数理方程第二章(1)
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数理方程第二章 有限长杆上的热传导-2
将u(x,t)代入，可求出 平均温度U(t)=C0
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例２：热传导(混合边界条件)
有界杆的长度为L，其左端保持恒定温度(摄氏零 度)，右端绝热。已知杆内初始温度分布为(x),求 解关于杆内任意时刻温度分布的定解问题：
2 u 2 u a ( 0 x L , t 0) 2 t x u t 0 ( x)
分离变量：
设方程（1）有形式解： u( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程（1）分离变量：
X ' ' ( x) T ' (t ) 2 (常数) X ( x) a T (t )
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
系统最终趋于热平衡温度:
u( x, ) C0
这一过程是绝热的 (总热量保持恒定)：
初始温度 1 C0 的平均值 L
L
0
( x)dx
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系统的稳态温度：3.稳态分析
热传导的动力学行为:
2 u 2 u a t x 2
热传导方程的稳态解 （适用于任何情况）
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系统的稳态温度：1.直观分析
u( x,0) ( x)
L
绝热
(总热量保持恒定)
x
u( x, ) 常数
曲线下面积 相等
L
x
1 u ( x, ) L
L
0
( x ) dx
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系统的稳态温度：2.动力学分析
na 2 n u ( x, t ) C0 Cn exp x t cos L n 1 L
数理方程课程总结 (精简)
u |C f ( x, y)
(19’)
在 D C 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19’)的解可表示为
u ( M 0 ) f ( x, y )
C
G dS. n
(20’)
其中
1 1 G( M , M 0 ) ln v, 2 rMM 0
(17’)
21
8 求解上半空间 z 0内的狄利克雷问题
1 F [sin a ] [ ( x a ) ( x a )] 2i
1
14
几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
L[ (t )] 1
L[e
at
Re s 0
1 ] sa
1 特别的， L[1] s
L[t ]
n
n! s n 1
s L[cos at ] 2 s a2
F [ ( x )] 1
F [
1
1
sin m
2t
1 ] , | x | m 2
1 4t
1
F [e
]
e
x2 4t
(t 0)
F 1 [e || y ]
y ( y 0) 2 2 y x
1 F 1 [cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2
2
1 x at ( )d x at 2a
(26)
1 t x a (t ) f ( , )d .d . 2a 0 x a (t )
3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题
书上例子很重要
13
书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
(19’)
在 D C 上具有一阶连续偏导数的解存在的话， 那么问题(19’)的解可表示为
u ( M 0 ) f ( x, y )
C
G dS. n
(20’)
其中
1 1 G( M , M 0 ) ln v, 2 rMM 0
(17’)
21
8 求解上半空间 z 0内的狄利克雷问题
1 F [sin a ] [ ( x a ) ( x a )] 2i
1
14
几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
L[ (t )] 1
L[e
at
Re s 0
1 ] sa
1 特别的， L[1] s
L[t ]
n
n! s n 1
s L[cos at ] 2 s a2
F [ ( x )] 1
F [
1
1
sin m
2t
1 ] , | x | m 2
1 4t
1
F [e
]
e
x2 4t
(t 0)
F 1 [e || y ]
y ( y 0) 2 2 y x
1 F 1 [cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2
2
1 x at ( )d x at 2a
(26)
1 t x a (t ) f ( , )d .d . 2a 0 x a (t )
3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题
书上例子很重要
13
书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
数学物理方程第二章
电子究竟是什么东西呢？是粒子？ 还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既 不是经典的粒子也不是经典的波， 我们也可以说，“ 电子既是粒子也是 波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也 不是经典概念中的粒子。 核心问题：经典粒子和微观粒子的差别
经典概念中粒子意味着： 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”或“原子 性”的属性;
1 (2 )
3 2
ik r c(k , t )e dk
对于非相对论情况的自由粒子 2 2 2 p (k ) k E k p g dk m m
d g
d 0 2 dk dk m
在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度 该点附近感光点的数目，
该点附近出现的电子数目，
电子出现在 r 点附近的概率。
类比光的干涉实验 光波振幅平方大 光强度大 光子在该处出现 的概率大
（波动观点） （微粒观点）
光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比 波函数振幅平方大 （波动观点）
§1 波函数的统计解释 §2 态叠加原理 §3 力学量的平均值和算符的引进 §4 Schrö dinger 方程 §5 粒子流密度和粒子数守恒定律
§6 定态Schrö dinger方程
§1 波函数的统计解释
（一）波函数 （二）波粒二象性的再分析 （三）波函数的统计解释
（四）波函数的性质
电子双缝实验--一个电子多次重复性行为
