4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-人教A版(2019)选择性必修二(共28张PPT)
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4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】4.3.1_等比数列的概念1
推
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
=⋯
导
= 1 + − 1 .
等比数列
根据等比数列的定义，
= −
= − ×
= −
= − ×
= − −
=⋯
= − .
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
通
项
公
式
的
推
导
通
项
公
式
公
差
等比数列
= 1 + − 1
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？
答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他
的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
典例突破
（三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
2 + 5 = 1 + 1 4 = 18
新知探究
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
根据等差数列的定义， −
根据等比数列的定义，
= ，
通
−
−1 = ，−1 − −2 = ，
项
−2 − −3 = ，…，2 − 1 − = ，− = ，…， = .
−
−
(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.
由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计
算器算得n≈4.
∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
4.3.1等比数列的概念第1课时(等比数列的概念、通项公式)课件(人教版)
,1 8
,1 16
,1 32
,
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就
通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
复利是指把
2，4，8，16，32，64…
前一期的利息和
4.某人存入银行a元,存期为5年,年利率为r, 本金加在一起算.
那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分 作本金，再计算
a1qn1
a1 q
qn
可知，当q>0且
f(x)
q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数 a5
f ( x )
a1 q
qx
(x∈R)当x=n时的函数值，即
a4
f(x)=
a1 q
qx
(5,a5)
(4,a4)
an=f(n)(如右图所示).
a3
反之，任给指数函数f(x)=kax(k,a为常 a2
数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2, a1
…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka,公比为a.
O
(3,a3) (2,a2) (1,a1)
1 2 3 4 5x
五、等比数列的单调性
公比q>0且q≠1的 等比数列{an}的图象有 什么特点?
类比指数函数的性质，说说 公比q>0的等比数列的单调性.
q>1
0<q<1
q=1
a1>0
如果G是a与b的等比中项，则a、b的符号有什么特点？你能用 a、b表示G吗？
a、b同号， G2=ab
Hale Waihona Puke 四、等比数列的通项公式你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 定义，可设得一个aan等n1 比 q数即列a{n+a1n=}a的nq首, 项为a1，公比为q.根据等比数列的 所以
【公开课课件】等比数列的概念课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
2
12
所以a a4 a8，所以a8
3.
48
2
6
小结：
1） 根据已知条件建立 关于 a1和q的方程组，求出等比数列的基本量 a1和q ，
再进一步解决问题.这时最基本也是最常规的一种方法.
2)充分利用各项之间的关系，灵活运用等比数列的各项性质直接求出
或 a1 ，再解决问题.这种运算带有一定的技巧性，能够简化运算.
d 64
q
3)写出这个数列中的各项.
3)由(2)知这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例3. 数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3
项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求
出这个数列.
, , , , ,...
④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某
种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一
个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生
的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,…
⑤
新知探究
这几个问题中的数列：
（1） 9,92,93,...,910;
思考3：用数学符号语言（递推公式）怎样表示等比数列的定义呢？
an 1
an
q
q ( n 2) 或
an
an 1
1、等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
2、公比q≠0
思考4：等比数列的公比可以为0吗？它的任意一项可以为0吗？
课堂互动
不是
观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比.
a1 x
数 f ( x)
12
所以a a4 a8，所以a8
3.
48
2
6
小结：
1） 根据已知条件建立 关于 a1和q的方程组，求出等比数列的基本量 a1和q ，
再进一步解决问题.这时最基本也是最常规的一种方法.
2)充分利用各项之间的关系，灵活运用等比数列的各项性质直接求出
或 a1 ，再解决问题.这种运算带有一定的技巧性，能够简化运算.
d 64
q
3)写出这个数列中的各项.
3)由(2)知这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例3. 数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3
项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求
出这个数列.
, , , , ,...
④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某
种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一
个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生
的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,…
⑤
新知探究
这几个问题中的数列：
（1） 9,92,93,...,910;
思考3：用数学符号语言（递推公式）怎样表示等比数列的定义呢？
an 1
an
q
q ( n 2) 或
an
an 1
1、等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
2、公比q≠0
思考4：等比数列的公比可以为0吗？它的任意一项可以为0吗？
课堂互动
不是
观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比.
a1 x
数 f ( x)
4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)
是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…
是等差数列，不是等比数列；
(2) = 时，{}为非零常数列.
