立体几何基础知识专题知识讲解
(9)和两条平行线中的一条相交的直线与另一条必相交.( )
(10)若点A,B分别是异面直线a,b上的点,则线段AB的长度是两条异面直线的距离.( )
(11)和两条异面直线都垂直的直线是两条异面直线的公垂线.( )
(12)如果直线a,b是异面直线,直线b,c也是异面直线,那么直线a,c一定是异面直线. ( )
名 称
定 义
图 象
取值范围
第一步的一般方法
两异面直线所成的角
斜线与平面所成的角
二面角
两异面直线之间的距离
点到平面的距离
平行于平面的直线到平面距离
两平面之间距离
在计算角时,最后的结果要在所求角所满足的范围内,否则一定不正确.
1.两异面直线所成角的范围是___________,两直线所成角的范围是__________.
(4) 经过平面外一点,有且只有一个平面与原平面平行.( )
(5) 经过空间中一点,有且只有一条直线与一直线垂直.( )
(6) 经过空间中一点,有且只有一个平面与一直线垂直.( )
(7) 经过空间中一点,有且只有一条直线与一平面垂直.( )
(8) 经过空间中一点,有且只有一个平面与一平面垂直.( )
(4) 垂直于同一平面的两条直线的位置关系是__________________
(5) 垂直于同一平面的一条直线和一个平面的位置关系是__________________
(6) 平行于同一平面的一条直线和一个平面的位置关系是__________________
(7) 垂直于同一平面的两个平面的位置关系是__________________
6．判断下列命题的正误
（1）空间没有公共点的两条直线是异面直线.( )
（2）两条异面直线所成的角可能是120°.( )
(3)空间中和一条直线都相交的两条直线一定是异面直线.( )
(4)平行于同一直线的两直线必平行.( )
(6)垂直于同一直线的两直线必平行.( )
(7)和两条异面直线中的一条平行的直线和另一条必相交.( )
类型
位置
关系
定 义
图 象
符号表示
直线和直线的位置关系
直线和平面的位置关系
平面和平面的位置平行
位置关系判断训练：
(1) 平行于同一直线的两条直线的位置关系是__________________
(2) 平行于同一平面的两条直线的位置关系是__________________
(3) 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是__________________
(13)若a∥b,c⊥d,则b,c相交或异面.( )
(14)互相垂直的两条直线是相交直线.( )
(15)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.( )
(16)和两条平行直线中的一条异面的直线和另一条也是异面直线.( )
(17)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等.( )
立体几何基础知识系列训练（三) 线、面的位置关系
立体几何基础知识系列训练（四) 垂直关系
关系
定理
定理内容
图 象
符号表示
(已知,求证)
线面垂直
线面垂直定义：
判定定理
推论
性质定理
推论
面面垂直
面面垂直定义：
判定定理
性质
射影长
定理
三垂线
定理
三垂线
定理
逆定理
两异面直线垂直的定义：
立体几何基础知识系列训练（五) 平行关系
平行关系
定理名称
定理内容
图 象
符号表示
(已知,求证)
直
线
和
平
面
平Байду номын сангаас
行
判定定理
推论
性质定理
推论
平
面
和
平
面
平
行
判定定理
推论
性质1
性质2
推论
平行公理
各种关系的唯一性判断训练:(对的打√,错的打×)
(1) 经过直线外一点,有且只有一条直线与原直线平行.( )
(2) 经过直线外一点,有且只有一个平面与原直线平行.( )
(3) 经过平面外一点,有且只有一条直线与原平面平行.( )
2.空间四边形ABCD中,BE=DE，AF=CF ,若BC=AD=2EF,则EF与AD所成的角为_______度.
3.长方形ABCD中AD=a,AB=b(a>b),将△ABC沿对角线折起,使AB⊥CD,则AB,CD的距离为_________.
5.如果∠AOB的两边分别平行于∠A'O'B'的两边,且∠AOB=60°,那么∠A'O'B'=____________.
