2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题四概率与统计第1讲统计与统计案例含解析
第1讲统计与统计案例
高考定位 1.抽样方法、样本的数字特征、统计图表、回归分析与独立性检验主要以选择题、填空题形式命题，难度较小；2.注重知识的交汇渗透，统计与概率、回归分析与概率是近年命题的热点，2018年、2019年和2020年在解答题中均有考查.
真题感悟
1.(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.极差
解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，中位数是不变的，平均数、方差、极差均受影响.
答案 A
2.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且∑4
i＝1 p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
解析X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×
p4都为2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，标准差为D（X）.
A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.
可知选项B的情形对应样本的标准差最大.故选B.
答案 B
3.(2020·天津卷)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( )
A.10
B.18
C.20
D.36
解析因为直径落在区间[5.43，5.47)内的频率为0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以个数为0.225×80＝18.故选B.
答案 B
4.(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，20)，其中x i和
x i＝y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑20
i＝1
60，∑20
i＝1y i＝1 200，∑20
i＝1
(x i－x－)2＝80，∑20
i＝1
(y i－y－)2＝9 000，∑20
i＝1
(x i－x－)(y i－y－)＝800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(x i，y i)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r＝
∑n
i＝1
（x i－x－）（y i－y－）
∑n
i＝1
（x i－x－）2∑n
i＝1
（y i－y－）2
，2≈1.414.
解(1)由已知得样本平均数y－＝1
20∑20
i＝1
y i＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×
200＝12 000.
(2)样本(x i，y i)(i＝1，2，…，20)的相关系数
r＝
∑20
i＝1
（x i－x－）（y i－y－）
∑20
i＝1
（x i－x－）2∑20
i＝1
（y i－y－）2
＝
800
80×9 000
＝
22
3
≈0.94.
(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.
理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关性.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
考点整合
1.抽样方法
抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样，两种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围.
2.统计中的四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x －
＝1
n
(x 1＋x 2＋…＋x n ).
(4)方差与标准差.
s 2＝
1
n
[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －
)2]， s ＝
1
n
[（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋…＋（x n －x －
）2].
3.直方图的两个结论
(1)小长方形的面积＝组距×频率
组距＝频率.
(2)各小长方形的面积之和等于1. 4.回归分析与独立性检验
(1)回归直线y ^
＝b ^
x ＋a ^
经过样本点的中心(x －
，y －
)，若x 取某一个值代入回归直线方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中，可求出y 的估计值. (2)独立性检验
对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是：
则K2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容
量).
热点一抽样方法
【例1】(1)总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( )
附：第6行至第9行的随机数表
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
A.3
B.19
C.38
D.20
(2)(2020·百校大联考)在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课.我校高一、高二、高三共有学生1 800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1 800名学生中抽取一个容量为72的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( )
A.800
B.750
C.700
D.650
解析(1)由题意知，编号为01～50的个体才是需要的个体.由随机数表依次可得41，48，28，19，16，20，……故第4个个体的编号为19.故选B.
(2)设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x－2，2x －4.
由题意可得2x ＋(2x －2)＋(2x －4)＝72，∴x ＝13. 设我校高三年级的学生人数为N ，且高三抽取26人， 由分层抽样，得N
1 800＝26
72，∴N ＝650(人).
答案 (1)B (2)D
探究提高 解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值.
【训练1】 (1)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第6列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________. 附：第1行至第2行的随机数表
21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 06 91 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26
(2)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.
解析 (1)从随机数表的第1行第6列的数字开始，按规则得到的编号依次为50，89，03，42，07，64，38，12，63，49，16，41，75，07，15，94，50，……其中编号在01至20之间的依次为03，07，12，16，07，15，……按照编号重复的删除后一个的原则，可知选出来的第5个个体的编号为15.
(2)因为样本容量n ＝60，总体容量N ＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例为n
N
＝
601000＝3
50
.
因此应从丙种型号的产品中抽取300×3
50
＝18(件).
