广东省惠州市6月2020届高三第一次模拟考试理科数学试题及答案解析
惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题含解析
图1图2惠州市2024届高三第一次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1.已知集合{}*|,6U x x x =∈≤N ，{}1,2,3A =，{}3,5B =，求()U A B = ð（）团用数学软件制作“蚊香”模型，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D ，由此得到第1段圆弧 AD ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到如图2所示的“蚊香”恰好有11段圆弧时，则该“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．30πD ．44π多项符合题目要求。
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且12d a =，59a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=-，求{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，//AD BE ，2AD BE =，AB BC =.（1）问：在线段CD 上是否存在点P ，使得PE ⊥平面ACD ？若存在，请指出点P 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．（2）若AB =，2AC =，2AD =，求平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为()0,1F ，O 为坐标原点，线段OA 的中点为D ，且BD DF =．（1）求C 的方程；（2）已知点M N 、均在直线2=x 上，以MN 为直径的圆经过O 点，圆心为点T ，直线AM AN 、分别交椭圆C 于另一点P Q 、，证明直线PQ 与直线OT 垂直．22．（本小题满分12分）惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分题号12345678答案BCACDBDA1.【解析】由已知可得{}1,2,3,5A B ⋃=，{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}6,4=B A C U ，故选：B ．5.【解析】由弧长公式r l ⋅=α得：r l ⋅=31，r l 232⋅=，r l 333⋅=，...，r l 11311⋅=，其中1==AB r ，()ππ44113213211321=+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=∴l l l l L 蚊香的长度故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。
广东省惠州市2020届高三第一次调研考试理综化学试题(解析版)
惠州市2020高三第一次调研考试理科综合化学试题相对原子质量：H:1 C:12 O:16 Na:23 Cl:35.5一、选择题：本题共7个小题，每小题6分。
在每小题只有一项正确。
1.下列与化学有关的文献，理解正确的是A. 《石灰吟》中“…烈火焚烧若等闲…要留清白人间”，其中“清白”指氢氧化钙B. 《咏煤炭》中“凿开混沌得乌金…不辞辛苦出山林”，其中“乌金”的主要成分是木炭C. 《本草纲目》中“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”，其中的“碱”是一种盐溶液D. 《天工开物》中有如下描述:“世间丝、麻、裘、褐皆具素质…”文中的“丝”“麻”、“裘”主要成分均属于多糖【答案】C【解析】【详解】A、《石灰吟》中描述的是碳酸钙受热分解，即CaCO3CaO＋CO2↑，“清白”指的是CaO，故A错误；B、《咏煤炭》描述的是煤炭的开采，其中“乌金”的主要成分是煤炭，故B错误；C、烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣，其中“碱”是碳酸钾，K2CO3为盐，故C正确；D、丝、裘主要成分是蛋白质，麻的主要成分是纤维素，故D错误。
2.四氢大麻酚(简称THC)，是大麻中的主要精神活性物质，其结构如图。
下列有关THC的说法不正确的是A. THC难溶于水B. 1mol THC最多可与含3mol溴单质的溴水发生反应C. THC遇FeCl3溶液能发生显色反应D. THC能与氢氧化钠溶液、碳酸钠溶液及碳酸氢钠溶液发生化学反应【答案】D【解析】【分析】根据有机物的结构简式，判断出含有的官能团，根据官能团的性质进行分析；【详解】A、根据有机物的结构简式，含有的憎水基团所占比例大，该有机物难溶于水，故A说法正确；B、1mol该有机物含有1mol碳碳双键和1mol酚羟基，1mol该有机物最多消耗3mol Br2(1mol Br2和碳碳双键发生加成反应，2mol Br2和酚羟基的邻、对位发生取代反应)，故B说法正确；C、THC中含有酚羟基，遇FeCl3溶液发生显色反应，故C说法正确；D、依据电离出H＋能力－COOH>H2CO3>酚羟基>HCO3－，含有酚羟基，该有机物能与NaOH、Na2CO3，但不能与NaHCO3发生反应，故D说法错误。
惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学试题
1．已知集合 M x x2 2x 0 ， N 2, 1, 0,1, 2 ，则 M N （ ）
排法种
数学试题（理科）
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数是 A55 A62 3600 种，故选 A.
