三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

博士研究生刘晓宁文章编号:100328728(2004)1021191203

三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

刘晓宁,王三民,沈允文

(西北工业大学,西安　710072)

摘　要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐

波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet理论研究其稳定

性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统

周期解分岔图。

关　键　词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet理论

中图分类号:TH13 文献标识码:A

NonlinearVibrationsof32DOFGearedRotor2BearingSystem

LIUXiao2ning,WANGSan2min,SHENYun2wen(NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an710072)

Abstract:Theincrementalharmonicbalance(IHB)methodisusedtoobtainperiodicmotionsofa32DOFnon2

linearmodelofagearedrotorsystemsubjectedtoparametricandexternalharmonicexcitations.Thestabilityof

theperiodicmotionsisinvestigatedbytheFloquettheory,thebifurcationbehavioristraced.Parametricstudies

areperformedtounderstandtheeffectofsystemparameterssuchasexcitationfrequencyonthenonlineardy2

namicbehaviors.

Keywords:Gearedrotorbearingsystem;Incrementalharmonicbalance(IHB)method;Floquettheory

齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿

轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素

的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为

系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能

和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非

线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。

从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分

的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存

在。增量谐波平衡法(IHB)作为求解非线性微分方程周期

解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特

点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周

期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。

本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由

度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的

影响,并结合应用Floquet理论探讨了通向混沌的倍周期和

拟周期分叉道路。1　三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程

图1　三自由度非线性齿轮传动系统模型

如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿

轮部分包括齿轮惯量Ig1和Ig2,齿轮质量mg1和mg2,基圆

直径dg1和dg2。齿轮啮合由非线性位移函数fh和时变刚度

kh(t-),线性粘性阻尼ch描述。轴承和支撑轴的模型则由

等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线第23卷　第10期机械科学与技术 Vol.23　No.10　2004年　10月 MECHANICALSCIENCEANDTECHNOLOGY October　2004

kb1、kb2确定。同时考虑因输入扭矩Tg1波动引起的低频外

激励和静态传动误差e-(t-)导致的高频内部激励,忽略输出扭矩Tg2的波动,并假设在两边的滚子轴承均作用有外径

向预载力Fb1、Fb2。整个系统关于齿轮宽度中分平面对称,

系统的轴向运动可以忽略不计。

根据牛顿力学定律,上述的齿轮传动系统的横向2扭转

运动微分方程表示为

mg1y-″g1+cb1y-′g1+ch(x-′+y-′g1-y-′g2-e-′)+kb1fb1(y-g1)+

kh(t-)fh(x-+y-g1+y-g2-e-)=-Fb1(1)

mg2y-″g2+cb2y-′g2-ch(x-′+y-′g1-y-′g2-e-′)+kb2fb2(y-g2)-

kh(t-)fh(x-+y-g1-y-g2-e-)=Fb2(2)

mc1x-″+ch(x-′+y-′g1-y-′g2-e-′)+

kh(t-)fh(x-+y-g1+y-g2-e-)=Fm+FaT(t-)(3)

式中:

x-(t-)=dg12θg1(t-)-dg22θg2(t-)(4)

mc1=1d2g14Ig1+d2g24Ig2,　Fm=2Tg1mdg1=2Tg2mdg2(5)

FaT(t-)=mc1Tg1a(t-)2Ig1

kh(t-)=kh(t-+2π/Ω-h)=khm+∑∞

r=1kharcos(rΩ-ht-+

(6)

fbi(y-gi)、fh(p-)分别为轴承径向间隙和齿侧间隙构成的间

隙非线性力2位移函数,即

fbi(y-gi)=y-gi-bbi　y-gi>bbi0　-bbi

(7)

引入新的变量p-(t-),定义其为动态传动误差与静态传

动误差e-(t-)的差值,即

p-(t-)=dg12θg1(t-)-dg22θg2(t-)+y-g1(t-)-y-g2(t-)-e

(t-)

同时对方程进行无量纲化处理,忽略轴承径向间隙引

发的非线性力2位移关系,

忽略扭矩波动引起的低频外激

励项,最终得到实际动力学分析考察的齿轮系统微分方

程,即

100

-111y・・

1(t)

y・・g2(t)

p・・(t)+2ζ110ζ130ζ22-ζ2300ζ33y・g1(t)

y・g2

(t)

p・(t)+k110k13(t)

0k22-k23(t)

00k33(t)yg1yg2fh(p)=-Fb1Fb2Fm+0

FahrΩ2hsin(Ωht)