答案(1)15 (2)18
热点二用样本估计总体
角度1 数字特征与统计图表的应用
【例2】(1)(2020·衡水检测)甲、乙两名同学高三以来6次数学模拟考试的成绩统计如下图，甲、乙两组数据的平均数分别为x－甲、x－乙，标准差分别为s甲、s乙，则( )
A.x－甲＜x－乙，s甲＜s乙
B.x－甲＜x－乙，s甲＞s乙
C.x－甲＞x－乙，s甲＜s乙
D.x－甲＞x－乙，s甲＞s乙
(2)2020年初，我国突发新冠肺炎疫情，疫情期间中小学生“停课不停学”.已知某地区中小学生人数情况如甲图所示，各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示.为了进一步了解该地区中小学生参与“家务劳动”的情况，现用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则抽取的样本容量、抽取的高中生中参与“家务劳动”的人数分别为( )
A.2 750，200
B.2 750，110
C.1 120，110
D.1 120，200
解析(1)由统计图知，甲同学的总体成绩要好于乙同学的成绩，且乙同学的成绩波动较大，甲同学成绩较稳定.∴x－甲＞x－乙，且s甲＜s乙.
(2)学生总数为15 500＋5 000＋7 500＝28 000人，由于抽取4%的学生进行调查，则抽取的样本容量为28 000×4%＝1 120(人).故高中生应抽取的人数为
5 000×4%＝200(人)，而高中生中参与“家务劳动”的比率为0.55，故高中生中参与“家务劳动”的人数为200×0.55＝110(人).
答案(1)C (2)C
角度2 用样本的频率分布估计总体分布
【例3】(2019·全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，
故a＝0.35，
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
探究提高 1.平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.
2.在例3中，抓住频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，这是求解的关键；本题易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.
【训练2】(1)(2020·新高考海南卷)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
解析 由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11天复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确；故选C 、D. 答案 CD
(2)(2019·全国Ⅱ卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.
①分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； ②求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：
74≈8.602.
解 ①根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100
＝0.21.
产值负增长的企业频率为2
100
＝0.02.
所以用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%. ②100个企业的产值增长率平均数为
y－＝1
100
×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，
s2＝
1
100
∑5
i＝1
n i(y i－y－)2＝
1
100
×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]
＝0.029 6，
s＝0.029 6＝0.02×74≈0.17.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
热点三回归分析在实际问题中的应用
【例4】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
解(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.
探究提高 1.求回归直线方程的关键及实际应用
(1)关键：正确理解b^，a^的计算公式和准确地计算.
(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.
2.相关系数
(1)当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关.
(2)当|r|>0.75时，认为两个变量具有较强的线性相关关系.
【训练3】(1)(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1，
2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是( )
A.y＝a＋bx
B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋b e x
D.y＝a＋b ln x
(2)(2020·百强名校领军考试)已知变量x，y的关系可以用模型y＝c e kx拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据如下：
x 16171819
z 50344131
由上表可得线性回归方程z^＝－4x＋a^，则c＝( )
A.－4
B.e－4
C.109
D.e109
解析(1)由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数的图象附近.故选D.
(2)由数据表知x－＝17.5，z－＝39.
∵样本点中心(x－，z－)在回归直线上，
∴a^＝39＋4×17.5＝109.
又z＝ln y＝ln(c e kx)＝kx＋ln c，
∴ln c＝a^＝109，则c＝e109.
答案(1)D (2)D
热点四独立性检验
【例5】(2020·新高考山东、海南卷)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附：K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，
解(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度
不超过150的概率的估计值为64
100
＝0.64.
(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：
(3)根据(2)的列联表得
K 2的观测值k ＝100×（64×10－16×10）2
80×20×74×26
≈7.484.
由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关. 探究提高 1.独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列成2×2列联表；
(2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算K 2的值；
(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断.
2.K 2的观测值k 越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.
【训练4】 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K 2＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
.
P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001 k 0
3.841
6.635
10.828
解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40
50＝0.8，因此男顾客对该商场服务
满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为30
50＝0.6，因此女顾客对该商
场服务满意的概率的估计值为0.6. (2)K 2的观测值
k ＝100×（40×20－30×10）250×50×70×30
≈4.762.
由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
A 级 巩固提升
一、选择题
1.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
解析 法一 设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x ，则x ＋80－60＝90，解得x ＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70
100
＝0.7.故选C.
法二用Venn图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的
学生人数与该校学生总数比值的估计值为70
100
＝0.7.
答案 C
2.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为( )
A.0.01
B.0.1
C.1
D.10
解析10x1，10x2，…，10x n的方差为102×0.01＝1.故选C.
