江苏高等数学竞赛试题汇总
江苏高等数学竞赛试题汇总
This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sinsin(sin)limsinxxxx
2.22ln(1)1xxyx，/y 3.2cosyx，()()nyx 4.21xxedxx
5.4211dxx 6.圆222222042219xyzxyzxyz的面积为 7.(2,)xzfxyy，f可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则(,)(2,1)xydz 8.级数11(1)!2!nnnnn的和为 . 二.（10分） 设()fx在,ab上连续，且()()bbaabfxdxxfxdx，求证：存在点,ab，使得()0afxdx.
三．（10分）已知正方体1111ABCDABCD的边长为2，E为11DC的中点，F为侧面正方形11BCCB的中点，（1）试求过点1,,AEF的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点1,,AEF的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD是等腰梯形，//,8BCADABBCCD,求,,ABBCAD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分22cossinDxydxdy，其中22:1,0,0Dxyxy 六、（12分）求21xxyedxxydy，其中为曲线22201212xxxyxx从0,0O到1,1A.
七.（12分）已知数列na单调增加，123111,2,5,,3nnnaaaaaa 2,3,,n记1nnxa，判别级数1nnx的敛散性.
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sinsin(sin)limsinxxxx
2.2arctantanxyxex，/y 3.设由yxxy确定yyx，则dydx 4.2cosyx，()()nyx 5.21xxedxx
6.(2,)xzfxyy，f可微，//12(3,2)2,(3,2)3ff，则(,)(2,1)xydz 7设,fuv可微，由22,0Fxzyz确定,zzxy，则zzxy 8.设22:2,0Dxyxy，则22Dxydxdy 二.（10分）设a为正常数，使得2axxe对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设fx在0,1上连续，且1100()()fxdxxfxdx，求证：存在点0,1，使得
0()0fxdx.
四.（12分）求广义积分4211dxx 五．（12分）过原点0,0作曲线lnyx的切线，求该切线、曲线lnyx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积. 六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，//,8BCADABBCCD,求,,ABBCAD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。 七（12分）求二重积分22cossinDxydxdy，其中22:1,0,0Dxyxy
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级） 一．填空题（每题5分，共40分） 1.a ，b 时，2limarctan2xaxxxbxx
2. a ，b 时()ln(1)1xfxaxbx在0x时关于x的无穷小的阶数最高。 3.2420sincosxxdx 4.通过点1,1,1与直线,2,2xtyzt的平面方程为 5.设222,xzxy则(2,1)nnzy= 6.设D为,0,1yxxy围成区域，则arctanDydxdy 7.设为222(0)xyxy上从(0,0)O到(2,0)A的一段弧，则()()xxyexdxexydy=
8.幂级数1nnnx的和函数为 ，收敛域为 。 二．（8分）设数列nx为1223,33,,33(1,2,)nnxxxxn 证明：数列nx收敛，并求其极限 三．（8分）设()fx在,ab上具有连续的导数，求证
/1max()()()bbaxbaafxfxdxfxdx
ba
四．（8分）1）证明曲面:(cos)cos,sin,(cos)sinxbayazba 02,020ab为旋转曲面 2）求旋转曲面所围成立体的体积 五．（10分）函数(,)uxy具有连续的二阶偏导数，算子A定义为 1）求(())AuAu；2)利用结论1）以,yxyx为新的自变量改变方程22222
2220uuuxxyy
xxyy的形式
六．（8分）求26001limsin()ttxtdxxydyt 七．（9分）设222:1(0)xyzz的外侧，连续函数 求(,)fxy
八．（9分）求23(3)()(1)(13)xxfxxx的关于x的幂级数展开式 2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级） 一.填空（每题5分，共40分） 1.3xfxa，41limln12nfffnn 2. 25001lim1xtxxedtx 3. 1202arctan1xdxx
4.已知点4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)ABC,O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为 5. 设由yzxze确定(,)zzxy，则,0edz
6.函数2,xfxyeaxby中常数,ab满足条件 时，1,0f为其极大值. 7.设是sin(0)yaxa上从点0,0到,0的一段曲线，a 时，曲线积分222yxydxxyedy
取最大值. 8.级数1111npnnnn条件收敛时，常数p的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时3
三.（10分）曲线的极坐标方程为1cos02，求该曲线在4所对应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积. 四（8分）设()fx在,上是导数连续的有界函数，1fxfx，
求证：1.,fxx 五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)zxyz被平面340xz截下的有限部分为.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，(2,0,23),(1,0,3)AB为上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)xyz被柱面222zxx截下的有限部分为.为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，(1,0,5),(1,0,1),1,0,0ABC为上的三点，将沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.