(8)

式中:

k33(t)=1-εcos(Ωht)

fh=p-1p>1

0-1

p+1p<-1(9)

2　齿轮系统非线性振动特性分析

下面使用增量谐波平衡法求解系统的周期稳态响应,

包括稳定和不稳定解。这里,重点研究激励频率对系统动

力学特性的影响。周期解的稳定性由Floquet理论进行分

析,量纲一化频率Ωh作为分叉参数,主要的目标是描绘分

叉路径及分叉类型的识别。响应曲线根据各个变量在对应

频率的每周期内最大值作为幅值绘出。

2.1　通向混沌的倍周期分叉道路

模型的各个参数设置如下:ζ11=ζ22=0,ζ13=ζ23=0.0125,ζ33=0.05,k11=k22=1.25,k23=k13=0.253k33,

Fm=0.1,Fdhr=0.05,Fb1=Fb2=0,ε=0

.2,参数激励的

频率和外激励的频率一致,考察激励频率Ω在1.54～1.39

区间系统的响应特性,可以看到系统在Ω缓慢变化下发生

了重复的倍周期分叉:由周期1变到周期2再变到周期4直

至混沌态。用IHB获得的变量p的响应曲线由图2(a)给出,

图中实线表示稳定周期解,虚线为不稳定周期解。

响应曲线由a点(Ω=1.54)开始,随着系统激励频率

的减小,首先出现的是周期1响应,对应周期为2π/Ω,到达

b点(Ω=1.510)后,周期1解分叉为周期二解。根据b点处

的一个Floquet乘数从-1的方向离开了单位圆,分叉性为

倍周期分叉。

图2　通向混沌的倍周期分叉道路2911 机械科学与技术第23卷

再次经历了倍周期分叉,导致一个稳定的周期4解,和不稳定

的周期2解。必须指出的是,系统在发生两次倍周期分叉后,并

没有发生预期的进一步倍周期分叉,在点d(Ω=1.447)计算

发现,由一对共轭的Floquet乘数离开单位圆表征,系统出现了

Hopf分叉,最终导致系统进入混沌状态。

用IHB方法获得的单周期解、2周期解和4周期解的

相图分别见图2(b)、图2(c)、图2(d),依次对应激励频率Ω

=1.53、Ω=1.51、Ω=1.48时的系统响应。周期解和次谐

波解在计算过程中使用的谐波级数分别为4,8,16,图中的”

x”记号表示采用四阶定步长Runge2Kutta法数值求解的结

果,取得的结果与数值方法完全吻合,在使用IHB获得周期

解的迭代步骤中,修正项R的误差小于1.0×10-6。

2.2　通向混沌的拟周期分叉道路

在激励频率的低频范围内存在通向混沌的拟周期道路。

再次采用量纲一化频率Ω作为分叉参数,在拟周期区域内,

系统的参数设置为:ζ11=ζ22=0.01,ζ13=ζ23=0.0125,ζ33=0.05,k11=k22=0.25,k23=k13=0.253k33,Fm=0.1,

Fdhr=0.05,Fb1=Fb2=0,ε=0.2参激频率和外激励频率

与前述相同,设为一致。通过IHB方法获得的变量p的周期

响应曲线见图3(a)。

响应曲线从a点(Ω=1.70)开始,首先为对应激励

2π/Ω的周期1解,周期1保持至b点(Ω=1.044633),到这

里发生了鞍2结分叉(saddle2nodebifurcation),可以看到转换

矩阵某一Floquet乘数从+1的方向离开了单位圆,周期1

变得不稳定。响应幅值随着Ω的减小开始减小,在c点(Ω

=0.950),某一Floquet乘数从+1的方向进入了单位圆,系

统再次发生了鞍2结分叉,周期1解再次变得稳定。因此,

在b点和c点之间,存在着两个稳定的周期1响应和一个不

稳定的周期1响应。图3(b)为Ω=0.99时由IHB方法求

解的系统相图,实线表示变量p的稳定周期解,虚线表示不

稳定的周期解,图中的”x”记号表示采用四阶定步长Runge2

Kutta法数值求解的结果,数值解和IHB的结果完全吻合。

图3　通向混沌的拟周期分叉道路随着Ω的增加,到了d点(Ω=1.270),周期1解失去了

稳定性,发生Hopf分叉,导致了系统的拟周期响应。从特征

值向量中,我们可以看到,一对复共轭的特征值离开了复平

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行星齿轮传动系统的动力学建模与分析

齿轮传动系统是一种常见的机械传动形式，由多个齿轮通过啮合传递动力。在齿轮传动系统中，行星齿轮传动系统是一种常见的结构。它由中央太阳齿轮、外圈行星齿轮和内圈行星齿轮组成。行星齿轮传动系统具有紧凑结构、传动比变化范围广和承载能力强的特点，所以在很多机械传动系统中得到广泛应用。了解行星齿轮传动系统的动力学特性对于设计和优化机械传动系统具有重要意义。