答案 C
3.给出如下列联表
患心脏病患其他病总计
高血压201030
非高血压305080
总计5060110
P(K2≥10.828)≈0.001，P(K2≥ 6.635)≈0.010，参照公式k＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，得到的正确结论是( )
A.有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”
B.有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关” 解析 由列联表中的数据可得K 2的观测值 k ＝110×（20×50－10×30）230×80×50×60≈7.486＞6.635，
根据参考数据
P (K 2≥6.635)≈0.01，P (K 2≥10.828)≈0.001，
所以有1－0.01＝99%的把握认为高血压与患心脏病有关，即有99%以上的把握认为高血压与患心脏病有关. 答案 B
4.(多选题)(2020·济南调研)某企业对本企业1 644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，下列结论成立的是( )
疫情防控期间某企业复工职工调查
A.x ＝0.384
B.从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178
C.不到80名职工倾向于继续申请休假
D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
解析 由图表知x %＝1－5.1%－17.8%－42.3%，得x ＝34.8，则A 错.在家办公的人员占17.8%，B 正确.由1 644×5.1%＞1644×5%＝82.2＞80，∴超过80名职工倾向于休假，故C 错误.又1 644×(17.8%＋42.3%)≈988，所以超过986名职工倾向于在家办公或在公司办公，
D 正确.综上可知，正确的结论为BD. 答案 BD
5.(多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A.得分在[40，60)之间的共有40人
B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5
C.估计得分的众数为55
D.这100名参赛者得分的中位数为65
解析 根据频率和为1，由(a ＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a ＝0.005， 得分在[40，60)的频率是0.40，估计得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A 正确； 得分在[60，80)的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取一人， 得分在[60，80)的概率为0.5，B 正确；
根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为50＋60
2＝55，即估计得分的众数为
55，C 正确；
由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位数位于[60，70)内，所以中位数的估计值为60＋0.5－0.4
0.03≈
63.3. 答案 ABC 二、填空题
6.(2020·深圳调研)为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x (单位：ppm)与当天私家车路上行驶的时间y (单位：小时)之间的关系，从某主干路随机抽取10辆私家车，根据测量数据的散点图可以看出x 与y 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y ^
＝0.3x －0.4，若该10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6(单位：ppm)，据此估计该私家车行驶的时间为________小时.
解析 由y ^
＝0.3x －0.4，取x ＝6，得y ^
＝0.3×6－0.4＝1.4，∴估计该私家车行驶的时间为1.4小时. 答案 1.4
7.(2020·济宁联考)由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m ，中位数为n ，则m －n ＝________.
解析 第一块小矩形的面积S 1＝0.3，第二块小矩形的面积S 2＝0.4，故n ＝2 000＋
0.5－0.3
0.000 2＝3 000；又第四、五块小矩形的面积均为S ＝0.06，故a ＝1
2 000[1－(0.3＋0.4＋0.06×2)]
＝0.000 09，所以m ＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋(7 000＋9 000)×0.06＝3 360，故m －n ＝360. 答案 360
8.(2002·中原名校联考)“关注夕阳、爱老敬老”——某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (万元)的对应数据，
12第一部分 板块二 专题四 概率与统计 第1讲 概率与统计(小题)
第1讲概率与统计(小题) 热点一随机抽样 1．随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的． 2．系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同． 3．分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例． 例1(1)(2019·汉中联考)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示： 不喜欢喜欢 男性青年观众3010 女性青年观众3050 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n等于() A．12 B．16 C．20 D．24 (2)(2019·上饶联考)某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________． 跟踪演练1(1)(2019·漳州质检)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为()
统考版2023高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重研重点保大分专题四统计与概率第1讲统计统计案例理
第1讲统计、统计案例 考点一抽样方法——依特点，定方法 1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少． 2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多． 3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 例 1 (1)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001、002、…、699、700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是( ) 3321183429 7864560732 5242064438 1223435677 3578905642 8442125331 3457860736 2530073285 2345788907 2368960804 3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345 A.607 B．328 C．253 D．007 (2)[2022·江苏海安高三期末]某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名．从中抽取一个容量为60的样本，则抽取男生和女生的人数分别为( ) A．31 29 B．32 28 C．33 27 D．34 26 归纳总结 系统抽样和分层抽样中的计算方法 (1)系统抽样 个个体(有“零头”时 ①总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分为n段，每段N n 要先去掉)．
②若第一段抽取编号为k 的个体，则以后各段中抽取的个体编号依次为k ＋N n ，…，k ＋(n －1)N n . (2)分层抽样 ①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． ②当总体容量为N ，样本容量为n 时，有下列关系式： 每层入样个体数该层个体总数 ＝n N . 提醒 无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值． 对点训练 1.[2022·江西二模]某工厂利用随机数表对生产的300个零件进行抽样测试，先将300个零件进行编号001，002，…，299，300.从中抽取30个样本，根据提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是( ) 844212 533134 578607 362530 073286 234578 890723 68960804 325678 084367 895355 773489 948375 225355 783245 77892345 A.072 B ．134 C ．007 D ．253 2．某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1 100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 考点二 用样本估计总体——读懂图表，明确数字 1．频率分布直方图的两个结论 (1)小长方形的面积＝组距× 频率组距 ＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. 2．统计中的四个数字特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题 1.(2021·广东广州二模改编)根据相关统计,2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋 势,2011~2019年全国农村贫困发生率的散点图如下: 注:年份代码1~9分别对应年份2011年~2019年. (1)求y 关于t 的经验回归方程(系数精确到0.01); (2)已知某贫困地区的农民人均年纯收入X (单位:万元)满足正态分布N (1.6,0.36),若该地区约有 97.72%的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准,则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元? 参考数据与公式:∑i=19y i =54.2,∑i=19 t i y i =183.6. 经验回归直线y ^=b ^t+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1 n t i y i -nt y ∑i=1n (t i -t )2 ,a ^=y −b ^t . 若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3. 2.(2021·湖北黄冈适应性考试改编)产品质量是企业的生命线.为提高产品质量,企业非常重视产品生产线的质量.某企业引进了生产同一种产品的A,B 两条生产线,为比较两条生产线的质量,从A,B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测,把产品等级结果和频数制成了如图的统计图. (1)依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析数据,能否据此推断是否为一级品与生产线有关.
