2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d ＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值单调递增4a3e2（3﹣a）比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=A．[-4,+∞）B．（-2, +∞）C．[-4,1] D．(-2,1]2．已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A．5-5i B．7-5i C．5+5i D．7+5i3．若α∈R，则“α=0”是“sinα<cosα”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设m．n是两条不同的直线，α．β是两个不同的平面，A．若m∥α，n∥α,则m∥n B．若m∥α，m∥β,则α∥βC．若m∥n，m⊥α,则n⊥α D．若m∥α，α⊥β,则m⊥β5．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm36．函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．已知a．b．c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则A．a>0,4a+b=0 B．a<0,4a+b=0 C．a>0,2a+b=0 D．a<0,2a+b=08．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像9．如图F1．F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A．B分别是C1．C2在第二．四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是1A ．2 B ．3 C ．32 D ．6210．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：若正数a ．b ．c ．d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥2 非选择题部分（共100分） 注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
数学_2013年浙江省考试院高考数学测试卷(文科)(含答案)
2013年浙江省考试院高考数学测试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A{−2, −1, 1, 2}，B ={x|x 2−x −2≥0}，则A ∩B =( )A {−1, 1, 2}B {−2, −1, 2}C {−2, 1, 2}D {−2, −1, 1}2. 已知a ∈R ，则“a >0”是“a +1a ≥2”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3. 已知直线l ，m 和平面α，则下列命题正确的是( )A 若l // m ，m ⊂α，则l // αB 若l // α，m ⊂α，则l // mC 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ⊥αD 若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m4. 若函数f(x)(x ∈R)是奇函数，函数g(x)(x ∈R)是偶函数，则（ ）A 函数f[g(x)]是奇函数B 函数g[f(x)]是奇函数C 函数f(x)⋅g(x)是奇函数D 函数f(x)+g(x)是奇函数5. 在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（ ）A 86，3B 86，53C 85，3D 85，536. 函数y =sin(2x +π4)的图象可由函数y =cos2x 的图象（ ）A 向左平移π8个单位长度而得到B 向右平移π8个单位长度而得到C 向左平移π4个单位长度而得到D 向右平移π4个单位长度而得到7. 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB →|=a ，|AD →|=b ，则AC →⋅BD →=( )A a 2−b 2B b 2−a 2C a 2+b 2D a ⋅b8. 设函数f(x)＝x 3−4x +a ，0<a <2．若f(x)的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则（ ）A x 1>−1B x 2<0C x 2>0D x 3>29. 已知双曲线x 2−y 22=1，点A(−1, 0)，在双曲线上任取两点P ，Q 满足AP ⊥AQ ，则直线PQ 恒过点（ ）A (3, 0)B (1, 0)C (−3, 0)D (4, 0)10.如图，函数y =f(x)的图象为折线ABC ，设g (x)=f[f(x)]，则函数y =g(x)的图象为（）A B C D二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 已知i是虚数单位，a∈R．若复数a+2i1−2i的实部为1，则a=________．12. 某四棱柱的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱柱的体积为________cm3．13. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是________．14. 从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是________．15. 当实数x，y满足不等式组{x−y≤0x≥0x+y−m≤0（m为常数）时，2x+y的最大值为4，则m=________．16. 设F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3:4，则椭圆的离心率为________．17. 已知函数f(x)=x2+ax+7+ax+1，a∈R．若对于任意的x∈N∗，f(x)≥4恒成立，则a的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（1）求A的大小；（2）求cosB−√3sinC的取值范围．19. 已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n−a，n∈N∗．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．（1）求a及b n；a n}的前n项和为T n．求使T n>b n的最小正整数n的值．（2）设数列{log√220. 如图，四棱锥P−ABCD，PA⊥底面ABCD，AB // CD，AB⊥AD，CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．AB=AD=12（1）证明：EF // 平面PAB；（2）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21. 已知函数f (x)=x3−3ax+1，a∈R．（1）求f (x)的单调区间；（2）求所有的实数a，使得不等式−1≤f (x)≤1对x∈[0, √3]恒成立．22. 如图，A，B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t(t>0)上．（1）求|FA|+|FB|的值；（2）求|AB|的最大值．2013年浙江省考试院高考数学测试卷（文科）答案1. B2. C3. D4. C5. A6. B7. B8. C9. A10. A11. 912. 1213. 91014. 3515. 83 16. √5317. [13, +∞)18. 解：（1）∵ △ABC 中，2acosA =bcosC +ccosB ，∴ 由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =2R 得：a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， ∴ 2sinAcosA =sinBcosC +sinCcosB ，即sin2A =sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ，∴ 2sinAcosA −sinA =0，∴ sinA(2cosA −1)=0，而sinA ≠0，∴ cosA =12，又A ∈(0, π) ∴ A =π3...7分 （2）由（1）知C =2π3−B ，故cosB −√3sinC =cosB −√3sin(2π3−B) =cosB −√3[sin 2π3cosB −cos 2π3sinB] =cosB −32cosB +(−√32)sinB =−12cosB −√32sinB =−sin(B +π6)，∵ 0<B <2π3， ∴ π6<B +π6<5π6，12<sin(B +π6)≤1， ∴ −1≤−sin(B +π6)<−12．