(8) 平行于同一平面的两个平面的位置关系是__________________
(9)已知：异面直线a,b，a,b,且a∥,b∥,则,的位置关系是_______________
(10)若一条直线和一个平面内无数条直线垂直，则直线和平面的位置关系是____________
(11)若一个平面和另一平面内无数条直线平行，则两平面的位置关系是________________
4、已知：A,B,C,A,B,C,则CAB（ ）
立体几何基础知识系列训练（二) 空间两直线
名称
内 容
数学描述(公式)
作 用
异面直线定义
异面直线所成的角
异面直线的公垂线和距离
异面直线的判定定理
异面直线上点的距离公式
公理四
（平行公理）
小练习:
1.不重合的两条直线都与同一直线垂直,那么这两条直线的位置关系是____________________.
立体几何基础知识系列训练 （一) 平面
名称
内 容
符号表示
作 用
公理一
公理二
判断两平面相交的依据
公理三
推论一
推论二
推论三
一、按下列要求画出图形
1、直线a经过平面内一点A和平面外一点B
2、A，B，AC与AB交与点C，m
二、判断正误
1、三点确定一个平面（ ）
2、空间一点和一条直线确定一个平面（ ）
3、若a,b,a,b,且ab = A,则，是同一个平面（ ）
要求：1、熟记定理
2、熟练掌握定理（1）、（2）、（5）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）的证明。
立体几何基础知识系列训练（七) 计算问题（一）
计算问题是立体几何重要的一部分,应该注意的是:立体几何的计算是以证明为基础的,我们计算问题所说的"两步走"的第一步,就是要找出要求的（或已知的）角或距离,而找的过程,就是逐步通过已知条件证明某个角(或距离)就是所求的角(或距离).
(9) 经过两异面直线中的一条与另一条平行的平面只有一个.( )
(10) 经过平面外一条直线与原平面垂直的平面只有一个.( )
立体几何基础知识系列训练（六) 线面关系的相互转化
默写以上12个定理或定义：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
（9）.
（10）.
（11）.
（12）.
2024年高考数学立体几何知识点总结（2篇）
2024年高考数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的重要内容之一。
在高考中，立体几何的知识点主要包括空间几何、立体图形的面积与体积等方面。
下面是对2024年高考数学立体几何知识点的总结，供考生参考。
一、空间几何1. 空间几何中的点、线、面的概念和性质。
点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的大小，用字母表示。
线是由一组无限多个点构成的集合，用两个点的字母表示。
面是由无限多条线构成的，这些线共面且没有相交或平行关系。
2. 空间几何中的垂直、平行等概念和性质。
两条线在同一平面内，如果相交角为90°，则称两线垂直。
两条线没有相交关系，称两线平行。
3. 点到直线的距离的计算。
点到直线的距离等于该点在直线上的正交投影点的距离。
二、立体图形的面积与体积1. 立体图形的分类和性质。
立体图形包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等。
各种立体图形具有不同的性质，如球体表面上每一点到球心的距离都相等。
2. 立体图形的面积计算。
（1）球体的表面积计算公式：S = 4πr²，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的侧面积计算公式：S = 2πrh。
（3）圆柱体的全面积计算公式：S = 2πrh + 2πr²。
（4）圆锥体的侧面积计算公式：S = πrl，其中r为圆锥底面半径，l为斜高。
（5）棱柱体的侧面积计算公式：S = ph，其中p为棱柱底面周长，h为高。
3. 立体图形的体积计算。
（1）球体的体积计算公式：V = 4/3πr³，其中r为球的半径。
（2）圆柱体的体积计算公式：V = πr²h。
（3）圆锥体的体积计算公式：V = 1/3πr²h。
（4）棱柱体的体积计算公式：V = ph。
（5）棱锥体的体积计算公式：V = 1/3Bh，其中B为底面积，h 为高。
三、立体几何的一般理论1. 点、线、面的位置关系。
在空间中，点、线、面可以相互相交、平行、垂直等。
数学立体几何知识点归纳(优秀10篇)
数学立体几何知识点归纳（优秀10篇）立体几何是高中数学知识点中重要内容之一，也是每年高考中都会占有一定的分值，不管是在选择题、填空题还是应用大题，都是必出的题型，而且出题难度系数较大。
山草香分享了10篇数学立体几何知识点归纳，希望对于您更好的写作立体几何知识点有一定的参考作用。
立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
立体几何知识点归纳
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222coscos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
行。
8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
2025年立体几何数学知识点讲解
2025年立体几何数学知识点讲解立体几何作为数学的一个重要分支，在我们的日常生活和科学研究中都有着广泛的应用。
从建筑设计到航空航天，从地质勘探到计算机图形学，都离不开立体几何知识的支持。
接下来，让我们一起深入探索 2025 年立体几何的一些关键知识点。
一、空间几何体的结构特征首先，我们来认识一下常见的空间几何体，如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球。
棱柱是由两个平行且全等的多边形底面和若干个平行四边形侧面围成的几何体。
棱锥则是由一个多边形底面和若干个三角形侧面围成，且侧面都有一个公共顶点。
棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分。
圆柱是以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
圆锥是以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
圆台可以看作是由圆锥被平行于底面的平面所截得到的。
球是到定点的距离等于定长的点的集合，它是一个完美对称的几何体。
对于这些几何体，我们需要掌握它们的结构特征，能够通过观察图形准确判断其类型，并能根据给定的条件计算相关的参数，如棱长、高、表面积和体积等。
二、空间几何体的三视图和直观图三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形，包括正视图、侧视图和俯视图。
通过三视图，我们可以准确地还原出空间几何体的形状和结构。
直观图则是一种更直观地表示空间几何体的图形，通常采用斜二测画法。
在斜二测画法中，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度减半。
学会绘制和理解三视图和直观图，对于我们解决空间几何问题、进行空间想象有着重要的帮助。
三、空间点、直线、平面之间的位置关系这部分是立体几何的基础，也是重点和难点。
点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上。
点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外。
