北京四中2020—2021学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷 含答案
北京四中2020—2021学年高一第一学期期中考试 数学试卷 （试卷满分 140分 考试时间 120分钟） Ⅰ 卷 （满分90分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1.已知全集为U，集合{1,2,3,4,5}A=，{3,2}B=−，则图中阴影部分表示的集合为 (A) {3} (B) {3,2}− (C) {2} (D) {2,3}− 2.不等式201xx−+的解集是 (A) (1)(12]−−−，， (B) [12]−， (C) (1)[2)−−+，， (D) (12]−， 3.下列函数中，在区间()0,+上为减函数的是 (A) 22yxx=− (B) yx=
(C) 21yx=+ (D) yx=−
4.已知函数()351fxxx=−+，则下列区间中一定包含()fx零点的区间是 (A) ()2,1−− (B) ()1,0− (C) ()0,1 (D) ()1,2 5.若函数()fx是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则 (A) ()()1(2)3fff− (B) ()()()312fff− (C) ()()()213fff− (D) ()()()321fff−
6.已知12,xx是方程2710xx−+=的两根，则2212xx+= (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 7.设,abR，且ab，则下列结论中正确的是 (A) 1ab (B) ba11
(C) ||||ab (D)
33
ab
8. “2a=”是“函数()fxxa=−在区间)2,+上为增函数”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h随时间t变化的函数()hft=的图像如右图所示，则容器的形状可以是
(A) (B) (C) (D) 10.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.
h O t t1 t
2 函数解析式为()21fxx=+，值域为1,3的同族函数有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.设全集U=R，集合{|2},Axx=集合{|1}Bxx=，则集合UA= ，集合()UAB= .
12.命题“11,1xx”的否定是 . 13.某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______．
14.函数1()1fxxx=+
− (1)x
的最小值是_____，此时x=_____．
15.能够说明“设,,abc是任意实数.若abc，则abc+”是假命题．．．的一组整数．．
,,abc
的值依次为___________. 三、解答题（本大题共3小题，共25分.） 16.（本小题8分）
已知0a，记关于x的不等式()()10xax−+的解集为P，不等式11x−的解集为Q． （Ⅰ）若3a=，求集合P； （Ⅱ）若QP，求a的取值范围． 17.（本小题9分） 已知定义在R上的奇函数21()xmfxx=++,mR. （Ⅰ）求m； （Ⅱ）用定义证明：()fx在区间)1,+上单调递减；
（Ⅲ）若实数a满足()22225faa++，求a的取值范围. 18.（本小题8分） 二次函数()fx满足(0)1f=，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）求()fx的解析式； （Ⅱ）在区间1,1−上，函数()fx的图像总在一次函数2yxm=+图像的上方，试确定实数m的取值范围．
条件① ： ()()12fxfxx+−=； 条件② ： 不等式()4fxx+的解集为()1,3−. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． II 卷（满分50分） 一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1.已知非零实数,,abc满足：abc，下列不等式中一定成立的有
① abbc； ② 22acbc；
③ ababcc+−.
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 2.已知,abR，则“0=+ba”是“0223=++−−+baababaa”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3.已知,;min,,.aababbab= 设()fx2min6,246xxx=−+−++，则函数()fx的最大值是 (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 4.若函数2()||fxxxa=−+为偶函数，则实数a=________，函数()fx的单调递增区间是 .
5.某学校运动会上，6名选手参加100米决赛. 观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1、2、6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4、5、6道的选手都不可能得第一名. 比赛后发现并没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是 .
6.已知关于x的不等式32axax+在区间()0,+上有解，则实数a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共2小题，共23分.） 7.（本小题10分）
区间,的长度定义为−.函数()22()1fxaxax=+−，其中0a，区间|()0Ixfx=．
（Ⅰ）求I的长度； （Ⅱ）求I的长度的最大值． 8.（本小题13分） 若函数()fx的定义域为D，集合MD，若存在非零实数t使得任意xM都有xtD+，且()()fxtfx+，则称()fx为M上的t−增长函数.
