2020中考数学二轮复习课件：专题八 几何综合探究题
2.
填空:①线段DE与AC的位置关系是
;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系
是
.
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(2)当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小智猜想(1)中S1与S2的 数量关系仍然成立,并尝试作DM⊥BC,AN⊥CE,垂足分别为M,N,请
∵△ABC,△DEF都为等腰直角三角形,D是BC中 点,∴AD=BD,DF=DE,∠ADB+∠ADF=∠FDE+∠ADF,即
∠BDF=∠ADE,
∴△ADE≌△BDF, ∴AE=BF,
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(3)当BC=2,在(2)的条件下,当α°=90°时,AE值最大,如图所示:
∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM 中,∠ACN=∠DCM,∠CMD=∠N,AC=DC,∴△ACN≌△DCM(AAS ),∴AN=DM,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三
角形的面积相等),即S1=S2.
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∵BD∠=AB∠C12=A6B0C°=,F310D°∥,∠BFE2,D∴B∠=9F02°F,∴1D∠=∠F1ADBFC2==∠60A°,B∵CB=F610=°,DF1,∠F1 ∴△DF1F2是等边三角形,∴DF1=DF2,
BF,AE的数量关系,并说明理由.
(3)若BC=2,在(2)的条件下,当α°=
°时,AE值最大?并求此时
点A到EF三等分点的距离(画出示意图,并写出求算过程).
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解:(1)△ABD≌△ACD;△ABF≌△CAE;△FBD≌△EAD. (2)AE=BF,理由如下:连接AD,
-5������ + ������ ������ = -5,
=
0,解得
������ ������
= =
-1, -5.
∴直线AB的表达式为y=-x-5.
设点P的坐标为(m,m2+4m-5),
作PQ∥y轴,交直线AB于点Q,
∴Q(m,-m-5).
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,
∴PQ=-m-5-(m2+4m-5)=-m2-5m.
又∵抛物线与y轴交于A点,∴A(0,-5),
把A(0,-5)代入y=a(x+5)(x-1),得-5=-5a,∴a=1,
∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x-1)=x2+4x-5.
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类型一
类型二
类型三
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(2)∵A(0,-5),AD∥x轴,点E关于x轴的对称点在直线AD上, ∴点E的纵坐标为5, ∴点E到直线AD的距离为10.
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类型一
类型二
类型三
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类型一 类比拓展探究题 例1(2018·安徽,23)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上 一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:CM=EM; (2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小; (3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
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类型一
类型二
类型三
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方法二:∵△DAE≌△CEM,CM=EM,∠AED=90°,
∴AE=DE=EM=CM,∠CME=90°, 则由(1)知:EM=12BD, ∴DE=DM=EM,∴△DEM 是等边三角形. ∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°. ∴FM=1EF.
∴∠CME=2∠CBA=80°, ∴∠EMF=180°-80°=100°.
(3)证明:方法一:同(2)可得∠CBA=45°.
∴∠CAB=∠ADE=45°. ∵△DAE≌△CEM, ∴DE=CM=ME=12BD=DM,∠ECM=45°. ∴△DEM为等边三角形,∴∠EDM=60°. ∴∠MBE=30°. ∵∠MCB+∠ACE=45°,∠CBM+∠MBE=45°,
把y=-5代入y=x2+4x-5,得
-5=x2+4x-5,
解得x1=-4,x2=0(舍),∴D(-4,-5),AD=4. ∴S△EAD=12×4×10=20.
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类型一
类型二
类型三
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(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,k≠0,
把B(-5,0)和A(0,-5)代入,得
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类型一
类型二
类型三
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∴∠ACE=∠MBE=30°. ∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°. 连接AM,∵AE=EM=MB, ∴∠MEB=∠EBM=30°,
∠AME= 12∠MEB=15°.
∵∠CME=90°, ∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM.∴AC=AM. ∵N为CM中点,∴AN⊥CM. ∵CM⊥EM,∴AN∥CM.
°时,EP长度最大,最大值为
.
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类型一
类型二
类型三
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类型一
类型二
类型三
解题知识解读
题型分类突破
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(1)证明:∵AB∥CB1,
∴∠BCB1=∠B=∠B1=30°, ∴∠A1CD=90°-∠BCB1=60°,∠A1DC=∠BCB1+∠B1=60°,∴△A1CD
设△ABP的面积为S,
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类型一
类型二
类型三
∴S=S△APQ+S△BPQ=12×(-m2-5m)×(-m)+12×(-m2-5m)×(m+5)
=-52 m+52 2+1285,
∴当 m=-52时,S 最大,
即当点 P -5,-35 时,△ABP 面积最大,最大面积为125.
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1.如图1,△ABC,△DEF都为等腰直角三角形,摆放时,点A在边DF上, 且A为DF中点,边BC、DE在一条直线上,连接BF,AE.
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(1)找出图1中所有的全等三角形.
(2)把△DEF绕点D顺时针旋转α°(0°<α°<180°)后(如图2),判断线段
+
23 3
=
433,故
BF
的长为233或433.
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中,DF1=DF2,∠CDF1=∠CDF2,CD=CD,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),∴点F2也是所求的点.∵∠ABC=60°,点
D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°.∵BD=2.∴
BF1=12×2÷cos
30°=1÷
3 2
=
233,∴BF1=233,BF2=BF1+F1F2=233
专题八 几何综合探究题
题型概述 方法指导
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几何综合探究题主要涉及利用三角形相似或全等的判定及性质 进行相关的探究与证明、三角形和四边形的综合探究与证明(常涉 及线段的数量和位置关系、求线段长、特殊图形的判定等),这是 中考对几何推理与证明能力考查的必然体现.把观察、操作、证明 融于一体,展示了数学探究的过程和方法,体现了对数学活动经验 的关注,也体现了对培养学生发现和提出问题、分析和解决问题能 力的关注.
∴DH=23,AH=53,
在 Rt△AHG 中由勾股定理得 AG= 341.
所以 A 到 EF 三等分点的距离为
53 或
3
341.
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2.两个完全相同且重合放置的△ABC和△DEC,如图1,其中 ∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,如图
解:(1)方法1:把B(-5,0)和C(1,0)代入y=ax2+bx-5,得
0 0
= =
2������5+������-���5���-���5���-,5,解得
������ ������
= =
1, 4.
∴抛物线的表达式为y=x2+4x-5.