∴ cosB −√3sinC 的取值范围是[−1, −12)…14分19. 解：（1）∵ 等比数列{a n }的前n 项和S n =2n −a ，n ∈N ∗，∴ a1=S1=2−a，a2=(22−a)−(2−a)=2，a3=(23−a)−(22−a)=4，∵ a22=a1⋅a3，∴ 22=(2−a)⋅4，解得a=1，∴ a n=2n−1．∵ 公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，∴ {b1=3(b4+5)2=(b2+5)(b8+5)，∴ (8+3d)2=(8+d)(8+7d)，解得d=0（舍），或d=8，∴ b n=8n−5，n∈N∗．（2）∵ a n=2n−1，∴ log√2a n=log√2(2n−1)=2(n−1)，∴ 数列{log√2a n}的前n项和T n=2(1−1)+2(2−1)+2(3−1)+2(4−1)+...+2(n−1) =2[0+1+2+3+...+(n−1)]=2×n(n−1)2=n(n−1)．∵ b n=8n−5，T n>b n，∴ n(n−1)>8n−5，∵ n∈N∗，∴ n≥9，∴ 使T n>b n的最小正整数n的值是9．20. 证明：（1）∵ E，F分别是PC，PD的中点∴ EF // CD又∵ AB // CD，∴ AB // EF，又∵ EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB；∴ EF // 平面PAB；解：（2）取线段PA中点M，连接EM，则EM // AC故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小作MH⊥AF，垂足为H，连接EH∵ PA⊥底面ABCD，∴ PA⊥AB又∵ AB⊥AD，PA∩AD=A∴ AB⊥平面PAD∴ EF⊥平面PAD∵ MH⊂平面PAD∴ EF⊥MH∴ MH ⊥平面ABEF∴ ∠MEH 是ME 与平面ABEF 所成角在Rt △EHM 中，EM =12AC =√5，MH =√22 ∴ sin∠MEH =MH EM =√1010∴ AC 与平面ABEF 所成角的正弦为√101021. 解：（1）∵ f (x)=x 3−3ax +1，∴ f′(x)=3x 2−3a ，当a ≤0时，f′(x)≥0恒成立，f (x)的单调增区间为R ； 当a >0时，由f′(x)>0得x <−√a 或x >√a故f (x)的单调增区间为(−∞, −√a)和(√a, +∞)，f (x)的单调减区间为(−√a, √a)（2）当a ≤0时，由（1）可知f (x)在[0, √3]递增，且f(0)=1，此时无解； 当0<a <3时，由（1）可知f (x)在∈[0, −√a)上递减, 在(√a, √3]递增， ∴ f (x)在[0, √3]的最小值为f(√a)=1−2a √a∴ {f(√a)≥1f(√3)≤1f(0)≤1，即{a √a ≤1a ≥1 解得：a =1当a ≥3时，由（1）可知f (x)在[0, √3]上递减，且f(0)=1， ∴ f(√3)=3√3−3√3a +1≥−1解得：a ≤1+2√39此时无解综上a =122. 解：（1）y 2=4x 的焦点坐标是F(1, 0)，准线方程是x =−1 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1 ∴ |FA|+|FB|=x 1+x 2+2∵ 线段AB 的中点M 在定直线x =t (t >0)上∴ x 1+x 2+=2t ，∴ |FA|+|FB|=2t +2；（2）∵ |AF|+|BF|≥|AB|，当A ，F ，B 三点成一线时取“=” ∴ |AB|的最大值是2t +2．。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)教师版
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选：D．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选：C．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A 不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选：C．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选：A．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f （4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=0【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b 变为关于a的不等式可得a＞0．【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选：A．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=，，＞a∨b=，，＞若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，，＞，a∨b=，，＞，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k 的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F （4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：216．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解．【解答】解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，故ab=﹣1．故答案为：﹣1．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．【分析】由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=，，．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O 为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CPA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f （x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x ）=6x 2﹣12x +6，所以f′（2）=6 ∵f （2）=4，∴曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y=6x ﹣8； （Ⅱ）记g （a ）为f （x ）在闭区间[0，|2a |]上的最小值． f′（x ）=6x 2﹣6（a +1）x +6a=6（x ﹣1）（x ﹣a ） 令f′（x ）=0，得到x 1=1，x 2=a 当a ＞1时，比较f （0）=0和f （a ）=a 2（3﹣a ）的大小可得g （a ）= ， ＜ ， ＞；当a ＜﹣1时，∴g （a ）=3a ﹣1∴f （x ）在闭区间[0，|2a |]上的最小值为g （a ）=， ＜， ＜ ， ＞ ．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C 的顶点为O （0，0），焦点F （0，1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点．若直线OA 、OB 分别交直线l ：y=x ﹣2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．。
2013年浙江省高考文科数学试题及答案-推荐下载
A. ,1
B. , 2
7. 已知 a,b, c R ，函数 f (x) ax2 bx c .若 f (0) f (4) f (1) ，则
A. a 0, 4a b 0
C. a 0, 2a b 0
B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β