行星齿轮传动系统的动力学建模是研究其特性的基础。一般而言，行星齿轮传动系统的动力学研究可以分为两个方面：传动系统的静态行为和传动系统的动态行为。

首先，我们来讨论行星齿轮传动系统的静态行为。行星齿轮传动系统的静态行为主要包括传动比和齿轮位置分析。传动比决定了输入轴和输出轴的转速比，对于不同的工况要求，传动比的变化范围也是需要考虑的因素。齿轮位置分析是指确定各个齿轮之间的相对位置，这对于齿轮的啮合是否合理具有重要影响。在行星齿轮传动系统的静态行为分析中，可以采用几何法和力学法相结合的方法，来求解传动比和齿轮位置。几何法主要通过几何关系求解，力学法则涉及到力矩平衡和力平衡，求解过程需要考虑到齿轮的几何关系和曲柄等部件的力学特性。

其次，我们来讨论行星齿轮传动系统的动态行为。行星齿轮传动系统的动态行为主要包括齿轮振动、齿轮动力学和齿轮传动系统的自激振动分析。齿轮振动是指齿轮在运动过程中由于齿轮的不平衡、啮合刚度等因素引起的振动。齿轮动力学是指齿轮在运动过程中由于齿轮的载荷和齿轮啮合行为引起的力学现象。自激振动是指齿轮传动系统由于齿轮的不均匀磨损、齿轮啮合误差等因素引起的自激振动。行星齿轮传动系统的动态行为分析需要采用系统动力学和振动理论等方法，通过建立数学模型来求解相应的动力学方程。

对于行星齿轮传动系统的动态行为分析，可以分为线性动力学分析和非线性动力学分析。线性动力学分析是指在小扰动情况下对齿轮传动系统进行的分析，一般求解线性化的动力学方程来得到系统的频率响应和稳定性。非线性动力学分析是指在大幅度扰动情况下对齿轮传动系统进行的分析，不能简单地采用线性化的方法来求解。非线性动力学分析需要考虑到系统的非线性特性，通过采用数值计算和仿真等方法来获得系统的动态行为。

齿轮机械传动动力学研究文献综述完整版

现代机械传动理论课程论文

共9页第1页基于齿轮传动的机械动力学研究文献综述

摘要：本文结合相关文献对机械动力学中齿轮传动动力学部分的研究进行了综述。综合文献对齿轮传动动力学研究现状和发展趋势有了整体把握。

关键词：动力学；齿轮传动；综述；

The Literature Review of Mechanical

Dynamics based on gear transmission

Abstract：In this paper, the studies of mechanical dynamics of gear transmission

were reviewed. On the whole, we grasp the studies status and

development trend of gear transmission.

Keywords: Dynamics；Gear transmission；Review

1.前言

随着机械向高效、高速、精密、多功能方向发展，对传动机械的功能和性能的要求也越来越高，机械的工作性能、使用寿命、能源消耗、振动噪声等在很大程度上取决于传动系统的性能。因此必须重视对传动系统的研究。机械系统中的传动主要分为机械传动、流体传动(液压传动、液力传动、气压传动、液体粘性传动和高等优点机械传动的形式也有多种，如各种齿轮传动、带(链)传动、摩擦传动等。

齿轮传动是机械传动中的主要形式之一。在机械传动中占有主导地位。由于它具有速比范围大、功率范围广、结构紧凑可靠等优点，已广泛应用于各种机械设备和仪器仪表中。成为现有机械产品中所占比重最大的一种传动。齿轮从发明到现在经历了无数次更新换代，主要向高速、重载、平稳性、体积小、低噪等方向发展。

2. 齿轮动力学的发展概述

齿轮的发展要追溯到公元前，迄今已有3000年的历史。虽然自古代人们就使用了齿轮传动，但由于动力限制了机器的速度。因此齿轮传动的研究迟迟未发展到动力学研究的阶段。

时变参数下非线性扭振系统的Hopf分岔研究

第３５卷第６期　２０１１年１１月　燕山大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＹａｎｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｂ１．３５　ＮＯ．６　ＮＯＶ．２０ｌ１　