方法2:∵抛物线与x轴交于B(-5,0)和C(1,0),
∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x-1),
是等边三角形;
(2)证明:由旋转的性质可知
AC=CA1,∠ACA1=∠BCB1,BC=CB1,∴△ACA1∽△BCB1, ∴S1∶S2=AC2∶BC2=12∶( )2=1∶3;
3 (3)120 32a
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类型一
类型二
类型三
类型三 几何图形与函数相结合探究题
例3(2018·山东菏泽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物 线于点D.
中考数学第二轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
2020中考数学几何探究题解析
2020中考数学几何探究题解析分析：第一小题比较简单，一看就知道是个正方形；第二小题看图的话，感觉像是两个线段相等，那么要证明F是CE'中点，而这个时候要注意FE'是在正方形中的，所以要懂得线段的转换；第三小题只有两个线段长度，咋一看感觉应该有难度吧，但是如果善于发现，就很容易找到突破口了。
解答：（1）正方形理由：BE=BE'，∠EBE'=∠BE'F=90°所以BE//FE'同时可得EF//BE'所以四边形FEBE'是矩形，同时又邻边相等所以正方形成立；（2）分析的时候已经说了，不能忘记FE'是在刚才的正方形中的，而同时两个线段都在线段CE'上，所以要好好研究这个CE'根据旋转可知CE'=AE而题中刚好又给了DA=DE这不等腰三角形吗有等腰三角形，那么首先就想到了三线合一，干脆画出来如图，作DH⊥AE于H，则AH=EH别忘了刚才的AE=CE'现在AE倒被分成了两个线段的线段，那么如果F是CE'中点，那么CF和FE'不是就和AH、EH一样吗所以我们如果能够得到FE'等于AE的一半不是也行嘛根据条件可以得证△DAH≌△ABE所以AH=BE=BE'现在正方形派上用场了，所以FE'=BE=AH=HE即AE=2FE'那么CE'=2FE'所以CF=FE'（3）这一小题给出的两个线段其实是有联系的，不知道看到这的你是否发现了CF=3，AB=15看看CF在什么位置，不是在刚才的CE'上吗，凑上FE'就刚好变成CE'了，而CE'=AE，同时还有FE'=BE，所以我们如果假设FEBE'的边长为x，那么BE=x，AE=CE'=3+x，AB=15勾股定理走起，可得x²+（3+x）²=15²根据经验可以直接判断BE=9，AE=12，符合3、4、5的比例嘛现在知道了BE和AE，那么题上让求DE，我们可以让DE处于直角三角形，利用勾股定理解决这里可以过D向AE作垂线，也可以过E向AD作垂线，前者刚好能构造出前面用过的全等，所以作DM⊥AE于M那么可得AM=9，DM=12，所以ME=3，那么Rt△DME中，DE=3√17学完这道题，同学们就应该记牢出现正方形的时候，要能想到利用正方形的四边相等进行线段转换，同时有直角的时候千万不能忘记勾股定理。
2020中考数学 二轮专题复习 圆的综合题(含答案)
2020中考数学二轮专题复习圆的综合题（含答案）1.如图，∠OP A＝12∠APB，∠O与P A相切于点C.（1）求证：直线PB与∠O相切.（2）PO的延长线与∠O相交于点E，若∠O的半径为3，PC＝4，求CE的长.第1题图(1)证明：如解图，连接OC，作OD∠PB于D点．∠∠O与P A相切于点C，∠OC∠P A.∠点O在∠APB的平分线上，OC∠P A，OD∠PB，∠OD＝OC，即OD为∠O的半径，∠直线PB与∠O相切；第1题解图(2)解：如解图，设PO交∠O于F，连接CF.∠OC＝3，PC＝4，∠PO＝5，PE＝8.∠∠O与P A相切于点C，∠∠PCF＋∠FCO＝∠FCO＋∠OCE，又∠∠E＝∠OCE，∠∠PCF＝∠E.又∠∠CPF＝∠EPC，∠∠PCF ∠∠PEC ，∠CF ∠EC ＝PC ∠PE ＝4∠8＝1∠2.∠EF 是直径，∠∠ECF ＝90°.设CF ＝x ，则EC ＝2x ，则x 2＋(2x )2＝62，解得x ＝655， 则CE ＝2x ＝1255.2、如图，已知AO 为Rt∠ABC 的角平分线，∠ACB ＝90°，AC BC ＝43，以O 为圆心，OC 为半径的圆分别交AO ，BC 于点D ，E ，连接ED 并延长交AC 于点F .(1)求证：AB 是∠O 的切线；(2)求tan∠CAO 的值；(3)求CFAD 的值.第2题图(1)证明：作OG ∠AB 于点G ，如解图．∠在∠OGA 和∠OCA 中，⎩⎨⎧∠OGA ＝∠OCA∠GAO ＝∠CAO AO ＝AO，∠∠OGA ∠∠OCA (AAS)，∠OG ＝OC ，∠OG 为∠O 的半径，∠OG ∠AB ，∠AB 是∠O 的切线；(2) 解：设AC ＝4x ，BC ＝3x ，∠O 半径为r ，则AB＝5x ，由切线长定理知，AC ＝AG ＝4x ，故 BG ＝x .∠tan∠B ＝OG ∠BG ＝AC ∠BC ＝4∠3，∠OG ＝43BG ＝43x ， ∠tan∠CAO ＝tan∠GAO ＝43x 4x ＝13； (3)解：在Rt∠OCA 中，AO ＝OC 2＋AC 2＝4103 x ， ∠AD ＝OA －OD ＝43(10－1) x . 如解图，连接CD ，则∠DCF ＋∠ECD ＝∠ECD ＋∠CEF ，∠∠DCF ＝∠CEF ，又∠CEF ＝∠EDO ＝∠FDA ，∠∠DCF ＝∠ADF ，又∠∠F AD ＝∠DAC ， 第2题解图∠∠DF A ∠∠CDA ，∠DA ∠AC ＝AF ∠AD ，即 43 (10－1)x ∠4x ＝AF ∠43(10－1)x ， ∠AF ＝49(11－210)x ，∠CF ＝8（10－1）x 9， ∠AD CF ＝32. 3、如图， AB 是∠O 的直径，点D 是弧AE 上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F .(1)求证：BC 是∠O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，延长ED 、BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第3题图(1)证明：∠AB 是∠O 的直径，∠∠AEB ＝90°，∠∠EAB ＋∠EBA ＝90°，∠∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ，∠∠EAB ＝∠CBE ，∠∠ABE ＋∠CBE ＝90°，∠CB ∠AB ，∠AB 是∠O 的直径，∠BC 是∠O 的切线；(2)解：∠BD 平分∠ABE ，∠∠ABD ＝∠DBE ，如解图，连接DO ，∠OD ＝OB ，∠∠ODB ＝∠OBD ，∠∠EBD＝∠ODB ， 第3题解图∠OD ∠BE ，∠PD PE ＝PO PB ， ∠P A ＝AO ，∠P A ＝AO ＝OB ，∠PO PB ＝23，∠PD PE ＝23， ∠PD PD ＋DE ＝23， ∠DE ＝2，∠PD ＝4.4、如图,CD 是∠O 的直径,点B 在∠O 上,连接BC 、BD ,直线AB 与CD 的延长线相交于点A ,AB 2=AD ·AC ,OE ∠BD 交直线AB 于点E ,OE 与BC 相交于点F ,(1)求证：直线AE 是∠O 的切线；(2)若∠O 的半径为3,cos A =54,求OF 的长.第4题图(1)证明：如解图，连接OB ，∠AB 2＝AD ·AC ，∠AB AD ＝AC AB， ∠∠A 为公共角，∠∠ABD ∠∠ACB ，∠∠ABD ＝∠ACB ，在∠O 中，OB ＝OC ，∠∠OBC ＝∠OCB ，∠∠OBC ＝∠ABD ，∠CD 是∠O 的直径，∠∠CBD ＝90°，∠∠OBC ＋∠OBD ＝90°，∠∠OBD ＋∠ABD ＝90°，即∠OBA ＝90°，∠点B 为AE 上一点，且OB 为∠O 的半径，∠AE 是∠O 的切线；第4题解图(2)解：在Rt∠ABO 中，OB ＝3，cos A ＝AB OA ＝45， ∠设AB ＝4k ，OA ＝5k (k > 0)，又OA 2＝AB 2＋OB 2，∠(5k )2＝(4k )2＋32，∠k 2＝1(k >0)，∠k ＝1，即AB ＝4，OA ＝5，∠OD ＝3，∠AD ＝OA －OD ＝2，∠OE ∠BD ，∠AD OD ＝AB BE ，即23＝4BE， ∠BE ＝6.在Rt∠OBE 中，OE ＝BE 2＋OB 2＝62＋32＝35， ∠∠CBD ＝90°，BD ∠OE ，∠∠EFB ＝90°，∠S ∠OBE ＝12OB ·BE ＝12OE ·BF ， ∠BF ＝OB ·BE OE ＝3×635＝655， 在Rt∠OBF 中，由勾股定理可知，55355632242=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=BF BO OF . 5、如图，在∠ABD 中，AB =AD ,以AB 为直径的∠F 交BD 于点C ，交AD 于点E ，CG ∠AD 于点G .（1）求证：GC 是∠F 的切线；（2）若∠BCF 的面积为15，求∠BDA 的面积；第5题图(1)证明：∠AB ＝AD ，FB ＝FC ，∠∠B ＝∠D ，∠B ＝∠BCF ，∠∠D ＝∠BCF ，∠CF ∠AD ，∠CG ∠AD ，∠CG ∠CF ，又∠FC 为∠F 的半径，∠GC 是∠F 的切线；(2)解：由(1)得：CF ∠AD ，∠∠BCF ∠∠BDA ，∠BF BA ＝12，∠S ∠BCF ∠S ∠BDA ＝1∠4， ∠S ∠BDA ＝4S ∠BCF ＝4×15＝60.6、如图，四边形ABCD 内接于∠O ，AB 是∠O 的直径，点P 在CA 的延长线上，∠CAD ＝45°.(1)若AB ＝4，求CD ︵的长；(2)若BC ︵＝AD ︵，AD ＝AP ，求证：PD 是∠O 的切线．