D．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β
试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式
球体的面积公式 S=4πR2
4
球的体积公式 V= πR3，其中 R 表示球的半径
3 1
锥体的体积公式 V= Sh ，其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
D. (2,1]
D. 7+5i
4．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面( )．
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
C．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α
5. 已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是
A.108cm3
B.100cm3
6. 函数 f (x) sin x cos x 3 cos 2x 的最小正周期和振幅是 2
C.92cm3
C. 2 ,1
8. 已知函数 y f (x) 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y f ' (x) 的图象如右图所示，
则该函数的图象是
9.
如图，
F1, F2
是椭圆 C1
:
x2 4
y2
四象限的公共点。若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是
2013年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷(文科)
（第9题）2013年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷（文科数学）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、设集合{2}S x x =>-，{41}T x x =-≤≤，则S T = （ ）A 、3i -+B 、13i -+C 、33i -+D 、1i -+ 2、已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=（ ）A 、55i -B 、75i -C 、55i +D 、75i + 3、若R α∈，则“0α=”是“sin cos αα<”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 4、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ ）A 、若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB 、若m ∥α，m ∥β，则α∥βC 、若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD 、若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 5、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该几何体的体积是（ ）A 、108 cm 3B 、100 cm 3C 、92 cm 3D 、84 cm 3 6、函数()sin cos 2f x x x x =的最小正周期 和振幅分别是（ ）A 、,1πB 、,2πC 、2,1πD 、2,2π7、已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++. 若(0)(4)(1)f f f =>，则（ ） A 、0,40a a b >+= B 、0,40a a b <+= C 、0,20a a b >+= D 、0,20a a b <+= 8、已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导 函数()y f x '=的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）9、如图，12,F F 是椭圆1C ：2214xy +=与双曲线2C 的 公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共 点. 若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ） A、 BC 、32 D10、设,a b R ∈，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩.若正数,,,a b c d 满足4ab ≥，4c d +≤，则（ ）A 、2a b ∧≥，2c d ∧≤B 、2a b ∧≥，2c d ∨≥C 、2a b ∨≥，2c d ∧≤D 、2a b ∨≥，2c d ∨≥第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中横线上） 11、已知函数()f x 若()3f a =，则实数a =______；12、从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是女同学的概率等于______；（第5题）（第8题）ABCD13、直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______； 14、若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于______；15、设z kx y =+，其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k =______；16、设,a b R ∈，若0x ≥时恒有43220(1)x x ax b x ≤-++≤-， 则ab =______；17、设12,e e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+，,x y R ∈.若12,e e 的夹角为6π，则x b的最大值等于______.三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18、（本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2sin a B =.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC ∆的面积.19、（本小题满分14分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123n a a a a ++++ .20、（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==PA =120ABC ∠=︒，G 为线段PC（1）证明：BD ⊥平面APC ；（2）若G 为PC 上的中点，求DG 与平面APC 所成 的角的正切值；（3）若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值.21、（本小题满分15分）已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++. （1）若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）若1a >，求()f x 在闭区间[0,2]a 上的最小值.22、（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F . （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点， 若直线,AO BO 分别交直线l ：2y x =-于M ，N 两点，求MN 的最小值.（第14题）（第20题）。
2013 浙江 高考 数学(文科)附加答案
