九年级数学上册课件：1.1 菱形的性质与判定(共32张PPT)
猜想： 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 AB中CD，AC ⊥ BD
A
求证： ABC是D菱形
证明：
∟
B
O
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D
AC⊥BD
O，
菱
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
菱
（2）若∠BAO=∠DADO，则□ABCD是C 形。
O
A
B
4、选择：
（1）.下列命题中正确的是（ C）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C）
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
判定方法3：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D AB=BC=CD=DA A来自DB CA
M
D
O
E N
B
C
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D， 交AB于E，又点F在DE的延长线上，且 AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
B
E
F
D
C
A
5、如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D A1D1交CD于E,A1B1交BC于F,请问四边形 A1FCE是不是菱形?为什么?
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（C ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC
5、一边长为5cm平行四边形的两条对角 线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四 边形为菱形，其面积为 24。㎝²
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）╳
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
（）
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
╳
组对角的四边形是菱形．
D
A
（）
C
A
∟
C
B
B
D
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点
DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
A
证明：∵DE∥AC DF∥AB
E 12
∴四边形AEDF是平行四边形 3
F
∵ DE∥AC ∴∠2=∠3
BDC
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠3
∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
9、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，
平行四边形
1、如图，已知在□ABCD中，
AD=2AB，E、F在直线AB上，且 AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
D
C
M
N
EAB
F
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点 O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
A
D
O
E
B
C
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN 交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形
B
C
□ABCD
A
D
B
C
菱形ABCD
数学语言 ∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
探究二
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以 B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交 点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形， 猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由
A
B
O
D
C
猜想：有四条边相等的四边形是菱形。
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.
则CE ＝CF，BE ＝DF。
A
F
D
E
B
C
证明:在△AOB中, ∵ AB= √5,OA=2,OB=1
∴AB2=OA2+OB2
∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角 ∴AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形)
8、已知：如图，AD平分∠BAC，
第一章 特殊平行四边形
根据菱形的定义,可得菱形的 第一个判定的方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
数学语言：
A
D
O
∵在平行四边形ABCD中 AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
B
C
还有其他么方法吗?
探究一
用一长一短两根细木条,在它们的中点 处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字, 四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动 木条,这个四边形什么时候变成菱形?
得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是
证菱明形：。连接AC、BD
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形
F
H
∴AC=BD
B
∵点E、F、G、H为各边中点
G
C
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC
2
2
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
7、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相
交于点O，AB=5，AC=8，DB=6D
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+
=
菱形的判定：
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
符号语言
A
D
∵在□ABCD中
AB=AD
B
C ∴四边形ABCD是菱形
判定 对角线互相垂直
法二
的平行四边形是 菱形
判定
求证:四边形ABCD是菱形.
A 证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形
O
C
∴OA=OC=4 OB=OD=3
B
又∵AB=5
在三角形AOB中 ∴AB2=AO2+BO2
∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱 形.
10、已知：如图,□ ABCD的对角线AC
的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，
四边相等的四边 形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
┍
3 44
3
5
5 5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
∵DF∥AB，∴∠1＝∠4 又有AD=AD,∴△AED≌△AFD. ∴AE＝AF,DE=DF. ∴四边形AEDF是菱
形. 老师说小林的解题过程有错误，你
能看出来吗？ ⑴请你帮小林指出他的错误是什么？ （先在解答过程中划出来，再说明他 错误的原因）
D
D1
A
A1
C
C1
B
B1
6、如下图在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G， 交AB于C，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱 形吗?
7、已知如图，AD是的角平分线， DE∥AC，DF∥AB.
求证：四边形AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。
证明：∵AD平分∠EAF， ∴∠1＝∠2, ∵DE∥AC，∴∠2＝∠3
四边形ABCD
B
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
菱形常用的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
∴四边形AFCE是菱形
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B
EC
思考题:
➢如图，AD∥BC，BD垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是， 请说明理由。
D
A
┐
O
C
B
提示: △AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
四边形
四条边都相等
菱形
F．
A
证求明证：：四边形AFCE是菱形
E
D
∵EF垂直平分AC ∴AO=CO, ∠AOE=90° B
O
F
C
∴∠FOC=∠AOE=90°
∴OE=OF
∵四边形ABCD是平行四边形又∵AO=CO
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 AB中CD，AC ⊥ BD
A
求证： ABC是D菱形
证明：
∟
B
O
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD;
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D
AC⊥BD
O，
菱
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
菱
（2）若∠BAO=∠DADO，则□ABCD是C 形。
O
A
B
4、选择：
（1）.下列命题中正确的是（ C）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C）
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
判定方法3：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D AB=BC=CD=DA A来自DB CA
M
D
O
E N
B
C
4、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D， 交AB于E，又点F在DE的延长线上，且 AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
B
E
F
D
C
A
5、如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D A1D1交CD于E,A1B1交BC于F,请问四边形 A1FCE是不是菱形?为什么?
