -，2{}n a 是分别是以1，2为首项，公比为q 的等比数列； ……12分 故3a q =，42a q =.令2n =，有412341229S a a a a q q =+++=+++=，则2q =. ……14分 当2q =时，1212n n a --=，12222n n n a -=⨯=，121232n n n n b a a --=+=⨯，此时21234212123(12)()()()3(21)12n n n n n n S a a a a a a b b b --=++++++=+++==--L L .综上所述，1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数. ……16分20.解：（1）()ln 1f x x '=+，则()11f '=且()10f =. ……1分所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为：1y x =-， ……2分 从而(1)21g λ'==，即12λ=. ……4分 （2）由题意知：设函数()()21ln 12h x x x x =--，则()ln 1h x x x '=+-. ……5分 设()ln 1p x x x =+-，从而()110p x x'=-„对任意[)1x ∈+∞，恒成立， ……6分 所以()()ln 110p x x x p =+-=„，即()0h x '„， 因此函数()()21ln 12h x x x x =--在[)1+∞，上单调递减， ……7分 即()()10h x h =„，所以当1x …时，()()f x g x „成立. ……8分 （3）设函数()()2ln 1H x x x x λ=--，从而对任意[)1x ∈+∞，，不等式()0(1)H x H =„恒成立. 又()ln 12H x x x λ'=+-，当()ln 120H x x x λ'=+-„，即ln 12x xλ+„恒成立时， 函数()H x 单调递减. ……10分设()ln 1x r x x +=，则()2ln 0xr x x-'=„， 所以()()max 11r x r ==，即1122λλ⇒剠，符合题意； ……12分当0λ„时，()ln 120H x x x λ'=+-…恒成立，此时函数()H x 单调递增. 于是，不等式()(1)0H x H =…对任意[)1x ∈+∞，恒成立，不符合题意； ……13分 当102λ<<时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-， 则()112012q x x x λλ'=-=⇒=>……14分 当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()120q x x λ'=->，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()()ln 121120H x x x H λλ''=+->=->，故当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意； ……15分综上所述，实数λ的取值范围为：12λ…. ……16分21A ．证明:连接AE ,EB ,OE ,由题意知90AOE BOE ∠=∠=︒， ……2分 因为APE ∠是圆周角，AOE ∠是同弧上的圆心角，所以1452APE AOE ∠=∠=︒ ， ……4分同理可得，1452BPE BOE ∠=∠=︒， ……6分所以PE 是APB ∠的平分线， ……8分 又PC 是APB ∠的平分线， 所以PC 与PE 重合，所以直线PC 经过点E . ……10分 21B ．解: 设直线01=--y x 上任意一点( )P x y ，在变换T A 的作用下变成点( )P x y '''，，由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得,3.x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩……2分 因为( )P x y '''，在直线01=--y x 上，所以10x y ⅱ--=，即01)3()1=--+--y a x b （， ……4分又因为( )P x y ，在直线01=--y x 上，所以01=--y x ． ……6分因此11,3 1.b a ì--=ïïíï-=-ïî ……8分解得：2,2-==b a . ……10分21C ．解：圆2cos ρθ=的直角坐标方程为222x y x +=， ……2分即()2211x y -+=，圆心为(1,0)； ……4分 直线π2sin()13ρθ+=的直角坐标方程为12()12y x =， ……6分10y +-= ……8分故圆心到直线的距离为d ==……10分21D ．证明：因为0,0a b >>，由均值不等式知223a b ab ab ++≥； (4)分2213ab a b ab ++=≥； ……8分 两式相乘可得222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥ ……10分22.