文章编号：１００７—７９１Ｘ（２０１１）０６—０５３３—０５　

时变参数下非线性扭振系统的Ｈｏｐｆ分岔研究　

刘　彬　，李延树　，周　磊　，李海滨　，刘　爽　

（１．燕山大学电气工程学院，河北秦皇岛０６６００４；２．大连市产品质量监督检验所，辽宁大连１１６０２１）　

摘　要：建立了一类含时变刚度和非线性阻尼的两自由度非线性扭振系统动力学方程，利用多尺度方法推导出　了系统的平均方程。根据Ｈｏｐｆ分岔理论分析了系统稳定性，给出了系统发生Ｈｏｐｆ分岔的充要条件及系统周期　运动稳定性的判别方法，分析了主共振情况下超临界Ｈｏｐｆ分岔和亚临界Ｈｏｐｆ分岔对系统振荡的影响。最后通　过数值仿真验证了结论的正确性，对确保该类扭振系统的稳定运行有一定指导意义。　

关键词：扭振系统；Ｈｏｐｆ分岔；稳定性　

中图分类号：ＴＨ１１３．１，０３２２　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９０．ｉｓｓｎ．１００７－７９１Ｘ．２０１１．０６．Ｏ１３　

０引言　

扭振系统广泛存在于现代工业机械传动系统　

中，如轧机、汽轮机等传动系统。当前，各种机械　

设备都朝着大型化和高速化发展，对传动系统精度　

要求越来越高，其扭振响应越来越明显，特别是扭　

转失稳振荡，更是给设备和生产安全带来严重隐　

患。近年来，国内外针对传动系统扭振做了大量研　

究，并取得了一系列研究成果［１－４］ｏ文献［５］建立　

了单辊驱动轧机水平非线性参激振动模型，用数值　

法研究了定常解的稳定性，分析了刚度波动对轧机　

水平非线性参激共振的影响；文献［６】建立了一　

类含非线性阻尼的二自由度轴盘扭振系统，根据分　

岔理论分析了系统极限环稳定性，并加以控制；另　

外，齿轮箱作为传动系统的主要组成部分对其稳定　

运行有很大影响，文献［７】采用多体动力学方法　

建立了变速箱齿轮传动系统扭振动力学模型，通过　

含侧隙非线性齿轮传动系统的分岔与混沌分析

第２７卷第１期　振动与冲击　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　

含侧隙非线性齿轮传动系统的分岔与混沌分析　

王晓笋　，　巫世晶　，　周旭辉　，　李群力　

（１．武汉大学动力与机械学院，武汉４３００７２；２．中船重工集团第７１９所，武汉４３００６４）　

摘　要：建立了包含齿侧间隙的齿轮传动系统非线性动力学模型，引入相对啮合位移将模型降为单自由度系统，　

并对模型进行无量纲化处理。计算了系统随外载荷和齿侧间隙变化的分岔图与对应的最大李雅谱诺夫指数图，分析了系　

统动力学特性的变化情况，并计算了周期状态和混沌状态下的相空间轨线、Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面和关联维数，以不同的定性与定　

量分析方法对系统进行了细致地研究。　

关键词：齿轮传动系统；齿侧间隙．夕　载荷；最大李雅谱诺夫指数；分岔图；关联维数；Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面　

中图分类号：ＴＨ１１３：０３２２　文献标识码：Ａ　

齿轮系统动力学是研究齿轮系统在传递运动和动　

力过程中的动力学行为的一门科学。它以齿轮系统为　

对象，以齿轮啮合过程的动力学特性为核心，以提高和　

改善齿轮系统的动力学行为为目的，在充分考虑系统　

各零部件动态特性的基础上，研究齿轮系统在传递动　

力和运动中振动、冲击、噪声的基本规律…。近年来，　

国内外展开了大量关于传动系统的非线性现象研究与　

分析，以齿轮啮合过程的时变啮合刚度、啮合阻尼和齿　

侧间隙等非线性影响因素为对象，对齿轮系统非线性　

现象进行了大量的研究　ｊ。本文以分岔与混沌作为　

非线性现象的分析手段，通过计算系统关于外载荷和　

齿侧间隙这两个参数的分岔图与对应的最大李雅谱诺　

夫指数图，观察系统动力特性的变化。同时运用相空　

间轨线、Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面法和关联维数等不同定量与分析　

方法对系统进行研究，以观察不同参数对系统的影响。　

１非线性动力学模型　

齿轮传动系统是一个含有非线性啮合刚度、啮合　

阻尼和不连续齿侧间隙等多种非线性因素的动力系　

机械因素对齿轮传动轴系扭转振动的影响分析

第２９卷第６期　２０１３年ｌ２月　电子机械工程　

Ｅｌｅｃｔｒｏ－Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖ０１．２９．Ｎｏ．６　ＤｅＣ．２０１３　