（Ⅰ）已知函数()gxx=，函数()2hxx=，判断()gx和()hx是否为区间1,0−上的32−
增长函数，并说明理由； （Ⅱ）已知函数()fxx=，且()fx是区间[4,2]−−上的n−增长函数，求正整数．．．n的最小值； （Ⅲ）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按（ⅰ）得分计入总分） （ⅰ）如果对任意正有理数q，()fx都是R上的q−增长函数，判断()fx是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由；
（ⅱ）如果()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，22()fxxaa=−−，且()fx为R上的4−增长函数，求实数a的取值范围. 北京四中2020—2021学年高一第一学期期中考试 数学试卷参考答案 Ⅰ卷 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C A D D A A C
二、 填空题 11. )2,+ ； ()),12,−+ 12. 11,1xx .
13. 12 14. 3;2 15. −1，−2，−3（答案不唯一）
三、 解答题 16. 解：（I）由()()310xx−+，得13Pxx=−．
（II）
1102Qxxxx=−=．
由0a，得1Pxxa=−，又QP，所以2a，即a的取值范围是(2)+，．
17. 解答：（1）根据(0)0f=得0m=； （2）证明：任取21
1xx，有
12221212121122121222222212
()(1)()()(),(1)111111()()()(1)xxxxxxfxxfxxxxxxxxxx+−+−++++−−==+−=
+
因21
1xx，故221221121,0,10,10xxxxxx−++，从而21()()0fxfx−，
21()()fxfx. 故()fx在(1,)+单调递减. （3）因()2222111aaa++=++ . 又2(2)5f=，结合()fx在(1,)+单调递减，从而
()()2,22220,,aaa−−+++
.
18. 解 (1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)。
选择①，则有f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，
由题意，得 2a＝2，a＋b＝0，解得 a＝1，b＝－1，故f(x)＝x2－x＋1. 选择②，则()4fxx+可化为2(1)30axbx+−−。 由题，方程2(1)3=0axbx+−−的两实根分别为-1和3， 所以1132ba−−=−+=即21ab+=，及3133a−=−=−即1a=，所以1b=−. 故f(x)＝x2－x＋1. (2)由题意，得x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1>m，对x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1，则问题可转化为g(x)min>m，
又因为g(x)在[－1,1]上递减， 所以g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.
Ⅱ卷 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C C
0，
11,0,+22−， 丁
()),03,−+
7. 解：(1)令2()(1)0fxxaxa=+−=
，解得：10x=，2201axa=+，
20,1aIa=+
，
北京四中新高一分班考试数学试卷及答案
4 24 （Ⅱ）设点 P 是焦点为 F 的抛物线 y ax2 （ a 0 ）上的点，求证：以线段 PF 为直径的圆与 x 轴相切； （Ⅲ）设抛物线 y x2 2ax b 与 x 轴相交于点 A 、 B 两点，且其顶点总在以线段 AB 为直径的圆内，求 a, b 满足的关系．
数学试卷(1)
（试卷满分 120 分，考试时间 90 分钟）
姓名
班级
成绩____________
一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）
1．已知 x、y 满足 x2 y 2 5 2x y ，则代数式 xy 的值为（
）
4
x y
2
A．
3
3
B．
2
1
C．
3
D．无法确定
2．若 2x 32 ，我们记 x log2 32 5 ，那么以下说法错误的是（ ）
17. （舍掉 x=2），x=22.
18. a=-1，-2.
19. MSR NTR . 1
20. a , N (2 3 1,1) 3
21. 答案：（3） − 1 < < .
22.解：（1）| | = | (0)| ≤ 1.
（2）记 = ， = − + ， = + + ，则| | ≤ 1，| | ≤ 1，| | ≤ 1.
