高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版选修2_2
数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2
(2)(1＋ 3 )i可看作0＋(1＋ 3 )i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋ 3. 答案：0，1＋ 3 (3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0， 所以a＝〒1. 答案：〒1
【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2 m 【变式训练】m取何实数时，复数 z＝ m 6＋ m 2－2m－ 15 i. m3
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
m 2 2m 15 0， 【解析】(1)因为z为实数，所以 m 3 0， m 5或m 3， 所以 m 3，
(2)代数式中各字母的名称:
实部
虚部
虚数单位
(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
实数 _____b=0 ，
复数a＋bi(a，b∈R)
虚数 _____b≠ 0
纯虚数a=0,b≠0，
非纯虚数a≠0,b≠0.
2.复数的相等 a＝c且b＝d ，b，c，d∈R). a＋bi＝c＋di ___________(a 3.复数集
m 2 4 0, ③要使z为纯虚数，必有 2 m 3m 2 0, m 2且m 2, 所以 m 1或m 2.
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．
【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如 何? 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以 a≤0.
【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部 有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念1a22a高二22数学
变式训练 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x＋3 6＋ (x2－2x－15)i 是①实数；②虚数；③纯虚数．
解：①要使 z 是实数，必须且只须xx＋2－32≠x0－，15＝0， 解得 x＝5.
2021/12/9
第十九页，共二十八页。
②要使 z 为虚数，必须且只须xx＋2－32≠x0－，15≠0， 解得 x≠－3，且 x≠5. ③要使 z 为纯虚数，必须且只须x2－x＋x－3 6＝0，
第十二页，共二十八页。
解：(1)中当两个复数都是实数时，可以比较大小， 所以(1)为假命题． (2)由于 x，y 都是复数，故 x＋yi 不一定是代数形式， 因此不符合两个复数相等的充要条件，故(2)是假命题． (3)当 a＝0 时，ai＝0 为实数，故(3)为假命题． (4)由复数集的分类知，(4)正确．
x＋y＝2， x－y＝0，
解得xy＝＝11，.
∴实数 2021/12/9 x＝1，y＝1.
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规律技巧 本题的解题关键是两个复数相等的充要 条件，要注意等号两边均为代数形式，同时体现了复 数问题实数化的思想，特别地：a＋bi＝0(a，b∈R)， 则 a＝b＝0.
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【答案】 D
2021/12/9
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题型二 利用复数的概念解题 例 2 设 m∈R，复数 z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)． (1)若 z 为实数，则 m＝__________； (2)若 z 为纯虚数，则 m＝__________.
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【解析】 (1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
例4，下列命题中
1.复数 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫 做 虚数单位，a叫做复数的 实部，b叫做复数的 虚部. (2)表示方法：复数通常用 字母z 表示， 即 z＝a＋bi(a，b∈R) ，这一表示形式叫做复数的代数形式. 2.复数集 (1)定义：全体复数 所成的集合叫做复数集. (2)表示方法：通常用 C 表示.
7.1.1 数系的扩充与复数的概念
引入：
数系的发展史
自然数
整数
负数
有理数
分数
实数
无理数
?
?
可以看到，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关。
我们知道，在实数集内，像x2+1=0这样的 方程是没有根的。因此在研究代数方程的过程 中，如果仅限于实数系，有些问题就无法解决。 一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有 理数系扩充到实数系那样，通过引进新的数而 使实数系得到进一步扩充，从而使问题变得可 以解决呢？复数概念的引入与这种想法直接相 关。
复数的定义
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
思考 复数集C和实数集R之间有什么关系呢？
复数z a bi(a, b R)
解 （1）当m -1 = 0,即m = 1时,复数z是实数; （2）当m -1≠ 0,即m ≠1时,复数z是虚数; （3）当m +1 = 0 ,且m -1≠ 0 ,即m = -1时,复数 z 是纯虚数 .
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i， 求实数x,y的值.
人教版2017高中数学选修1-2第三章《 数系的扩充与复数的概念》课件PPT
复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部 其中 i 称为虚数单位.
讨论？
复数集C和实数集R之间有 什么关系？
R C
实数b 0 纯虚数a 0，b 0, 复数a+bi 虚数b 0 非纯虚数a 0，b 0.
若a, b, c, d R,
a c, a bi c di b d .
，其中
x, y R 求
例2
已知 (2 x 1) i y (3 y )i
x与y.
解：更具复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y， 5 解得 x , y 4. 2 1 (3 y)，
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即
m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． （3）当 m 1 0 即 m 1时，复数z 是 纯虚数． m 1 0
（数） y
（形）
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(a,b)
a b
o
x
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
m 2 m 6 0， 3 m 2， 解：由 2 得 m m 2 0， m 2 或 m 1，
高中数学 第三章《数系的扩充与复数的引入》课件 新人教A版选修1-2
You made my day!
我们，还在路上……
这些关系可以用以下框 图表示:
多 项 式 及 类比 复 数 及 类比 平面向量
其运算
其运算
及其运算
特 殊 化
实数及 其运算
特 殊 化
类比 数轴上的向 量及其运算
有理数及其运算
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
学史料,并对"整数 分数有理数 实数
复数"的数系扩充过程进行理 整.