（1）以{,,}AB AD AP u u u r u u u r u u u r为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，可得(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，由E 为棱PC 中点，得(1,1,1)E ， 故(0,1,1)BE =u u u r ，(1,2,0)BD =-u u u r，(1,0,2)PB =-u u u r ， ……1分设n (,,)x y z =为平面PBD 的法向量，则⊥n BD u u u r ，⊥n PB u u u r， 即20,20,x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1y =，可得n (2,1,1)=为平面PBD 的法向量， ……3分 于是cos <n,BE BE BE ⋅>==u u u ru u u r u u u r n n ……4分 所以直线BE 与平面PBD. ……5分 （2）(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0),(1,0,0)BC CP AC AB ==--==u u u r u u u r u u u r u u u r，由点F 在棱PC ，设,0CF CP λ=u u u r u u u r„λ„1，故(12,22,2)BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=u u u r u u u r，因此2(12)2(22)0λλ-+-=，解得34λ=， ……7分 即113(,,)222BF =-u u u r ，设1n (,,)x y z =为平面FAB 的法向量，则10AB ⋅=n u u u r ，10BF ⋅=n u u u r ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1n (0,3,1)=-为平面FAB 的方向向量， ……8分 取平面ABP 法向量2n (0,1,0)=，则121212cos ,⋅<>==n n n n n n ， ……9分即12sin ,<>=n n . 故二面角F AB P --. ……10分 23.证明：（1）当1n =20x =>，解得216x =，又0x >，故 4x =是方程的解； ……2分 （2）假设4x =是()2k f x x =的解，即(4)8k f =，则1n k =+时，1(4)824k f +=⨯综合（1），（2）可知4x =是1()2k f x x +=的解； ……4分 另一方面，当1n =时，1()f x y x===(0,)+∞上单调递减； ……6分 假设n k =时，()k f x y x=在(0,)+∞上单调递减， 则1n k =+时，1()n f x y x+===在(0,)+∞上单调递减，故1n k =+时，1()n f x y x+=在(0,)+∞上单调递减， ……8分 所以，()n f x y x =在(0,)+∞上单调递减，则()2n f x x =在(0,)+∞上至多一解；综上：4x =是()2n f x x =的唯一解. ……10分。
(word版)江苏省常州市2017届高三上学期期末考试数学试题Word版Word版含答案,文档
江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题一、填空题：〔本大题共14小题，每题5分，共70分〕1.集合U1,2,3,4,5,A3,4,B1,4,5，那么AUC U B.2.x 0，假设2i为虚数单位〕，那么xi是纯虚数〔其中x.3.某单位有老人 20人，中年人120人，青年人 100人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本，青年人抽取的人数为10人，那么n.x2y21的右焦点与左准线之间的距离是.4.双曲线1245．函数y1x lg x2的定义域为.6.执行右图所示的程序框图，假设输入a27，那么输出的值b.7.cos2x13cosxx0,的x值为.满足等式8.设S n为等差数列a n 的前n项和，假设a34,S9S627，那么S10.9.男队有号码1,2，3的三名乒乓球运发动，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运发动，现两队各出一名运发动比赛一场，那么出场的两名运发动号码不同的概率为.10.以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，假设所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，那么圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为.ABC中，C45o,O是uuur uuur uuur11.在ABC的外心，假设OC mOA nOBm,nR，那么mn的取值范围为.12.抛物线x22pyp0的焦点F是椭圆y2x21ab0的一个焦点，假设a2b2P,Q是椭圆与抛物线的公共点,且直线PQ经过焦点F，那么该椭圆的离心率为.13.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，假设a23b23c223bcsinA，那么C.14.假设函数f x e x ax a R在区间1,2上单调递增，那么实数a的取值范围2e是.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解容许写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.〔此题总分值14分〕在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，假设a c8,cosB1.uuuruuur44，求b的值；〔1〕假设BABC〔2〕假设sinA6，求sinC的值. 416.〔此题总分值14分〕在AB C A1B1C1中，所有棱长均相等，且ABB160o,D为AC的中点，求证：1〕B1C//平面A1BD；（2〕ABB1C.17〔.