电子一个一个地通过小孔，但只要 O 时间足够长，底片上照样呈现出衍射花纹。 这说明电子的波动性并不是许多电子 在空间聚集在一起时才有的现象，单个电 子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动 性，才能理解氢原子（只含一个电子！） 中电子运动的稳定性以及能量量子化这样 一些量子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的 一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具 有片面性。
数理方程第二章 非齐次边界条件的处理-5
0
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W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
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然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
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W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
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W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
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然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
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W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数学物理方程第二章
与应变(单位长度上的形变) dL 成正比 ：
x
dL p Y x
即：物体的形变跟引起形变的外力成正比
p( x, t ) S
p( x dx, t )S
S
dx
[ p( x dx, t ) p( x, t )]S utt Sdx
x
x dx
u
u dx
时刻t，x 一端位移 x u(x,t)， x+dx 一端位移 u(x+dx,t)。
Q2 c u ( x, y, z , t 2 ) u ( x, y, z , t1 )dV
V
u c dtdV t1 t V t2 u c dVdt t1 t V
t2
c
是比热
是密度
由能量守恒定律，有
Q1 Q2
t2
t2
t1
(ku)dV dt
杆的伸长
dL u( x dx, t ) u( x, t )
虽然，弦的横振动与杆的纵振动机理并不完全 相同，但是我们得到了同样的微分方程，我们称 为波方程：
utt a u f
2
a
2
Y
每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力F
Sdxutt YSux xddx YSux x SdxF YSuxxdx SdxF
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。 u T 0 u 0 ux (a, t ) 0 第二类边界条件 x x a x x a (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
u |x a 0,
u T x
x a
k u x a
(哈工大)数学物理方程2-1
(2.1) (2.2) ( 2.3)
特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
理论基础:
叠加原理 设 L 是线性微分算子，若 ui 满足线性方程（或 线性定解条件）
Lui f i ,
i 1,2,, n,
则它们的线性组合 u
c u
i 1 i
i
必满足方程（或定解条件） Lu
注1: 本书不讨论所求形式解是古典解需加的条件， 只要求得了形式解，就认为定解问题得到了解决。
注2: 用分离变量法求解定解问题的关键是确定特征 函数和运用叠加原理，这些运算能够进行,是因为 方程以及边界条件都是齐次的。
二、解的物理意义
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l x N n sin(n t Sn ) sin n l
y e x (C1 cos x C2 sin x ).
设 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 且 u( x , t ) 不恒为零，代入 方程和边界条件中得
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由 u( x , t )不恒为零，有：
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
特征值
2 2 n
l2
n 0,1,2,
n 0,1,
特征函数 X ( x ) C cos n x , n n l
T 的方程
' ' T0 0
对应 X 0 ( x ) C0
' ' Tn
其解为
2 2 2 n a 2 l
Tn 0 n 0
数学物理方程第二章(波动)
横向： T cos T 'cos ' 得：
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式
数学物理方程第二章课后习题答案
l
注意到无穷小替换，δ → 0
nπ nπ
sin δ ∼ δ.
l
l
所以
2k nπ Dn = nπaρ sin l c.
2.5
∂u
∂t
=
a2
∂ ∂
2u x2
,
u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = x(l − x),
0 < x < l, t > 0. t > 0, 0 ≤ x ≤ l.
2
根据变量分离法，我们得到
∞
u(x, t) = [Cn cos(nπat) + Dn sin(nπat)] sin(nπx).
n=1
由初值条件得到，
∞
Cn sin(nπx) =
n=1
x, 1 − x,
பைடு நூலகம்
0
≤
x
≤
1 2
,
1 2
≤
x
≤
1,
则
Cn = 2 以及
因此
1 2
1
4 nπ
x sin(nπx)dx + (1 − x) sin(nπx)dx = sin ,
Φ (θ) + β2Φ(θ) = 0, Φ(0) = Φ(π) = 0.
6
以及 ρ2R (ρ) + ρR(ρ) + β2R(ρ) = 0, (*) |R(0)| < +∞.
根据边界条件 Φ(0) = Φ(π) = 0 可得 β = n, 以及
Φn(θ) = an sin nθ, n = 1, 2, 3, · · ·
u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0,