算法设计与分析(第2版)-王红梅-胡明-习题答案.

习题1

1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学

家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)提出并

解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个

人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫图七桥问题区

力口里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，

且每座桥只经过一次，图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：一个起点

输出：相同的点

1，一次步行

2，经过七座桥，且每次只经历过一次

3，回到起点

该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。

2 •在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减

法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法

=m-n

2.循环直到r=0

m=n

n=r

r=m-n

3 输出m

3．设计算法求数组中相差最小的两个元素(称为最接近数)的差。要求分别给出伪代

码和C++描述。

编写程序，求 n 至少为多大时， n 个“ 1”组成的整数能被 2013 整除。

#include

using namespace std;

int main()

{

double value=0;

for(int n=1;n<=10000 ;++n)

{

value=value*10+1;

if(value%2013==0)

{

cout<<"n 至少为 :"<

break;

}

}计算n值的问题能精确求解吗编写程序，求解满足给定精度要求的n值

#include

using namespace std;

int main ()

double a,b;

double arctan(double x); 圣经上说：神 6 天创造天地万有，第 7 日安歇。为什么是 6 天呢任何一个自然数的因数中都有 1 和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此

6 是完美数。神 6 天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数

#include

using namespace std;

int main()

{

int value, k=1;

cin>>value;

for (int i = 2;i!=value;++i)

{

while (value % i == 0 )

{

k+=i;有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在

桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用 1 分钟，乙过桥要用 2 分钟，丙过桥要用 5 分钟，丁过桥要用 10 分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成甲每次分别带着乙丙丁过桥例如：

第一趟：甲，乙过桥且甲回来

第二趟：甲，丙过桥且甲回来

第一趟：甲，丁过桥

一共用时19小时

9 •欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，

每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这

个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写

不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动为什么

设最初两个数较大的为a,较小的为b，两个数的最大公约数为factor。

则最终能出现的数包括：factor, factor*2, factor*3,…，factor*(a/factor)=a. —共 a/factor 个。如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题2

1 •如果 T i(n)=O(f (n))，T2(n)=O(g(n))，解答下列问题:

(1 )证明加法定理：T

1(n)+ T2(n)=max{ O(f (n)), O(g(n))};

(2 )证明乘法定理：T

1(n)x T2(n)=O(f (n)) x O(g(n));

(3)举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理

(3)比如在 for (f(n))

{ for(g( n))

中应该用乘法定理

如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理

2 •考虑下面的算法，回答下列问题：算法完成什么功能算法的基本语句是什么基本语句

{

int S =

0;

(1)

for (int i = 1; i <= n;

i++)

完成的是1-n的平方和

(2) int Q(int n)

{

if (n == 1)

return 1; 基本语句：s+=i*i，执行了 n次

时间复杂度0 (n)

(2) (2)完成的是n的平方

基本语句: return Q( n-1) + 2 * n -1,执行了 n次

时间复杂度0 (n)

3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。

(1) for (i = 1; i <= n; i++)

if (2*i <= n)

for (j = 2*i; j <= n;

j++) (2) m = 0;

for (i = 1; i <= n; i++)

for (j = 1; j <= 2*i;

(1) 基本语句2*i

基本语句y = y + i * j执行了 2/n次

一共执行次数=n/2+n/2=0 (n)

(2)基本语句 m+=1 执行了 (n/2)*n=0(n*n) 4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式：

(4)T(n) 4 n 1

3T (n 1) n 1 ⑵ T(n)

1 n 1

2T( n 3) n n 1