(2)生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品则亏损20元,以频率估计概率. ①分别估计A,B生产线生产一件产品的平均利润; ②你认为哪条生产线的利润较为稳定?并说明理由. 附:①参考公式:χ2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. ②临界值表: 3.(2021·福建宁德模拟改编)某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,从中随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63],得到如图所示的频率分布直方图.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为 61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6. (1)求频率分布直方图中a,b,c的值及该样本的平均长度x(结果精确到1 mm,同一组数据用该区间的中点值作代表); (2)视该批次样本的频率为总体的概率,从工厂生产的这批新零件中随机选取3个,记ξ为抽取的零件长度在[59,61)的个数,求ξ的分布列和数学期望; (3)若变量X满足|P(μ-σ≤X≤μ+σ)-0.682 7|<0.03且|P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.03,则称变量X满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批样本的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利出厂;否则不能出厂.请问,能否让该批零件出厂? 4.(2021·山东潍坊期末)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0 专题四 概率与统计 第1讲 概率、随机变量及其分布列 (限时45分钟，满分96分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2019·株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665，则图形Ω面积的估计值为 A.1 3 B.1 2 C.1 4 D.16 解析 设图形Ω 的面积为S ， ∵由电脑随机从正方形中抽取10 000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3 335，6 665， ∴S 1＝3 33510 000≈13，∴S ≈13.故选A. 答案 A 2．(2019·潍坊模拟)四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是 A.1 15 B.1 10 C.13 D.1130 解析 A ，B 只能有一个可能为1，题目求最大，令B 为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为1 3 .故选C. 答案 C 3．(2019·浙江衢州五校联考)随机变量的分布列如下： 若E (X )＝1 3，则D (X )的值是 A.19 B.29 C.49 D.59 解析 由题设可得a ＋b ＝23，b －a ＝13⇒a ＝16，b ＝1 2， 所以由数学期望的计算公式可得 E (X 2)＝0×13＋1×23＝23，(E (X ))2＝1 9， 所以由随机变量的方差公式可得 D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝5 9.故选D. 答案 D 4．(2019·河北省级示范校联合体联考)袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组： 232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A.18 B.14 C.16 D.524 解析 由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，出现0就不能出现1，反之亦然，第三次必须出现前面两个数字中没有 备考2023年中考数学二轮复习-统计与概率_数据分析_中位数-单选题专训及答案 中位数单选题专训 1、 (2020黄冈.中考模拟) 一组数据3，2，4，2，5的中位数和众数分别是（）A . 3，2 B . 3，3 C . 4，2 D . 4，3 2、 (2022锡山.中考模拟) 九年级（1）班15名男同学进行引体向上测试，每人只测一次，测试结果统计如下： 引体向上数/个0 1 2 3 4 5 6 7 8 人数 1 1 2 1 3 3 2 1 1 这15名男同学引体向上数的中位数是（） A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 3、 (2020前锋.中考模拟) (2017九下·永春期中) 在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（） A . 平均数为160 B . 中位数为158 C . 众数为158 D . 方差为20.3 4、 (2017大连.中考模拟) 为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，量得它们的长度如下（单位：cm）：16、9、14、11、12、10、16、8、17、16则这组数据的中位数为（） A . 9 B . 11 C . 13 D . 16 5、 (2018金华.中考模拟) 本学期，大兴区开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量，具体 诗词数量首 4 5 6 7 8 9 10 11 人数 3 4 4 5 7 5 1 1 那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是（） A . 11，7 B . 7，5 C . 8，8 D . 8，7 6、 备考2023年中考数学二轮复习-统计与概率_数据收集与处理_统计表-综合题专训及答案 统计表综合题专训 1、 (2011连云港.中考真卷) 为了解某校“振兴阅读工程”的开展情况，教育部门对该校初中生的阅读情况进行了随机问卷调查，绘制了如下图表： 初中生喜爱的文学作品种类调查统计表 种类小说散文传记科普军事诗歌其他人数72 8 21 19 15 2 13 根据上述图表提供的信息，解答下列问题： （1）喜爱小说的人数占被调查人数的百分比是多少？初中生每天阅读时间的中位数在哪个时间段内？ （2）将写读后感、笔记积累、画圈点读等三种方式称为有记忆阅读．请估计该校现有的2000名初中生中，能进行有记忆阅读的人数约是多少？ 2、 (2017泰兴.