此题总分值14分〕圆C:x2y2x2y2t20t0与椭圆E:221ab0a b的一个公共点为B0,2,Fc,0为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.〔1〕求t的值及椭圆E的方程；〔2〕过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M,N两点，在x轴上是否存在一定点P，使PF恰为MPN的平分线？18.〔此题总分值16分〕某辆汽车以x千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶〔考虑到高速公路行车平安要求60 x 120〕时，每小时的油耗〔所需要的汽油量〕为1x k4500升，其中k为常5x数，且60 k120.〔1〕假设汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；〔2〕求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.19.〔此题总分值16分〕函数f x 1ax2lnxbx1. 2〔1〕假设曲线y fx在点1,f1处的切线方程为x2y10，求fx的单调区间；〔2〕假设a2，且关于x的方程f x1b的取值在2,e上恰有两个不等的实根，求实数e范围；〔3〕假设a2,b1，当x1时，关于x的不等式fx t x21恒成立，求实数t的取值范围〔其中e是自然对数的底数，e2,71828L〕.20.〔此题总分值16分〕数列a n满足a110,a n10a n1a n10n N.〔1〕假设a n是等差数列，S n a1a2L a n，且S n10S n1S n10n N，求公差d的取值集合；〔2〕假设a1,a2,L,a k成的比数列，公比q是大于1的整数，且a1a2L a k2021，求正整数k的最小值；〔3〕假设a1,a2,L,a k成等差数列，且a1,a2,L,a k100，求正整数k的最小值及k 取最小值时公差d的值.江苏省常州教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ试题〔附加题〕21【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选择两题，每题10分，共计20分.A.选修4—1：几何证明选讲如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA,切点为A,连接OP与圆O交于点C,过点C作圆O作AP的垂线，垂足为D,假设PA2 5,PC:PO1:3,求CD的长.B.选修4—2：矩阵与变换21x,B 4B，直接写出A1，并求出X.绝阵A2，列向量X，假设AX3y7C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 .圆4sin被射线〔0,0为常数，且00,〕所截得的弦长为 23，62求0的值.D.选修4-5：不等式选讲x0,y0，且2xy6，求4x 2 y 2 的最小值.22.〔本小题10分〕如图，以正四棱锥V ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz，其中Ox//BC,Oy//AB,E为VC中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有uuuruuur15.cosBE,DE〔1〕求h的值；49 a〔2〕求二面角B VCD的余弦值.23.〔本小题总分值10分〕对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式， 这种方法称为“算两次〞的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.1 2n1xnnn N，左边x n 的系数为C 2n n ，而右边例如：考察恒等式x 1 xnn C n 0 C n 1xLC n n x n C n 0 C n 1xLC n n x n，x n1x1x的系数为C n 0C n n C n 1C n n1LC n n C n 0 C n 02C n 12LC n n2，因此可得到组合恒等式C 2n nCn 02C n 12LC n n2.m nmnm,nN 两边x k〔1〕根据恒等式1x1x1x 〔其中kN,km,kn 〕的系数相同，直接写出一个恒等式；n2C n 2k 2n2k C 2k kC n n ，其中n是指不〔2〕利用算两次的思想方法或其他方法证明：k2超过n的最大整数.2。
【数学】2017年高考真题——江苏卷(解析版)
62cm.
容器厚度、玻璃棒 细均忽略 计 1 将 l 放在容器 中 l 的 的长度 2 将 l 放在容器 中 l 的 的长度. 端置于点 E 处 另 端置于侧棱 GG1 求 l 没入水中部 端置于点 A 处 另 端置于侧棱 CC1 求 l 没入水中部
19. 本小题满
16
对于 定的 整数 k,若数列 an 满足
{ }
{ }
{ }
{a } 是等差数列.
n
20. 本小题满 知函数 f
f
16
(x )
= x 左 + a x 工 + b x + 1( a > 0, b ∈ R ) 有极值 且导函数
极值点是指函数取极值时对 的自变 的值
( x ) 的极值点是 f ( x ) 的零点.
1 2 3 证明 b²>3a; 若 f ( x)
作直线 PF1 的垂线 l1,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2. 1 求椭圆 E 的标准方程 2 若直线 l1 l2 的交点 Q 在椭圆 E 求点 P 的坐标.