六（10分）曲线220xzy绕z轴旋转一周生成的曲面与1,2zz所围成的立体区域记为， 本科一级考生做2221dxdydzxyz 本科二级考生做222xyzdxdydz 七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21nnnax的收敛域为1,1，求证幂级数1nnnaxn的收敛域也为1,1；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；
若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数2112nnnnx的收敛域与和函数 2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科） 一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim12nnnnnn 2. 23001lim1xtxedtx 3. 2lim320xxxaxb，则,ab 4.2sin1,0xfxxxef 5. 设由yzxze确定(,)zzxy，则,0edz 6.函数2,xfxyeaxby中常数,ab满足条件 时，1,0f为其极大值. 7.交换二次积分的次序211,xeexdxfxydy .
8.设22:2,02Dxxyyx，则221Ddxdyxy 二.（8分）设2sin0ln10axbxcxfxxx，试问,,abc为何值时，fx在0x处一阶导数连续，但二阶导数不存在. 三.（9分）过点1,5作曲线3:yx的切线L，（1）求L的方程；（2）求与L所围成平面图形D的面积；（3）求图形D的0x部分绕x轴旋转一周所得立体的体积. 四（8分）设()fx在,上是导数连续的函数，00f，1fxfx，
江苏省高等数学竞赛题(本科一级)
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分）1.a = ，b = 时，2lim arctan 2x ax x x bx x p +=-- 2. a = ，b = 时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。
3.2420sin cos x xdx p =ò 4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ¶¶=6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则arctan Dydxdy =蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò=8.幂级数1n n nx ¥=å的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列{}n x为122,1,2,)n x x x n +====L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证/1max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+ ()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面2）求旋转曲面S 所围成立体的体积五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为(),u u A u x y x y抖=+抖 1）求(())A u A u -；2)利用结论1）以,y x y xx h ==-为新的自变量改变方程222222220u u u x xy y x x y y 抖?++=抖抖的形式 六．（8分）求26001lim sin()t t x t dx xy dy t +®蝌七．（9分）设222:1(0)x y z z S ++=?的外侧，连续函数 222(,)2()()()((,)2)z z z f x y x y x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy S=-+++++-蝌 求(,)f x y 八．（9分）求23(3)()(1)(13)x x f x x x -=--的关于x 的幂级数展开式。
江苏省高等数学竞赛试题[1]2
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2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=⎰ 6.214arctan 1x x dx x =+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2. ()2301lim 1xt x e dt x -→-=⎰ 3. ()2lim320x x x ax b →+∞++++=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则221Ddxdy x y=+⎰⎰二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,22f x y x xy y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2. 0x →时，sin cos x x x -⋅与k cx 为等价无穷小，则c =3.()2tan 2lim sin xx x π→=4. 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =6.()()21x x e x dx x e -=-⎰7. ()1,1arctan ,x z dzy-== .8. 设()()01x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212baf x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题
江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )xx x +→= ．3．= ．4．若级数11(2)66n n nn n an -∞=-+∑收敛，则a 的取值为 ． 5．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去连续点为（ ）．A ．0,1x =B ．1x =C ．0x =D ． 无可去连续点2．设21()sin ,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln x f x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（ ）．A ．3B ．2C ．1D ． 0 4．设()y f x =对一切x 满意240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （ ）．A ．获得极大值B ．获得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调削减5．过点(2,0,3)-且与直线2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 垂直的平面方程是（ ）．A ．16(2)1411(3)0x y z --+++=B ．(2)24(3)0x y z --++= C．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=⎰，求常数,a b ． 四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 确定，求220t d ydx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点． 六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na +++≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()xF x x t f t dt '=-⎰的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数210(21)n n n x ∞+=+∑的收敛域及与函数.十、（8分）将1()arctan1xf x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域． 十一、（6分）求581x xdx x -+⎰．十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满意3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim (0)x kx e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是 ． A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界 B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界4．