直线与直线的位置关系分为平行、相交和异面。
平行直线是指在同一平面内，没有公共点的两条直线；相交直线是指有且仅有一个公共点的两条直线；异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。
立体几何基础知识要点
立体几何基础知识要点一、平面.1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
2 .证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
3 .证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
4 .证共面问题一般用落入法或重合法。
5. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.二、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若ba=，则b a,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.12方向相同12方向不相同（二面角的取值范围[)180,0∈θ） （直线与直线所成角(]90,0∈θ） （斜线与平面成角()90,0∈θ） （直线与平面所成角[]90,0∈θ） （向量与向量所成角])180,0[∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. 21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内.（1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.PO Aa●若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ， 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ） 7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图） ⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1图1θθ1θ2图2P αβθM A B O条或者没有.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：ChS=（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l CS1=（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}.{直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.正四棱柱侧面与底面边长相等⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩．．．．形．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S=（侧面与底l ab c面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：AB⊥CD，AC⊥BD⇒BC⊥AD. 令bACcADaAB===,,得-=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅cabbca=-⇒c bc a则0=⋅ADBC. B CDiii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'F G H BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=.⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高）FEH GB CDAO'Or②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V底底侧ACDB ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六、空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若与共线，与共线，则与共线.（×） [当=时，不成立]②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面] ③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立] ④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(≠a ， ∥的OR充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量使之平行于平面α或在α内，则与α的关系是平行，记作a∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a,不共线，则向量P与向量,共面的充要条件是存在实数对x、y使b ya xP+=.②空间任一点．．．O．和不共线三点．．．．．．A．、．B．、．C．，则)1(=++++=zyxOCzOByOAxOP是PABC四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=zyzyzy)1(P、A、B、C四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a,,不共面．．．，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使c zb ya xp++=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使OC zOByOAxOP++=(这里隐含x+y+z≠1).DOABCD注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,===其 中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用+=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足O P x O A y O B z O C =++，则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b bb b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a =⇒⋅=)空间两个向量的夹角公式232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n ②.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). ③.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. ④直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). ⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m narc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.(4)证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使μλ+=.（常设μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB与平面相交）.A B七．思想方法：1．计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围：0°＜θ≤90°方法：①平移法；②补形法.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.二面角方法：①定义法,一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. ④射影面积法:S′=S cosθ来计算，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。