18.
本小题满
16
如图 水 放置的 四棱柱形玻璃容器 和 四棱 形玻璃容器 的高均为 32cm 容器 的 面对角线 AC 的长为 10 7 cm 容器 的两 面对角线 EG E1G1 的长 别为 14cm 和 别在容器 和容器 中注入水 水深均为 12cm. 现有 玻璃棒 l 其长度为 40cm.
4.作答试题 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签 笔在答题卡 的指定位置作答 在其他位置作 答 律无效.
5.如需改动 须用 2B 铅笔 、写清楚 线条、符 等须 黑、 、填空题 置 1. 2. 知集合 A = 1,工 知复数 z= 1+i 本大题共 14 小题 小题 5 共计 70 请把答案填写在答题卡相 位
B07 江苏省无锡市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．设集合{|0},={|-1<2}A x x B x x =>≤，则A B = ． 2．复数21z i=-，（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 ． 3．命题22,4x x ∀≥≥的否定是 ．4．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为 ．5．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 ．6．已知向量(2,1),(1,1)a b ==-，若a b - 与ma b + 垂直，则m 的值为 ．7．设不等式104x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是 ．8．已知23,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则((2))f g -= ．9．设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为 ．10．设2()s i n 3c o s )2f x x x x π=-+，则()f x 在[0,]2π上的单调递增区间为 ．11．已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于 ．12．设P 为有公共焦点12,F F 的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆C1的离心率为1e ，双曲线C2的离心率为2e ，若123e e =，则1e = ．13．若函数()f x 在[,]()m n m n <上的值域恰好为[,]m n ，则称()f x 为函数的一个“等值映射区间”．下列函数：①21y x =-；②22log y x =+；③21x y =-；④11y x =-．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个．14．已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2sin cos12B CA ++=，D 为BC 上一点，且1344AD AB AC =+．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求AD 的长．16．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点．求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）EF ∥平面PAD ．17、某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ 上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M 处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值．18、已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）．（1）若点B 的坐标为3(1,)2，求△OBC 面积的最大值；（2）设1122(,),(,)B x y C x y ，且1230y y +=，求当△OBC 面积最大时，直线l 的方程．19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12,()(,)3n n n a S a r r R n N ==+∈∈． （1）求r 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设*()n nnb n N a =∈，记{}n b 的前n 项和为n T ． ①当*n N ∈时，2n n T T λ<-恒成立，求实数λ的取值范围； ②求证：存在关于n 的整式()g n ，使得11(1)()1n nn i TT g n -=+=⋅-∑对一切*2,n n N ≥∈都成立．20．已知2()1(),()x f x x mx m R g x e =++∈=．（1）当[0,2]x ∈时，()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若(1,0)m ∈-，设函数()15(),()()44f x G x H x xg x ==-+，求证：对任意1212,[1,1],()()x x m G x H x ∈-<恒成立．附加题[选修4-4：坐标系与参数方程]21．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=8sinθ（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线2x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T 将平面上的点1(1,),(0,1)2分别变换为点93(,2),(,4)42--．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值．23．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．24．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为1﹣i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，则复数z的共轭复数为：1﹣i．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是∃x0≥2，x02＜4．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02＜4．故答案为：∃x0≥2，x02＜4．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，由此能求出选出的2人恰好为1男1女的概率．【解答】解：从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，基本事件总数n==10，选出的2人恰好为1男1女包含的基本事件个数m=，∴选出的2人恰好为1男1女的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为70．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=9时不满足条件i ＜8，退出循环，输出S的值为70．