7
22．（本小题满分 10 分）
已知： a, b, c 是实数，当 1 x 1时，不等式| ax2 bx c | 1 恒成立. （Ⅰ）求证：| c | 1； （Ⅱ）求证：当 1 x 1时，| ax b | 2 ； （Ⅲ）设 a 0 ，当 1 x 1时， ax b 的最大值为 2，求 a b c 的值．
2020-2021学年北京四十四中高一(上)期中数学试卷-附答案详解
2020-2021学年北京四十四中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共15小题，共60.0分）1.已知a=3，A={x|x≥√2}，则()A. a∈AB. a∉AC. {a}=AD. a∉{a}2.设集合A={0,2,4,6,8,10}，B={4,8}，则∁A B=()A. {4,8}B. {0,2,6}C. {0,2,6,10}D. {0,2,4,6,8,10}3.对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是()A. “ac>bc”是“a>b”的必要条件B. “ac=bc”是“a=b”的必要条件C. “ac>bc”是“a>b”的充分条件D. “ac=bc”是“a=b”的充分条件4.设命题p：∀x∈R，x2+1>0，则¬p为()A. ∃x0∈R，x02+1≤0B. ∃x0∈R，x02+1>0C. ∀x0∈R，x02+1<0D. ∀x0∈R，x02+1≤05.函数y=√1−x+√x的定义域为()A. {x|x≤1}B. {x|x≥0}C. {x|x≥1或x≤0}D. {x|0≤x≤1}6.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b7.不等式x2>2x的解集为()A. {x|x>2}B. {x|x<0}C. {x|0<x<2}D. {x|x<0，或x>2}8.若函数y=(x+1)(x−a)为偶函数，则a=()A. −2B. −1C. 1D. 29.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()A. B.C. D.10.若a>b>0，c<d<0，则一定有()A. ac >bdB. ac<bdC. ad>bcD. ad<bc11.函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是()A. B. C. [0,4] D. [1,3]12.函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是()A. b≥0B. b≤0C. b>0D. b<013.若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.已知函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且f(5)=3f(3)+4，则f(4)=()A. 16B. 8C. 4D. 215.设集合P={m|−1<m<0}，Q={m∈R|mx2+4mx−4<0，对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是()A. P⊊QB. Q⊊PC. P=QD. P∩Q=⌀二、单空题（本大题共10小题，共40.0分）16.若x>0，则x+2x的最小值为______ ．17.函数y=x2+1的一个单调递增区间为______．18.设x∈R，则不等式|x−3|<1的解集为．19.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表：x−3−2−101234y60−4−6−6−406则不等式ax2+bx+c>0的解集是________________________．20.定义集合运算：A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2}，B={0,2}，则集合A∗B的所有元素之和为______ ．21.奇函数f(x)的定义域为(−5,5)，若x∈[0,5)时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______．22.已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，则f(2)=．23.f(x)=ax2+bx，(ab≠0)，若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，则f(x1+x2)=______．24.已知函数f(x)是定义在R上的减函数，如果f(a)>f(x+1)在x∈[1,2]上恒成立，那么实数a的取值范围是______．25.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有______人．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分）26.已知集合A={6,8,10,12}，B={1,6,8}，(1)求A∪B；(2)写出集合A∩B的所有子集．27.已知函数f(x)=x−x−1．(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(Ⅱ)证明函数f(x)在(0,+∞)上为增函数．28.设a∈R，函数f(x)=x2+ax+4．(1)解不等式f(x)+f(−x)<10x；(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值g(a)．29.对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称x0为f(x)的“不动点”；若f[f(x0)]=x0，则称x0为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B，即A={x|f(x)=x}，B={x|f[f(x)]=x}．(1)设函数f(x)=3x+4，求集合A和B；(2)求证：A⊆B；(3)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且A=⌀，求证：B=⌀．30.