A.矩形
B.一般的平行四边形
C.菱形
D.以上都不对
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（C ）
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC
5、一边长为5cm平行四边形的两条对角 线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四 边形为菱形，其面积为 24。㎝²
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）╳
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√）
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
（）
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一
╳
组对角的四边形是菱形．
D
A
（）
C
A
∟
C
B
B
D
3、□ABCD的对角线AC与BD相交于点
DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
A
证明：∵DE∥AC DF∥AB
E 12
∴四边形AEDF是平行四边形 3
F
∵ DE∥AC ∴∠2=∠3
BDC
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠3
∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
9、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，
平行四边形
1、如图，已知在□ABCD中，
AD=2AB，E、F在直线AB上，且 AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
D
C
M
N
EAB
F
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点 O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
A
D
O
E
B
C
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN 交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形
B
C
□ABCD
A
D
B
C
菱形ABCD
数学语言 ∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
探究二
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以 B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交 点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形， 猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由
A
B
O
D
C
猜想：有四条边相等的四边形是菱形。
6、如图在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.
则CE ＝CF，BE ＝DF。
A
F
D
E
B
C
证明:在△AOB中, ∵ AB= √5,OA=2,OB=1
∴AB2=OA2+OB2
∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角 ∴AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形)
8、已知：如图，AD平分∠BAC，
第一章 特殊平行四边形
根据菱形的定义,可得菱形的 第一个判定的方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
数学语言：
A
D
O
∵在平行四边形ABCD中 AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
B
C
还有其他么方法吗?
探究一
用一长一短两根细木条,在它们的中点 处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字, 四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动 木条,这个四边形什么时候变成菱形?
得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是
证菱明形：。连接AC、BD
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形
F
H
∴AC=BD
B
∵点E、F、G、H为各边中点
G
C
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC
2
2
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形
7、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相
交于点O，AB=5，AC=8，DB=6D
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+
=
菱形的判定：
判定 法一
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
图形语言
符号语言
A
D
∵在□ABCD中
AB=AD
B
C ∴四边形ABCD是菱形
判定 对角线互相垂直
法二
的平行四边形是 菱形
判定
求证:四边形ABCD是菱形.
A 证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形
O
C
∴OA=OC=4 OB=OD=3
B
又∵AB=5
在三角形AOB中 ∴AB2=AO2+BO2
∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱 形.
10、已知：如图,□ ABCD的对角线AC
的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，
四边相等的四边 形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
┍
3 44
3
5
5 5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
∵DF∥AB，∴∠1＝∠4 又有AD=AD,∴△AED≌△AFD. ∴AE＝AF,DE=DF. ∴四边形AEDF是菱
形. 老师说小林的解题过程有错误，你
能看出来吗？ ⑴请你帮小林指出他的错误是什么？ （先在解答过程中划出来，再说明他 错误的原因）
D
D1
A
A1
C
C1
B
B1
6、如下图在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G， 交AB于C，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱 形吗?
7、已知如图，AD是的角平分线， DE∥AC，DF∥AB.
求证：四边形AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。
证明：∵AD平分∠EAF， ∴∠1＝∠2, ∵DE∥AC，∴∠2＝∠3
四边形ABCD
B
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
菱形常用的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
∴四边形AFCE是菱形
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B
EC
思考题:
➢如图，AD∥BC，BD垂直平分AC， 四边形ABCD一定是菱形吗？若是， 请说明理由。
D
A
┐
O
C
B
提示: △AOD≌△COB（角边角）
AD=BC
四边形
四条边都相等
菱形
F．
A
证求明证：：四边形AFCE是菱形
E
D
∵EF垂直平分AC ∴AO=CO, ∠AOE=90° B
O
F
C
∴∠FOC=∠AOE=90°
∴OE=OF
∵四边形ABCD是平行四边形又∵AO=CO
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北师大版九年级数学上册教学课件：1.1菱形的性质与判定 (共36张PPT)
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点二 菱形判定方法的综合应用 例2 (2016· 沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连 接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE; (2)四边形BCED是菱形. 分析:(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD, ∠CBE=∠ABD即可. (2)先证明四边形BCED是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.