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=﹣2满足条件i＜8，执行循环体，i=3，S=7满足条件i＜8，执行循环体，i=5，S=22满足条件i＜8，执行循环体，i=7，S=43满足条件i＜8，执行循环体，i=9，S=70不满足条件i＜8，退出循环，输出S的值为70．故答案为：70．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．6．已知向量，若与垂直，则m的值为．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】运用向量的数乘及加法运算求出向量若与，然后再由垂直向量的数量积为0列式求解m的值【解答】解：∵向量，∴=（1，2），=（2m+1，m﹣1），∵与垂直∴（）（）=0，即2m+1+2（m﹣1）=0，解得m=，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．7．设不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx﹣2上存在M内的点，则实数k的取值范围是[2，5] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx+1的图象是过点A（0，﹣2），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，如图．因为函数y=kx﹣2的图象是过点A（0，﹣2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是[2，5]．故答案为：[2，5]．【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值．这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题．8．已知是奇函数，则f（g（﹣2））=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴g（﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22﹣3）=﹣1，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣3）=1，故f（g（﹣2））=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．9．设公比不为1的等比数列{a n}满足，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，根据a2，a4，a3成等差数列，可得=a2+a2q，q ≠1，解得q．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴=﹣，解得a1=1．则数列{a n }的前4项和==．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．设，则f （x ）在上的单调递增区间为[0，] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．【解答】解： =sin 2x +sinxcosx=（1﹣cos2x ）+sin2x=sin （2x ﹣）+，由2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，k ∈Z ，得kπ﹣≤x ≤kπ+，k ∈Z ，∵x ∈，∴当k=0时，﹣≤x ≤，即0≤x ≤，即函数f （x ）在上的单调递增区间为[0，]，故答案为：[0，]．【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的考查，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．11．已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，由已知条件求出l=3，r=1，从而求出圆锥的高，由此能求出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，∵3π=πl2，∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2，∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．12．设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1⊥PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若3e1=e2，则e1=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，根据双曲线的几何性质可得，=以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案．【解答】解：设∠F1AF2=2θ根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ=b12，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=c2（﹣1）根据双曲线的几何性质可得，==b22，∵e2=a2=∴b22=c2﹣a22=c2（1﹣），∴c2（﹣1）=c2（1﹣），即+=2，∵3e1=e2，∴e1=故答案为：【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．13．若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．下列函数：①y=x2﹣1；②y=2+log2x；③y=2x﹣1；④．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个．【考点】函数的值域．【分析】若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，则称f（x）为函数的一个“等值映射区间”．根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．即可判断．【解答】解：根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．对于①y=x2﹣1；根据新定义可得：x2﹣1=x，方程有两个解，即函数y=x2﹣1与函数y=x有两个交点．故①是；对于②y=2+log2x；根据新定义可得：2+log2x=x，即函数y=2+log2x与函数y=x有一个交点．故②不是；对于③y=2x﹣1；根据新定义可得：2x﹣1=x，即函数y=2x﹣1与函数y=x有一个交点．故③不是；对于④；根据新定义可得：x2﹣x=1，方程有两个解，即函数与函数y=x 有两个交点．故④是；故答案为：2．【点评】本题考查了新定义的理解和定义域，值域的关系的运用．属于中档题．14．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则的最小值为+．【考点】基本不等式．【分析】由2=，先将+﹣变形为，运用基本不等式可得最小值，再求c+= [（c﹣2）++1]的最小值，运用基本不等式即可得到所求值．【解答】解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则=c（+﹣）+=+，由2=，可得==≥=，当且仅当b=a时，取得等号．