设2ln(1),arctan x t y t t=+=+，则22d ydx= ． 5．设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ． 6．(arcsin arccos )x x dx -=⎰ ． 7．4+∞=⎰ ．8． 幂级数11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑的收敛域为 ． 二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调削减，0a b <<，求证： 三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2xx e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当k 为何值时Γ为一圆？ （2）当6k =时，求Γ的圆心与半径．六、（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． 八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑的敛散性，何时肯定收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -与k cx 为等价无穷小，则k = ，c =．3．2tan 2lim(sin )x x x π→= ．4．2222lim 14n n nn n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为 ． 8． 1(1)2nn nn ∞==+∑． 二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2baf x dx b a =-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的间隔 为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ．（1）试将,P Q 的间隔 ||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一实在数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上到处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)nn nn x n ∞=+∑收敛域 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题 一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 2．2301lim (1)xt x e dt x-→-=⎰ ． 3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)x f x x x e =++，则(0)f ''= ． 5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d y dx =-= ．6．1ln[()()]()()x bx ax a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰ ．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 与CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为 ．8． 已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为 ．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩ ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在． 三、（9分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L ．（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥的局部绕x 轴旋转一周所得立体的体积． 四、（8分）设()f x 在区间[0,)+∞上是导数连续的函数，(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤，求证：|()|1,[0,)x f x e x ≤-∈+∞．五、（8分）求12arctan (1)xdx x +⎰． 六、（9分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x z =++截下的（有限）局部为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，其中(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ．建立平面直角坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5)．试写出D 的边界的方程，并求D 的面积．七、（9分）对常数p ，探讨级数11(1)n n ∞+=-∑何时肯定收敛？何时条件收敛？何时发散？ 八、（9分）求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛域与与函数． 第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．a = ，b = 时，2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--．2．11lim (2)nn k k k →∞==+∑ ．3．设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，则(100)f '= ． 4．当a = ，b = 时，2()1xf x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高．5．2221(1)x dx x +∞=+⎰ ．6．点(2,1,1)-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为 ．7．通过点(1,1,1)-与直线：,2,2x t y z t ===+的平面方程为 ．8． 幂级数1n n nx ∞=∑的与函数为 ，收敛域为 ．二、（8分）设数列{}n x为111,(1,2,)n x x n +==，求证数列{}n x 收敛，并求其极限．三、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0ba a f x dx >=⎰，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()a f x dx f ξξξ=⎰．四、（8分）将xOy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积． 五、（8分）求200lim sin()tt tx dx +→⎰．六、（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作一条直线Γ，使该直线经过另始终线221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程．七、（8分）判别级数)11(1)1n n ∞+=-∑的收敛性（包括肯定收敛、条件收敛、发散）．八、（10分）求函数222()(1)(12)x f x x x +=-+的幂级数绽开式，并指出其收敛域．第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分） 1． 30sin sin(sin )limx x x x →-= ．2．2arctan()tan x y x e x =+，则y '= ． 3．设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= ． 4．2cos y x =，则()n y = ． 5．21xx e dx x -=⎰． 6．214arctan()1x x dx x =+⎰ ．7．圆2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 ．8． 级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的与为 ． 二、（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值．三、（10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在(0,1)ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰． 四、（12分）求反常积分4211dx x +∞-⎰． 五、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．六、（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中心．