5 ．【 解 析 】 因 为 点
E
是
CD
的中点，所以
EC
1
AB
，点
F
是
BC
的中点，所以
2
CF
1
CB
1
AD
，
2
2
所以
EF
EC
CF
1
AB
1
AD
，故选
C．
22
6．【解析】由题意得 q
6．等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公比为 q ，若 S6 9S3 ， S5 62 ，则 a1 （ ）
A． 2
B． 2
C． 5
D． 3
7．设双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线为
y
2x ，且一个焦点与抛物线
y2 4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分 12 分）
已知 △ABC
的内角
A、
B
、C
满足
sinA sinB sinC sinC
sinB sinA sinB sinC
．
数学试题（理科）
惠州市2020届高三第一次调研考试语文试题及参考答案
惠州市2020届高三第一次调研考试语文试题本试卷满分为150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷的相应位置上。
2．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案不能答在试卷上，必须写在答题卷的各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。
①客家，是中华民族大家庭中重要的一员，具有显著特性的汉族民系，是汉民族中的一个地缘性群体。
而客家文化是这个群体在其形成与发展过程中，为适应和改造生存条件而创造出来的全部物质文化与精神文化的总和。
一旦这种文化产生，它就成了该群体的识别标志及维系该群体生存与发展的最核心的力量。
换句话说，没有客家群体，就不会有客家文化；但如果没有客家文化长期稳定的发展，客家群体也不可能具有那么强大的生命力，以至于经过数百上千年之久。
②客家人的先民是从中原地区来到岭南地区的，最早可以追溯到秦朝，或为军队戍边，或为躲避战乱。
初以平民为主，后有文人贵族。
而历史上的客家人因各种原因，又从岭南地区继续外迁。
当今客家民系分布很广，其中粤闽赣边三角地区是其主要聚居地，在国外以东南亚为主。
所以，客家文化是特定历史条件下形成的，以移民为代表的地域性文化，有古汉文化活化石之誉。
在客家迁徙史和客家文化的诸多方面中，都突出体现了客家精神的丰富内涵，而其精神的核心又在于团结和奋进。
③首先是客家先民自身团结的精神形成了很强的向心力。
正是这种向心力使他们在漫长的迁徙过程中把中原灿烂的文明带到南方播衍而不被迁徙地的土著同化。
江西赣南，广东梅州地区的多层梅州围龙屋、永定的土楼、长汀的九厅十八井等典型的客家建筑，既是世界建筑史上的一支奇葩，也是客家人团结奋进的象征。
④在永定的一些大型土楼内，有石柱雕联、石鼓承柱、雕梁画栋；有天井、花园、假山、盆景、鱼池，美不胜收。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
广东省惠州市2024届高三下学期4月模拟考试(三模)语文试题(含解析)
惠州市2024 届高三模拟考试试题语文本试卷共8 页，23 小题考试时间：150 分钟满分：150 分注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷的相应位置上。
2．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案不能答在试卷上，必须写在答题卷的各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、现代文阅读（35 分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共 5 小题，19 分）阅读下面的文字，完成1～5 题。
在中国所有艺术门类中，诗歌和书法最为源远流长，历时悠久。
书法和诗歌同在唐代达到了无可比拟的高峰，既是这个时期最普及的艺术，又是这个时期最成熟的艺术。
唐代书法与诗歌相辅而行，具有同一审美气质。
其中与盛唐之音若合符契，共同体现出盛唐时代风貌的是草书，又特别是狂草。
与唐诗一样，唐代书法的发展也经历了一个过程。
初唐的书法，就极漂亮。
由于皇室宫廷的大力提倡，其风度体貌以一种欣欣向荣的新姿态展现出来。
唐太宗酷爱王羲之。
兰亭在唐初名高且风行，冯（承素）、虞(世南)、褚(遂良)、陆(柬之)和多种兰亭摹本，是这一时期书法美的典型。
那么轻盈华美、婀娜多姿，或娟婵春媚、云雾轻笼，或高谢风尘、精神洒落……这不正是《春江花月夜》那种“ 当时年少春衫薄”式的风流、潇洒和亭亭玉立么它们与刘、张、四杰的诗歌的气质风神恰好一致，鲜明地共同具有着那个时代的审美理想、趣味标准和艺术要求。
走向盛唐就不同了。
孙过庭《书谱》中虽仍遵初唐传统，扬右军而抑大令，但他指出“质以代兴，妍因俗易”“驰骛沿革，物理常然”，以历史变化观点，强调“达其情性，形其哀乐”, 明确把书法作为抒情达性的艺术手段，即自觉强调书法作为表情艺术的特性，并将这一点提到与诗歌并行，与自然同美的理论高度：“情动形言，取会风骚之意，阳舒阴惨，本乎天地之心。
”这与诗中的陈子昂一样，是一个重要的突破。
广东省惠州市2024-2025学年高三第二次调研考试(期中)数学试题
惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟.2024.10注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合{}25A x x =≤<∣，集合{}240B x x x =-<∣，则A B =（）A.()0,5 B.[)2,4 C.()4,5 D.()[),02,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，结合交集概念即可求解.【详解】因为合{}25A x x =≤<∣，{}240{04}B x x x x x =-<=<<∣∣，所以{24}A B xx ⋂=≤<∣.故选：B.2.已知复数z 满足210z +=，则1z +=（）A.3B.2C.D.1【答案】C 【解析】【分析】求出z ，再求1z +可得答案.【详解】因为210z +=，所以i z =±，所以11i z +=±==.故选：C .3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A.100 B.99C.98D.97【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱11,BC A B 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11ABB A所成角的正弦值为（）A.5B.5C.6D.306【答案】C 【解析】【分析】结合正方体的结构特征找到直线EF 与平面11ABB A 所成角，解直角三角形，即可求得答案.【详解】连接FB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，⊥BC 平面11ABB A ，棱BC 的中点为E ，则BE ⊥平面11ABB A ，而BF ⊂平面11ABB A ，故BE BF ⊥，则EFB ∠即为直线EF 与平面11ABB A 所成角，设正方体棱长为2，则1BE ,BF ====，则EF ==，故sin 6BE EFB EF ∠===，故选：C5.已知向量,a b满足：)(),23a b a b b ==-⋅=，则向量b 在向量a 上的投影向量为（）A.5,88⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.5,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.1,88⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.31,44⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由数量积的运算律可得52a b ⋅=，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.【详解】由()23b a b b =-⋅=，得22||223a b b a b ⋅-=⋅-=，即52a b ⋅=，由已知得2a =，所以向量b 在向量a上的投影向量为)2552,||488a b a a b a a a a ⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A6.