选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2}S x x =>-,T {|41}x x =-≤≤,则S ∩T=A ．[4,)-+∞B ．(2,)-+∞C ．[4,1]-D ．(2,1]- 2．已知i 是虚数单位，则(2i)(3i)++=A ．55i -B ．75i -C ．55i +D ．75i + 3．若α∈R ，则“α=0”是“sin cos αα<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，A ．若m α ，n α ,则m nB ．若m α ，m β ,则αβC ．若m n ，m α⊥,则n α⊥D ．若m α ，αβ⊥,则m β⊥ 5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm36．函数()sin cos cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，27．已知,,a b c ∈R ，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A ．0,40a a b >+=B ．0,40a a b <+=C ．0,20a a b >+=D ．0,20a a b <+= 8．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f ’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是9．如图F1．F2是椭圆C1：2214xy+=与双曲线C2的公共焦点A．B分别是C1．C2在第二．四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A． 2B．3 C．32D．6210．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：,,a a ba bb a b≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba ba a b≤⎧∨=⎨>⎩若正数,,,a b c d满足4ab≥,4c d+≤,则A．2a b∧≥,2c d∧≤ B．2a b∧≥,2c d∨≥C．2a b∨≥,2c d∧≤ D．2a b∨≥,2c d∨≥非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
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C．[－4,1]
答案：D
B．(－2，＋∞)
D．(－2,1]
解析：集合 S 与集合 T 都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.
，故 S∩T＝{x|－2＜x≤1}，故选 D.
2．(2013 浙江，文 2)已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )．
A．5－5i
答案：C
B．7－5i
A． 2
答案：D
B． 3
3
C．
2
6
D．
2
解析：椭圆 C1 中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝ 2 3 .又四边形 AF1BF2 为矩形，∴∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|＝ 2 2 ，|AF2|＝ 2 2 ，∴双曲线 C2 中，
x2 9．(2013 浙江，文 9)如图，F1，F2 是椭圆 C1： 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是
C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术0艺料不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试22下卷，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看2度并22工且22作尽22下可22都能2可地护1以缩关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编5试要写、卷求重电保技要气护术设设装交备备4置底高调、动。中试电作管资高气，线料中课并3敷试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)资料
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0 8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=．12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于．14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=．16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于．17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A 不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f （4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b 变为关于a的不等式可得a＞0．【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．【点评】本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解．【解答】解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，故ab=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．【分析】由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O 为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△CPA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f （x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；qiss；minqi5；沂蒙松；wyz123；caoqz；wfy814；lincy；ywg2058；xintrl；sxs123；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年5月19日。
2013年浙江省高考文科数学试卷和答案
2013年浙江省普通高等学校统一考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式球体的面积公式S=4πR 2球的体积公式 V=43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V=13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 柱体体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高台体的体积公式V=121()3h S S其中S 1，S 2分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高如果事件A,B 互斥 ，那么P(A+B)=P(A)+P(B)一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合{}{}2,41S x x T x x =>-=-≤≤，则S ∩T=A. [)4,-+∞B. (2,)-+∞C. []4,1-D. (2,1]-2. 已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=A 5-5iB 7-5iC 5+5iD 7+5i3.设R α∈ ，则"0""sin cos "ααα=<是的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.设,m n 是两条不同的直线，a ，β是两个不同的平面，则A.若,m n αα，则m nB.若,m m αβ，则αβC.若,m n m α⊥,则n α⊥D.若,m ααβ⊥,则m β⊥5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 36.函数()sin cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅是 A. ,1π B. ,2π C. 2,1π D. 2,2π7.已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++.若(0)(4)(1)f f f =>，则A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+=8.已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如右图所示，则该函数的图象是9.如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别12,C C 在第二、四象限的公共点。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)