已知数集A={a1,a2,…,a n}(1≤a1<a2<⋯a n，n≥2)具有性质P；对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与a j两数中至少有一个属于A．a i(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；=a n；(2)证明：a1=1，且a1+a2+⋯+a na1−1+a2−1+⋯+a n−1(3)当n=5时，若a2=2，求集合A．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵a=3，A={x|x≥√2}，∴a∈A，{a}⊆A，故选：A．由元素与集合，集合与集合的关系判断即可．本题考查了元素与集合，集合与集合的关系应用，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，主要考查了补集的运算，属于基础题．根据全集A求出B的补集即可．【解答】解：∵集合A={0,2,4,6,8,10}，B={4,8}，则∁A B={0,2,6,10}．故选C．3.【答案】B【解析】解：A、C当c<0时，“ac>bc”即不是“a>b”的必要条件也不是充分条件，故A，C不成立；B、∵当a=b时∴一定有ac=bc．但ac=bc时，且c=0时，a，b可以不相等．即“ac=bc”是“a=b”的必要条件．D、当c=0时，“ac=bc”是“a=b”的充分条件不成立；故选B．当a=b时，一定有ac=bc.但ac=bc时，且c=0时，a，b可以不相等．即“ac=bc”是“a =b ”的必要条件．注意必要条件、充分条件与充要条件的判断．4.【答案】A【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题得到命题p 的否定¬p ：∃x 0∈R ，x 02+1≤0，故选：A ．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.【答案】D【解析】解：要使原函数有意义，则需{1−x ≥0x ≥0，解得0≤x ≤1，所以，原函数定义域为[0,1]． 故选：D ．保证两个根式都有意义的自变量x 的集合为函数的定义域．本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x 的取值集合．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查特值法比较式子的大小，属基础题． 举特值计算，排除选项可得 【解答】解：取a =1且b =4，计算可得√ab =2，a+b 2=52，选项A 、B 、D 均矛盾，B 符合题意， 故选：B ． ．7.【答案】D【解析】解：不等式x2>2x化为x(x−2)>0，解得x>2或x<0．∴不等式x2>2x的解集为{x|x>2或x<0}．故选：D．利用一元二次不等式的解法即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查偶函数的定义，对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法.属于基础题．本小题主要考查函数的奇偶性的定义：f(x)的定义域为I，∀x∈I都有，f(−x)=f(x).根据定义列出方程，即可求解．【解答]解：f(1)=2(1−a)，f(−1)=0，∵f(x)是偶函数∴2(1−a)=0，∴a=1，故选C．9.【答案】A【解析】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A．由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S(路程)与自变量t(时间)之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=−3，d=−1，则ac =−1，bd=−1，∴A、B不正确；a d =−3，bc=−13，∴C不正确，D正确．解法二：∵c<d<0，∴−c>−d>0，∵a>b>0，∴−ac>−bd，∴−accd >−bdcd，∴ad <bc．故选：D．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于中档题．由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x−2)≤1化为−1≤x−2≤1，即可解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数，若f(1)=−1，则f(−1)=−f(1)=1，又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，−1≤f(x−2)≤1，∴f(1)≤f(x−2)≤f(−1)，∴−1≤x−2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1,3]．故选D．12.【答案】A【解析】解：∵函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上为单调函数∴x=−b2≤0，即b≥0．故选：A．先用配方法将函数变形，求出其对称轴，因为函数是单调函数，所以对称轴要在区间的左侧求解．本题主要考查二次函数的单调性，研究时要注意两点：一是对称轴与区间的位置关系，二是开口方向．13.【答案】A【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件的判断和基本不等式，属于中档题．利用基本不等式，由a+b≤4结合基本不等式得ab≤4，当且仅当a=b时等号成立，可得充分性成立;通过取特殊值，得到必要性不成立，即可得出结论．【解答】解：因为a>0，b>0，所以a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立，由a+b≤4可得2√ab≤4，解得ab≤4，当且仅当a=b时等号成立，所以充分性成立;，满足ab≤4，但a+b>4，所以必要性不成立．当ab≤4时，取a=8，b=13所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．14.【答案】B【解析】解：因为函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，所以：f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，又f(5)=3f(3)+4，f(4)+4；即2f(4)=3×12则f(4)=8；故选：B．