第6题图(1)解：如解图，连接OC 、OD ，∠∠CAD ＝45°，∠∠COD ＝2∠CAD ＝90°，∠AB ＝4，∠OC ＝12AB ＝2. ∠CD ︵的长为90180×π×2＝π；第6题解图(2)证明：∠BC ︵＝AD ︵，∠∠BOC ＝∠AOD .∠∠COD ＝90°，∠∠AOD ＝180°－∠COD 2＝45°. ∠OA ＝OD ，∠∠ODA ＝∠OAD .∠∠AOD ＋∠ODA ＋∠OAD ＝180°，∠∠ODA ＝180°－∠AOD 2＝67.5°. ∠AD ＝AP ，∠∠ADP ＝∠APD .∠∠CAD ＝∠ADP ＋∠APD ＝45°，∠∠ADP ＝12∠CAD ＝22.5°. ∠∠ODP ＝∠ODA ＋∠ADP ＝90°.又∠OD 是∠O 的半径，∠PD 是∠O 的切线．7.如图，AB 为∠O 的直径，D 、T 是圆上的两点，且AT 平分∠BAD ，过点T 作AD 延长线的垂线PQ ，垂足为C .（1）求证：PQ是∠O的切线；（2）已知∠O的半径为2，若过点O作OE∠AD，垂足为E，OE＝3，求弦AD的长.第7题图(1)证明：连接OT，如解图∠所示，∠OA＝OT，∠∠OAT＝∠OTA，∠AT平分∠BAD，∠∠OAT＝∠CAT，第7题解图∠∠∠OTA＝∠CAT，∠OT∠AC，∠PQ∠AC，∠PQ∠OT，∠OT是∠O的半径，∠PQ是∠O的切线；(2)解：如解图∠所示，∠OE∠AD，∠AE＝DE，∠AEO＝90°，∠AE＝OA2－OE2＝22－（3）2＝1，第7题解图∠∠AD＝2AE＝2.8. 如图所示, 直线DP和☉O相切于点C,交直径AE的延长线于点P, 过点C作AE的垂线, 交AE于点F, 交☉O于点B,作平行四边形ABCD,连接BE, DO,CO.(1)求证：DA=DC ;(2)求∠P及∠AEB的大小.第8题图(1)证明：∠在平行四边形ABCD中，AD∠BC，CB∠AE，∠AD∠AE，∠∠DAO＝90°，又∠直线DP 和☉O 相切于点C ，∠DC ∠OC ，∠∠DCO ＝90°，∠在Rt∠DAO 和Rt∠DCO 中，⎩⎨⎧DO ＝DO AO ＝CO ， ∠Rt∠DAO ∠Rt∠DCO (HL)，∠DA ＝DC ；(2)解：∠CB ∠AE ，AE 是∠O 的直径，∠CF ＝FB ＝12BC ， 又∠四边形ABCD 是平行四边形，∠AD ＝BC ，∠CF ＝12AD ， 又∠CF ∠DA ，∠∠PCF ∠∠PDA ，∠PC PD ＝DC PD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD . 由 (1) 知DA ＝DC ，∠DA ＝12PD ， ∠在Rt∠DAP 中，∠P ＝30°.∠DP ∠AB ，∠∠F AB ＝∠P ＝30°，又∠∠ABE ＝90°，∠∠AEB ＝90°－30°＝60°.9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第9题图（1）求DC 的长；（2）求EC ︵的长．解：（1）如解图，连接BC ，第9题解图∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ，∵AC ︵＝EC ︵，∴∠ABC ＝∠DBC ，∴△ABD 为等腰三角形，∵AB ＝2AC ＝6，∴DC ＝AC ＝3；（2）如解图，连接OC 、OE ，∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3，∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π. 10. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .（1）求证：OF ＝12BD ； （2）当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积．第19题图 （1）证明：如解图，连接OC ，第10题解图 ∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ，∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵，∴BC ＝BD ，∴OF ＝12BD ； （2）解：∵∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝1，∴AB ＝2，AC ＝3，由（1）可知OF ＝12BC ＝12， ∵∠COB ＝60°，OB ＝OC ，∴△BOC 是等边三角形，∴OA ＝OB ＝BC ＝1，∴S △AOC ＝12AC ·OF ＝12×3×12＝34，S 扇形AOC ＝120πOA 2360＝π3， ∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34. 11.如图，在∠O 中，直径CD ∠弦AB 于点E ，AM ∠BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .（1）求证：AD ＝AN ；（2）若AB ＝42，ON ＝1，求∠O 的半径．第11题图（1）证明：∠∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，∠∠BAD ＝∠BCD ，∠AE ∠CD ，AM ∠BC ，∠∠AEN ＝∠AMC ＝90°，∠∠ANE ＝∠CNM ，∠∠BAM ＝∠BCD ，∠∠BAM ＝∠BAD ，在△ANE 与△ADE 中，⎩⎨⎧∠BAM ＝∠BADAE ＝AE∠AEN ＝∠AED， ∠△ANE ≌△ADE (ASA)，∠AN ＝AD ；（2）解：∠AB ＝42，AE ∠CD ,∠AE ＝12AB ＝22， 又∠ON ＝1，∠设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，如解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，第11题解图∠△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1， ∠(22)2＋(x －1)2＝(2x －1)2，解得x 1＝2，x 2＝－43(舍)， ∠AO ＝2x －1＝3，即∠O 的半径为3.12.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的∠O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F，连接EF.（1）求证：∠1＝∠F；，EF＝25，求CD的长．（2）若sin B＝55第12题图（1）证明：如解图，连接DE.∠BD是∠O的直径，∠∠DEB＝90°.∠E是AB的中点，∠DA＝DB，∠∠1＝∠B.∠∠B＝∠F，∠∠1＝∠F；第12题解图（2）解：∠∠1＝∠F，∠AE＝EF＝25，∠AB＝2AE＝4 5.在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，∠BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∠CD＝3.13.如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径.第13题图解：（1）AC与⊙O相切．理由如下：连接OE.如解图，∵BE平分∠ABD.∴∠OBE＝∠DBE，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BD，∵AB＝BC，D是AC中点，∴BD⊥AC，∴OE⊥AC，∴AC与⊙O相切；第13题解图（2）设⊙O 半径为r .则AO ＝10－r ， 由(1)知，OE ∥BD ，∴△AOE ∽△ABD ，∴AO AB ＝OE BD ，即61010r r =-， ∴r ＝154，即⊙O 半径是154.。
2020年中考数学专题复习训练 第八章：专题拓展8.2：实验操作型(解析)
第八章：专题拓展8.2：实验操作型（解析）一：题型解读（一）：题型特点：常见的形式有裁剪与拼接，折叠与对称，平移与旋转，作图与测量等，重点考查学生的实践能力和创新意识。
（二）：命题趋势：在动手操作的过程中，让学生感受到数学学习的乐趣和价值，经历“数学化”和“在创造”的过程不断提高学生的创新意识和综合能力，一般用到三角形、四边形、圆的性质等知识解题，解答题较多。
二：方法清单题型一：裁剪、拼接、作图五种基本作图分割与拼接问题通常先给出一个图形，然后让你用直线或弧线将图形分成特殊形式或面积相等的几部分，解决这类问题可借助对称的性质、角度的大小、面积公式等进行求解。
例1：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D。
求作∠ABC的平分线，分别交AD、AC于P、Q两点，并证明AP＝AQ。
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）例2：下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程。
已知：直线l 及直线l 外一点P 。
求作：直线PQ ，使得PQ ∥l作法：如图① 在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交PA 的延长线于点B ；② 在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ；③ 作直线PQ 。
所以直线PQ 就是所求作的直线。
根据小东设计的尺规作图过程。
1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）2) 完成下面的证明。