2 学习复数应联系 ,注实意数到复数事实上是 对有序实,请数比较实数、虚虚 数数 、、 纯复数之 间的区别和,比 联较 系实数和复数义 几的 何区 意 . 别 3 你对复数四则运规 算定 法的 则合理 ,以性 及复 数代数形式的加算 、与 减向 运量的加减一 运算 致性有什么?体会 4 在 学 习 本 章,应 时注 复 数 与 实 数 、数有的理 联 系， 复 数 及 其 代 数 形 式、的减加运 算 与 平 面 向 量 及 其 加 、 减 运联算系的 ,还 应 注 意 复 数 及 其 代 数 形 式 的 加 法 、、减乘法法 运 算 与 多 项 式 其 加 法 、 减 法 、 乘算法的运联.系
数系的扩充和复数的概念(课件)-人教A版(2019)必修第二册
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力 的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉 斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci2, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的 数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可 名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列 的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循 环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。
实数
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代 肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实 数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯 （1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ） 作出了杰出的贡献。
整数集
有理数集
“数”是万物的本 源，支配整个自然界和 人类社会．世间一切事 物都可归结为数或数的 比例，这是世界所以美 好和谐的源泉．
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1 1
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
实数集
实数
பைடு நூலகம்有理数 无理数
7.1复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
09人教A版 必修二
高中数学课件第三章 数系的扩充与复数的引入 1.1《数系的扩充与复数的概念》
我们能否将实数集进行扩充， 使得在新的数集中，该问题能 得到圆满解决呢？在几何上，
我们用什么来表示实数?
满足
引入一个新数：i
i2 1
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且 规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时， 原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率) 仍然成立.
解： (1) lg an n lg a(a 0),
大前提
lg 8 lg 23 ,
小前提
所以lg 8 3lg 2
结论
(2) lg a lg a lg b(a 0, b 0), b
lg 0.8 lg 8 , 10
所以lg 0.8 lg 8 1 3lg 2 1 3m 1.
演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式；
M……P（M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)
大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊对象； 结论---据一般原理，对特殊 对象做出的判断．
用集合的观点来理解:三段论推理的依据
若集合M的所有元 素都具有性质P， S是M的一个子集， 那么S中所有元素 也都具有性质P。
小前提 结论
4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
1、演绎推理：由一般到特殊的推理。
所有金属都能导电 铜是金属
铜能导电
太阳系大行星以椭圆 冥王星是太阳 冥王星以椭圆形 轨道绕太阳运行 系的大行星 轨道绕太阳运行
奇数都不能被2整除 2007是奇数 2007不能被2整除
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 复数的确立素材 新人教A版
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念复数的确立素材新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念复数的确立素材新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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复数的确立有了实数概念,人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展,又产生了新的矛盾，如负数开平方是什么？众所周知,在实数范围内，任何一个正数或负数的平方都得正数,或者说,没有一个数的平方会等于负已超出实数范围．与实数相比较，当时人们把这样的数称之为“虚数”，以示“不存在”、“虚无”的意思．后来，人们经过长期实践逐步认识到，“虚数”并不虚无,还把虚数与实数的复合形式a+a b，为实数）称为复数．于是，在数的概念中，又引进了复数的概念，数的系统得到了再一次的扩充．“虚数”概念的确立，是一个漫长而曲折的过程,大体可分为以下几个阶段：第一，问题提出阶段．早在公元前,在解决生产实际问题时,人们就遇到了负数开平方问题，例如，解方程210x+=时，又遇到了负数开平方．例如，公元七世纪，我国唐代的《辑古算经》中，就有三次方程问题及其解法．但一直到十六世纪以前，无论是我国还是外国，虽然研究并解决了许多三次方程问题，但对负数开平方问题仍采取回避的态度．就是说，问题是提出来了，但没有解决．第二、理论探讨阶段．到了十六世纪，人们已获得了三次方程的一般求解公式:30x px q++=（p q，为实数）有x①后来，人们发现，某些三次方程有实根,但用公式①求不出实根，于是出现了矛盾．例如，31540--=，显然有实根4x xx=．但应用公式①，则得x=+=+=如何解决这一矛盾？当时,人们从理论上进行了探讨,充分发挥了辩证思维的能动作用．例如，1572年,意大利数学家邦别利（Ｒ．Ｂombelli ，1526—1572），从21=-出发，证得332(22(2⎧+=+⎪⎨-⎪⎩ ③将③代入②，得x 224=． 这样,就解决了用公式①求不出实根的矛盾．不仅如此，还逐渐建立了关于虚数的一些运算法则．虚数开始得到人们的承认．第三，实践检验阶段．有了虚数概念之后，人们在理论上把数的概念由实数扩展到了复数．但是,在相当长的时期里，一些人对虚数和复数的存在是有怀疑的．十六世纪的意大利数学家卡当（Ｇ．Ｃardane,1501-1576）仍称复数为“似实而虚的”数．十七、十八世纪,人们努力寻找复数的几何表示和物理意义．到了十九世纪，人们最终作出了复数的各种几何解释，它被理解为平面上的点或矢量，并与物理学上的各种矢量联系起来了．这样,复数在物理学的实际研究中首先得到了一些应用,并受到了初步检验．这种应用，反过来又推动了复数理论的进一步发展，逐渐形成了一门重要的数学分支-——复变函数论．复变函数论在解决与弹性力学、电工学、空气动力学、流体力学等有关的生产实际问题中显示出，它是一种很有效的数学工具．既然复变函数论在实践中得到了检验，证明它是科学的数学理论，那么,作为这种理论的基本概念的复数及虚数，也就一同在实践中得到了检验，证明它是科学的数学概念． 复数确立之后,数的概念得到了又一次扩展．。
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。