新北师大版九年级数学下册第一章1.1锐角三角函数(2)
北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结(超级详细)
北师大版九年级数学初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题知识点：1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容）3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、30°、45°、60A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边 C6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，解直角三角形的定义1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即h i l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 ，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
所以,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
度北师大版九年级数学下册1.1第2课时正弦和余弦课件(共21张)
课堂小测
•1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sin A的值是
（）
•A
•A.
B.
C.
D.
B 【解析】由正弦的定义可得 ,
A
C
.
课堂小测
2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( •C)
A.
B. 2 C.
D.
【解析】由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，
课堂小测
3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD，cos
，
BC=10，则AB的值是（ C ）
• A．9 B．8 C．6 D．3
•提示：先利用余弦求出AC的长度，再利用勾股定理，求出AB的长度即可.
课堂小测
•4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（B ）
B
•斜
边
•∠A的对
•┌边
A •∠A的邻 C
边
•即在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦.
课堂小结
•在定义中应该注意的几个问题: •(1) sin A,cos A,tan A 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构 •造直角三角形) . •(2)sin A,cos A,tan A 是三个完整的符号,表示∠A的正弦,余弦,正切,习惯省去 •“∠”这个符号. •(3)sin A,cos A,tan A 都是比值.注意比的顺序,且sin A,cos A,tan A 均大于0,无 •单位. •(4)sin A,cos A,tan A 的值只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长大小无 •关.
A
5
5
B 6D
新北师大版九年级数学下册《三角函数的计算》优质ppt教学课件
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 ˚ ′ ″ 键即可显示 以“度、分、秒”为单位的结果.
根据上述方法你能求出问题1中∠A的大小吗？
sin A = 1 = 0.25. 按键顺序和显示结果为
4
SHIFT sin 0 · 2 5 = 14.477 512 19°
再按 ° ′ ″ 键可显示14˚28′39″，所以∠A=14˚28′39″.
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
知识点1 利用计算器求锐角三角函数值
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5.若用科学计算器 求边AC的长,则下列按键顺序正确的是( D )
D 39°
E
45°
C
A
【解析】（1）由题意，AC＝AB＝610 米.
（2）DE＝AC＝610米，
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ BE ，
DE
故BE＝DEtan39°． 因为CD＝AE，
所以CD＝AB－DE·tan 39°
＝610－610×tan 39°≈116（米）. 答：大楼的高度CD约为116 米．
B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
•2. 已知sin α＝1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒
2
”为单位，最后按键(D )
•A．AC/ON
B. SHIFT
C．MODE
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
北师大版九年级下册数学1.1.1锐角三角函数(教案)
其次，在新课讲授环节，我注意到学生们对于正弦、余弦和正切的定义及计算方法掌握得还不错。但在讲解难点时，我发现有些学生仍然存在困惑。为此，我打算在接下来的课堂中，加强对这些难点的讲解和练习，通过反复举例和对比，帮助学生更好地理解。
-余弦（cos）：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比值。
-正切（tan）：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值。
2.学会使用计算器求锐角三角函数值，并能解决一些简单实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过探究锐角三角函数的定义，让学生理解数学概念的形成过程，提高数学抽象思维能力。
北师大版九年级下册数学1.1.1锐角三角函数（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下册数学第1章《锐角三角函数》中的1.1节“锐角三角函数”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.理解正弦、余弦和正切的概念，掌握其在直角三角形中的定义和计算方法。
-正弦（sin）：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值。
-建立数学模型：在实际问题中，学生可能难以找到合适的三角函数模型来解决问题。教学中应引导学生如何从问题中提取信息，建立三角函数模型，并运用三角函数知识求解。
-解Байду номын сангаас问题策略：学生可能不知道如何将实际问题转化为数学问题，需要教师通过案例分析和指导，教授解题策略和技巧。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
新版北师大版数学九年级下册教案(全)
第一章 直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1 锐角三角函数教学目标1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计➢ 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
➢ 师生共同研究形成概念1、 梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、 想一想（比值不变）☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB ABCAB C∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC= ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。
(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲
图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结
新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，．．即tan A=∠A的对边;∠A的邻边①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
2.正弦：．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin A=∠A的对边;斜边3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A=∠A的邻边;斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值sinαcosαtanα30º1245º60º3233222213212Bi=h:lhC A图13l图2三．三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。
用字母i表示，即．．．．．．．．．．．．．i=h=tan A l5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
北师大版九年级数学下册《全册习题课件》(36套课件附答案演示)
第一章 直角三角形的边角关系
第2课时 正弦与余弦
1 利用正弦的定义求正弦值 2 利用余弦的定义求余弦值(定义法) 3 利用三角函数求三角形的边长 4 利用三角函数求折叠中函数值(折叠法)
13．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，
DF⊥AE，垂足为F，连接DE.