高考注意事项1．进入考场时携带的物品。
考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。
严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。
考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。
2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。
填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。
监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。
考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则S∩T=（）A．[﹣4,+∞）B．（﹣2,+∞）C．[﹣4,1]D．（﹣2,1]2．（5分）已知i是虚数单位,则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）若α∈R,则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π,1 B．π,2 C．2π,1 D．2π,27．（5分）已知a、b、c∈R,函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1）,则（）A．a＞0,4a+b=0 B．a＜0,4a+b=0 C．a＞0,2a+b=0 D．a＜0,2a+b=08．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′（x）的图象如图所示,则该函数的图象是（）A． B． C． D．9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,则（）A．a∧b≥2,c∧d≤2 B．a∧b≥2,c∨d≥2 C．a∨b≥2,c∧d≤2D．a∨b≥2,c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11．（4分）已知函数f（x）=,若f（a）=3,则实数a=．12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等）,则2名都是女同学的概率等于．13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于．14．（4分）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于．15．（4分）设z=kx+y,其中实数x、y满足若z的最大值为12,则实数k=．16．（4分）设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2,则ab等于．17．（4分）设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R．若、的夹角为30°,则的最大值等于．三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6,b+c=8,求△ABC的面积．19．（14分）在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列．（Ⅰ）求d,a n；（Ⅱ）若d＜0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD,求的值．21．（15分）已知a∈R,函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1,求曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1,求f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值．22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0,0）,焦点F（0,1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值．2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则S∩T=（）A．[﹣4,+∞）B．（﹣2,+∞）C．[﹣4,1]D．（﹣2,1]【分析】找出两集合解集的公共部分,即可求出交集．【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2,+∞）,T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4,1],∴S∩T=（﹣2,1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知i是虚数单位,则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【分析】直接利用多项式的乘法展开,求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,考查计算能力．3．（5分）若α∈R,则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”,当“sinα＜cosα”时,不一定得到“α=0”,得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”,当“sinα＜cosα”时,不一定得到“α=0”,如α=等,∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件,故选：A．【点评】本题主要考查了必要条件,充分条件与充要条件的判断,要求掌握好判断的方法．4．（5分）设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α,n∥α,则m∥n,m与n可能相交也可能异面,所以A不正确；B、m∥α,m∥β,则α∥β,还有α与β可能相交,所以B不正确；C、m∥n,m⊥α,则n⊥α,满足直线与平面垂直的性质定理,故C正确．D、m∥α,α⊥β,则m⊥β,也可能m∥β,也可能m∩β=A,所以D不正确；故选：C．【点评】本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象能力能力．5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π,1 B．π,2 C．2π,1 D．2π,2【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域,确定出振幅,找出ω的值,求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）,∵﹣1≤sin（2x+）≤1,∴振幅为1,∵ω=2,∴T=π．故选：A．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,二倍角的正弦函数公式,以及三角函数的周期性及其求法,熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知a、b、c∈R,函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1）,则（）A．a＞0,4a+b=0 B．a＜0,4a+b=0 C．a＞0,2a+b=0 D．a＜0,2a+b=0【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0,消掉b 变为关于a的不等式可得a＞0．【解答】解：因为f（0）=f（4）,即c=16a+4b+c,所以4a+b=0；又f（0）＞f（1）,即c＞a+b+c,所以a+b＜0,即a+（﹣4a）＜0,所以﹣3a＜0,故a＞0．