中考模拟) 近年来，学校对“在初中数学教学时总使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题密切关注，为此，某校随机调查了n 名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，根据统计图表提供的信息，解答下列问题： n名学生对这一问题的看法人数统计表 看法没有影响影响不大影响很大 学生人数（人）40 60 m （1）求n的值； （2）统计表中的m=； （3）估计该校1800名学生中认为“影响很大”的学生人数． 3、 (2018台州.中考真卷) 某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为 男生体育考试的一个必考项目，满分为10分.有关部分为提前了解明年参加初中毕业升学考试的男生的“引体向上”水平，在全市八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的“引体向上”水平进行测试，并将测试结果绘制成如下统计图表（部分信息未给出）： 抽取的男生“引体向上”成绩统计表 成绩人数 0分32 1分30 2分24 3分11 4分15 5分及以上 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：，； （2）求扇形统计图中组的扇形圆心角的度数； （3）目前该市八年级有男生3600名，请估计其中“引体向上”得零分的人数. 第1讲 概率、随机变量及其分布 [做小题——激活思维] 1．若随机变量X 的分布列如表所示，E (X )＝1.6，则a －b ＝( ) A ．0.2 C ．0.8 D ．－0.8 B [由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，又由E (X )＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5， 则a －b ＝－0.2.] 2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8 D ．0.9 C [记“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4，则P (B |A )＝ P AB P A ＝0.8，故选C.] 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3 4，两个零件是否加工 为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，且A ，B 相互独立，则P (A )＝23，P (B )＝3 4，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B ) ＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝5 12.] 4．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5 9，则P (Y ≥1)＝( ) A.12 B. 1681 第二篇 专题四 第1讲 统计与统计案例 一、选择题 1．根据如下样本数据： 得到的线性回归方程为y ＝b x ＋a ，则( B ) A ．a ^>0，b ^ >0 B ．a ^>0，b ^<0 C ．a ^<0，b ^ >0 D ．a ^<0，b ^<0 【解析】根据给出的数据可发现：整体上y 与x 呈现负相关，所以b ^ <0，由样本点(3，4.0)及(4，2.5)可知a ^ >0，故选B. 2．(2019·全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( C ) A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下： 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70 100＝0.7. 3．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图可以看出，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( D ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋bx 2 C ．y ＝a ＋b e x D ．y ＝a ＋b ln x 【解析】 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近． 4．某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件，这种零件的标准尺寸为85mm ，现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件进行检测，其尺寸(单位：mm)用图表示如图所示，则估计( D ) A.B ．甲、乙生产的零件质量相当 C ．甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好 D ．乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好 【解析】甲生产的零件尺寸是93，89，88，85，84，82，79，78；乙生产的零件尺寸是90，88，86，85，85，84，84，78.故甲生产的零件尺寸的中位数是85＋842＝84.5，乙生 产的零件尺寸的中位数是85＋85 2＝85，故A 错误；根据数据分析，乙的数据较稳定，故乙 生产的零件质量比甲生产的零件质量好，故B ，C 错误．故选D. 5．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( D ) A ．得分在[40，60)之间的共有40人 B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)之间的概率为0.5 C ．估计得分的众数为55 D ．这100名参赛者得分的中位数为65 【解析】根据频率和为1，计算(a ＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a ＝0.005，得分在[40，60)之间的频率是0.4，估计得分在[40，60)之间的有100×0.4＝40(人)，A 正确；得分在[60，80)之间的频率为0.5，可得从这100名参赛者中随机选取1人，得分在[60，80)之间的概率为0.5，B 正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为 50＋602＝55，即估计众数为55，C 正确；根据频率分布直方图知，得分低于60分的直方图面积为(0.005＋0.035)×10＝0.4<0.5，而得分低于70分的直方图面积为(0.005＋0.035＋0.030)×10 2023新教材数学高考第二轮专题 专题检测四 概率与统计 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020·山东·5)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A.62% B.56% C.46% D.42% 2.