分析:根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2,从而证 得△BAE≌△DAE,这样就得出四边形ABED为平行四边形,然后根据 菱形的判定定理即可得出结论.
知识点一
知识点二
知识点三
证明:如图,∵AE平分∠BAD, ∴∠1=∠2. ∵AB=AD,AE=AE, ∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE. ∵AD∥BC,∴∠2=∠3=∠1. ∴AB=BE. ∴AB=BE=DE=AD. ∴四边形ABED是菱形.
1识点二
知识点三
知识点一 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 名师解读 几何中的定义都有两重性:一是可作为一条性质,二是 可作为一条判定. (1)根据菱形的定义,判断一个四边形是菱形必须同时具备两个 条件: ①四边形是平行四边形; ②四边形有一组邻边相等. (2)由菱形的定义可知,一个四边形是菱形,则具有如下性质: ①菱形是平行四边形; ②菱形有一组邻边相等.
知识点一
知识点二
知识点三
例2 (2016· 淮安)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为边 CD,AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF. 分析:由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由 SAS证明△ADE≌△CDF即可. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD, ∵点E,F分别为边CD,AD的中点, ∴AD=2DF,CD=2DE,∴DE=DF,
1.1 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT) 北师版九年级上册
习题解析
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为 ，∴菱形的面积为 .
课程总结
小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
=2 × △ABD的面积
思考：你还有其他的方法计算菱形的面积吗？
（2）菱形ABCD的面积.
课程讲授
新课推进
菱形的面积等于对角线乘积的一半.
课程讲授
新课推进
如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？
A
B
C
D
分析：画辅助线构建三角形，通过证明三角形全等得出相等的线段.
课程讲授
菱形
定义
性质
判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
菱形的四条边都相等
对角线互相垂直且平分每一组对角
轴对称图形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
课程导入
思考：王大爷家有一块菱形的菜地，怎样求出这块菜地的面积呢？
想一想：菱形的面积怎么求？
例1
如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：（1）对角线AC的长度；
解：∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）.
∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直）,
解：菱形ABCD的面积=△ABD的面积＋△CBD的面积
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为 ，∴菱形的面积为 .
课程总结
小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
=2 × △ABD的面积
思考：你还有其他的方法计算菱形的面积吗？
（2）菱形ABCD的面积.
课程讲授
新课推进
菱形的面积等于对角线乘积的一半.
课程讲授
新课推进
如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？
A
B
C
D
分析：画辅助线构建三角形，通过证明三角形全等得出相等的线段.
课程讲授
菱形
定义
性质
判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
菱形的四条边都相等
对角线互相垂直且平分每一组对角
轴对称图形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
课程导入
思考：王大爷家有一块菱形的菜地，怎样求出这块菜地的面积呢？
想一想：菱形的面积怎么求？
例1
如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，求：（1）对角线AC的长度；
解：∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）.
∴∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直）,
解：菱形ABCD的面积=△ABD的面积＋△CBD的面积
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定课件 (共41张PPT)
建立模型，探索新知
探究2：证明菱形的性质 菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直. 小组讨论：要严格证明这两个结论， 1. 有哪些“〞条件？ 2. “求证〞什么？ 3. “证明〞过程如何？
建立模型，探索新知
：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线 AC与BD相交于点O.
求证：〔1〕AB=BC=CD=AD； 〔2〕AC⊥BD.
活动2 探究菱形的判定方法二 用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮 筋，做成一个四边形.
示意图
建立模型，探索新知
〔1〕转动木条，这个四边形总有什么特征？ 你能证明你发现的结论吗？
建立模型，探索新知
〔2〕继续转动木条，观察什么时候橡皮筋围成的 四边形变成菱形？
2 菱形的判定和面积
回忆复习，导入新课
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质： ① 两条对角线互相垂直平分；
② 四条边都相等； ③ 每条对角线平分一组对角； ④ 菱形是一个中心对称图形，也是一
个轴对称图形.
回忆复习，导入新课
平行四边形的判定方法有哪些？ 边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
1 BD AC 2
1 10 24 2
菱形的面积等于对角线之积的一半.
120(cm2 ).