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质及不等式,属基础题．8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′（x）的图象如图所示,则该函数的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据导数的图象,利用函数的单调性和导数的关系,得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得,导函数f′（x）的值在[﹣1,0]上的逐渐增大,故函数f（x）在[﹣1,0]上增长速度逐渐变大,故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0,1]上的逐渐减小,故函数f（x）在[0,1]上增长速度逐渐变小,图象是上凸型的,故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系,属于基础题．9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意,解此方程组可求得x,y的值,利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点,∴2a=4,b=1,c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形,∴+=,即x2+y2=（2c）2==12,②由①②得：,解得x=2﹣,y=2+,设双曲线C2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2,2n=2c=2,∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题．10．（5分）设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,则（）A．a∧b≥2,c∧d≤2 B．a∧b≥2,c∨d≥2 C．a∨b≥2,c∧d≤2D．a∨b≥2,c∨d≥2【分析】依题意,对a,b赋值,对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=,a∨b=,正数a、b、c、d满足ab≥4,c+d≤4,∴不妨令a=1,b=4,则a∧b≥2错误,故可排除A,B；再令c=1,d=1,满足条件c+d≤4,但不满足c∨d≥2,故可排除D；故选：C．【点评】本题考查函数的求值,考查正确理解题意与灵活应用的能力,着重考查排除法的应用,属于中档题．二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11．（4分）已知函数f（x）=,若f（a）=3,则实数a=10．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=,又f（a）=3,所以,解得a=10．故答案为：10．【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用,考查计算能力．12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等）,则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况,2名都是女同学的共有=3种情况,由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况,满足2名都是女同学的共有=3种情况,故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及组合数的应用,属基础题．13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．【分析】求出圆的圆心与半径,利用圆心距,半径,半弦长满足勾股定理,求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3,4）,半径为5,圆心到直线的距离为：,因为圆心距,半径,半弦长满足勾股定理,所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,弦长的求法,考查转化思想与计算能力．14．（4分）某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于．【分析】由题意可知,该程序的作用是求解S=1++++的值,然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知,该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用,解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）设z=kx+y,其中实数x、y满足若z的最大值为12,则实数k=2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时,找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时,结合图形可得：当l经过点C时,z max=F（4,4）=4k+4=12,解得k=2,得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A（2,0）,B（2,3）,C（4,4）设z=F（x,y）=kx+y,将直线l：z=kx+y进行平移,可得①当k＜0时,直线l的斜率﹣k＞0,由图形可得当l经过点B（2,3）或C（4,4）时,z可达最大值,此时,z max=F（2,3）=2k+3或z max=F（4,4）=4k+4但由于k＜0,使得2k+3＜12且4k+4＜12,不能使z的最大值为12,故此种情况不符合题意；②当k≥0时,直线l的斜率﹣k≤0,由图形可得当l经过点C时,目标函数z达到最大值此时z max=F（4,4）=4k+4=12,解之得k=2,符合题意综上所述,实数k的值为2故答案为：2【点评】本题给出二元一次不等式组,在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题．16．（4分）设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2,则ab等于﹣1．【分析】由题意,x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2,考察（x2﹣1）2,发现当x=1时,其值为0,再对照不等式左边的0,可由两边夹的方式得到参数a,b满足的方程,再令f（x）=x4﹣x3+ax+b,即f（x）≥0在x≥0恒成立,利用导数研究函数在x ≥0的极值,即可得出参数所满足的另一个方程,由此解出参数a,b的值,问题即可得解．【解答】解：验证发现,当x=1时,将1代入不等式有0≤a+b≤0,所以a+b=0,当x=0时,可得0≤b≤1,结合a+b=0可得﹣1≤a≤0,令f（x）=x4﹣x3+ax+b,即f（1）=a+b=0,又f′（x）=4x3﹣3x2+a,f′′（x）=12x2﹣6x,令f′′（x）＞0,可得x＞,则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0,]上减,在[,+∞）上增,又﹣1≤a≤0,所以f′（0）=a＜0,f′（1）=1+a≥0,又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b,结合f（1）=a+b=0知,1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b 的极小值点,也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0,由此得a=﹣1,b=1,故ab=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题,由于所给的不等式较为特殊,可借助赋值法得到相关的方程直接求解,本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值,及极值的确定,将问题灵活转化是解题的关键．17．（4分）设、为单位向量,非零向量=x+y,x、y∈R．若、的夹角为30°,则的最大值等于2．