第2讲 三角函数的诱导公式 简单难度 讲义
三角函数的诱导公式
知识讲解
一、同角三角函数的基本关系式
平方关系：，，
商数关系：，
倒数关系：
二、诱导公式
角与的三角函数间的关系；（1）
,,;
角与的三角函数间的关系；（2）
,,;
角与的三角函数间的关系；）（3,,;
的三角函数间的关系．与（4）角
,．,
典例精讲
一．选择题（共12小题）
1．（2017秋?绍兴期末）cos（π+x）=（）
A．cosxB．﹣cosxC．sinxD．﹣sinx
）2．（2017秋?重庆期末）tan390°的值等于（
C．﹣DBA．．．﹣
，则cos（π﹣α）=（）?．（2018春嘉兴期末）已知3 A．B．C．D．
，那么sin（π﹣α）等于（）北京模拟）已知4．（2018?
A．B．C．D．
5．（2018春?古冶区校级期中）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）
A．cos（A+B）=cosCB．sin（A+B）=﹣sinC
=costanC．（sin．D=tanB）CA+
6．（2018春?福州期中）若cos（α﹣2π）＞0，sin（π﹣α）＜0，则角α的终边在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
=（），则已知香坊区校级四模）
（2018?7．
D．．BA．5．﹣5C
）=（，则cos（﹣2α）=α）8．（2018?武侯区校级一模）已知sin（+
．DCA．﹣．B．﹣
）cos2025°=（陕西三模）计算9．（2018?
．DB．．C．A
，则）=（（2018?广东二模）若10．
D．A．B．C．
（﹣θ，则）=sin201811．（春?东安区校级月考））的值是）（+（已知cosθ．A．﹣．B．﹣CD
12．（2018春?桂林期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）
A．cos（A+B）=cosCB．sin（A+B）=﹣sinC
=cosD=sinB．sinCC．cos（+）
二．填空题（共6小题）
13．（2017秋?红桥区期末）cos120°=．
（tan=，则﹣α）．2018?铜山区一模）已知tan（+α）=14．（
，则=．（2018?嘉定区一模）已知．15
，则．（2018?上海模拟）已知cosα=
=16．
．tanα=0，α∈（﹣，），则）=+黄浦区一模）已知2018?sin（α（17．
＜＜，则tan（，且π﹣）=（?2018（．18春cos思明区校级月考）若﹣α）=．
三．解答题（共4小题）
19．（2018春?兴庆区校级期中）已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）．
（1）求实数m的值；
的值．2）求（
，a是第四象限角，求cosa=级陆（20．2018春?川县校月考）若
的值．
．=?葫芦岛期末）已知α）f（201821．（春（1）化简f（α）；
）=﹣2，且α为第一象限角，求f（ααtan2（）若（﹣）的值．。
7.2.3三角函数的诱导公式(第2课时诱导公式五六)课件高一上学期数学
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用诱导公式求值
例1 B
C
规律方法 利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”.
【题型二】利用诱导公式证明恒等式
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： （1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. （3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
【题型三】诱导公式的综合应用
B
成果验收•课堂达标检测
A层 基础达标练
B
A
D
4.（多选题）下列选项中正确的是( BCD )
B层 能力提升练
D
B
C
AC一～四的基础上，掌握诱导公式五、六的推导过程. 2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
要点深化·核心知识提炼
知识点. 诱导公式五、六
名师点睛
3.作用:利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 4.简记:“函数名改变，符号看象限”.
三角函数的诱导公式讲义
三角函数的诱导公式讲义1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是闭区间[-1, 1]。
对于任意角度x（弧度制），我们可以通过三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)来得到正弦函数的周期性。
其他常用的三角恒等式还有sin(x) = sin(π - x)和sin(x) = -sin(-x)等。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，其定义域和值域与正弦函数相同。
对于任意角度x，我们可以通过三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)来得到余弦函数的周期性。
其他常用的三角恒等式还有cos(x) = -cos(π - x)和cos(x) = cos(-x)等。
3. 正切函数（tan）：正切函数也是一个周期函数，它的定义域是实数集合，值域是全体实数。
有时候我们还会使用余切函数（cot）的值，它是正切函数的倒数。
常用的三角恒等式有tan(x) = tan(x + π)和cot(x) = 1/tan(x)等。
在掌握了这些基本的三角函数性质后，我们可以开始讲解三角函数的诱导公式了。
1.正弦函数的诱导公式：根据三角恒等式sin(x) = sin(x + 2π)，我们可以得到：sin(x + π) = sin(x)cos(π) + cos(x)sin(π)= -sin(x)因此，我们可以得到正弦函数的诱导公式：sin(x + π) = -sin(x)。
2.余弦函数的诱导公式：根据三角恒等式cos(x) = cos(x + 2π)，我们可以得到：cos(x + π) = cos(x)cos(π) - sin(x)sin(π)= -cos(x)因此，我们可以得到余弦函数的诱导公式：cos(x + π) = -cos(x)。
3.正切函数的诱导公式：根据三角恒等式tan(x) = tan(x + π)，我们可以得到：tan(x + π) = (tan(x) + tan(π))/(1 - tan(x)tan(π))= (tan(x) + 0)/(1 - tan(x)*0)= tan(x)因此，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(x + π) = tan(x)。
第四章+三角函数第2讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式课件——2025届高三数学一轮复习
解析：选A.因为角 是第二象限角，所以 ，又 , 所以 .