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
课堂练习
1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比.
×
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ;×
3 6 9 12 15 18
解：因为 是 与 的等比中项，所以
= = × = .
所以 = ± = ±.
因此， 的第5项是24或-24.
探究二：等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及
递推公式推导它的通项公式吗？
取值规律？你发现了什么规律？
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的
递推关系？
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，
a1 2
2
{an }的通项公式为an 2 n 1 或an 23 n.
例题精讲
课本例2 已知等比数列 的公比为，试用 的第项 表示 .
解：由题意 , 得
am a1q m 1 ,
an a1q
n 1
①
②
,
等比数列的通项公式：
= − ( ≠ , ∈ + )
, , , … , .
, , , , ,…
2,4,8,16,32,64,…
4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式课件ppt
2.(2021天津河东高二期末)在等比数列{an}中,a3=1,a5=2,则首项a1=(
1
A.
4
1
B.
2
C.
2
2
D.0
答案 B
3 = 1 2 = 1,
1
2
解析 设等比数列的公比为 q,则
解得 q =2,a1= .
4
2
5 = 1 = 2,
)
9
1
2
3.若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为(
分析(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解;(2)先求出a1和a5的值,
再根据等比中项的定义求解.
解 (1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得
x=-1或x=-4.
又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.
是±4.
反思感悟 涉及3个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中
项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中
项的符号.
变式训练 2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则
k=(
A.2
)
B.4
C.6
D.8
答案 B
解析 依题意,得 2=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得
(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算
的技巧性,特别注意整体思想的应用.
变式训练 1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
等比数列的概念及通项公式(第1课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
……
由此可得， = 1 −1 ( ≥ 2).
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当 = 1时上式也成立.
因此，首项为1 ，公比为的等比数列{ }的通项公式为： = 1 −1 .
新知探索
问题3：你能用其他的方法推导出等比数列的通项公式吗？
l
设一个等比数列{ }的公比为.根据等比数列的定义，可得：
不变
1 < 0
单调递增
单调递减
不变
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)等比数列中至少含有三项.(
)
(2)等比数列每相邻两项的比都相同.(
)
(3)等比数列的首项不能为0，但公比可以为0.(
(4)任意两个数都有等比中项.(
)
)
(5)若 2 = ，则一定是，的等比中项.(
)
(6)等比数列 的首项为1，公比为2，则 = 2−1 .(
A.−2
答案：C.
B. 2
C.2
D.4
例析
例1.若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，求 的第5项.
l
1 3 = 48， ①
解法一：由4 = 48，6 = 12，得
1 5 = 12. ②
②的两边分别除以①的两边，得 2
把 =
1
代入①，得1
2
把 =
1
− 代入①，得1
A. = 3, = 9
B. = −3, = 9
C. = 3, = −9
D. = −3, = −9
答案：.
解：∵ 2 = = (−1) × (−9) = 9，
且与首项−1同号，
∴ = −3，且，必同号.
∴ = 2 = 9.
由此可得， = 1 −1 ( ≥ 2).
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当 = 1时上式也成立.
因此，首项为1 ，公比为的等比数列{ }的通项公式为： = 1 −1 .
新知探索
问题3：你能用其他的方法推导出等比数列的通项公式吗？
l
设一个等比数列{ }的公比为.根据等比数列的定义，可得：
不变
1 < 0
单调递增
单调递减
不变
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)等比数列中至少含有三项.(
)
(2)等比数列每相邻两项的比都相同.(
)
(3)等比数列的首项不能为0，但公比可以为0.(
(4)任意两个数都有等比中项.(
)
)
(5)若 2 = ，则一定是，的等比中项.(
)
(6)等比数列 的首项为1，公比为2，则 = 2−1 .(
A.−2
答案：C.
B. 2
C.2
D.4
例析
例1.若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，求 的第5项.
l
1 3 = 48， ①
解法一：由4 = 48，6 = 12，得
1 5 = 12. ②
②的两边分别除以①的两边，得 2
把 =
1
代入①，得1
2
把 =
1
− 代入①，得1
A. = 3, = 9
B. = −3, = 9
C. = 3, = −9
D. = −3, = −9
答案：.
解：∵ 2 = = (−1) × (−9) = 9，
且与首项−1同号，
∴ = −3，且，必同号.
∴ = 2 = 9.