已知函数()()22log 2,f x x ax a =-∈R ，则“0a ≤”是“函数()f x 在()1,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性判别，建立不等式，利用充分条件与必要条件的定义，可得答案.【详解】若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，则1120a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得12a ≤，所以“0a ≤”是“函数()f x 在()1,+∞上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.7.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段,AB AC 和优弧BC 所围成的平面图形，其中点,B C 所在直线与水平面平行，AB 和AC 与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为43，则sin BAC ∠=（）A.35B.45C.1625D.2425【答案】D 【解析】【分析】设圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，设球冠的半径为R ，根据几何性质可得53OA R =，从而可得sin BAO ∠，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得sin BAC ∠的值.【详解】设优弧BC 所在圆的圆心为O ，半径为R ，连接,,OA OB OC ，如图所示．易知“水滴”的“竖直高度”为OA R +，“水平宽度”为2R ，由题意知423OA R R +=，解得53OA R =，因为AB 与圆弧相切于点B ，所以OB AB ⊥，在Rt ABO △中，3sin 553OB R BAO OA R ∠===，又π0,2BAO ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5BAO ∠==，由对称性知，BAO CAO ∠=∠，则2BAC BAO ∠=∠，所以3424sin 2sin cos 25525BAC BAO BAO ∠∠∠==⨯⨯=，故选：D.8.在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】分别设出理科男女生，文科男女生的人数，根据题意列出不等式即可求解.【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人；文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知：12121122,x x y y x y x y +>++>+，根据同向不等式可加的性质有：12111222x x x y y y x y +++>+++，即12x y >，所以理科女生多于文科男生，故C 正确，其他选项没有足够证据论证.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3.则关于这组数据的结论正确的是（）A.极差是4B.众数小于平均数C.方差是2D.数据的第80百分位数为4.5【答案】AD 【解析】【分析】根据极差、众数、平均数、方差、百分位数的定义求解判断选项即可.【详解】数据从小到大排列为：1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.A 项，该组数据的极差为514-=，故A 正确；B 项，众数为3，平均数为12234452310⨯++⨯++⨯=，所以众数与平均数相等，故B 错误；C 项，方差为222221(13)2(23)1(33)4(43)1(53)2 1.810⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，故C 错误；D 项，由1080%8⨯=，8是整数，则这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数，即454.52+=，故D 正确.故选：AD.10.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，现将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=-B.2ω=C.函数π12y xf x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数D.()π2cos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】由图象可以得到,,A ωϕ，求出()f x 的解析式，可判断A ，B ，由奇偶函数的判断方法可以判断C ，由平移变化和诱导公式可以判断D.【详解】由图象可知：max ()2f x =，则2A =；又()02sin 1f ϕ==-，故1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以A 项正确；7π7ππ2sin 012126f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可知：π7126ππω-=，解得：2ω=，所以B 项正确；因此可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π2sin212xfx x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设()π2sin212h x xf x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()()()()2sin 22sin2h x x x x x h x -=--==，所以函数π12y xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，故C 项错误；由()ππππππ2sin 22sin 22cos 2666626g x f x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ2cos 22cos 233x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 项正确；故选：ABD.11.如图，心形曲线22:()1L x y x +-=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）A.点,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和 䕠 均在L 上B.点P C. 的最大值与最小值之和为3D.PA PB +≤【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B -对于A ：22x =时，21122y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭得0y =或y =，=1x -时，()2111y +-=得1y =，所以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和()1,1-均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+-=，所以y x =+()()222221112y y x x x x =+=+-+≤++-=，所以22x =时，y 最大，最大值为2222+=B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=-=，所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos23131sin2cos2sin2sin 222222θθθθθϕ+=++=++=+，因为θ可取任意角，所以OP 12=，OP 12=，C选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在5(1)x +的二项展开式中，各项的系数和为__________.【答案】32【解析】【分析】直接令1x =即可求出二项展开式各项的系数和.【详解】令1x =，则二项式展开式各项的系数和为5232=.故答案为：3213.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________【答案】5【解析】【详解】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故5c e a ==.