√
3. ____， ____.
解析： ， .
4.化简 的结果为________.
解析：原式 .
1.同角三角函数关系式的常用变形
（1） ; ; .
（2） .
（3） ； .
解析： ,所以 ,因为 ，所以 ， ,所以 ，所以 .故选C.
√
“ <m></m> 与 <m></m> ”之间关系的应用 与 可通过平方关系联系到一起,即 , , .因此在解题中已知其中一个可求另外两个.
【对点训练】
1.(2023·四川绵阳模拟)已知 ,且 ,则 ( )
考点二 诱导公式的应用（自主练透）
1.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.原式 .故选D.
√
2.（多选）下列式子中化简正确的是( )
A. B. C. D.若 ，则
√
√
√
解析：选ABD.由诱导公式易知A正确；</m> B正确；</m> C错误；</m> =|，因为</m> ，所以 </m> ， </m> ，所以 <m></m> ，所以原式 <m></m> ，D正确.
2. ; .
【用一用】
1.已知 ，且 ,则 ____.
解析：因为 ，所以 ，而 ，所以 .
2.已知 ，则 的值构成的集合是_______.
解析：①当 为偶数时， ；②当 为奇数时， .所以 的值构成的集合是 .
核心考点 师生共研
7.2.3三角函数的诱导公式2课件——高一上学期数学苏教版必修第一册
第7章 三角函数
7.2.3 三角函数的诱导公式(2)
公式一
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式二
sin(－α)=－sinα
cos(－α)=cosα
tan(－α)=－tanα
“函数名不变，符号看象限”
公式三
sin(π-α)=sinα
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
诱导公式五：
sin(
) cos
2
cos(
2
) sin
诱导公式六： ) cos
) sin
3
) cos
2
3
cos(
) sin
2
sin(
3
) cos
2
3
cos(
) sin
2
sin(
( ± ) ∈
2
奇变偶不变，符号看象限!
题型一：给值求值
【训练 1】
已知
π
2
cos6－α＝3，求下列各式的值：
α
－cos α·
sin α
∴原等式成立.
规律方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常
用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
高中数学课件-第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
20
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用csoins αα＝ tan α(α≠π2＋kπ，k∈Z)可实现角 α 的弦切互化. (2)当分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式时，往往转化为 关于 tan α 的式子求解. (3)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，
变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第2讲 同角三角函 数的基本关系与诱导 公式
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins
x x
＝tan x.2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切
A.sin θ＝45
B.cos θ＝－35
( ABD)
C.tan θ＝－34
D.sin θ－cos θ＝75
19
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
ABD 由题意知 sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝215， ∴2sin θcos θ＝－2245<0，∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝ 1－2sin θcos θ＝ 1－（－2245）＝ 2459＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴ABD 正确.
三角函数的诱导公式ppt课件
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式课件
(3)注意“1”的变式应用：如 1＝sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
π6＝－
3 2.
法二 cos －316π＝cos －6π＋56π
＝cos
π－π6＝－cos
π6＝－
3 2.
(3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
[规律方法] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求 解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．
＝sin
(180°＋60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin
(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)法一 cos －316π＝cos 316π＝cos 4π＋76π
＝cos (π＋π6)＝－cos
探究点2 诱导公式一～四主要有什么作用？ 提示 公式一的作用是：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围内的角； 公式二的作用是：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数； 公式三的作用是：把负角的三角函数化为正角的三角函数； 公式四的作用是：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数． 因此，运用公式一～四可以将任一角的三角函数转化为锐角的三角函数.