(1)求证：△ABE≌△DFA； (2)如果AD＝10，AB＝6，求sin ∠EDF的值．
北师大版九年级数学下册
36套课件附答案演示
1.1 锐角三角函数
第一章 直角三角形的边角关系
第1课时
正
切
1 利用正切的定义求值 2 利用正切的定义求入射角的正切值(等角代换法) 3 利用正切的定义求正切的值(化斜为直法) 4 利用正切的定义解坡度问题
12. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图所示． 解： 在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°， ∴∠ACD＝30°. 1 ∴AD＝ AC＝2，CD＝ 2 3. 2 AD 2 1 ＝ ＝ ， 在Rt△ABD中，tan B＝ BD BD 8 ∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－ 2 3.
(1)∵主楼梯的坡度为1∶ 3 ， 解： BC 1 3 ∴ AB ＝ ＝ 3 . 3 ∵BC＝3 m，
∴AB＝ 3 3 m. ∴AB＋BC＝3＋ 3 3 ≈ 8.2(m)． 答：至少需要8.2 m的地毯． (2)8.2×2×30＝492(元)．
答：给采购人员至少492元钱去购买地毯．
1.1 锐角三角函数
(1) 在矩形ABCD中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°， 证明： ∴∠AEB＝∠DAF. ∵DF⊥AE，AE＝BC， ∴∠AFD＝90°＝∠B，AE＝AD. ∴△ABE≌△DFA(AAS)．
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数教案
一、教学内容
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数教案：
1.理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义。
2.掌握特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切值。
3.能够运用锐角三角函数解决直角三角形中的边角问题。
3.在解决实际问题时，培养学生运用数学知识进行模型构建和数据处理的技能，增强数学应用意识。
4.通过小组合作、讨论交流，提升学生的合作能力和批判性思维，激发创新意识。
5.引导学生从生活中发现数学问题，体会数学与实际生活的紧密联系，培养数学在实际生活中的应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的概念，以及它们在直角三角形中的表示方法。
4.了解并运用三角函数在生活中的实际应用。
本节课将围绕以上内容展开教学，通过引导学生探究、举例、练习，使他们在理解概念的基础上，掌握锐角三角函数的计算和应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学语言描述直角三角形边角关系的能力，提升数学表达和逻辑思维能力。
2.通过对锐角三角函数概念的理解和特殊值的记忆，提高学生的数学抽象和推理素养。
2.教学难点
-理解锐角三角函数的定义，特别是对于函数名称与对应边长的记忆混淆。
-在实际问题中构建直角三角形模型，确定哪条边是“对边”、“邻边”或“斜边”。
-将实际问题抽象为数学问题，运用三角函数进行求解。
-理解三角函数值在不同角度下的变化规律，特别是在角度接近90°时，函数值的变化趋势。
举例：针对锐角三角函数定义的难点，可以设计图形化的教学活动，让学生通过旋转直角三角形的角度，观察并记录不同角度下的函数值变化，从而加深理解。对于实际问题中的难点，可以提供具体场景，如测量旗杆的高度，引导学生如何将实际问题转化为直角三角形的问题，并运用三角函数进行计算。
新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系知识点整理复习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________； 考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。