即椭圆的离心率为5.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.14.若关于x 的方程ln 2b ax ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22a b +的最小值为______.【答案】2e 【解析】【分析】设实根为0x ，则002b ax +-=，转化为动点(,)P a b 在直线002y x x +-=，利用22a b +的几何意义，将问题转化为求原点(0,0)O到直线距离d =的最小值，再构造函数e ()tf t t =求解并验证最值取到即可.【详解】设方程ln 2b ax ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的实根为0x，则0ln 2b ax ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以02b ax +=，即002b ax +-=.设点(),P a b ，则点P在直线002y x x +-=上.设点 䕠到直线002y x x +-=的距离为d，则d =，设t =，则()e 12tf t t t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以()()2e 1t tf t t='-，当112t ≤<，()0f t '<，则()f t 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减；当1t >时，()0f t '>，则()f t 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e f t f ==，则()e d f t =≥，又222||a b OP +=，由几何意义可知OP d ≥，所以22222||e a b OP d +=≥≥.检验：当1t =时，032x =±，由222e 022e b a a b +-=⎨⎪+=⎩，解得e 2e 2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时222e a b +=；由222e 022e b a a b ⎧-+-=⎪⎨⎪+=⎩，解得e 2e 2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时222e a b +=.所以22a b +最小值为2e .故答案为：2e .四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()212ln 2f x x x x =--．（1）求曲线 䕠+ 在点 䕠+ 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值．【答案】（1）4230x y +-=（2）2ln 2-【解析】【分析】（1）先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程.（2）分析函数的单调性，可得函数的最小值.【小问1详解】因为：()1111022f =--=-，所以切点坐标为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()21f x x x=--'，()12f '=-，即为所求切线的斜率.所以切线方程为：()1212y x +=--，化简得：4230x y +-=【小问2详解】()()()221221x x x x f x x x x x-+--='=--=，（0x >）由+ ⇒2x >；由+ ⇒02x <<.所以()f x 在 䕠+上单调递减，在[]2,e 上单调递增.所以函数()f x 在区间[]1,e 上的极小值为()22ln 2f =-，也是最小值.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD AB ∥,1CD AD CD ==，120,90BAD ACB ∠∠==.（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若PA =PCD 与平面PCA 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PCD 与平面PCA 的法向量，然后由公式求平面PCD 与平面PCA 夹角的余弦值即可.【小问1详解】证明：已知PA ⊥底面ABCD ，且⊂BC 底面ABCD ，所以PA BC ⊥.由90ACB ∠=，可得BC AC ⊥又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC .【小问2详解】取CD 的中点E .由AB ∥,120CD BAD ∠=，可得ADC 60∠=，又因为1AD CD ==，所以三角形ADC 是正三角形，故,AE CD AE AB ⊥⊥.在Rt ACB △中，60,1BAC AC ∠==，所以2AB =.可建立如图所示的空间直角坐标系，求得()(()110,0,0,,,,0,,,0,0,2,02222A P C D B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）可知，3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是平面PAC 的一个法向量，设平面PDC 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01022b a b =⎧+-=⎩，令a =2n ⎫=⎪⎪⎭，设平面PCD 与平面PCA 的夹角为θ，所以352cos cos ,5BC n BC n BC nθ⋅===⋅.所以平面PCD 与平面PCA夹角的余弦值为5.17.已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，且OAB △，求实数k 的值.【答案】（1）()()(11,1-⋃-⋃（2）0k =或62k =±【解析】【分析】（1）将双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据题意即可求解；（2）方法一：根据面积2121OABSAB d k=⋅==-，其中d 为O 到直线l 的距离，然后用含k 的式子表示出,AB d ，解方程即可求出k 的值；方法二：根据得1212OABS x x =-=k 的式子表示出12x x -，解方程即可求出k 的值.【小问1详解】直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两组不同的实数根，整理得()21220kx kx -+-=.()()22210Δ44120k k k ⎧-≠⎪⎨=--⋅->⎪⎩，解得k <<且1k ≠±，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k的取值范围是()()(11,11,-⋃-⋃.【小问2详解】解法一：设交点()()1122,,,A x y B x y ，由（1）知双曲线C 与直线l 联立的方程为()21220k x kx -+-=.由韦达定理得：12122222,11k x x x x k k+=-=---，则21AB x =-=21k ==-又O 到直线l 的距离d =，所以OAB △的面积2121OABSAB d k =⋅==-，解得0k =或2k =±，又因为k <<且1k ≠±，所以0k =或2k =±.所以当0k =或2k =±时，OAB △.解法二：设交点()()1122,,,A x y B x y ，直线l 与y 轴交于点()0,1D -，由（1）知双曲线C 与直线l 联立的方程为()21220k x kx -+-=.由韦达定理得：12122222,11k x x x x k k+=-=---，当,A B 在双曲线的一支上且12x x >时，()12121122OABOAD OBDSSSx x x x =-=-=-；当,A B 在双曲线的两支上且12x x <时，()12121122OABOAD OBDSSSx x x x =+=+=-综上，1212OABSx x =-.由已知得1212OABSx x =-=()2128x x -=，即()2121248x x x x +-=所以222224811k k k⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，解得0k =或62k =±，又因为k <<且1k ≠±，所以0k =或62k =±.所以当0k =或2k =±时，OAB △.18.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a b c <<且tan ,tan ,tan A B C 均为整数.