根据关系式得到f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，进而求得结论．本题考查了抽象函数的性质的应用，属于基础题目．15.【答案】A【解析】解：Q={m∈R|mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，−4<0恒成立；②m<0时，需△=(4m)2−4×m×(−4)<0，解得−1<m<0．综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|−1<m≤0}．P={m|−1<m<0}，故选：A．首先化简集合Q，mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立，则分两种情况：①m=0时，易知结论是否成立②m<0时mx2+4mx−4=0无根，则由△=<0求得m的范围．本题通过集合关系来考查函数中的恒成立问题，容易忽略对m=0的讨论，应引起足够的重视．16.【答案】2√2【解析】解：∵x>0，∴x+2x ≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=√2时取等号．∴x+2x的最小值为2√2．故答案为：2√2．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．17.【答案】(0,+∞)【解析】解：由y=x2+1的对称轴为x=0，所以函数的增区间为(0,+∞)，故答案为：(0,+∞)．由二次函数解析式得函数的对称轴，从而求得增区间．本题考查二次函数的增区间，属于容易题．18.【答案】{x|2<x<4}【解析】【分析】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题．由含绝对值的性质得−1<x−3<1，由此能求出不等式|x−3|<1的解集．解：∵x∈R，不等式|x−3|<1，∴−1<x−3<1，解得：2<x<4．∴不等式|x−3|<1的解集为：{x|2<x<4}．故答案为：{x|2<x<4}．19.【答案】{x|x>3或x<−2}【解析】解：由表可设y=a(x+2)(x−3)，又∵x=0，y=−6，代入知a=1．∴y=(x+2)(x−3)∴ax2+bx+c=(x+2)(x−3)>0得x>3或x<−2．故答案为：{x|x>3或x<−2}由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax2+bx+c>0的解集．本题为基础题，考查了一元二次不等式与二次函数的关系，在解题时注意题目要求不等式的解集．20.【答案】6【解析】解：∵A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}．又A={1,2}，B={0,2}，∴A∗B={0,2,4}所以集合A∗B的所有元素之和为0+2+4=6故答案为：6利用题中定义A∗B，求出A∗B中包含的元素，求出集合A∗B的所有元素之和．本题考查理解题中的新定义；并利用新定义求集合．新定义题型是近几年高考常考的题型．21.【答案】(−2,0)∪(2,5)【分析】本题考查奇函数的概念，函数图象的对称性，由函数图象解不等式f(x)<0的方法．由奇函数的图象关于原点对称便可得出f(x)在(−5,0]上的图象，这样根据f(x)在(−5,5)上的图象便可得出f(x)<0的解集．【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出f(x)在(−5,0]上的图象如下所示：∴f(x)<0的解集为(−2,0)∪(2,5)．故答案为：(−2,0)∪(2,5)．22.【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，属于基础题．由已知当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，先求出f(−2)，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，∴f(−2)=−12，又∵函数f(x)是定义在上的奇函数，∴f(2)=−f(−2)=12，故答案为：12．23.【答案】0【解析】解：根据f(x1)=f(x2)知f(x)的对称轴x=−b2a =x1+x22；∴x1+x2=−ba；∴f(x1+x2)=f(−ba )=a⋅b2a2+b(−ba)=0．故答案为：0．根据条件知f(x)为二次函数，并且对称轴x=x1+x22，从而−b2a=x1+x22，这样即可求出x1+x2，带入f(x)便可得出答案．考查二次函数的一般形式，二次函数的对称轴，以及二次函数对称轴的求法，已知函数求值．24.【答案】a<2【解析】解：f(a)>f(x+1)在x∈[1,2]上恒成立，∵函数f(x)是定义在R上的减函数，∴a<x+1在x∈[1,2]上恒成立，∴a<2．故答案为a<2．根据函数的单调性可得a<x+1在x∈[1,2]上恒成立，只需求出x+1的最小值即可．本题考查了恒成立问题的转化和单调性的利用，属于常规题型，应熟练掌握．25.【答案】3【解析】解：用A，B，C分别表示优秀、合格和不合格，语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的学生也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，则(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多有3个．故答案为：3．用A，B，C分别表示优秀、合格和不合格，根据题意，确定语文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，从而推出答案．本题考查了合情推理的理解与应用，解题的关键是找到题干中的关键词，培养了推理论证能力，属于基础题．26.【答案】解：(1)A∪B={6,8,10,12}∪{1,6,8}={1,6,8,10,12}；(2)因为A∩B={6,8}；所以集合A∩B的所有子集为⌀，{6}，{8}，{6,8}．【解析】(1)按照并集的运算法则直接解答；(2)根据交集的运算法则求出A∩B，并确定其子集．