南航信号与系统5(2)

（ ）、 ( j) F[h(t )] 1 H
（2）、H ( p) H ( j)
（3）、若已知的是电路，只要将电路中的元件 用阻抗表示，然后由电路求H(jω)。 对于H(s)也有类似的方法：
p j
（）、 ( s) L[h(t )] 1 H
（）、H ( p) H ( s) 2
r(t ) (1 tet ) (t )
由于在我们的求解过程中已经计入了初始 条件，所以它就是全响应。由本例可见，用拉 普拉斯变换求解微分方程的实质是：
微分方程 代数方程
L
全响应的象函数 全响应
解代数方程
L1
这种方法简单、明了且自动计入初始条件直接求 得全响应。 2、运算等效电路法 在电路课程中学过，要建立电路的数学模型要依据两 个方面的约束： （1）、元件的伏安特性。 （2）、电路的基本定律(KVL,KIL) 现在来看看这些元件和电路定律在时域和复频域中的 表现形式：
1 2t
3、 零输入响应 rzi (t )
（1）、若已知系统微分方程，在对方程两边作 拉普拉斯变换时令输入为零。 （2）、在运算等效电路中不计入输入电源。 （3）、基于系统函数H(s)的方法：
N ( p ) p s N ( s) 由于： ( p ) H H ( s ) D( p ) D( s )
30 K1 2 6 s 2 s 5 s 0 30 30 K 2 (s) 6( s 2) s s 2 2 s 5 0 s 1 s 2
s 5
6 s2 U czs ( s ) 6 2 s s 2s 5 6 s 1 1 2 6[ ] 2 2 2 2 s ( s 1) 2 2 ( s 1) 2
uczs (t ) (6 6e cos2t 3e sin 2t ) (t )
t t
3、 uczi (t ) 求
先求初值：(0 ) il (0 ) 3A, uc (0 ) uc (0 ) 3V il du c (t ) t 0 时 il (t ) C 即 il (t ) Cuc (t ) dt
15 s I1 ( s ) 2 1 1 s 5 1 5 1 5 s 6 2 5 79s 180 57 136 1 s 2 7 s 12 s 3 s 4 5 s 6 2 5
i1 (t ) L1[ I1 ( s)] (57e 3t 136e 4t ) (t )
解：H ( p ) p 1 这一步可不写 2 p 4p 4
s 1 s 2 1 H ( s) 2 2 s 4 s 4 ( s 2) 1 1 s 2 ( s 2) 2
h(t ) L [ H ( s)] ( s) 1 0.4s 1 1 0.5s 0.4s 5 2 s 2s 5
2、 uczs (t ) 求 6 E ( s) s K1 K 2 ( s) 6 5 U czs ( s ) E ( s ) H ( s ) 2 2 s s 2s 5 s s 2s 5
i1zs (t ) (30e3t 80e4t ) (t )
全响应 i1 (t ) i1zi (t ) i1zs (t ) (57e 3t 136e 4t ) (t )
又例：电路如图所示，开关K在t=0时开启，求 t>0时的uc(t)。
解：对这个问题 现在我们已经有 多种方法求解。 这里我们采用先 求系统函数，再 分零输入、零状 态的方法求解。 这样可避免作运 算等效电路。
频域： zs ( j) E( j) H ( j) R
复频域： zs ( s) E( s) H ( s) R
由卷积定理知： ( j) F[h(t )] , H ( s) L[h(t )] H 即 h(t ) H ( j), h(t ) H ( s)
在第四章中曾讲过有三种方法求H(jω):
例：电路如图所示，求回路电流i1(t)。
解: 1、作运算等效电路，从电路结构看应用网孔分 析法，故等效电路中的采用等效电压源。
2、列运算方程
1 15 1 1 ( s 5 ) I1 ( s) 5 I 2 ( s) s 1 s 6 I 1 ( s ) ( ) I 2 ( s ) 2 2 5 5
一、基本运算器 （1）、加法器
时域： y (t ) x1 (t ) x2 (t ) 复频域： Y ( s) X 1 ( s) X 2 ( s)
（2）、标量乘法器
时域： y(t ) ax(t ) 复频域： Y ( s) aX ( s)
（3）、积分器（初值为0）
y (t ) x( )d
1 s R( s ) sr (0) r (0) 2[ sR ( s ) r (0)] R( s ) s
2
代入初始条件并整理得：
s 2 3s 1 s 2 3s 1 ( s 2 2 s 1) R( s ) 解之得： ( s) R s s( s 1) 2 1 1 部分分式分解： ( s ) F s ( s 1) 2
运算等效电路法的实质是:
列方程 代数方程 电路 运算等效电路
等效
全响应的象函数 全响应
解代数方程
L1
3、从信号分解的角度分析系统
全响应r(t ) 零输入响应 zi (t ) 零状态响应 zs (t ) r r
(1)、零状态响应rzs (t )
二阶(不含x的导数)：y a1 y a0 y x y x a1 y a0 y, 1 H ( s) 2 s a1s a0
D( p) 0 的根 1 , 2 ,, n 称特征根或自然频率。
D( s) 0 的根 s1 , s2 ,, sn 称系统函数的极点。
显然，它们是一样的。因此，所谓特征根、 自然频率、系统函数的极点仅是名称不同实质 是一样的。 所以，这种方法可描述为：
1)、求出H ( s) 的极点根 s1 , s2 ,, sn
2、再求零状态响应，将电路中的等效电 源短路，列回路方程：
1 10 1 1 ( s 5 ) I1 ( s) 5 I 2 ( s) s 1 s 6 I 1 ( s ) ( ) I 2 ( s ) 0 2 5 5
10 s 0 I1 ( s) 1 1 s 5 1 5 30 80 s3 s4 1 5 s 6 2 5 50s 120 1 s 2 7 s 12 5 s 6 2 5
（3）、若已知的是电路，只要将电路中的元件 用运算阻抗表示，然后由电路求H(s)。
ps
另外，H(p)， H(jω)，H(s)三者的 关系可表示为：
d 2 r (t ) dr(t ) de(t ) 例： 系统方程为 4 4r (t ) e(t ) 2 dt dt dt 求 h(t )
t
c1 3 , c2 5.25
uczi (t ) e (3 cos2t 5.25sin 2t ) (t )
t
uc (t ) e t (3 cos 2t 5.25sin 2t ) (t ) (6 6e t cos 2t 3e t sin 2t ) (t）
零输入响应 零状态响应
(
受迫响应、稳态响应
6
3e t cos 2t 2.25e 2t ) (t ) t sin
瞬态响应
小结： 若已知系统微分方程： 1、方程两边求L变换并计入初值，直接求全响应。 2、用方程两边求L变换求解，但分为零输入、零状态 响应。 3、由微分方程先求H(s)，然后再分为零输入、零状态 响应求解