机械因素对齿轮传动轴系扭转振动的影响分析　

陈　勇　

（西南电子技术研究所，　四川成都６１００３６）　

摘要：齿轮传动系统是雷达伺服传动系统的常用形式，其扭转振动对雷达伺服机构的响应速度和稳定　性有重要影响。以某雷达第一级齿轮传动系统为研究对象，基于工程软件ＡＮＳＹＳ／ＬＳ—ＤＹＮＡ，应用显示　

中心差分法分析了支撑位置、轴径尺寸、轴上质量分布等机械参数对齿轮传动系统扭振响应的影响，通　

过对比分析，得出这些机械因素对齿轮传动系统扭振响应特性影响的定性结论，为进一步分析雷达伺服　

系统提供指导。　

关键词：齿轮传动；扭振；中心差分法；机械因素；ＬＳ－ＤＹＮＡ　中图分类号：ＴＨ１３２．４１；ＴＨ１１３．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—５３００（２０１３）０６—００３６—０４　

Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｆａｃｔｏｒｓ　ｏｎ　Ｔｏｒｓｉｏｎａｌ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　

Ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｏｆ　Ｇｅａｒ　Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　

ＣＨＥＮ　Ｙｏｎｇ　

（Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｃｈｅｎｇｄｕ　６　１００３６，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇｅａｒ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｉｓ　ａ　ｃｏｍｍｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｒａｄａｒ　ｓｅｒｖｏ　ｄｒｉｖｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ．ｉｔｓ　ｔｏｒｓｉｏｎａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｄｉ—　

ｒｅｃｔｌｙ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｔｈｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｓｐｅｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｒａｄａｒ　ｓｅｒｖｏ　ｓｙｓｔｅｍ．Ａｉｍｉｎｇ　ａｔ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｌｅｖｅｌ　ｇｅａｒ　ｔｒａｎｓ—　

齿轮中心双流传动系统的动力学分析

第３６卷第８期　２００８年８月　华南理工大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ＶＯ１．３６　Ｎｏ．８　Ａｕｇｕｓｔ　２００８　

文章编号：１０００—５６５Ｘ（２００８）０８—０１１７—０６　

齿轮中心双流传动系统的动力学分析　

段福海　郭飚　胡青春　谢存禧　

（华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州５１０６４０）　

摘要：为了研究滑动摩擦和相位调谐对齿轮中心双流传动动力学的影响，建立了考虑　

时变啮合刚度、啮合阻尼、齿面摩擦、啮合相位、支承刚度及支承阻尼的齿轮中心双流传动　系统扭转一横向振动耦合模型．通过对齿轮副啮合过程的分析，推导了系统中与摩擦有关　

的计算公式，并采用数值仿真法研究了滑动摩擦、相位调谐对齿轮动态传动误差和支承动　载荷的影响．研究结果表明：滑动摩擦对齿轮支承动载荷影响很大，采用相位调谐可有效　地降低系统的动态传动误差及中心轮的支承动载荷．　关键词：齿轮中心双流传动系统；滑动摩擦；相位调谐；动力学分析　

