高中数学课件 选修2-2：第三章 数系的扩充与复数的引入 1.1《数系的扩充与复数的概念》
选修2-2—— 数系的扩充和复数的概念
3．1 数系的扩充和复数的概念
1．问题导航
(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？
(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？
(3)复平面是如何定义的？复数与复平面内的点及向量的关系如何？
(4)复数的模是实数还是虚数，如何求出？
2．例题导读
通过P103例1的学习，理解复数集中实数、虚数、纯虚数的概念，掌握分类的充要条件．
1．数系扩充的原则
为了解决x2＋1＝0在实数系中无解的问题，引进一个新数i，它有以下两个性质．
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与它进行四则运算．
2．复数的概念
(1)复数的定义及常见数集间的关系．
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．全体复数所成的集合C叫做复数集．显然N*NZQRC.
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b＝0）虚数（b≠0）（当a＝0时，z为
纯虚数)
(3)复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．
3．复数的几何意义
(1)复平面的概念
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数的几何意义 (3)复数的模
向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R).
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复数的几何意义
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
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第 3 章 数系的扩充与复数的引入
第1课时 数系的扩充
教学过程
随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.
一、 问题情境
怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?
二、 数学建构
问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?
解 引入虚数单位i,规定:
① i2=-1;
① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
i是-1的一个平方根.
问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?
解 ① 复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.
① 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.
问题3 复数与实数有什么关系?
解 对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
(图1)
学生分组活动
活动1 复数集C和实数集R之间有什么关系?
活动2 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?
问题4 a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗?
解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么?
解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复
第3讲 数系的扩充与复数的引入
第3讲 数系的扩充与复数的引入
一、 基础知识梳理：
1．复数的有关概念：(1)复数①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作 ，a叫作复数的 ，b叫作复数的 ．②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a，b∈R)．
(2)复数集①定义： 组成的集合叫作复数集．②表示：通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)分类：复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝0虚数b≠0 纯虚数a＝0非纯虚数a≠0
(2)集合表示： .
3．两个复数相等：a＋bi＝c＋di当且仅当 .
4．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b) 复平面内的点 ；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) OZ→＝(a，b)平面向量 ．
5．复数的模：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝ .
二．问题探究
探究点一：复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.
跟踪训练1：符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；
(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．
探究点二：复数的分类
例2：当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
跟踪训练2：实数m为何值时，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
探究点三：两复数相等
例3：已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.
第3章 数系的扩充与复数的引入
1 第3章 数系的扩充与复数的引入
§3.1数系的扩充和复数的概念
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
学生探究过程：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
讲解新课：
1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立.
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!
3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
4.复数的定义：形如(,)abiabR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念
教学目标
重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.
难点:虚数单位i的引进以及对复数概念的理解．
知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i及i与实数的运算规律
能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
自主探究点：如何运用实数与虚数单位i的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件.
考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.
一、 引入新课
求下列方程的解:
(1)24x 2(2)40x (3)310x 2(4)20x 2(5)10x．
学生分析各题的解：(1)2x；(2)22xx或;1(3)3x；(4)22xx或；(5)实数集内无解.
通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.
如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．
二、探究新知
1.复习已学过的数系
问题1:数，是数学中的基本概念。到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》本章综述
第三章 数系的扩充与复数的引入
本章综述
复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的.大约经过一个世纪,才逐步形成完整的理论.现在它已在数学、力学、电学以及其他科学领域里获得了广泛的应用.复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内,它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便.因此,复数也属于初等数学的基础知识.
本章的主要内容有两部分,一是理解复数的概念及复数的几何意义,并能用复数的概念和几何意义解决相关问题;二是掌握复数的加法、减法的运算法则及其几何意义,掌握复数的乘法、除法的运算法则,并能熟练、准确地运用运算法则解决相关的问题.本章的重点是复数的概念与复数相等的应用,难点是复平面内求点的轨迹及复数加法、减法的几何意义的理解应用.
在学习数系的扩充这一节时,可以采取自学的方式,通过阅读,找出数系在每一次扩充时遇到的问题实例,然后可以多举一些生产生活中的实例以加深理解,并通过研究对数系的扩充的必要性和合理性加深认识.
通过学习,要把复数的有关概念和分类搞透彻,并结合复数的几何意义加强理解.
在复数的学习中,应避免繁琐的计算,同时注意技巧的训练.感兴趣的同学,可以学一些引申的内容:如求x3=1的根,代数学基本定理等.
第3章 数系的扩充与复数的引入 2
第3章 数系的扩充与复数的引入
§3.1数系的扩充和复数的概念
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学目标：
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
教具准备：多媒体、实物投影仪
教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.
教学过程：
学生探究过程：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2
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2 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
教学过程
一、推进新课
1.复数的加法
探究新知
我们规定，复数的加法法则如下：
设biaz1,dicz2是任意两个复数，那么
idbcadicbia
提出问题
问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?
问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？
问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？
活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。2．一致。3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
- 1 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1．虚数单位i
在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立．
2．复数的相关概念
集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做□03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做□05复数集．
复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与虚部．
3．复数的分类
对于复数z＝a＋bi，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当□09a＝b＝0时，它是实数 - 2 - 0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．
4．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
复数相等的充要条件
(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．
(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) - 3 - (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
【高中数学】数系的扩充与复数的引入
第 1 页 【高中数学】数系的扩充与复数的引入
知识讲解
1. 复数的有关概念
（1）复数的概念
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。
若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。
虚数纯虚数，实数虚数复数C
（2）复数相等：a+bi=c+diacbd (a,b,c,d∈R).
（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭acbd (a,b,c,d∈R)
两个重要命题：
定理：复数是实数的充要条件是；1zzz
定理：复数是纯虚数的充要条件是（）200zzzz
（4）复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面上的点来表示复数，一般的，可用Z (a,b) (a,b∈R)表示复数a+bi (a,b∈R)或用向量OZ表示复数a+bi.
（5）复数的模
向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模，记为|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=22ab。
2、复数的几何意义
（1）复数z=a+bi一一对应复平面内的点Z (a,b) (a,b∈R)
（2）复数z=a+bi一一对应平面向量OZ (a,b∈R)
3、复数的运算
（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）
加法：Rdcbaidbcadicbia,,,)()()()(
减法：idbcadicbia)()()()(
乘法：iadbcbdacdicbia)()())((
除法：)())(())(()()(转化为乘法运算„dicdicdicbiadicbiadicbia，简记为“分母实数化”。