（1）求tan ,tan ,tan A B C 的值；（2）设AC 的中点为D ，求CDB ∠的余弦值.【答案】（1）tan 1,tan 2,tan 3A B C ===（2）1010【解析】【分析】（1）三角形三个内角和得到角A 的范围，结合题意得到tan A 及A 的值，在通过三角形三个内角和得到角B 的范围，由二倍角公式得出tan B 的值，用和差角公式得出tan C 的值；（2）由正切值算出正余弦值，由正弦定理得出三边关系，再由余弦定理得出边BD a =得到等腰三角形，从而得出结果.【小问1详解】由a b c <<，则A B C <<.由πA B C ++=，则3A B C A ++>，故π03A <<，所以0tan A <<因为tan A 为整数，所以tan 1A =，由tan 1A =，可得π3π,44A B C =+=.因为A B C <<，所以3π24B C B =+>，则π3π48B <<，所以3π1tan tan 8B <<.由23π2tan 3π8tan13π41tan 8==--，则23π3πtan 2tan 1088--=，解得3πtan 18=+3πtan 18=-，故1tan 1B <<+又213,tan B <+<为正整数，所以tan 2B =，所以()tan tan 12tan tan 31tan tan 112A B C A B A B ++=-+=-=-=--⨯，综上，tan 1,tan 2,tan 3A B C ===.【小问2详解】由（1）可知，tan 2,tan 3B C ==，则sin ,cos ,sin 51010B C C ===，在ABC V 中，由正弦定理πsin sin sin4ab c B C ==，可得sin sin ,ππ55sin sin 44a B a Cbc ====，又AC 的中点为D，所以125CD b ==，在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos BD CD CB CD CB C=+-⋅⋅2225510a a a ⎛⎫=+-⨯⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭2a =，所以BD a =，所以10cos cos 10CDB C ∠==.【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键在于，紧紧抓住tan ,tan ,tan A B C 均为整数的条件，依次分析,,A B C 的正切值，从而得解.19.若数列{}()**1,,Nn a n k n k ≤≤∈∈N 满足{}0,1na ∈，则称数列为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .（1）若 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，求数列{}(1)nna -的所有项的和；（2）从集合k M 中任意取出两个数列{}{},n n a b ，记1i iikX a b==-∑.①求随机变量X 的分布列，并证明：()2k E X >；②若用某软件产生()2k k ≥项01-数列，记事件A =“第一次产生数字1”，B =“第二次产生数字1”，且()()01,01P A P B <<<<.若()()||P B A P B A <，比较()|P A B 与()|P A B的大小.【答案】（1）0（2）①分布列见解析，证明见解析；②()()||P A B P A B<【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化为数列{}(1)n n a -求和问题，进而求解即可；（2）①由题知X 的可能取值为：1,2,3,,k ，进而结合题意得到1222()21C C k m k m k k k P X m C -===-，再结合等式11 C C mm k k m k --=求数学期望，并结合不等式放缩即可证明；②利用条件概率公式，结合不等式的性质变形即可证明.【小问1详解】因为{}n a 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =∈≤N 时，0n a =，所以当32n p =-和()*31,4n p p p =-∈≤N 时，1n a =.设数列{}(1)nn a -的所有项的和为S ，则()24578101112457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)S a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+-+-.()2457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)=-+-+-+-+-+-+-+-()()()()11111111=-+++-+-+++-0=所以数列{}(1)nn a -的所有项的和为0.【小问2详解】①证明：因为数列{}{},n n a b 是从集合k M 中任意取出的两个数列，所以数列{}{},n n a b 为k 项01-数列，所以X 的可能取值为：1,2,3,,k .因为集合k M 中元素的个数共有012C C C C 2k kk k k k ++++=个，当()1,2,,X m m k ==时，则数列{}{},n n a b 中有m 项取值不同，有k m -项取值相同，所以()()2222C 2C A 1,2,,C 21k m kk m k kP X m m k ⋅====-，所以随机变量X 的分布列为：X123kP1C 21k k-2C 21k k-321k k C -C 21kk k-因为()()()()()()1*11!!C C ,1!!1!11!mm k k k m k m k k m m k m k m m k m ---⋅==⋅=∈≤≤-⎡⎤----⎣⎦N ，所以()()12123C C C 1121C 2C 3C C 21212121k k kk k k k k kk k k k E X k k =⨯+⨯++⨯=++++----()110121111122C C C C212122k k k k k k k k k kk k k k -------⋅⋅=++++=>=--，即()2kE X >.②解：由条件()()||P B A P B A <得：()()()()()()()1P AB P AB P B P AB P A P A P A -<=-，所以()()()()()1P AB P A P A P B P AB ⎡⎤⎡⎤-<-⎣⎦⎣⎦，化简得：()()()P AB P A P B <，所以()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB -<-，则()()()()()1P AB P B P B P A P AB ⎡⎤⎡⎤-<-⎣⎦⎣⎦即()()()()P AB P B P B P AB <，所以()()()()P AB P AB P B P B <，即()()||P A B P A B <.【点睛】此种类型题目的关键是新概念的理解，并结合离散型随机变量均值、及条件概率的概念求解.。
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数)
惠州市2020届高三第二次调研考试(理数) 参考答案：数学（理科）一、选择题：1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.A8.C9.B10.A11.C12.C1.【解析】设M={x|x>1}，N={x|-2≤x≤2}，则M∩N=(1,2]，故选C。
2.【解析】(1+i)z=1-i，z=(1+i)/(1-i)2=-i，z的共轭复数为z=i，故选B。
3.【解析】n≥2时，Sn-1=1-a^(n-1)，Sn=1-a^n，两式相减，整理得Sn-Sn-1=an-1-1，即an-1=2a，a=1/3，故选D。
4.【解析】代数法：cos=|b·c|/(|b||c|)，几何法：cos=b·c/|b||c|=b(a-b)/(a-b)^2=b/(a-b)，故选A。
5.【解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确，故选B。
6.【解析】cos(5π/32)=sin(π/2-5π/32)=-sin(3π/32)，故选D。
7.【解析】由集合的包含关系可知选A。
8.【解析】不超过40的素数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37，共12个数，其中31/2=15.5，故选C。