中图分类号：ＴＨ１１３　文献标识码：Ａ　

自从２０世纪５０年代以来，针对各种研究目的，　考虑各种因素的齿轮动力学模型不断被提出，齿轮　

动力学得到了广泛和深入地研究．Ｏｚｇｕｖｅｎ等　对　早期齿轮动力学研究中所用的数学模型进行了系统　

的回顾．近年来，Ｋａｈｒａｍａｎ等　忽略摩擦和啮合刚　

度变化，建立了计及滚动轴承径向间隙和轮齿侧隙　

的３自由度非线性动力学模型，采用谐波平衡法和　

数值仿真法研究齿轮转子系统的非线性动力学行　为．陈安华等　忽略摩擦、滚动轴承径向间隙和轮　

齿侧隙，建立了直齿轮传动系统横向一扭转耦合振　

动模型，应用数值仿真法研究了重合度、支承刚度等　

对系统稳定性的影响．Ｈｉｒｏｓｈｉ等　通过实验揭示了　

滑动摩擦在很大程度上增加了支承动载荷．Ｖａｉｓｈｙａ　等　建立了考虑滑动摩擦的直齿轮副扭转振动模　

多载荷工况下人字齿轮传动系统振动特性分析

第３２卷第１期　振动与冲击　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　多载荷工况下人字齿轮传动系统振动特性分析　王峰，方宗德，李声晋　（西北工业大学机电学院，西安７１００７２）　摘　要：由轮齿接触分析以及轮齿承载接触分析计算出考虑安装误差的轮齿啮合刚度，建立了考虑时变啮合刚度　激励、啮合冲击激励和齿侧间隙激励的人字齿轮系统十二自由度啮合型弯一扭一轴耦合非线性振动模型。以某船用单级　人字齿轮副为实例，研究了多载荷下人字齿轮左端啮合副周向的振动特性，结果表明，外载荷的增大使得啮合刚度激励和　啮合冲击激励下系统的振动均增大，且啮合冲击激励对外载荷的敏感性高于啮合刚度激励，而齿侧间隙激励下系统的振　动则随着外载荷增大而减小。同时，啮合冲击激励对系统振动的影响随着载荷增大而增大，而啮合刚度激励和齿侧间隙　激励则随着载荷增大而减小。　关键词：啮合刚度；线外啮合冲击；齿侧间隙；多载荷；人字齿轮动力学模型；振动特性　中图分类号：ＴＨ１３２；０３２２　文献标识码：Ａ　Ｄｙｎａｍｉｃ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ａ　ｄｏｕｂｌｅ　ｈｅｌｉｃａｌ　ｇｅａｒ　ｕｎｄｅｒ　ｍｕｌｔｉ—ｌｏａｄ　ＷＡＮＧ　Ｆｅｎｇ，ＦＡＮＧ　Ｚｏｎｇ—ｄｅ，ＬＩ　Ｓｈｅｎｇ－ｆｉｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ　Ｐｏｌｙｔｅｅｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ　７１００７２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｅｅｔｈ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ｗａｓ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｕｓｉｎｇ　ｔｏｏｔｈ　ｃｏｎｔａｃｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｌｏａｄ　ｔｏｏｔｈ　ｃｏｎｔａｃｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ａ　１２一　ＤＯＦ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｏｕｂｌｅ　ｈｅｌｉｃａｌ　ｇｅａｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｗａｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ，ｃｏｍｅｒ　ｍｅｓｈ　ｉｍｐａｃｔ，ａｎｄ　ｂａｃｋｌａｓｈ．Ｗｉｔｈ　ａ　ｓｈｉｐ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｓ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｅｆｔ　ｅｎｄ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｇｅａｒ　ｐａｉｒ　ｕｎｄｅｒ　ｍｕｌｔｉ—ｌｏａｄ　ｗｅｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　ｕｎｄｅｒ　ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｃｏｒｎｅｒ　ｍｅｓｈ　ｉｍｐａｃｔ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｗｉｔｈ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｉｎ　ｌｏａｄ　ｔｏｒｑｕｅ；ａ　ｃｏｍｅｒ　ｍｅｓｈ　ｉｍｐａｃｔ　ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｔｏ　ｃｈａｎｇｅｓ　ｏｆ　ｌｏａｄ　ｔｈａｎ　ａ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ；ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｅｃｒｅａｓｅ　ｗｉｔｈ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｉｎ　ｅｘｔｅｒｎａｌ　ｌｏａｄ　ｕｎｄｅｒ　ｂａｃｋｌａｓｈ　ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ；ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ａ　ｃｏｍｅｒ　ｍｅｓｈ　ｉｍｐａｃｔ　ｈａｓ　ａ　ｇｒｏｗｉｎｇ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌｏａｄ　ｗｈｉｌｅ　ａ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ａｎｄ　ａ　ｂａｃｋｌａｓｈ　ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　ｈａｖｅ　ｄｉｍｉｎｉｓｈｉｎｇ　ｅｆｆｅｃｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｅｓｈ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ；ｃｏｒｎｅｒ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｉｍｐａｃｔ；ｂａｃｋｌａｓｈ；ｍｕｌｔｉ—ｌｏａｄ；ｄｏｕｂｌｅ　ｈｅｌｉｃａｌ　ｇｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ；　ｖｉｂｒａｔｉ０ｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　人字齿轮承载能力大、运转平稳、噪声小，同时又　能够克服斜齿轮会产生较大轴向力这一缺点，凭借上　述优点人字齿轮传动系统已成为舰船等重型机械传动　系统中的重要组成部分，其动态特性将直接影响传动　系统的稳定性和可靠性　Ｊ。现代大功率舰船载荷工作　范围宽，对人字齿轮传动系统的动力稳定性、振动噪声　控制提出了更加苛刻的要求　Ｊ。因此，对人字齿轮传　动系统多载荷下振动特性的研究就显得尤为迫切。文　献［３—４］建立了人字齿轮传动的振动理论分析模型，　并研究了其啮合刚度、阻尼及振动模型的解算方法。　文献［５］讨论了激励和轮齿修形对人字齿轮动态特性　基金项目：国家自然科学基金（５１１７５４２３）　收稿１３期：２０１２一Ｏ１—１６修改稿收到日期：２０１２—０２—０８　第一作者王峰男，博士生，１９８６年生　的影响。而对于多载荷下人字齿轮传动系统动态特性　的分析，则尚未见有文献发表。　本文由轮齿接触分析（Ｔｏｏｔｈ　Ｃｏｎｔａｃｔ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，　ＴＣＡ）以及轮齿承载接触分析（Ｌｏａｄ　Ｔｏｏｔｈ　Ｃｏｎｔａｃｔ　Ａｎａ１．　ｙｓｉｓ，ＬＴＣＡ）通过编程计算出考虑安装误差的轮齿综合　啮合刚度和单齿啮合刚度，综合考虑轮齿啮合刚度激　励、误差激励、啮合冲击激励和齿侧间隙激励　Ｊ，建立　啮合型弯曲一扭转一轴向耦合人字齿轮副１２自由度　动力学模型，分析多载荷工况下轮齿啮合刚度以及线　外啮合冲击力的变化趋势，比较不同载荷工况下各激　励成分对人字齿轮副啮合线方向振动特性的影响。　１轮齿啮合刚度　计算轮齿接触变形及啮合刚度的方法有材料力学　方法、