本题考查了交集，并集的基本运算，并能够写出集合的子集，属于基础题型．27.【答案】解：(I)f(x)=x−x−1的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=−x+x−1=−f(x)∴函数f(x)为奇函数(II)任取x1，x2∈(0,+∞)，不妨设x1<x2，则有f(x1)−f(x2)=x1−1x1−(x2−1x2)=(x1−x2)+(1x2−1x1)=(x1−x2)+(x1−x2x1x2)=(x1−x2)(1+1x1x2)=(x1−x2)(x1x2+1)x1x2∵x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2∴x1−x2<0，x1x2+1>0，x1x2>0∴f(x1)−f(x2)<0即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．【解析】(I)先求出函数的定义域，并且判断是否关于原点对称，再验证f(x)和f(−x)的关系，根据函数的奇偶性的定义进行判定即可；(II)利用函数单调性的定义进行证明，即取值−作差−变形−判断符号−下结论，从而得到单调性．本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的证明，同时考查了计算能力，属于中档题．28.【答案】解：(1)f(x)+f(−x)<10x ，即2x 2+8<10x ，…(2分)化简整理得x 2−5x +4<0，解得1<x <4.…(4分) (2)函数f(x)=x 2+ax +4图象的对称轴方程是x =−a2．①当−a2≤1，即a ≥−2时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，所以f(x)min =f(1)=a +5； …(6分)②当1<−a2<2，即−4<a <−2时，f(x)在区间[1, −a2]上单调递减，在[−a2, 2]上单调递增所以，f(x)min =f(−a2)=4−a 24； …(8分)③当−a2≥2，即a ≤−4时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以f(x)min =f(2)=2a +8． 综上，g(a)={a +5,a ≥−24−a 24,−4<a <−22a +8,a ≤−4.…(10分)【解析】(1)将自变量代入函数关系式，建立一元二次不等式，解之即可；(2)函数的对称轴为x =−a2，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[1,2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值．函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．29.【答案】解：(1)令f(x)=3x +4=x ，解得x =−2，故有A ={−2}由于f[f(x)]=3(3x +4)+4=9x +16， 令9x +16=x ，得x =−2，故有B ={−2} (2)若A =⌀，则A ⊆B 显然成立；若A ≠⌀， 设t ∈A ，则f(t)=t ，f(f(t))=f(t)=t ， ∴t ∈B ，故A ⊆B ．(3)若B ≠⌀.则f[f(x)]=x 有解， 故f(x)=x 有解，即A ≠⌀，这与A =⌀矛盾， 故B =⌀．【解析】(1)函数f(x)=3x +4，要求集合A 和B ，解出两个方程f(x)=x 与f[f(x)]=x 的根，此两方程的解集即为集合A 和B ；(2)分A =⌀和A ≠⌀的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明； (3)A =⌀，说明f(x)=x 无解，由“不动点”和“稳定点”的定义证明f[f(x)]=x 无解即可得出B =⌀．本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想30.【答案】解：(1)由于3×4，与34或43均不属于数集{1,3,4}，∴该数集不具有性质P ．由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11，22，33，都属于数集{1,2,3,6}， ∴该数集具有性质P ．(2)证明：∵A ={a 1,a 2,…,a n }具有性质P ， ∴a n a n 与a na n 中至少有一个属于A ， 由于1≤a 1<a 2<⋯<a n ，∴a n a n >a n 故a n a n ∉A ．从而1=ana n ∈A ，a 1=1．∵1=a 1<a 2<⋯a n ，n ≥2，∴a k a n >a n (k =2,3,4,…,n)， 故a k a n ∉A(k =2,3,4,…,n)．由A 具有性质P 可知ana k ∈A(k =2,3,4,…,n)．又∵a n a n <a n a n−1<⋯<a n a 2<a n a 1，a n a n =1，a n a n−1=a 2，…，ana 2=a n−1， 从而a n a n +a n a n−1+⋯+a n a 2+ana 1=a 1+a 2+⋯+a n ， ∴a 1+a 2+⋯+ana 1−1+a 2−1+⋯+a n−1=a n ； (3)由(2)知，当n =5时，有a 5a 4=a 2，a5a 3=a 3，即a 5=a 2⋅a 4=a 32，∵1=a 1<a 2<⋯<a 5，∴a 3a 4>a 2a 4=a 5，∴a 3a 4∉A ，由A 具有性质P 可知a4a 3∈A ． 由a 2⋅a 4=a 32，得a 3a 2=a4a 3∈A ， 且1<a 3a 2=a 2，∴a 3a 2=a4a 3=a 2，∴a 5a 4=a 4a 3=a 3a 2=a 2a 1=a 2 即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 是首项为1，公比为a 2等比数列， 即有集合A ={1,2,4,8,16}．【解析】(1)根据性质P ；对任意的i ，j(1≤i ≤j ≤n)，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，验证给的集合集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(2)由性质P ，知a n a n >a n ，故a n a n ∉A ，从而1=a n a n ∈A ，a 1=1.再验证又由于an a n <a n a n−1<⋯<a n a 2<a na 1，a na n =1，a n a n−1=a 2，…，a n a 2=a n−1，从而a n a n +a n a n−1+⋯+a n a 2+an a 1=a 1+a 2+⋯+a n ，命题得证；(3)根据(2)，只要证明a 5a 4=a 4a 3=a 3a 2=a2a 1=a 2即可求得集合A ．本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