归纳总结，提升认识
四条边都相等 对角线互相垂直平分
归纳总结，提升认识
• 整节课你有什么感悟？ • 探索总结了什么规律？ • 对某些知识点你还有什么困惑？ • 你有什么新发现？ • 你学到了什么数学思想方法？
面积 =2 × △ABD的面积 2 1 BD AE 2 1 1012
2
2
九年级上册-初中数学北师大【新课标】1.1.1菱形的性质与判定 课件(共28张PPT)
新知讲解
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O, ∠BAD =
60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长。
B
解：∵四边形ABCD是菱形，
A
∴AB=AD
AC⊥BD
O
D
OB=OD= = × =
C
新知讲解
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
课堂练习
6.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MN⊥BD，分
别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OD=OB.∴∠MDO=∠NBO.
A M
D
∵MN⊥BD，∴∠MOD=∠NOB=90°.
O
∴△MOD≌△NOB（ASA）.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
课堂练习
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是 ( B )
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
2.若菱形的一条边长为5 cm,则这个菱形的周长为
A.20 cm
B.18 cm
C.16 cm
D.12 cm
∴MD=NB.又∵ MD∥NB，
∴四边形BNDM是平行四边形.
又∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形.
B
N
C
课堂总结
菱形的判定：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形性质与判定课件ppt
面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。
1.1菱形的性质与判定(菱形的判定)说课课件(共21张PPT)-北师大版初中数学九年级上册
4 教学过程
——概括总结 加深理解
自由发言
通过本节课，你获得了哪些知识？
回顾本节知识点，使学生对本节 课的内容有一个系统全面的认识， 并与上一节课学习的性质定理有机 地串联起来，以便于理解和应用。
设计意图
4 教学过程
——布置作业 课后巩固
设计意图
根据学生的认知结构和个体差异及智能 结构，分层设计作业。从作业分层、学 生分层、指导分层、评价分层等多维角 度展开，从而使不同层次的学生获得轻 松、愉快、满足的心理体验，在掌握知 识的同时形成能力，提升数学学科的核 心素养。
目录 Contents
说教材
说教法学法
说教学过程
1 说设计3特点4
5 教学设计特点
本节课设计特点：通过复习引入，设计问题，引导 了学生自主探索、合作交流；让学生观察猜测，提出 问题，概括归纳，使学生成为了学习的主体，逐步地 学会学习。
4 教学过程
——实验操作 逻辑推理
设计意图
通过实验操作，巩固了平行四边形的判 定方法，培养学生的观察能力和推理能 力，经历探究物体与图形的形状、大小、 位置关系和变换的过程，培养猜想意识， 感受直观操作得出猜想的便捷性，培养 学生的观察、实验猜想等合情推理能力; 通过对猜想的论证，体现了直观操作与 逻辑推理的有机结合，让学生进一步认 识逻辑推理的必要性,很好地突出了教学 的重点。
观察思考 动手实践 合作探究 总结归纳
新课标的精神在于以学生的发展为本，让学生经历探 索—发现—猜想—证明等过程，增加学生的参与机会，增 强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题 的方法，使学生真正成为学习的主体，进一步培养和提高 他们各方面的能力。
目录 Contents
北师大版九年级数学上册 1.1.2菱形的判定 课件(共31张PPT)
3.如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ， ， ．四边形 是菱形吗？请说明理由．
解：是菱形. ， ， ， . .
又 ， ， 四边形 是平行四边形. 四边形 是菱形．
易错点 菱形的判定与平行四边形的判定相互混淆
4.下列说法中，正确的是( )
归纳
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂小结与作业
菱形的判定
（1）有一组邻边______的平行四边形是菱形；
2.张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，有可能不合格的零件是( )
C
A. B. C. D.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵ □ ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴ □ ABCD是菱形（菱形的定义）.
（第6题图）
6.有两张相同的长方形纸片，它们的长为8，宽为2.若将两张纸片交叉重叠，如图，则重叠部分四边形 的最大周长是____.
17
7.如图， 是 的对角线．
（1） 尺规作图：作线段 的垂直平分线 ，分别交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ， （保留作图痕迹，不写作法）．
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作理2
解：是菱形. ， ， ， . .
又 ， ， 四边形 是平行四边形. 四边形 是菱形．
易错点 菱形的判定与平行四边形的判定相互混淆
4.下列说法中，正确的是( )
归纳
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂小结与作业
菱形的判定
（1）有一组邻边______的平行四边形是菱形；
2.张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，有可能不合格的零件是( )
C
A. B. C. D.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵ □ ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴ □ ABCD是菱形（菱形的定义）.