证明：∵AB ＝ AP ，CB ＝ CQ ，∴PQ ∥l （ 中位线平行 ）（填推理的依据）。
题型二：折叠与对称图形的折叠属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件。
另外，折叠还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质。
该类题型综合性较强，但是难度不大。
例1：如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，并且，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4，将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△DE B '（点B '在四边形ADEC 内），连接B A '，则B A '的长为题型三：平移与旋转以图形的平移或旋转为背景，多与相似三角形的判定和性质结合。
2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题08 立体几何解答题常考全归类(原卷版)
专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。
中考数学专题复习几何探究练习(三)
中考数学专题复习几何探究练习（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△P AC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图①（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图①网格中画出线段AB;（2）若存在一点P，使得P A=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，①FDM的大小为度．【探究】如图①，过点A作AM1①DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM①①ADM1．【拓展】如图①，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB AD BC=+，DAB∠的平分线和ABC∠的平分线交于CD边上点P．求证：PC PD=；（2）在（1）的条件下，如图①，若10AB=，1tan2PAB∠=．当PBC有一个内角是45︒时，PAD△的面积是．4．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图①，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD 沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图①，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝22，BC＝4，①C＝45°，则EF的长为．5．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，10,AB=点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．()1如图①，连接,CD则CD的长为；()2如图①，'B E与AC交于点,//F DB BC'．①求证:四边形'BDB E为菱形；①连接',B C则'B FC的形状为；()3如图①，则CEF∆的周长为；6．【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作①AOB的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．①分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．①作射线OP，则OP为①AOB的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当tan①AOB＝43时，量得MN＝4cm，直接写出MON△的面积．7．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图①，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图①，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．8．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图①，B'E与AC交于点F，DB'①BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；①连接B'C，则①B'FC的形状为；（3）如图①，则①CEF的周长为．9．如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当四边形DEFG的形状为矩形时，ABC为______三角形；（3）连接OA，当OA BC时，四边形DEFG的形状为______．10．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不与点A重合）．设点E，F同时出发移动t秒．(1)基础探究：如图1，在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，判断CE与CF的数量与位置关系，并说明理由．(2)应用拓展：如图2，点G、H分别在边AD、BC上，且217cmGH=，连接EF，当EF与GH交于点P，且45GPE∠=︒，若点P为EF的中点，则CF的长度为________，AP的长度为________．参考答案：1．探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5.【解析】 【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】 解：探究： 由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．①点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD ∴的长为53．应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.2．（1）45°；（2）证明见解析；（3）22﹣2．【解析】【分析】（1）证明①CDE=①C1DE和①ADF=①C1DF，可得①FDM=12①ADC=45°；（2）先判断出①DAM1=①BAM，由（1）可知：①FDM=45°，进而判断出①AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定①ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其①AC1C的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C1D，①CDE＝①C1DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，①ADC＝90°，①AD＝C1D，①F是AC1的中点，①DF①AC1，①ADF＝①C1DF，①①FDM＝①FDC1+①EDC1＝12①ADC＝45°；故答案为：45；（2）①DF①AC1，①①DFM＝90°，①①MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，①BAD＝90°，①①DAM1＝①BAM，由（1）可知：①FDM＝45°①①DFM＝90°①①AMD＝45°，①①M1＝45°，①AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，①11BA DABAM DAMAH AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM①①ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G①AC于G，则1AC CS＝12AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，①AC＝2222+＝22，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，①CD＝C1D＝2，OD＝12AC＝2，①C1G＝C1D﹣OD＝2﹣2，①1AC CS＝12AC•C1G＝12×22（2﹣2）＝22﹣2，故答案为：22﹣2．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是①AMD=45°．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【解析】【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：①OC 平分AOB ∠，①AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，①AP 平分DAB ∠，①DAP BAP ∠=∠，①AP AP =，①ADP AEP △≌△．①PE PD=．①AB AD BC=+，①BE BC=，①BP平分ABC∠，①ABP CBP ∠=∠．①BP BP=．①PBE PBC△≌△．①PE PC=．①PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠P AB＝PBPA＝12，∴P A＝2PB，∵P A2+PB2＝AB2，∴PB＝25，P A＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DP A＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN＝453，∴S△PCH＝12×45×453＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠P AB＝∠H，∴tan H＝tan∠P AB＝12，∴12 PFFH，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【教材呈现】证明见解析；【应用】434；【拓展】2103；【解析】【分析】教材呈现：由“ASA”可证①AOE①①COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；应用：过点F作FH①AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，①AFE＝①EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝103，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：【教材呈现】①四边形ABCD是矩形，①AE①CF，①①EAO＝①FCO，①EF垂直平分AC，①AO＝CO，①AOE＝①COF＝90°，①①AOE①①COF（ASA）①OE＝OF，又①AO＝CO，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH①AD于H，①将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AF2＝BF2+AB2，①（4﹣BF）2＝BF2+9，①BF＝78，①AF＝CF＝258，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF＝258，①①B＝①BAD＝①AHF＝90°，①四边形ABFH是矩形，①AB＝FH＝3，AH＝BF＝78，①EH＝94，①EF＝22EH FH+＝81916+＝154，①四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+78+258+154＝434，故答案为：434．【拓展】如图，过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，①四边形ABCD是平行四边形，①C＝45°，①①ABC＝135°，①①ABN＝45°，①AN①BC，①①ABN＝①BAN＝45°，①AN＝BN＝22AB＝2，①将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF，①AF2＝AN2+NF2，①AF2＝4+（6﹣AF）2，①AF＝103，①AE＝AF＝103，①AN①MF，AD①BC，①四边形ANFM是平行四边形，①AN①BC，①四边形ANFM是矩形，①AN ＝MF ＝2，①AM ＝22AF MF -＝10049-＝83， ①ME ＝AE ﹣AM ＝23，①EF ＝22MF ME +＝449+＝2103， 故答案为：2103． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 5．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒，进而证得'//,B E AB 则有∴四边形'BDB E 为平行四边形，由',BD B D =即可得证；①连接CD,易证得','45DB DC DB E DCA =∠=∠=︒进而证得''FB C FCB ∠=∠，则有'FB FC =，即可得出结论；（3）由'FB FC =和'B E BE =得CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，由等腰直角三角形的性质可求得BC ，即可求得CEF ∆的周长．【详解】解:（1）①①ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，AB=10，①152CD AB ==， 故答案为：5；()2①证明:由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒'DB ①BC''45,B EC B ∴∠=∠=︒①'45,B EC B ∠=∠=︒①'EB ①BD∴四边形'BDB E 为平行四边形．又',BD B D =∴四边形'BDB E 为菱形；②如图2，连接CD ，则有CD=BD=AD,由翻折可知','45DB DB DB E B =∠=∠=︒①','45DB DC DB E DCA A =∠=∠=∠=︒,①''DB C DCB ∠=∠①DB E CB F DCA FCB ∠+∠=∠+∠'''①''CB F FCB ∠=∠①'FB FC =,①'B FC 的形状为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）如图3，由（2）知'FB FC =，'B E BE =，①CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，①①ABC 是等腰直角三角形，AB=10，①222100BC AB ==,解得：52BC =，①CEF ∆的周长为52，故答案为：52．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、折叠性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，解得的关键是认真审题，从图形中分析相关联信息，借助辅助线，利用基本图形的性质进行推理、计算．6．【问题1】SSS ；【问题2】（1）见解析；（2）8．【解析】【分析】问题1：根据SSS证明三角形全等即可．问题2：（1）根据HL证明三角形全等即可解决问题．（2）作MH①OB于H，连接MN．想办法求出ON，MH即可解决问题．【详解】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，①EOC DOC≌△△（SSS），故答案为SSS．问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，①①ONP＝①OMP＝90°，OP＝OP，①Rt ONP≌Rt OMP△（HL），①①PON＝①POM，即OP平分①AOB．（2）解：作MH①OB于H，连接MN．①tan①AOB＝4,3MHOH=①可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，①HN＝2k，在Rt MNH△中，①222,MN HN MH=+①()()222442,k k=+①255k=（负根已经舍弃），①ON＝5k＝25，MH＝4k＝855，①1185258.225MNO S ON MH ==⨯⨯= 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与作图原理，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．定理证明：见解析；定理应用：（1）EF ∥AC ，EF ＝14AC ；（2）5﹣32≤BH ≤5+32 【解析】【分析】定理证明：延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，易证①ADE ①①CFE ，再根据全等三角形的性质，进一步可得出CF ①AB ，从而可证明四边形BCFD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；定理应用：（1）取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ．再根据题目中的线段关系，可得出AM ＝BM ，CN ＝BN ，ME ＝EB ，FN ＝FB ，根据三角形的中位线定理即可得出答案； （2）如图①中，延长CB 到T ，连接AT ，TE ′．根据题意得出BH ＝12TE ′，再根据矩形的性质可求得AT 的值，结合题意求得AE 的值，最后根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】 解：定理证明：如图①中，延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，在△ADE 和△CFE 中，AE EC AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB ，又∵AD ＝BD ，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝12BC．定理应用：（1）如图①中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝12AC，EF∥MN，EF＝12MN，∴EF∥AC，EF＝14AC．故答案为：EF∥AC，EF＝14AC．（2）如图①中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝12TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝22224225AB BT+=+=，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴25﹣3≤TE′≤25+3，∴5﹣32≤BH≤5+32．