9.【解析】解法一：定义域为x∈(0,1)∪(1,+∞)，故排除A；f(100)>1，排除C；f(40)=3+37=11+29=17+23，共3组数，所以其和等于40的概率为：(3/12)×(1/11)+(3/12)×(1/10)+(3/12)×(1/9)=1/110，故选B。
解法二：设g(x)=x-lnx-1，g(1)=0，g'(x)=1-1/x，当x∈(1,+∞)，g(x)>0，g(x)单调增，当x∈(0,1)，g(x)<0，g(x)单调减，则g(x)≥g(1)=0.注意：文章中的公式和符号均已修正。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考(暨入学检测)数学试题含答案
名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,4,3,6,{3}A B x x x =--=-<∣，则A B = （）A.{}3,6 B.{}4,3- C.{}6- D.{}6【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{}36,4,3,6,{3}2A B xx x x x ⎧⎫=--=-<=>⎨⎩⎭∣，所以{}3,6A B ⋂=.故选：A.2.已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2z =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则222i,(2i)34i 5z z =-=-=-=.故选：D.3.已知等差数列中，23a =，前5项和510S =，则数列的公差为（）A.−2B.52-C.1-D.4-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可求得32a =，进而根据等差数列定义求公差d .【详解】设等差数列的公差为53,510d S a == ，322a a d ∴=+=，又23,1a d =∴=- .故选C.4.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.1176π平方英寸B.294π平方英寸C.245π平方英寸D.196π平方英寸【答案】B 【解析】【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积.【详解】由题意可知球的半径7r =，则两个半球的表面积之和为224π2π294πr r +=平方英寸.故选：B.5.已知向量()()1,2,1,1a b ==-，若(),c x y = 满足()c a + ∥b ，则x y +=（）A.-3B.2C.-5D.4【答案】A 【解析】【分析】根据向量运算，即可求得正确答案.【详解】设向量(),c x y = ，则()1,2c a x y +=++，因为()c a +∥b ，所以12x y +=--，故3x y +=-.故选：A .6.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-【答案】D 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，再求出()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的a 值范围.【详解】函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+，求导得226(1)2()61x a x f x x a x x+--'=-+-=，由2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，得()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令()()()2612,020h x x a x h =+--=-<，则()h x 在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此2Δ(1)4620(1)6120(2)642(1)20a h a h a ⎧=-+⨯⨯>⎪=+--<⎨⎪=⨯+-->⎩，解得103a -<<-，所以实数a 的取值范围是103a -<<-.故选：D7.已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，Q 为双曲线C左支上一点，11π,23OF Q QF ∠==，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.D.13+【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得.【详解】设2F 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得2222222121121π111132cos42234224QF F F QF F F QF c c c c c =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以22QF c =，由双曲线的定义可得212QF QF a -=，即1222c c a -=，故双曲线C 的离心率132c e a +===.故选：D.8.若5π,,2π,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos sin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（）A.12±B.12C.32±D.2-【答案】D 【解析】【分析】观察可知22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+，因此运用角的变换及两角和的正弦、余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到()1cos 2αβ-=，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围.【详解】因为22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+所以sin sin sin cos cos sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭①，sin sin sin cos cos sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即sin sincos cos sin 2222γββγγββγγ+-+-=-②，①-②得2cos sin sin sin 22βγβγβγ+-=-，所以sin 2cos sin sin sin sin 022βγβγααβγ+--=-+=，同理cos cos cos cos sin sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=-⎪⎝⎭③，cos cos cos cos sin sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即cos cos cos cos sin sin 222222γββγγββγγββγγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭④，③+④得2coscos cos cos 22γββγβγ+-=+所以cos 2cos cos cos cos cos 022βγβγααβγ+--=--=，所以sin sin sin ,cos cos cos αβγαβγ-=--=，两式平方相加得()22cos 1αβ--=，所以()1cos 2αβ-=，因为sin sin sin 0αβγ-=-<，且sin y x =在5π2π,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以5ππ2π,022αβαβ<<<-<-<，所以()sin 2αβ-=-.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年—2023年中国茶叶产量的极差是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于310【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，计算出增长率或极差后可求判断AB 的正误，对于C ，计算出60%分位数后可判断其正误，对于D ，计算出平均数后可判断其正误.