2020-2021北京市高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021北京市高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π5．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．3-6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π8．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3010．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10C ．25D ．21011．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________14．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是______． 15．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．17．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +--=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1-（1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥，求m 的取值范围； ②若OM ⊥ON ，求m 的值.24．已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=． （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且45||5MN =，求m 的值．25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ． （2）求M 到平面BEFD 的距离．26．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A 6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
北京市丰台区2020-2021学年第一学期期中考试高一数学B卷试题及答案
丰台区2020-2021学年第一学期期中考试高一数学（B 卷）考试时间：90分钟 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题:共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合(){}10A x x x =-= ，那么A.0A ∈B. 1A ∉C.1A -∈ D. 0A ∉2. 已知命题2:,10“”∃∈--≤p x x x R ，那么命题p 的否定为A. 2,10∃∈--≥x x x R B. 2,10∃∈-->x x x R C. 2,10∀∈-->x x x RD. 2,10∀∈--≥x x x R3. 已知函数()f x 的定义域{}02A x x =≤≤，值域{}12B y y =≤≤,下列选项能表示()f x 的图象的是4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是A. 1 , xy y x==B. 1 ,y x y =-=C. , y xy =D. 2, y x y ==5. 已知函数()2 , 02 , 00 , 0x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，那么()()()2f f f -=A. 0B. 2C. 4D. 86. 已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是A. 5B. 6C. 4D. 87. 已知集合{}{}1, ,1,2,3A a B ==，那么“3a =” 是“A B ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 下列四个函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是A. ()3f x x =-B. ()23f x x x =-C.()f x x =-D.()11f x x =-+ 9. 对于任意实数,,,a b c d ，以下四个命题中正确的有①若22ac bc >,则 a b >；②若 a b c d >>，,则a c b d +>+； ③若 a b c d >>，则ac bd >；④若a b >，则11a b>. A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10.某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.） 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知集合{}1,0,1M =-，则集合M 的子集的个数为，集合M 真子集的个数为___________.12. 计算：()2233(3)8-+π--=__________.13. 已知偶函数()f x 部分图象如右图所示，且()30f =，则不等式()0f x <的解集为.14.若幂函数()=y f x 的图象过点1(2,)4，则此函数的解析式为_____.15.