（第6题图）
6.有两张相同的长方形纸片，它们的长为8，宽为2.若将两张纸片交叉重叠，如图，则重叠部分四边形 的最大周长是____.
17
7.如图， 是 的对角线．
（1） 尺规作图：作线段 的垂直平分线 ，分别交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ， （保留作图痕迹，不写作法）．
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作理2
北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》优课件(共27张PPT)精选全文
22
2
S 菱形 ABCD
1 AC • BD 2
你有什么发现？
24
D
S菱A 形BCDAB •DE
A
O
C
E B
S菱形 ABCD12AC•BD
AB•DE 1 AC•BD 2
1 个 定：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 义 2个公式 ：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3 个 特 ：特在“边、对角线、对称性” 性
相等的线段：AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
5
6
B
O
34
C
相等的角：∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
他是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
画出菱形的两条折痕, 并通过折叠手中的图 形回答以下问题：
１、菱形是轴对称图形吗？ 2、菱形有几条对称轴？ 3、对称轴之间有什么关系？
4、你能看出图中哪些线段和角相等？
菱形ABCD中
A
12
D
7 8
BD 2 BO 34 . 64 花坛的面积
S 菱形 ABCD
1 AC • BD 2
346 . 4 m 2
活动四：做一做
1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分
别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
分析： S菱形 ABCD4SAOB
D
4 1 OA • OB A
北师大版九年级数学上册 1.1.1菱形的性质 课件(共31张PPT)
平行四边形
菱形
思考
归纳总结
定义：
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？
思考
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
（2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD.
（第4题图）
4.如图，四边形 是菱形， 是两条对角线的交点，过点 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的面积为24时，阴影部分的面积为____．
12
知识点三 菱形的性质
（第5题图）
5.如图， 为菱形 的对角线，已知 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
D
A.12 B.16 C.10 D.5
（第9题图）
9.如图，在 中， , ，以点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ，再分别以点 , 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 的长为_ _____．
10.如图，点 为菱形 的对角线 上一点，连接 ， .点 在边 上，且 .求证： .
. 四边形 是菱形， . . . .
（2） 若 ，求菱形 的周长．
解：由（1）知， ， . . 菱形 的周长 ．
周长=边长的四倍
角
对角线
1.两组对边平行且相等2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
北师大版九年级上册数学1.1菱形的性质与判定(菱形的判定)课件
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形 有四条边相等的四边形是菱形。
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
∵四边形ABCD是平行四边形 求证： 是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形 （1）求证：AF=CD。 的四边形是菱形；
∴四边形ABCD就是所作的菱形
D
D1
A
A1
C
C1
B
B1
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点 F，连接CF。 （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并 证明你的结论。(小测P26第3题)
C
F
ED
A
B
判定回顾
四条边都相等
四边形
菱形
平行四边形
3、有四条边相等的四边 形是菱形。
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
（2）求证：四边形ADCF是菱形。
3 4 ∴四边形ABCD是菱形 5 如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1, 4 3 求证： 是菱形
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形
┍
3 44
3
∴四边形ABCD是菱形.
5 （3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
（2）若AC=BD，则□ABCD是矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD菱是 形。
D
C
O
A
B
一个平行四边形的一条边长为9，两 条对角线长是12和6 5，这是一个特 殊的平行四边形吗？为什么？求出它 的面积。
A
D
35
9
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
∵四边形ABCD是平行四边形 求证： 是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形 （1）求证：AF=CD。 的四边形是菱形；
∴四边形ABCD就是所作的菱形
D
D1
A
A1
C
C1
B
B1
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点 F，连接CF。 （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并 证明你的结论。(小测P26第3题)
C
F
ED
A
B
判定回顾
四条边都相等
四边形
菱形
平行四边形
3、有四条边相等的四边 形是菱形。
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
（2）求证：四边形ADCF是菱形。
3 4 ∴四边形ABCD是菱形 5 如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1, 4 3 求证： 是菱形
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形
┍
3 44
3
∴四边形ABCD是菱形.
5 （3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
（2）若AC=BD，则□ABCD是矩 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是矩 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD菱是 形。
D
C
O
A
B
一个平行四边形的一条边长为9，两 条对角线长是12和6 5，这是一个特 殊的平行四边形吗？为什么？求出它 的面积。
A
D
35
9