【详解】对于A ，2015年中国茶叶产量年增长率为227.7204.922.811.1%10%204.9204.9-=≈>，故A 正确；对于B ，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是355.0204.9150.1-=，B 正确；对于C ,1060%6⨯=，所以60%分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即277.7293.2285.452+=，C 错误；对于D ，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为：277.7293.2318.0335.0355.0315.783105++++=>，D 正确.故选：ABD.10.已知2m n >，且222log ,log 1,2log 2m x m y n z n ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，则（）A.若x y =，则12n >B.若x y =，则m n +C.若x y z ==，则422410m m m +-+=D.若x y z ==，则23204n n -+>【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，根据条件得到()22log log 2m n =，利用2log y x =的性质，即可求解；选项B ，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C ，根据条件，得到2log 02m n ⎛⎫+>⎪⎝⎭，从而有22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解；选项D ，利用y z =，得22221322424m m n n n n ⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】对于选项A ，由x y =得，()222log log 1log 2m n n =+=，又2m n <，可得21m n ⋅=，所以12n m =，又01m <<，所以12n >，故选项A 正确；对于选项B ，易知，0,0m n >>，所以m n +≥=2m n ==时取等号，所以选项B 错误；对于选项C ，由选项A 知1122n m =>，所以11222m m n m +=+>，得到2log 02m n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得422410m m m +-+=，所以选项C 正确；对于选项D ，由y z =得到，22221322424m m n n n n⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，得23204n n -+>，所以选项D 正确.故选：ACD.11.已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130n n S S +-=，设数列{}n n S a -的前n 项和为n T ，则（）A.{}n S 为等比数列B.19n n a -=C.1819n n T -+= D.()182n n a S n -= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案.【详解】由题意可得130n n S S +-=，即0===，0==，则1n n S S +=，则10n a +=，这与0n a >矛盾，所以不成立；=，则1119,1n n S S S a +===，所以数列{}n S 是首项为1，公比为9的等比数列，即19n n S -=，故A 正确；由19n n S S +=，可得()192n n S S n -=≥，两式相减得，19n n a a +=，且1n =时，219S S =，即1219a a a +=，得28a =，那么2189a a =≠，故21,1,89,2,n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故B 错误；当1n =时，110S a -=，当2n ≥时，()()()()()11221212n n n n n T S a S a S a S S S a a a =-+-++-=+++-+++ ()118191991119198n n n --⎡⎤⨯---⎢⎥=-+=--⎢⎥⎣⎦，当1n =时，10T =符合上式，故1918n n T --=，即1819n n T -+=，故C 正确；易得2n ≥时，18n n a S -=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7()x y -的展开式中52x y 的系数为__________.【答案】21【解析】【分析】根据二项式7()x y -的展开式的通项717C (1)r r rr r T x y -+=-，求解问题.【详解】二项式7()x y -的展开式的通项77177C ()C (1),0,1,2,,7rrr rr r r r T xy x y r --+=⋅⋅-=-= ，所以7()x y -的展开式中52x y 项的系数为227C (1)21⨯-=.故答案为：21.13.设抛物线212y x =的焦点为F ，经过点()4,1P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF +=__________.【答案】14【解析】【分析】设1,1,2,2，根据抛物线的定义，得123,3AF x BF x =+=+，又根据中点坐标公式，可得128x x +=，代入即可得到()126AF BF x x +=++的值．【详解】由题意可得()3,0F ，设1,1,2,2，抛物线的准线：3x =-，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，根据抛物线的定义，得123,3AF AC x BF BD x ==+==+，故()126AF BF x x +=++，因为AB 的中点为()4,1P ，所以()12142x x +=，可得128x x +=，所以()12614AF BF x x +=++=.故答案为：14.14.在三棱锥P ABC -中，2,AB BC CA PA PB ====，二面角P AB C --的大小为π3，则222PA PB PC ++最小时，三棱锥P ABC -的体积为__________.【答案】12【解析】【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元二次函数的最小值，进而求得三棱锥P ABC -的体积.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD ，设PD a =，则2221PA PB a ==+，CD =PDC ∠是二面角P AB C --的平面角，所以π3PDC ∠=，在PDC △中，由余弦定理可得223PC a =+-，所以2222231919353644PA PB PC a a ⎛++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当36a =时取等号，此时三棱锥P ABC -的体积1π1sin 3336212ABC V PD S =⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：12.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()::5:7:6a b b c c a +++=.（1）求cos A ；（2）若点D 为AB 的中点，且CD =ABC V 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据比例，设出5(0)a b t t +=>，联立解得,,a b c 关于t 的表达式，再利用余弦定理求值即可；（2）结合已知条件与（1）中结论，在ACD 中利用余弦定理可得t 的值以及sin A 的值，进而可知ABC V 中边,b c 的值，再由三角形面积公式求值即可.【小问1详解】因为()()()::5:7:6a b b c c a +++=，设5(0)a b t t +=>，则7b c t +=，6c a t +=，联立解得2a t =，3b t =，4c t =，所以由余弦定理得222222291647cos 2248b c a t t t A bc t +-+-===.