则原式≥c+= [（c﹣2）++1]≥ [2+1]=+．当且仅当c=2+时，取得等号．则所求最小值为+．故答案为： +．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三等，考查化简和运算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）（2016秋•无锡期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos2=1，D为BC上一点，且．（1）求sinA的值；（2）若a=4，b=5，求AD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得5sin2A﹣4sinA=0，结合范围A∈（0，π），即可解得sinA的值．（2）由余弦定理可得c2﹣6c﹣7=0，解得c的值，利用平面向量的运算可求2的值，进而可求AD的值．【解答】解：（1）∵sinA+cos2=1，∴sinA+=1，即2sinA﹣cosA=1，…2分∴（2sinA﹣1）2=cos2A，即5sin2A﹣4sinA=0，∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA=，cosA=…6分（2）∵a=4，b=5，cosA=，∴由余弦定理可得：32=25+c2﹣2×5c×，即：c2﹣6c﹣7=0，解得：c=7，…10分∵，∴2=++bccosA=++=25，…12分∴AD=5…14分【点评】本题主要考查了降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（14分）（2016秋•无锡期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：（1）平面PAD⊥平面ABCD；（2）EF∥平面PAD．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的性质可证AP⊥CD，又ABCD为矩形，AD⊥CD，利用线面垂直的判定定理可证CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定可证平面PAD⊥平面ABCD．（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，由ABCD为矩形，O点为AC中点，可证OE∥PA，进而可证OE∥平面PAD，同理可得：OF∥平面PAD，通过证明平面OEF∥平面PAD，即可证明EF∥平面PAD．【解答】证明：（1）∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，…2分又∵AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，…4分∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD…6分（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，OF，∵ABCD为矩形，∴O点为AC中点，∵E为PC中点，∴OE∥PA，∵OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴OE∥平面PAD，…8分同理可得：OF∥平面PAD，…10分∵OE∩OF=O，∴平面OEF∥平面PAD，…12分∵EF⊂平面OEF，∴EF∥平面PAD…14分【点评】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，线面平行的判定与面面平行的性质的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•无锡期末）某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）求l的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）设∠AME=2θ，求出EM，MN，即可求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；（2）令f（θ）=sinθ（1﹣sinθ），sinθ∈（0，），即可求l的最小值．【解答】解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，设MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，∴x=，∴l=EM+MN=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1﹣sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤，当且仅当θ=时，取得最大值，此时l min=2a．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．18．（16分）（2016秋•无锡期末）已知椭圆，动直线l与椭圆交于B，C两点（B在第一象限）．（1）若点B的坐标为（1，），求△OBC面积的最大值；（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），且3y1+y2=0，求当△OBC面积最大时，直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线OB的方程为：y=x，即3x﹣2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为：y=x+b．则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．此时直线与椭圆相切．（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12=0，利用根与系数的关系及其3y1+y2=0，可得n2=．则S△OBC=•|y1﹣y2|=2|n||y1|==．进而得出结论．【解答】解：（1）直线OB的方程为：y=x，即3x﹣2y=0，设经过点C且平行于直线OB的直线l′方程为：y=x+b．则当l′与椭圆只有一个公共点时，△OBC的面积最大．联立，化为：3x2+3bx+b2﹣3=0，由△=9b2﹣12（b2﹣3）=0，解得b=．当b=2时，C；当b=﹣2时，C．S△OBC≤×=．（2）直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为：x=my+n，联立，化为：（3m2+4）y2+6mny+3n2﹣12=0，∴y 1+y 2=，y 1•y 2=．∵3y 1+y 2=0，∴y 1=， =，∴=，∴n 2=．∴S △OBC =•|y 1﹣y 2|=2|n ||y 1|==．∵B 在第一象限，∴x 1=my 1+n=+n ＞0，∴n ＞0．∵y 1＞0，∴m ＞0．∴S △OBC ===，当且仅当m=时取等号．此时n=．此时直线l 的方程为：x=y +，即2x ﹣y +=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线与椭圆相切问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 19．（16分）（2016秋•无锡期末）数列{a n }的前n 项和为S n ，．（1）求r 的值及数列{a n }的通项公式；（2）设，记{b n }的前n 项和为T n ．①当n ∈N *时，λ＜T 2n ﹣T n 恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n 的整式g （n ），使得对一切n ≥2，n ∈N*都成立．