(2022·辽宁丹东模拟)体育课上进行投篮测试,每人投篮3次,至少投中1次则通过测试.某同学每次投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.064 B.0.600 C.0.784 D.0.936 3.(2022·山东潍坊三模)某省新高考改革方案推行“3+1+2”模式,要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2门.某学生各门功课均比较优异,因此决定按方案要求任意选择,则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 6 D.1 12 4.(2022·全国乙·文4)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图: 则下列结论中错误的是( ) A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 5.(2022·江苏苏锡常镇二模)随着北京冬奥会的举办,中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则( ) A.A 与B 为对立事件 B .A 与C 互斥 冲刺高考二轮统计与统计案例小题突破练 （原卷+答案） 一、单项选择题 1．已知某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示， 为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为() A．200，25 B．200，2 500 C．8 000，25 D．8 000，2500 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则() A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度．某制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效．该企业对参与试验的1 000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如下图表所示： 年龄频率 [20，30)0.20 [30，40)0.30 [40，50)0.10 [50，60)0.20 [60，70)0.10 [70，80]0.10 则下列结论正确的是( ) A ．在受试者中，50岁以下的人数为700 B ．在受试者中，抗体呈阳性的人数为800 C ．受试者的平均年龄为45岁 D ．受试者的疫苗有效率为80% 4．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为( ) A ．66.5 B ．67 C ．67.5 D ．68 5．已知一组数据：x 1，x 2，x 3的平均数是5，方差是4，则由2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1和11 这四个数据组成的新数据组的方差是( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．11 6．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程x /万千米 1 2 4 5 维修保养费用y /万元 0.50 0.90 2.30 2.70 若用最小二乘法求得回归直线方程为y ^ ＝0.58x ＋a ^ ，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是( ) A ．3.34万元 B ．3.62万元 C ．3.82万元 D ．4.02万元 7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 已知χ2＝n （ad －bc ）2 （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） ，P (χ2≥10.828)＝0.001，根据小概率值 α＝0.001的χ2独立性检验，以下结论正确的为( ) 高考数学专题2024概率与统计历年题目解析概率与统计作为高考数学的重要部分，占据了相当大的比重。掌握 概率与统计的相关知识对于考生来说是至关重要的。本文将通过对 2024年高考概率与统计专题历年题目的解析，帮助考生更好地理解和 掌握这一部分知识点。 一、选择题解析 选择题是高考中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解题技巧是 很重要的。 题目1：某班有30名学生，其中男生占总人数的40%。已知从该班随机抽取一名学生，他是男生的概率是多少？ 解析：根据题目可知男生的人数为30 × 40% = 12人，所以男生的 概率是12/30 = 2/5。 题目2：某工厂生产零件，每天生产150个。已知每个零件的质量 标准为99%，A同学随机抽样抽取2个零件，请问这两个零件都合格 的概率是多少？ 解析：每个零件合格的概率为99% × 1/100 = 0.99。因为是随机抽取，所以这两个零件都合格的概率为0.99 × 0.99 = 0.9801。 二、解答题解析 解答题在概率与统计中也占据重要地位，考察学生的综合应用能力 和解题能力。 题目3：某校学生的身高服从正态分布，其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm；女生的平均身高为165cm，标准差为4cm。已知该校男女生比例为2：3，请问在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率是多少？ 解析：根据题目可知男生的概率为2/5，女生的概率为3/5。设男生身高超过175cm的概率为p1，女生身高超过175cm的概率为p2。根据正态分布的性质，可以计算出男生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p1) = 2/5，女生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p2) = 3/5。解方程得到p1 = 1/5，p2 = 2/5，所以在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率为(2/5) × (1/5) + (3/5) × (2/5) = 11/25。 