三角函数诱导公式
诱导公式一～四
温馨提示：公式一～四可概括如下：k·2π＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名 函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象限”(把α视为锐 角)．
三角函数的诱导公式 课件
三角函数求值
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角
函数的基本步骤是：
任意负角的 三角函数
―用―公―式―一―或―三→
任意正角的 三角函数
―用―公―式―一→
0～2π的角 的三角函数
―用―公―式―二―或―四→
锐角三 角函数
可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的 数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角再 查表”．
探究点二
利用诱导公式化简
三角函数式化简时，当三角函数中含nπ(k∈Z)时， 不能直接应用诱导公式变形，需分n＝2k和n＝2k＋ 1(k∈Z)进行讨论．
化简ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－ ＋αα](k∈Z)．
[提示] 对k按奇数、偶数进行讨论，然后利用诱导公式 化简．
[提示] 观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手， 利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边．
[证明] 左边＝csions22cππo－－sπαα－·sαinsi－nαπ－coαs－α ＝－cossinαα－－cosisnααscinoαsα＝－csionsαα＝－tanα＝右边． ∴原式成立．
化简 sin4k－4 1π－α＋cos4k4＋1π－α，k∈Z. [错解] 原式＝sinkπ－π4＋α＋coskπ＋π4－α ＝sinπ4＋α－cosπ4－α ＝sinπ4＋α－cosπ2－π4＋α ＝sinπ4＋α－sinπ4＋α＝0.
②当 k 为偶数时，设 k＝2n(n∈Z)，则 原式＝sin2nπ－π4＋α＋cos2nπ＋π4－α ＝－sinπ4＋α＋cosπ4－α ＝－sinπ4＋α＋sinπ4＋α＝0.
[解] 当 k 为偶数 2n(n∈Z)时， 原式＝ssiinn[22nnπ＋－1απc＋osα[]2cno－s21nππ－ ＋αα] ＝sins－inαπ＋cosα－coπs－α α ＝－s－insαicnoαscoπs＋α α＝－cocsoαsα＝－1； 当 k 为奇数 2n＋1(n∈Z)时， 原式＝sins[in2[n＋2n2＋π1＋πα－]cαo]sc[o2sn2＋nπ1－πα＋ α] ＝sisnin2ππ＋－ααccoossπ－＋αα ＝sinsαinα－cocsoαsα＝－1. ∴当 k∈Z 时，原式＝－1.
三角函数的诱导公式课件
公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
α + k ·2 π ( k ∈ Z ) , －α,π±α的三角 函数值,等于α的 同名函数值,前 面加上一个把α 看成锐角时原 函数值的符号.
例1.利用公式求下列三角函数值:
(1) cos225; (2)sin( ); (3) tan120.
（4）角 与角 的三角函数值有什么关
系？ 公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P`(-x,-y)
未命1.gsp
自主探究
(1) 同学们, 根据角 终边,那如何找到
角 和角 的终边呢?
(2)这两个角的终边和角 的终边有怎
2
例2、证明（1）sin( ) cos;(2) cos( ) sin
2
2
证明：（1）sin(
2
)
sin
2
(
)
cos(
)
cos
(2) cos(
2
)
cos2
( )
sin(
)
sin
公式六
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
公式五
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
公式六
sin
3
解：(1) cos 225 cos(180 45) cos 45 2 ; 2
(2) sin( ) sin 3 ;
高中数学三角函数的诱导公式课件ppt
奇变偶不变
符号看象限
注意： 看成锐角;原函数值的符号
22
例题与练习
例3 、证明：i（ n3(21π ） αs)c o s α; ( 2 ) c3o2π s(α)s i n α.
23
例题与练习
1 求下列三角函数值
1sin12000
(1) 3
2cos47/6
2
(2) 3 2
2 求三角式sin12000·cos12900+cos10200· sin10500+tan9450 2
3 计算 cos/5+ cos2/5+
cos3/5+ cos4/5
0
24
例题与练习
练习1 已知sin/4+=1/2;则sin3/4的 值是 1/2
2 已知cos 750+=1/3; 求cos1050+cos2850
0
25
例题与练习
1 已知角的终边上的一点P3a;4a a<0 则cos5400的值是 3/5
8
r 1
公式三
siny c o s xta n y
x
sin()y
cos()x
tan()yy
xx
公式三
sin ( ) sin c o s( )c o s ta n ( ) ta n
9
探究3
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin() sin cos() cos tan () tan
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想
14
四 例题分析