故答案为：5﹣32≤BH≤5+32．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形三边关系、平行四边形的判定及性质、三角形中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，综合性比较强，添加合适的辅助线，是解题的关键．8．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）①由折叠的性质得B'D=BD，B'E=BE，①B'DE=①BDE，证出B'D=BE，得四边形BDB'E是平行四边形，进而得出结论；①证出CD=B'D，得①DCB'=①DB'C，证出DB'①AC，则①ACB'=90°-①DB'C，证出CD①B'E，则①EB'C=90°-①DCB'，得①ACB'=①EB'C，即可得出结论；（3）连接B'C，由等腰直角三角形的性质得BC=22AB=52，①B=45°，CD=12AB=BD，①ACD=12①ACB=45°，证出CF=B'F，进而得出答案．【详解】（1）解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝10，①CD＝12AB＝5，故答案为：5；（2）①证明：由折叠的性质得：B'D＝BD，B'E＝BE，①B'DE＝①BDE，①DB'①BC，①①B'DE＝①BED，①①BDE＝①BED，①BD＝BE，①B'D＝BE，①四边形BDB'E是平行四边形，又①B'D＝BD，①四边形BDB'E为菱形；①解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝BD，①CD＝12由折叠的性质得：B'D＝BD，①CD＝B'D，①①DCB'＝①DB'C，①①ACB＝90°，①AC①BC，①DB'①BC，①DB'①AC，①①ACB'＝90°﹣①DB'C，由①得：四边形BDB'E为菱形，①AB①B'E，①CD①AB，①CD①B'E，①①EB'C＝90°﹣①DCB'，①①ACB'＝①EB'C，①FB'＝FC，即①B'FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）解：连接B'C，如图①所示：①①ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，①BC ＝22AB ＝52，①B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，①ACD ＝12①ACB ＝45°， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，①B '＝①B ＝45°，①CD ＝B 'D ，①①DCB '＝①DB 'C ，①①FCB '＝①FB 'C ，①CF ＝B 'F ，①①CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝52；故答案为：52．【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】【分析】（1）由中线BD ，CE 相交于点O ，可得DE 是ABC 的中位线，可得//DE BC ，12DE BC =，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得FG 是OBC 的中位线，可得//FG BC ，12FG BC =，可推出//DE FG ，DE FG =即可； （2）由四边形DEFG 的形状为矩形，可得FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得BO=CO ，，由中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，可得EF①OA ，可推出OA①ED ，由等腰三角形性质可得OA 平分①EOD ，可证△AOB①①AOC （SAS ），可得AB=AC 即可；（3）连接OA ，由（1）知四边EFGD 为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF ，2BC FG =，由OA BC =，可得EF=FG 即可．【详解】证明：（1）①中线BD ，CE 相交于点O ，①E 、D 分别为AB 、AC 中点，①DE 是ABC 的中位线，①//DE BC ，12DE BC =， 又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①//FG BC ，12FG BC =， ①//DE FG ，DE FG =，①四边形DEFG 是平行四边形；（2）连接OA ，如图①四边形DEFG 的形状为矩形，①FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ， ①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①BO=CO ，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF①OA ，①OA①ED ，①OA 平分①EOD ，①①EOA=①DOA ，①①BOA=①EOF+①EOA=①DOG+①DOA=①COA ，①AO=AO ，①①AOB①①AOC （SAS ），①AB=AC ，①①ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当OA BC =时，四边形DEFG 的形状为菱形．由（1）知四边EFGD 为平行四边形，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF 为①ABO 的中位线，①AO=2EF ，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①2BC FG =，①OA BC =，①2EF=2FG ，①EF=FG ，①四边形DEFG 是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．10．(1)CE CF =，CE CF ⊥，理由见解析；(2)217，34；【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质和运动的距离可证明()EDC FBC SAS ≌△△，可得CE CF =，再利用角之间的关系可证CE CF ⊥；（2）连接EC ，证明四边形GECH 是平行四边形，即可求出CF ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AP ．(1)解：①四边形ABCD为正方形,①CD CB=，90EDC ABC BCD∠=∠=∠=︒，①90FBC EDC∠=∠=︒，①ED FB t==，在EDC△和FBC中，90CD CBFBC EDCED FB=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EDC FBC SAS≌△△，①CE CF=，ECD BCF=∠∠，①90ECD BCE∠+∠=︒，①90BCF BCE∠+∠=︒，即：90ECF∠=︒，①CE CF=，CE CF⊥，(2)解：连接CE，如图①CE CF=，CE CF⊥，①45CEF∠=︒，①45GPE∠=︒，①CEF GPE∠=∠，①CE GH∥，①GE CH∥，①四边形GECH是平行四边形，①217CE GH==，①CE CF =，①217CF =，①2234EF CF ==，①P 是EF 的中点，AFE △是直角三角形，①1342AP EF ==． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）的关键是证明()EDC FBC SAS ≌△△，（2）的关键是证明四边形GECH 是平行四边形．。
2020年中考数学专题 几何综合(含答案)
2020年中考数学专题 几何综合（含答案）一、单选题1.如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=( )A ．6B ．8C ．10D ．2.已知∠A ＝55°，则它的余角是( )A ．25°B ．35°C ．45°D ．55°3.如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为 A． B ．2 C ．1D ．24.如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点，若AB=10 cm,BC=4cm,则AD 的长为（ ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm5.如图，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线。