1 3 u c ( 0 ) il ( 0 ) 0.75(V / S ) C 0.4

H ( s )的极点：1, 2 1 j 2 s uczi (t ) e (c1 cos 2t c2 sin 2t )
c1 3 代入初值 : c1 2c2 7.5
2)、根据极点的不同情况写出零输入响应的一 般形式。 3)、根据初始条件待定系数。 下面再举两例：
p298 例5.11 电路如图所示，求回路电流 i1(t)。要求分零输入和零状态求。
解：作运算等效电路：
1、先求零输入响应，将 电路中的激励短路列 回路方程：
1 5 s 6 1 5 1 1 2 ( ) I1 ( s) I 2 ( s) s 5 2 5 29s 60 5 s I1 ( s) 1 1 1 1 s 2 7 s 12 s 6 I 1 ( s ) ( ) I 2 ( s ) 2 s 5 5 2 5 5 1 s 6 5 2 5 i1zi (t ) (27e3t 56e4t ) (t ) 27 56 s3 s4 5 s
若给出的是电路： 1、先列微分方程，再用上面的三种方法之一求 解。 2、作运算等效电路。 （1）直接求全响应； （2）分零输入、零状态响应求解。 3、不作运算等效电路，从电路求H(s)。然后再 分为零输入、零状态响应求解。
§5.10 线性系统的模拟 于一个线性系统可用微分方程（数学模型） 描述，也可以用具体的电路（物理模型）描述。 但对一些高阶的复杂系统，用具体电路描述是 困难的。然而，可以方便地用一些基本的运算 器从数学意义上来模拟其输入输出关系，这些 运算器按照一定的规则组合起来就成为一个复 杂的高阶系统。 特别是近年来计算机技术和大规模集成电 路技术的迅速发展，这种方法特别适合用计算 机软件实现或集成化。
参照傅里叶变换分析法：
a. e(t ) E ( s)
R( s ) b. 定义系统函数 H ( s) E ( s)