无阻尼三自由度振动系统方程

振动是物体在外力作用下，围绕平衡位置做周期性的往复运动。在力学中，振动是一个重要的研究对象。无阻尼三自由度振动系统是振动学中的一种典型模型，它由三个质点组成，每个质点都可以在三个方向上做往复运动。

无阻尼三自由度振动系统的方程可以用来描述系统的运动状态和特征。这个方程是由牛顿第二定律得出的，它表示系统的质点在外力作用下的加速度。具体而言，无阻尼三自由度振动系统的方程可以写成如下形式：

m1*x1'' = -k1*x1 + k2*(x2 - x1)

m2*x2'' = -k2*(x2 - x1) + k3*(x3 - x2)

m3*x3'' = -k3*(x3 - x2)

其中，m1、m2、m3分别为三个质点的质量，x1、x2、x3分别为三个质点在各自方向上的位移，k1、k2、k3分别为三个弹簧的劲度系数。

这个方程可以进一步简化为矩阵形式：

M*X'' = -K*X

其中，M和K分别为质量矩阵和刚度矩阵，X为位移矩阵。

解这个方程可以得到系统的振动频率和振动模态。振动频率是指系统在单位时间内完成的振动周期数，它与系统的刚度和质量有关。振动模态是指系统在振动过程中各个质点的运动方式和相对位移，它与系统的初始条件和刚度矩阵有关。

无阻尼三自由度振动系统的解可以通过求解特征方程来得到。特征方程是将上述方程中的位移矩阵X代入方程后得到的一个特殊的方程。解特征方程可以得到系统的特征根，进而得到系统的振动频率和振动模态。

特征方程可以写成如下形式：

det(M*ω^2 - K) = 0

其中，ω为特征频率。

解特征方程可以得到系统的特征根，特征根的数量等于系统的自由度。特征根可以分为实根和虚根，实根对应系统的振动频率，虚根对应系统的振动模态。

通过求解特征方程，我们可以得到系统的特征根，进而得到系统的振动频率和振动模态。无阻尼三自由度振动系统的特征根是由刚度矩阵和质量矩阵决定的，不同的刚度矩阵和质量矩阵会导致不同的特征根，从而得到不同的振动频率和振动模态。