【小问2详解】在ACD 中，7cos 8A =，CD =，3AC b t ==，122AD c t ==，由余弦定理得22710942328t t t t =+-⨯⋅⋅，解得2t =（负值舍去），所以36b t ==，48c t ==，因为0πA <<，所以sin 8A ==，所以11sin 68228ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()2P k χ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.841 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286χ⨯-⨯=⨯=⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X 的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5X B 3213283236(0),(1)C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23233254327(2)C ,(3)551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为X 0123P 812536125541252712539()355E X =⨯=.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且C 的离心率为2.（1）求C 的标准方程；（2）若()30A -,，直线:1(0)l x ty t =+>交椭圆C 于,E F 两点，且AEF △，求t 的值.【答案】（1）22142x y +=（2）t=【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由题意得：22cc ea===，即2c a==，则2222b a c=-=，所以C的标准方程为：22142x y+=.【小问2详解】由题意设()()1122,,,E x yF x y，联立221142x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得：()222230t y ty++-=，则()222Δ412216240t t t=++=+>，则12122223,22ty y y yt t+=-=-++，可得1222y yt-=+，设直线l与x轴的交点为()1,0D，且()3,0A-，则()134AD=--=，故1221246222AEFS AD y yt=⋅-=⨯=+t=.18.已知正四棱柱1111ABCD A B C D-底面ABCD为边长为3的正方形，16AA=，点,,E F G分别在线段11111,,A D AAB C上，且1122A F A E==，132C G=，点H在线段1BB上且EF GH∥.（1）求锐二面角1A FH E --的余弦值；（2）求平面EFHG 将四棱柱分割成两个多面体的体积比.【答案】（1）34623（2）111119719D EFAD C GHBCA EFB GHV V --=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用EF GH ∥可求得点()3,3,3H ，再求出平面11A B HF 与平面EFHG 的法向量，利用向量夹角的坐标表示求出二面角1A FH E --的余弦值；（2）利用1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，可求得11A EF B GH V -的体积，再利用正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积可求得剩余部分的体积，作比即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意可得，()13,0,6A ，()13,3,6B ，()3,0,4F ，()2,0,6E ，3,3,62G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()3,3,H a ，则()1,0,2EF =- ，3,0,62GH a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，EF GH ∥，∴EF GH ∥，∴36212a -=-，解得3a =，即()3,3,3H ，易知平面11A B HF 的一个法向量()11,0,0n = ，且()0,3,1FH =- ，设平面EFHG 的一个法向量2 =s s ，由2200n FH n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得3020b c a c -=⎧⎨-=⎩，令1b =，可得6a =，3c =，则()26,1,3n = ，∴121212cos ,23n n n n n n ⋅== ，故锐二面角1A FH E --的余弦值为34623.【小问2详解】易知1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，则()1111111113A EF B GH K B GH K A EF B GH A EF V V V S B K S A K ---=-=⋅-⋅ ，111123A A K K EB B G == ，16A K ∴=，19B K =，∴111131193912632224A EFB GH V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，111111111919733644ABCD A BCD A EF B G D EFA H D C GHBC V V V ---=-=⨯⨯-=，体积比111119719D EFAD C GHB A EF B CGH V V --==.19.若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，使得对任意x ∈R ，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，则称()f x 是类周期为T 的“类周期函数”.（1）若函数()f x 是类周期为1的“类周期函数”，证明：()f x 是周期函数；（2）已知()2sin (0)f x x x ωω=->是“类周期函数”，求ω的值及()f x 的类周期；（3）若奇函数()f x 是类周期为(0)T T >的“类周期函数”，且()()31f T f T =，求T 的值，并给出符合条件的一个()f x .【答案】（1）证明见解析（2）()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2（3）T =()2πsin 8=f x x 【解析】【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件()()2sin 0f x x x ωω=->是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出()()3,f T f T 的关系，进而求出T 的值，进行作答.【小问1详解】证明：因为()f x 是类周期为1的“类周期函数”，所以()()()11f x f x f x -++=，①用1x +代换x 得()()()21f x f x f x ++=+，②①+②得()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为6的周期函数.【小问2详解】因为()f x 是“类周期函数”，所以存在非零常数T ，使得对任意x R ∈，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，即()()()()2sin 2sin 2sin x T x T x T x T Tx T x ωωωωω---++-+=-，整理得42sin cos 2sin x x T Tx T x ωωω-=-，所以42,2cos T T Tω=⎧⎨=⎩所以2,cos21T ω==，所以()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2.【小问3详解】因为奇函数()f x 是类周期为T 的“类周期函数”，所以()00f =，且()()()f x T f x T Tf x -++=，取x T =，得()()()02f f T Tf T +=，所以()()2f T Tf T =，取2x T =，得()()()()232f T f T Tf T T f T +==，所以()()()231f T T f T =-，因为()()()31,0f T f T f T =≠，所以211,T T -==，所以((()f x f x x -++=，设()sin f x ax =，则()()sin sin ax ax ax ++=，整理得2sin ax ax =，所以2=，取(),sin 88a f x x ==.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.。