如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD 的度数为（ ）A. 50B. 60C. 65D. 70MD AB C E6.如图，点(,1)A a 、(1,)B b -都在双曲线3(0)y x x=-<上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是（ ）A ．y x =B ．1y x =+C ．2y x =+D ．3y x =+7.如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 最小的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58.如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ）A. 3≤OM ≤5B. 4≤OM ≤5C. 3＜OM ＜5D. 4＜OM ＜59.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm ，30 cm ，10 cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只壁虎，它想到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，至少需爬( )A ．13 cmB ．40 cmC ．130 cmD ．169 cm10.下列说法错误．．的是（ ） A ．抛物线2y x x =-+的开口向下 B ．两点之间线段最短C ．角平分线上的点到角两边的距离相等D ．一次函数1y x =-+的函数值随自变量的增大而增大 二、填空题11.如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．12.如图，点B 是线段AC 上的点，点D 是线段BC 的中点，若AB=4cm ，AC=10cm ，则CD= cm.13.α∠的补角为127°33′，则α∠=14.如图，已知直线AB 和CD 交于点O ，ON 平分∠DOB 。
中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题(含答案)
中考数学重难点专题讲座第八讲 动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。
所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。
很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。
其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。
脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。
安徽省2020年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习十一几何探究题类型1
专题复习(十一) 几何探究题类型1 与全等三角形有关的几何探究题1．(2016·丹东模拟)已知，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，连接CE.(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CE，②CE ＝BC －CD ；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE ，BC ，CD 三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，E 分别在直线BC 的两侧，点F 是DE 的中点，连接AF ，CF ，其他条件不变，请判断△ACF 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵∠BAC＝∠D AE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴∠ABD ＝∠ACE＝45°，BD ＝CE.∴∠ACB ＋∠ACE＝90°.∴∠ECB ＝90°.∴BD ⊥CE ，CE ＝BC －CD.(2)CE ＝BC ＋CD.(3)△ACF 是等腰三角形．理由：∵∠B AC ＝∠DAE＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴∠ABD＝∠ACE.∵∠ABC ＝∠ACB＝45°，∴∠ACE ＝∠ABD＝135°.∴∠DCE ＝90°.又∵点F 是DE 中点，∴AF ＝CF ＝12DE. ∴△ACF 是等腰三角形．2．(2016·贵阳)(1)阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE ＝AD ，再连接BE(或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是2<AD<8；(2)问题解决：如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE ＋CF>EF ；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D＝180°，CB ＝CD ，∠BCD ＝140°，以点C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明． 解：(2)证明：延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM ，EM.由(1)得△BMD≌△CFD(SAS )，∴BM ＝CF.∵DE⊥DF，DM ＝DF ，∴EM ＝EF.在△BME 中，由三角形的三边关系得：BE ＋BM>EM ，∴BE ＋CF>EF.(3)BE ＋DF ＝EF ，理由：延长AB 至点N ，使BN ＝DF ，连接CN.∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠NBC ＋∠ABC＝180°，∴∠NBC ＝∠D.在△NBC 和△F DC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BN ＝DF ，∠NBC ＝∠D，BC ＝DC ，∴△NBC ≌FDC(SAS )．∴CN ＝CF ，∠NCB ＝∠FCD.∵∠BCD ＝140°，∠ECF ＝70°，∴∠BCE ＋∠FCD＝70°.∴∠ECN ＝70°＝∠ECF.在△NCE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CN ＝CF ，∠ECN ＝∠ECF，CE ＝CE ，∴△NCE ≌△FCE(SAS )．∴EN＝EF.∵BE ＋BN ＝EN ，∴BE ＋DF ＝EF.3．(2016·安徽中考信息交流卷二)如图，正方形ABCD ，点O 为两条对角线的交点．(1)如图1，点M ，N 分别在AD ，CD 边上，∠MON ＝90°，求证：OM ＝ON ；(2)如图2，若AE 交CD 于点E ，DF ⊥AE 于点F ，在AE 上截取AG ＝DF ，连接OF ，OG ，则△OFG 是哪种特殊三角形，证明你的结论；(3)如图3，若AE 交BC 于点E ，DF ⊥AE 于点F ，连接OF ，求∠DFO 的度数．解：(1)证明：连接OA ，OD ，则OA ＝O D.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD ＝90°，∠OAM ＝∠ODN＝45°.∵∠MON ＝90°，∴∠AOD －∠MOD ＝∠MON－∠MOD.∴∠AOM ＝∠DON.∴△AOM≌△DON(ASA )．∴OM ＝ON.(2)△OFG 为等腰直角三角形．证明：连接OA ，OD ，则OA ＝OD.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD＝90°，∠OAD ＝∠ODC＝45°.∵DF ⊥AE ，∴∠DAE ＋∠ADF＝∠ADF＋FDE ＝90°.∴∠DAE ＝∠FDE.∴∠OAG＝∠ODF. 又∵A G ＝DF ，∴△OAG ≌△ODF(SAS )．∴OG ＝OF ，∠AOG ＝∠DOF.∴∠GOF ＝∠GO D ＋∠DOF＝∠GOD＋∠AOG＝90°.故△OFG 为等腰直角三角形．(3)在AE 上截取AG ＝DF ，连接OA ，OD ，OG ，其中OA 与DF 交于点H ，则AO ＝DO.∵∠AFD ＝∠AOD＝90°，∠AHF ＝∠DHO，∴∠GAO ＝∠FDO.∴△OAG ≌△ODF(SAS )．∴OG ＝OF ，∠AOG ＝∠DOF.∴∠GOF ＝∠GOA－∠FOA＝∠DOF－∠FOA＝90°.∴∠GFO ＝45°.∵DF ⊥AE.∴∠DFO ＝45°.4．(2015·蚌埠六校联考)正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上(不含点B)，∠BPE ＝12∠ACB，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF⊥PE，垂足为F ，交AC 于点G.(1)当点P 与点C 重合时(如图1)．求证：△BOG≌△POE；(2)通过观察、测量、猜想：BF PE ＝12，并结合图2证明你的猜想； (3)把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图3)，若∠ACB＝α，求BF PE的值．(用含α的式子表示) 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，点P 与点C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG＝90°.∵PF ⊥BG ，∴∠PFB ＝90°.∴∠GBO ＝90°－∠BGO，∠EPO ＝90°－∠BGO.∴∠GBO ＝∠EPO.∴△BOG≌△POE(ASA )．(2)证明：过P 作PM∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠PNE ＝∠BOC＝90°，∠BPN ＝∠OCB.∵∠OBC ＝∠OCB＝45°，∴∠NBP ＝∠NPB.∴NB ＝NP.∵∠MBN ＝90°－∠BMN，∠NPE ＝90°－∠BMN，∴∠MBN ＝∠NPE.∴△BMN ≌△PEN(ASA )．∴BM＝PE.∵∠BPE ＝12∠ACB，∠BPN ＝∠ACB. ∴∠BPF ＝∠MPF.∵PF ⊥BM ，∴∠BFP ＝∠MFP＝90°.又∵PF＝PF ，∴△BPF ≌△MPF(ASA )．∴BF ＝MF ，即BF ＝12BM. ∴BF ＝12PE ，即BF PE ＝12. (3)过P 作PM∥AC 交BG 于点M ，交BO 于点N.∴∠BPN ＝∠ACB＝α，∠PNE ＝∠BOC＝90°.由(2)同理可得BF ＝12BM ，∠MBN ＝∠EPN. ∵∠BNM ＝∠PNE＝90°.∴△BMN ∽△PE N.∴BM PE ＝BN PN. 在Rt △BNP 中，tan α＝BN PN .∴BM PE＝tan α， 即2BF PE ＝tan α.∴BF PE ＝12tan α.。