（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的间隔 ． 七、（12分）已知数列{}n a 单调增加，满意123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-(2,3,)n =，记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性．第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分） 1．x →= ．2．333412limx n n →∞+++= ．3．3023sin lim sin xx t tdtx x→=⎰ ．4．ln(1)y x =-，则()n y = ． 5．2arctan x xdx =⎰． 6．11arccos dx x= ． 7．点(2,1,3)-到直线13122x y z-+==-的间隔 为 ．8． 级数2(1)1knn n n ∞=--∑为条件收敛，则常数k 的取值范围是 ． 二、（每小题6分，共12分）（1）求3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑． （2）设()f x 在0x =处可导，且(0)1,(0)2f f '==，求2(cos 1)1limx f x x →--．三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满意条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数()f x 在(,)δδ-上有定义（0δ>），当0x δ-<<时，()f x 严格增加，当0x δ<<时，()f x 严格削减，0lim ()x f x →存在，且(0)f 是()f x 的微小值．（2）函数()f x 在(,)δδ-上一阶可导（0δ>），(0)f 为极值，且(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点．四、（10分）求一个次数最低的多项式()P x ，使得它在1x =时取极大值13，在4x =时取微小值14-．五、（12分）过原点(0,0)作曲线:x y e -Γ=的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线及x 轴为边界的无界区域．（1）求切线L 的方程；（2）求区域D 的面积；（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点(1,2,1),(5,2,3)A B --在平面:223x y z ∏--=的两侧，过点,A B 作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小．（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标；（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面方程；（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心．七、（12分）求级数1(1)(1)2n n n n n n ∞=++-∑的与．。
江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题
江苏省高校第十一届本一高等数学竞赛试题2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=----→3431)1()1)(1)(1(lim x x x x x 。
2.),1ln(2x y -=则=)(n y 。
3.=?208sin πxdx 。
4.=?∞+dx xx 131arccos 1。
5.函数),(),(),(y x f x x ψ?皆可微，设)),(),((xy y x f z ψ?+=则=??-??y z x z 。
6.设,:222z z y x ≤++Ω则=++Ωdxdydz z y x 2)( 。
7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为。
8.级数∑∞=-+-1)1()1(n n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是。
二、(每小题6分，共12分)(1)求n nn n 1)1(321lim +∞→-+-+- 。
(2)设)(x f 在0=x 处三阶可导，且,3)0(,0)0(=''='f f 求30)()1(lim xx f e f x x --→。
三、(每小题6分，共12分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明。
(1)函数)(x f 在0=x 处可导，但在0=x 的某去心邻域内处处不可导。
(2)函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导)0(>δ，)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四、(10分)设函数),(y x f 在平面区域D 上可微，线段PQ 位于D 内，点Q P ,的坐标分别为),(b a P ，),(y x Q ，求证：在线段PQ 上存在点),(ηξM ，使得))(,())(,(),(),(b y f a x f b a f y x f y x-'+-'+=ηξηξ。
江苏省高校第十届本一高等数学竞赛试题
2010年江苏省普通高等学校第十届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-→30)(sin )sin(sin sin lim x x x x 。
2.设ϕ,f 可导，)),(tan (arctan x x f y ϕ+=则='y 。
3.,cos 2x y =则=)(n y 。
4.⎰=-dx e x x x 21 。
5.=-⎰∞+dx x2411 。
6.圆⎩⎨⎧≤+--++=+-+192240222222z y x z y x z y x 的面积为 。
7.设),,2(y x y x f z -=f 可微, ,2)2,3(1='f ,3)2,3(2='f 则===21y x dz 。
8.级数∑∞=--+1!2)!1()1(1n n n n n 的和为 。
二、(10分)设)(x f 在],0[c 上二阶可导，证明：),,0(c ∈∃ξ使得 )(12))()0((2)(30ξf c c f f c dx x f c ''-+=⎰。
三、(10分)已知正方体1111D C B A ABCD -的边长为2，E 为11C D 的中点，F 为侧面正 方形11B BCC 的中点，(1)试求过点F E A ,,1的平面与底面ABCD 所成的二面角的值。
(2)试求过点F E A ,,1的平面截正方体所得到的截面的面积。
四、(12分)已知ABCD 是等腰梯形，BC ∥AD ，8=++CD BC AB ，求AD BC AB ,,的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五、(12分)求二重积分⎰⎰+Ddxdy x x )sin (cos 22，其中1:22≤+y x D 。
六、(12分)应用高斯公式计算⎰⎰++∑ds cz by ax )(222(c b a ,,为常数)， 其中z z y x 2:222=++∑。
其中Γ为曲线⎩⎨⎧≤≤=+≤≤=,21,2,10,222x x y x x x y 从)0,0(O 到)1,1(-A 七、(12分)已知数列}{n a ：,,5,2,1321 ===a a a ),3,2(311 =-=-+n a a a n n n ，记a x n 1=，判别级数∑∞=1n n x 的敛散性。
江苏省第九届(2008年)高等数学竞赛(本科三级、民办本科)真题
江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛本科三级竞赛试题一、 填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2lim x ax x x bx x π→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→n k n k k 131lim ________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxx x ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz ________________. 8、 设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。
三、（8分）设()x f 在区间[]b a ,上连续，()⎰=ba dx x f 0. 证明：存在()b a ,∈ξ,使得()()ξξξf dx x f a =⎰。
四、（8分）将xoy 平面上的曲线()()b a a y b x <<=+-0,222绕直线b x 3= 旋转一周所得立体的体积。