题目4：一家工厂生产某种产品，质量合格率为95%。从该工厂随机抽取10个产品进行质量检测，请问其中至少有一个不合格品的概率是多少？ 解析：一个产品不合格的概率为1 - 95% = 5%。所以10个产品都合格的概率为0.95^10 ≈ 0.599。所以至少有一个不合格品的概率为1 - 0.599 ≈ 0.401。 三、案例分析题解析 案例分析题是对考生综合运用概率与统计知识进行解答，考验考生的逻辑思维和分析能力。 题目5：某地区某种疾病的发病率是0.02。现将该地区的人群分为两类，一类是患者，一类是正常人。已知在所有的报告中，有80%是 备考2022年中考数学二轮复习-统计与概率_数据分析_加权平均数及其计算-单选题专训及答案 加权平均数及其计算单选题专训 1、 则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（） A . 15，15 B . 15，16 C . 16，16 D . 16，16.5 2、 (2018无锡.中考真卷) 某商场为了解产品A的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量y（件） 则这5天中，A产品平均每件的售价为（） A . 100元 B . 95元 C . 98元 D . 97.5元 3、 (2017盘锦.中考模拟) 为了解居民用水情况，晓娜在某小区随机抽查了10户家 则这10户家庭的月用水量的平均数和众数分别是（） A . 7.8，9 B . 7.8，3 C . 4.5，9 D . 4.5，3 4、 (2016江汉.中考模拟) 某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（） A . 该班一共有40名同学 B . 该班学生这次考试成绩的众数是45分 C . 该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D . 该班学生这次考试成绩的平均数是45分 5、 (2017和平.中考模拟) 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是从该 那么这10个家庭8月份比7月份的节水量的平均数是（） A . 0.5m3 B . 0.4m3 C . 0.35m3 D . 0.3m3 6、 (2017无锡.中考模拟) 某校九年级（1）班全体学生2016年初中毕业体育考试 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（） A . 该班一共有40名同学 B . 该班学生这次考试成绩的众数是28分 C . 该班学生这次考试成绩的中位数是28分 D . 该班学生这次考试成绩的平均数是28分 7、 (2019惠民.中考模拟) 爱心社的志愿者们为品学兼优的家庭困难学生共捐赠资金7000元，已知该资金由25名志愿者捐献，捐献统计情况如下表，则他们捐款 8、 关于这12名队员年龄的年龄，下列说法错误的是（） A . 众数是14 B . 极差是3 C . 中位数是14.5 D . 平均数是14.8 9、 (2017武汉.中考模拟) 为了了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同 专题七 概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理 真题试做 1．(2023·浙江高考，理6)假设从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有( )． A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 2．(2023·重庆高考，理4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8 的展开式中常数项为( )． A.3516 B.358 C.35 4 D ．105 3．(2023·安徽高考，理7)(x 2 ＋2)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )． A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 4．(2023·浙江高考，理14)假设将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x ) 2 ＋…＋a 5(1＋x )5 ，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，那么a 3＝__________. 5．(2023·广东高考，理10)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3 的系数为__________．(用数字作答) 考向分析 高考中对本节注重根底知识和根本解题方法、规律的考察，伴随运算能力的考察，根本都为中等难度试题．预测下一步对排列组合会更加注重分类、分步计算原理的考察，注重与概率的联系，更要加强对本节知识的理解深度；二项式定理的应用可能会对x 的n 次多项式 (1＋ax )n 的考察升温，尤其是利用(1＋ax )n 的展开式考察赋值思想． 热点例析 热点一 分类加法和分步乘法计数原理 【例1】方程ay ＝b 2x 2 ＋c 中的a ，b ，c {－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )． A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条 规律方法“分类”与“分步”的区别：关键是看事件的完成情况，如果每种方法都能将事件完成是分类；如果必须要连续假设干步才能将事件完成是分步，分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘． 变式训练1(2023·安徽高考，理10)6位同学在毕业聚会活动中进展纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进展交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进展了13次交换，那么收到4份纪念品的同学人数为( )． A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 热点二 求展开式中的指定项 【例2】在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －2x 6 的二项展开式中，常数项等于__________． 规律方法运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，其中n N * ，r N ，r ≤n .