数学立体几何知识点精讲
数学立体几何知识点精讲在我们的数学学习中，立体几何是一个非常重要的板块。
它不仅能够帮助我们更好地理解空间中的物体和形状，还能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。
接下来，让我们一起深入探讨立体几何的各个知识点。
一、空间几何体的结构首先，我们要了解常见的空间几何体，比如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球。
棱柱是由两个平行且全等的多边形底面和若干个平行四边形侧面组成的多面体。
棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。
直棱柱的侧面是矩形，而斜棱柱的侧面是平行四边形。
棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面组成的多面体。
如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥。
棱台则是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
圆柱是由矩形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体。
圆柱的两个底面是全等的圆，侧面展开图是一个矩形。
圆锥是由直角三角形绕着一条直角边旋转一周所形成的几何体。
圆锥的底面是一个圆，侧面展开图是一个扇形。
圆台是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。
球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合。
二、空间几何体的三视图和直观图三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形，包括正视图、侧视图和俯视图。
正视图是从几何体的前面向后面正投影得到的视图，反映了物体的高度和长度。
侧视图是从几何体的左面向右面正投影得到的视图，反映了物体的高度和宽度。
俯视图是从几何体的上面向下面正投影得到的视图，反映了物体的长度和宽度。
直观图则是通过斜二测画法得到的，这种画法能够让我们更直观地感受空间几何体的形状。
在斜二测画法中，原来与 x 轴和 z 轴平行的线段仍然与 x 轴和 z 轴平行，长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行，但长度变为原来的一半。
三、空间几何体的表面积和体积对于棱柱和圆柱，其表面积等于侧面积加上两个底面积。
侧面积等于底面周长乘以高。
高考数学立体几何知识点梳理
高考数学立体几何知识点梳理关键信息：1、立体几何基本概念与公理点、线、面的位置关系三公理及推论2、直线与平面的位置关系直线与平面平行直线与平面垂直3、平面与平面的位置关系平面与平面平行平面与平面垂直4、空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球5、空间几何体的表面积与体积表面积公式体积公式6、空间向量在立体几何中的应用空间向量的坐标表示空间向量的数量积利用空间向量证明位置关系利用空间向量求空间角11 立体几何基本概念与公理111 点、线、面的位置关系点是空间中最基本的元素，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。
点动成线，线动成面。
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
平面与平面的位置关系有：平行、相交。
112 三公理及推论公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
21 直线与平面的位置关系211 直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
212 直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
31 平面与平面的位置关系311 平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
312 平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
七年级立体几何知识点总结
一、全部知识点导图图形的初步认识1、点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。
②面与面相交得线，线与线相交得点。
③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状一样，侧面的形状都是长方体。
②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
例：用一个平面截一个几何体，得出的截面是圆，那么，这个几何体可能是．〔写出两种〕2、空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
★画三视图的原那么：正俯长相等、正侧高一样、俯侧宽一样注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形例：如以下图的几何体的左视图是〔〕A．B．C．D．用五个小正方体搭成如图的几何体，请画出它的三视图．一、长方体1、特征：6个面都是长方形〔有时有两个相对的面是正方形〕。
⏹相对的面互相平行且面积相等，12条棱相对的4条棱〔互相平行〕长度相等。
⏹有8个顶点。
⏹相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
⏹两个面相交的边叫做棱。
⏹三条棱相交的点叫做顶点。
⏹把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
⏹长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的外表积。
2、计算公式<1>S=2(ab+ah+bh)<2>V=sh<3>V=abh二、正方体1、特征⏹六个面都是正方形；⏹六个面的面积相等；⏹12条棱，棱长都相等；⏹有8个顶点；⏹正方体可以看作特殊的长方体；如图，该平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为8，那么x+y=．2 计算公式<1>S=6a²<2>v=a³三、圆柱1、圆柱的认识⏹圆柱的上下两个面叫做底面。