五、（8分）设()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+++=0,0,00,0,,24222y x y x y x y x y x y x f 讨论()y x f ,在()0,0处的连续性，可偏导性，可微性。
六、（10分）已知曲面144222=-+z y x 与平面0=--y x z 的交线在xoy 面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积.七、（8分）在平面∏：202=-+z y x 内作直线Γ，使Γ过另一直线L ：⎩⎨⎧=-+=+-343122z y x z y x 与平面∏的交点，且Γ垂直于L .求直线Γ的参数方程.八、（10分）设D 为,222x y x ≤+x y ≤≤0，求⎰⎰-+D dxdy y x 122。
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。
在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。
评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。
本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。
试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。
试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。
选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。
应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。
评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。
试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。
满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。
对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。
如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。
填空题亦是如此。
对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。
对于应用题，情况稍有不同。
应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。
如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。
如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。
本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。
试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。
评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。
通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。
江苏省第十届(2010年)高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)
江苏省第十届（2010年）高等数学竞赛本科三级，民办本科竞赛试题考试时间：2010年6月5日 上午 8:30—11:30一、 填空题（每小题4分，共32分）1、 极限30sin sin(sin )lim (sin )x x x x →-=_____________________________.2、已知2arctan()tan x y x e x =+，则y '=__________________. 3、设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx =________________________. 4、设2cos y x =，则()n y =_______________________________. 5、 不定积分21x x e dx x -=⎰________________________________. 6、 积分2140arctan()1x x dx x ⋅=+⎰______________________________. 7、 圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为________________. 8、 已知z (2,)x f x y y =-，f 可微且(2,1)12(3,2)2,(3,2)3,|dz f f ''===_____________.二、（10分）设a 为正常数，使得2a x x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。
三、（10分）设()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰； 求证：存在(0,1),ξ∈使得⎰=ξa dx x f 。
0)(四、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线。
求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
已知为侧面的中点，为，边长为正方体F D C E D C B A ABCD 1111112 的中心，11BCC B（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的距离。
2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题
费马到成功江苏省高等数学竞赛试题（专科考生）2004~2012年2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题（专科考生）目录2012年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 3~7 2010年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 8~11 2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）9~15 2006年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 16~20 2004年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 21~262012年江苏省高等数学第十一届竞赛试题（专科考生）1． 设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.2． 2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；3． 定积分11e Inx dx x+⎰=________4． 极限：21lim(1)x x x →∞-= ；311lim x x x -→= ；21lim()21xx x x →∞+=-______________.5． 通过)5,3,2(-A 且平行于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03230723z y x z y x 的直线方程为_________________6． 设)(x y y =由方程组sin (sin cos )ttx e t y e t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩确定,则22d y dx =____________________7． 不定积分2ln cos cos xdx x ⎰=________8． 若(1)(2)(2008)()(1)(2)(2008)x x x f x x x x ---=+++ ，则'(1)f =__________．9． 设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 22=x x y 。
2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-=⎰3. )lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.交换二次积分的次序()211,x e e x dx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D= 二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()120arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos D x y dxdy +⎰⎰。