2020年中考数学综合训练(几何探究题)
图3GFBCAD LE 中考数学综合训练（几何探究题）1、两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中△ACB =△DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为_______和位置关系为_____ ；（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;图2图1GFHDHGF DABBACEC E ABDEC H F G图3 AB D EC HF G 图1 图2A BDE C HF G(2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； .(3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；3. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．4、（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点，分别是AD BC 、的中点，联结，分别交AC 、BD 于点，试判断的形状，并加以证明；（2）如图2，在四边形ABCD 中，若，分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；（3）如图3，在中，，点在上，，分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与的延长线交于点M ，若45FEC ∠=︒，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．O E F 、EF M N 、OMN △AB CD =E F 、BA CD 、M N 、ABC △AC AB >D AC AB CD =E F 、BA EDEDAAAD EM NOHF图2图1HF EBC DA E DBCA5. 已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．6. 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．yACO DBO ACB 1Dy7. 设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和AF 相交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC ．(1)证明：PC ＝2AQ ．(2)当点F 为BC 的中点时，试比较△PFC 和梯形APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明． 6.2011年中考数学训练（与函数有关的综合题）1、如图，一次函数y ＝a x ＋b 的图象与反比例函数y ＝ kx的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n△AOC ＝ 13．(1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．2、如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，并且OA 、OC 的长满足：|OA －2|＋(OC －23)2＝0． (1)求B 、C 两点的坐标．(2)把△ABC 沿AC 对折，点B 落在点B 1处，AB 1线段与x 轴交于点D ， 求直线BB 1的解析式．(3)在直线BB 1上是否存在点P 使△ADP 为直角三角形？若存在， 请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (m ，0)、B (0，n )，其中m 、n 是方程x 2－6x ＋5＝0的两个实数根，且m ＜n ，． (1)求抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，求C 、D 点的坐标和△BCD 的面积；(3)P 是线段OC 上一点，过点P 作PH ⊥x 轴，交抛物线于点H ，若直线BC 把△PCH 分成面积相等的两部分，求P 点的坐标．4、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M 、N 以每秒１个单位的速度分别从点A 、C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点yxBAOCDP ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ；（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的13？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．1． (1)过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E .221tan 3310101 3.AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴==，.，，， ∴点A 的坐标为(3，1)．A 点在双曲线上，13k∴=，3k =．∴双曲线的解析式为3y x=．(2)点(2)B m -，在双曲线3y x=上， 3322m m ∴-==-，． ∴点B 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ……231332 1.2a b a a b b +=⎧⎧=⎪⎪∴∴⎨⎨-+=-⎪⎪=-⎩⎩，，∴一次函数的解析式为213y x =-．O A B C P NM x yOABCxy（备用图）y xAC O DBPE(3)C D ，两点在直线213y x =-上，C D ∴，的坐标分别是30(01)2C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，． ∴312OC OD ==，，132DC =．过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ．PDC CDO △∽△，213.4PD DC DC PD DC OD OD ∴===， 又139144OP DP OD =-=-=， P ∴点坐标为904⎛⎫⎪⎝⎭，．3．(1)解方程2650x x -+=，得125,1x x ==．由m ＜n ，知m =1，n =5．∴A (1，0)，B (0，5)． ………………………1分yBD∴10,5.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解之，得4,5.b c =-⎧⎨=⎩所求抛物线的解析式为24 5.y x x =--+ ……3分(2)由2450,x x --+=得125, 1.x x =-=故C 的坐标为(-5，0)． ………4分 由顶点坐标公式，得 D (-2，9)．………………………………………………5分 过D 作DE ⊥x 轴于E ，易得E (-2，0)．∴BCD CDE OBC OBDE S S S S ∆∆∆=+-梯形159139255222+=⨯⨯+⨯-⨯⨯=15．…………………………………………7分 (注：延长DB 交x 轴于F ,由BCD CFD CFB S =S -S ∆∆∆也可求得) (3)设P (a ，0)，则H (a ，245a a --+)．直线BC 把△PCH 分成面积相等的两部分，须且只须BC 等分线段PH ，亦即PH 的中点(245,2a a a --+)在直线BC 上．易得直线BC 方程为： 5.y x =+∴2455.2a a a --+=+ 解之得121,5a a =-=-(舍去)．故所求P 点坐标为(-1，0)． 4．解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分）（2）∵S △OMP =12×OM ×23t ， ∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ．＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =． 设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3by x b =-+，解方程组433y xby x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444bxbbyb⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴直线ON与MT的交点R的坐标为34 (,) 44b bb b++．。