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（1）n=1时，S 1=a 1×=a 1，解得r ，可得S n =a n．利用递推关系可得=，（n ≥2）．利用“累乘求积”方法可得a n ．（2）①b n ==，T n =+…+，T 2n =…+，作差可得数列{T 2n ﹣T n }的单调性．利用当n ∈N *时，λ＜T 2n ﹣T n 恒成立，可得λ的求值范围．②由①可得：n≥2时T n﹣T n﹣1=，即（n+1）T n﹣nT n﹣1=T n﹣1+1，n≥2时，可得=（n+1）T n﹣1．即可得出．【解答】（1）解：n=1时，S1=a1×=a1，解得r=，∴S n=a n．n≥2时，S n﹣1=a n﹣1．两式相减可得：a n=a n﹣a n﹣1．∴=，（n≥2）．∴a n=•…=•…••2=n（n+1），n=1时也适合．∴a n=n（n+1）．（2）①解：b n==，T n=+…+，T2n=…+，∴T2n﹣T n=+…+，令B n=T2n﹣T n，则B n+1﹣B n=﹣=＞0，因此数列{B n}单调递增，∴（B n）min=．∵当n∈N*时，λ＜T2n﹣T n恒成立，∴．②证明：由①可得：n≥2时T n﹣T n﹣1=，即（n+1）T n﹣nT n﹣1=T n﹣1+1，∴n≥2时，=（3T2﹣2T1）+（4T3﹣3T2）+…+[（n+1）T n﹣nT n﹣1]=（n+1）T n﹣2T1=（n+1）T n﹣1．∴存在关于n的整式g（n）=n+1，使得对一切n≥2，n∈N*都成立．【点评】本题考查了数列的递推关系、“累乘求积”方法、“累加求和”方法、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2016秋•无锡期末）已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=e x．（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）﹣g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m∈（﹣1，0），设函数，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数F（x）的导数，分离参数，问题转化为m≥e x﹣2x在[0，2]恒成立，令h（x）=e x﹣2x，x∈[0，2]，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为证G（x）max≤H（x）min，根据函数的单调性分别求出G（x）的最大值和H（x）的最小值，从而证出结论．【解答】解：（1）∵F（x）=x2+mx+1﹣e x，∴F′（x）=2x+m﹣e x，∵x∈[0，2]时，F（x）是增函数，∴F′（x）≥0即2x+m﹣e x≥0在[0，2]上恒成立，即m≥e x﹣2x在[0，2]恒成立，令h（x）=e x﹣2x，x∈[0，2]，则h′（x）=e x﹣2，令h′（x）=0，解得：x=ln2，∴h（x）在[0，ln2]递减，在[ln2，2]递增，∵h（0）=1，h（2）=e2﹣4＞1，∴h（x）max=h（2）=e2﹣4；（2）G（x）=，则G′（x）=﹣，对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立，即证G（x）max≤H（x）min，∵x∈[1，1﹣m]，∴G（x）在[1，1﹣m]递增，G（x）max=G（1﹣m）=，∵H（x）在[1，1﹣m]递减，H（x）min=H（1﹣m）=﹣（1﹣m）+，要证G（x）max≤H（x）min，即证≤﹣（1﹣m）+，即证4（2﹣m）≤e1﹣m[5﹣（1﹣m）]，令1﹣m=t，则t∈（1，2），设r（x）=e x（5﹣x）﹣4（x+1），x∈[1，2]，即r（x）=5e x﹣xe x﹣4x﹣4，r′（x）=（4﹣x）e x﹣4≥2e x﹣4＞0，∴r（x）在[1，2]递增，∵r（1）=4e﹣8＞0，∴e x（5﹣x）≥4（x+1），从而有﹣（1﹣m）+≥，即当x∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．加试题说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-4：坐标系与参数方程]21．（2016秋•无锡期末）设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ，即ρ2=8ρsinθ．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）设直线（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2．x2+y2=8y，配方为x2+（y﹣4）2=16，可得圆心C（0，4），半径r=4．求出圆心C到直线的距离d．可得|AB|=2．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ，即ρ2=8ρsinθ．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=8y．（2）设直线（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2．x2+y2=8y，配方为x2+（y﹣4）2=16，可得圆心C（0，4），半径r=4．∴圆心C到直线的距离d==．∴|AB|=2=2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式公式、直线与圆直角弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2016秋•无锡期末）已知变换T将平面上的点分别变换为点．设变换T对应的矩阵为M．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值．【考点】特征向量的意义；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）设M=，由矩阵变换可得方程组，解方程即可得到所求；（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得特征多项式，解方程可得特征值．【解答】解：（1）设M=，则=，=，即为，即a=3，b=﹣，c=﹣4，d=4，则M=；（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得f（λ）==（λ﹣3）（λ﹣4）﹣6=λ2﹣7λ+6，令f（λ）=0，可得λ=1或λ=6．【点评】本题考查矩阵变换和特征值的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想的运用，属于基础题．23．（2016秋•无锡期末）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示．（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）首先求出x、y，个人停车所付费用相同即停车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时且不超过四小时三类求解即可．（2）随机变量ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（1）由题意得．．记甲乙两人所付车费相同的事件为A，P（A）=，甲、乙两人所付车费相同的概率为．