注意与(b ＋a )n 的展开式虽然相同，但其展开式中的某一项为哪一项不相同的，所以一定要注意顺序问题． 变式训练2假设⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，那么该展开式中1x 2 的系数为__________． 热点三 求展开式中的各项系数的和 假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2 的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 考点突破练11 概率与统计的综合问题 1.(2022·黑龙江哈尔滨六中一模)某厂家将其生产的糖果批发给当地一家商场,商场根据这批糖果的品质将其分为A ,B ,C 三个等级,批发单价分别为6元/千克、5元/千克和4元/千克. (1)根据以往的经验,该厂家生产的糖果为A ,B ,C 等级的比例分别为50%,30%,20%,估计这批糖果的批发单价的平均值; (2)为了对糖果进行合理定价,商场对近5天的日销量y (单位:千克)和销售单价x (单位:元/千克)进行了统计,得到一组数据如表所示: 根据表中所给数据,用线性回归模型拟合y 与x 的关系,求出y 关于x 的线性回归方程,并预测当糖果单价为12元/千克时,该商场糖果的日销量. 参考公式:回归直线y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^ = ∑i=1 n x i y i -nxy ∑i=1 n x i 2-nx 2 ,a ^ =y −b ^ x . 参考数据:∑i=1 5 y i =565,∑i=1 5 x i y i =4 330,∑i=1 5 x i 2=330. 2.(2020·全国Ⅰ·理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 1.（2019 徐州质检）已知集合A = {x|y=JX} ,B = {x€ Z|—2< x< 4}，则A n B 等于_________ ［解析］A= {x|x>0} , B= { —2, —1, 0, 1 , 2, 3, 4}, 所以A n B = {0 , 1, 2, 3, 4}. ［答案］{0 , 1, 2, 3, 4} 2 . (2019江苏名校高三入学摸底)随着学习任务的加重，学生的运动时间正在不断减少， 导致体质下降、视力下降等.某中学为了解学生每周平均运动时间的情况，收集到该校200名学生的样本数据，将他们的每周平均运动时间(单位：小时)按［0 , 2), ［2 , 4), ［4 , 6), ［6 , 8) , ［8 , 10) , ［10 , 12］分为6组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这200名学生 中有________ 名学生的每周平均运动时间不少于8小时. ［解析］根据频率分布直方图可知，(2a + 0. 075+ 0. 100 + 0. 125+ 0. 150) X 2= 1,解得a = 0. 025 ,所以这200名学生中每周平均运动时间不少于8小时的学生数为(0 . 025 + 0. 075) X 2X 200 = 40. ［答案］40 x2 y2 3. _______________________________ (2019江苏名校联考)已知F是双曲线尹一存=1(a> 0, b> 0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点，若△ ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为. b2b2 ---------------------- ［解析］由题意得E(a, 0),不妨设A —c, - , B —c,—：,显然△ ABE是等腰三角形，故当△ ABE 是锐角三角形时，Z AEB< 90°从而b v a+ c,化简得c2—ac —2a2< 0,即e2—e a —2< 0,解得—1< e< 2,又e> 1,故1 < e< 2. ［答案］(1 , 2) 4. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m + ni)2为纯虚数的概率为 ［解析］因为(m+ ni)2= (m2—n2)+ 2mni为纯虚数，所以n2= m2,故m= n ,则可以取1、2、…、 专题01 小题考法（概率与统计） 目录 题型一：用样本估计总体 题型二：古典概型 题型三：相互独立事件的概率与条件概率 题型四：二项分布与正态分布 应用体验 精选好题做一当十 题型一：用样本估计总体 1．（2021·河南·高三月考（理））某校为了解学生体能素质，随机抽取了50名学生，进行体能测试.并将这50名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（ ） A ．这50名学生中成绩在[]80,100内的人数占比为20% B ．这50名学生中成绩在[)60,80内的人数有26人 C ．这50名学生成绩的中位数为70 D ．这50名学生的平均成绩68.2x =（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表） 2．（2021·广东茂名·高三月考）某市居民月均用水量的频率分布直方图如图所示： 其众数1X ，中位数2X ，平均数X 的估计值分为，则下列结论正确的是（ ） A ．21X X X >> B ．21X X X >> B ． C ．12X X X >> D ．21X X X >> 3．（2021·内蒙古·赤峰二中高三月考（文））已知一组数据1x ，2x ，3x ， 4x ，5x 的平均数是2，方差是13 ，那么另一组数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +的平均数和方差分别是（ ） A ．2，13 B ．2，1 C ．7，3 D ．3，3 4．（2021·山东青岛·高三开学考试）已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据15，此时样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．15x >，23s < B ．15x <，23s > C ．15x =，23s > D ．15x =，23s < 题型二：古典概型 1．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A ，B ，C 三位同学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为1 2，不考虑失球，球刚开始在A 同学脚下，经过5次传球后，球回到A 同学脚下的概率为（ ）高考数学(理科)二轮专题：第二篇专题四第1讲 概率、随机变量及其分布列
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