等高齿锥齿轮非线性振动特性的联合求解方法

第３１卷第１Ｏ期　振动与冲击　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　

等高齿锥齿轮非线性振动特性的联合求解方法　

刘志峰，蒋凤麒，杨文通，蔡力钢　

（北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京１００１２４）　

摘　要：齿轮重载啮合中发生的轮齿接触损失会引起齿轮传动中的动态传递误差，动态传递误差的存在是等高齿　锥齿轮非线性振动的重要原因，准确预测和计算等高齿锥齿轮传动中的动态传递误差是进一步改善这类齿轮系统振动特　性的有效手段。针对某重载等高齿锥齿轮，研究其在一定运行速度和扭矩范围内的频率响应特性，运用一种新的曲面积　分与局部有限元联合求解方法求解了等高齿锥齿轮传动中的动态传递误差，揭示出此类传动系统振动的强非线性特性。　这种方法无需将时变拟合刚度和啮合频率变量等非线性因素作为外部的激励进行求解，而是从齿轮啮合的每一时步，计　算动态啮合力以及动态传递误差，得出等高齿锥齿轮的非线性振动特性。该方法可以精确表达轮齿几何及轮齿接触力等　因素对齿轮动力学性能的影响，为等高齿锥齿轮这类复杂振动特性的传动系统提供了一种行之有效的分析方法。　关键词：等高齿锥齿轮；非线性振动；曲面积分；有限元；联合求解方法　中图分类号：ＴＨ１３２．４１４　文献标识码：Ａ　

Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｃｙｃｌｏｉｄ　ｂｅｖｅｌ　ｇｅａｒ　

ＬＩＵ　Ｚｈｉ－ｆｅｎｇ，ＪＩＡＮＧ　Ｆｅｎｇ—ｑｉ，ＹＡＮＧ　Ｗｅｎ—ｔｏｎｇ，ＣＡＩ　Ｌｉ—ｇａｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎ￣ｎｅｅｆｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１００１２４，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ　ｉｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｆａｃｔｏｒ　ｃａｕｓｉｎｇ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｙｃｌｏｉｄ　ｂｅｖｅｌ　ｇｅａｒ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｇｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｂｙ　ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ　ｏｆ　ｃｙｃｌｏｉｄ　ｂｅｖｅｌ　ｇｅａｒ．Ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｃｙｃｌｏｉｄ　ｂｅｖｅｌ　ｇｅａｒ　ｗｅｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ａ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　

三自由度齿轮系统非线性动力学行为研究

第３１卷第１期　２０１２年２月　兰州交通大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．３１　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２０１２　

文章编号：１００１－４３７３（２０１２）０１－０１４９—０４　

三自由度齿轮系统非线性动力学行为研究　

刘大亮　，　王树国　，　张福　，　王建华　

（１．兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州７３００７０；２．兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０）　

摘要：建立了包括轴承间隙、齿侧间隙在内的齿轮系统三自由度非线性动力学模型，对模型进行了无量纲化处　理，并对齿轮系统的动力学特性进行了分析．通过研究齿轮系统激励频率的变化，发现对于不同的轴承间隙，随着　系统激励频率的降低，系统响应也经历了从稳态至Ｉ】混沌的历程，出现了倍周期分岔和Ｈｏｐｆ分岔现象．　关键词：齿轮系统；非线性动力学；混沌；分岔　中图分类号：Ｏ３２２　文献标志码：Ａ　

Ｏ　引言　系统提供有益的理论依据・　

齿轮系统是机械传动系统中运用广泛且非常重　要的传动装置，出于安装以及润滑的考虑，齿轮系统　存在齿侧间隙和轴承间隙，也由此引起齿轮系统的　

拍击振动．拍击振动不仅会对齿轮系统的性能产生　

影响，也是引起机械噪音的主要原因之一［１屯］．文章　

采用数值模拟与仿真方法，对包含轴承间隙、齿侧间　隙及时变啮合刚度的三自由度齿轮系统的动力学行　

为进行研究．希望能对降低齿轮传动系统的振动及　

噪音有实际的指导意义，为设计高质量的齿轮传动　１三自由度齿轮系统力学模型　

在实际的齿轮传动系统中，由于装配的需要和　

摩擦等原因的存在，齿轮传动系统不仅存在齿侧间　隙，滚动轴承也存在一定的间隙，针对于此，本文考　

虑的齿轮传动系统存在齿侧间隙和滚动轴承的径向　

间隙．　

假设传动轴和轴承均对称于齿轮中心平面，因　

此该齿轮传动系统可以简化为具有３个自由度的齿　轮振动系统［３－４］，它的动力学模型如图１所示．　

图１三自由度齿轮系统非线性模型　Ｆｉｇ．１　３－ＤＯＦ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｇｅａｒ　

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