（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，ξ的所有取值为0，1、2，3，4，5．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=P（ξ=4）=，P（ξ=5）=．所以ξ的分布列为：∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题．24．（2016秋•无锡期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC 的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与DG所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∵E、F、G分别为BC、PD、PC的中点，∴，F（0，1，），G（），∴=（﹣1，），=（），设EF与DG所成角为θ，则cosθ==．∴EF与DG所成角的余弦值为．（2）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），∵=（0，1，0），=（1，0，﹣1），∴，取x=1，得=（1，0，1），M为EF上一点，N为DG上一点，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥，设M（），N（x2，y2，z2），则，①∵点M，N分别是线段EF与DG上的点，∴，∵=（），=（x2，y2﹣2，z2），∴，且，②把②代入①，得，解得，∴M（），N（）．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
2017年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷((有答案))AlPKwM
2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是．2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为．4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于．5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为．6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：mx﹣2y﹣1=0和直线l2：x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于．8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC．其中正确的结论序号是．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=．10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为．11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为．12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM 与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A（﹣3，0），B（1，2）．（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l的方程．16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）AD⊥CD；（2）EF∥平面ADD1A1．17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．19．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．（1）已知t=．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM 与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．第二卷（附加题.每题10分。
2020届江苏省无锡市2017级高三上学期期末考试数学试卷及解析
2020届江苏省无锡市2017级高三上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一､填空题1.集合{|21,}A x x k k Z ==-∈,{1,2,3,4}B =,则A B =_____.【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合,即可求得交集.【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数,故A B ={1,3}.故答案为：{1,3}2.已知复数z a bi =+(),a b ∈R ,且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位）,则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+,两个复数相等,实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解.【详解】2iz ai bi b ai =+=-+,所以1,9a b ==-,所以8a b +=-.故答案为：-83.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有7人用时为6分钟,有14人用时7分钟,有15人用时为8分钟,还有4人用时为10分钟,则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++ 故答案为：7.54.函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.【答案】(0,2)-【解析】令0x =,(0)132f =-=-,与参数无关,即可得到定点.【详解】由指数函数的性质,可得0x =,函数值与参数无关,所有()(1)3x f x a =--过定点(0,2)-.故答案为：(0,2)-5.等差数列{}n a （公差不为0）,其中1a ,2a ,6a 成等比数列,则这个等比数列的公比为_____.【答案】4【解析】根据等差数列关系,用首项和公差表示出2216a a a =,解出首项和公差的关系,即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意得: 2216a a a =,则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =,2114a a d a =+=,所以21=4a a 故答案为：46.小李参加有关“学习强国”的答题活动,要从4道题中随机抽取2道作答,小李会其中的三道题,则抽到的2道题小李都会的概率为_____. 【答案】12【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况,抽到的两道全都会的情况有3种,即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答,共有246C =种,小李会其中的三道题,则抽到的2道题小李都会的情况共有233C =种, 所以其概率为23241=2C C . 故答案为：12。