【分析】由题意求得=,||==,从而可得===,再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量,和的夹角等于30°,∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y,∴||===,∴====,故当=﹣时,取得最大值为2,故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,求向量的模,利用二次函数的性质求函数的最大值,属于中档题．三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6,b+c=8,求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式,求出sinA的值,由A为锐角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a,b+c及cosA的值代入求出bc的值,再由sinA的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b,利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB,∵sinB≠0,∴sinA=,又A为锐角,则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA,即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc,∴bc=,又sinA=,=bcsinA=．则S△ABC【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列．（Ⅰ）求d,a n；（Ⅱ）若d＜0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列列式求出公差,则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论,得到等差数列{a n}的前11项大于等于0,后面的项小于0,所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得,即,整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时,a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时,a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n,因为d＜0,由（Ⅰ）得d=﹣1,a n=﹣n+11．则当n≤11时,．当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念,考查了等差数列的通项公式,求和公式,考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力,是中档题．20．（15分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点,求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD,求的值．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD,可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O,则由条件可得BD是AC的中垂线,故O为AC的中点,且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角,求出GO和AC的值,可得OC、OD的值,再利用直角三角形中的边角关系求得tan ∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG,且PC==．由△COG∽△CAP,可得,解得GC的值,可得PG=PC﹣GC 的值,从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,∴PA⊥BD．∵AB=BC=2,AD=CD=,设AC与BD的交点为O,则BD是AC的中垂线,故O为AC 的中点,且BD⊥AC．而PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点,O为AC的中点,则GO平行且等于PA,故由PA⊥面ABCD,可得GO⊥面ABCD,∴GO⊥OD,故OD⊥平面PAC,故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得,GO=PA=．△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12,∴AC=2,OC=．∵直角三角形COD中,OD==2,∴直角三角形GOD中,tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD,∵OG⊂平面BGD,∴PC⊥OG,且PC==．由△COG∽△CPA,可得,即,解得GC=,∴PG=PC﹣GC=﹣=,∴==．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,求直线和平面所成的角,空间距离的求法,属于中档题．21．（15分）已知a∈R,函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1,求曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1,求f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可求曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论,利用导数确定函数的单调性,从而可得极值,即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时,f′（x）=6x2﹣12x+6,所以f′（2）=6∵f（2）=4,∴曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0,得到x1=1,x2=a当a＞1时,x0（0,1）1（1,a）a（a,2a）2a f′（x）+0﹣0+f（x）0单调递增极大值3a﹣1单调递减极小值a2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时,X0（0,1）1（1,﹣2a）﹣2a f′x）﹣0+f（x）0单调递减极小值3a﹣1单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0,|2a|]上的最小值为g（a）=．【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的最值,考查学生的计算能力,考查分类讨论的数学思想,属于中档题．22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0,0）,焦点F（0,1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0,1）可直接求得p,确定出抛物线的开口方向,写出它的标准方程；（II）由题意,可A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为y=kx+1,将直线方程与（I）中所求得方程联立,再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|,根据所得的形式作出判断,即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1,解得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为y=kx+1,由消去y,整理得x2﹣4kx﹣4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,从而有|x1﹣x2|==4,由解得点M的横坐标为x M===,同理可得点N的横坐标为x N=,所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=,令4k﹣3=t,t≠0,则k=,当t＞0时,|MN|=2＞2,当t＜0时,|MN|=2=2≥．综上所述,当t=﹣,即k=﹣时,|MN|的最小值是．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力,本题考查了数形结合的思想及转化的思想,将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度,如本题最后求最值时引入变量t,就起到了简化计算的作用．。