已知方程230++=ax bx 的两个实数根分别为3-，1，则不等式230++>ax bx 的解集为 ． 16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2-=y x 是偶函数；②函数1=-y x x是增函数；③函数()f x 定义域为I ,区间⊆D I ，若任意12,∈x x D ，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增；④()f x 定义域为I , “对于任意∈x I ,总有()≥f x M (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________．（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得4分，不选或有错选得0分，其它得2分.) 三、解答题:共4小题；共36分yo317．（本大题9分）集合{}{}|135|31610，=≤-<<<=B x x A x x .（1）求A B ；（2）求()A B R．18.（本大题9分）已知函数1()5x f x x +=-. （1）判断点()3,14是否在()f x 的图象上，并说明理由； （2）当()2f x =时，求x 的值；（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心.19．（本大题9分）已知函数2()41=-+f x x x ．（1）当[]0,3x ∈时，画出函数()=y f x 的图象并写出值域；（2）若函数()=y f x 在区间[],1a a +上具有单调性，求实数a 的取值范围．20．（本大题9分）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数（记作：()v x ）.当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时.研究表明：当20220x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当0220x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）在第一问的条件下，当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上做答无效）参考答案一、选择题（本题共10小题，共40分）11．8；7 12．0 13． (3,3)- 14．2()-=f x x 15．(3,1)- 16．①③④ 三、解答题（本题共4小题，共36分）17、解：（1） …………………2分…………………5分（2） ……………………7分…………………9分18．（本小题9分）解：(1)∵()3143214352f +==-=-≠- 点)(3,14不在()f x 的图象上 ………… 4分 (2)当()2=f x 时, ()125+==-x f x x 解得11=x ………… 7分 (3) 函数的对称中心为()5,1 ………… 9分19．（本小题9分）解： （1）{}|27B x x =<<{}|210A B x x ∴=<<{|310}R C A x x x =<≥或(){}|23R C A B x x =<<………… 3分值域为[]3,1-. ………… 5分 （2）二次函数f (x )241x x =-+的对称轴为=2x ………… 7分 因为函数y f =(x )在区间[],1a a +上单调 所以212a a ≥+≤或 解得21a a ≥≤或综上，x 的取值范围是{}1,2a a a ≤≥或. …………9分20、解：（1）由题意，当020x ≤≤时，v (x)=100， ……1分当20220x ≤≤时，设()v x ax b =+，则 201002200a b a b +=⎧⎨+=⎩…… 3分 解得：12a =-，110b = …… 4分 ∴100,020()1110,202202x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 5分 （2）由题意， 2100,020()1110,202202x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 6分 当020x ≤≤时，()f x 的最大值为(20)2000f = 7分当20220x ≤≤时，21()(110)60502f x x =--+ ()f x 的最大值为(110)6050f = 8分∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时 9分。
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•设全集为R，集合A = {x∖0<x<2}, B = {xlx≥l),则An(QB)=( )A.{xlθ<x≤l)B. {xlθ<x<l)C. {xll≤x<2}D. {xlθ<J<2)【答案】B【解析】由题意可得C R B = {x∣x<l}, 结合交集的泄义可得An (C R B) = {O<X<1},故本题选择B选项.2.已知幕函数/(X)过点(2,丄)，则/⑴在其定义域内( )4A.为偶函数B.为奇函数C.有最大值D.有最小值【答案】A【解析】设幕函数为fM = x∖代入点(2，1),即2u=l, Λf∕ = -2,4 4f(x) = χ-2,定义域为(-00,0)U(O,+OO),为偶函数且/(x) = x^2∈(0,+oo),故选A.3.幕函数f(x) = (m2-2m + ∖)x2m~l在(0,乜)上为增函数，则实数加的值为( )A. 0B. 1C. 1 或2D. 2【答案】D【解析】因为函数/(X)是幕函数，所以加2_2加+ 1 =],解得加=0或Hl = 2, 因为函数/(X)在(0,-KC)上为增函数，所以2∕w-l>0,即w>∣, I n = 2, 故选D・4.函数f(x) =Ig(X2-I)V-X2 +x + 2的定义域为(A. (-∞厂2) U(I,+∞) B ・(一2,1) C. (-∞,-l)U(2,+∞)D. (1,2)【答案】Dx 2-l>O 【解析】?^l<x<2, A 函数的左义域为(1,2)・【答案】Cα-lvθ OVaVl,得 ≥β≤"<l,故选 C.22(α-l)-2d ≥ IOg (I 2下而各组函数中是同一函数的是(^(Λ) = √X +1 √x -l【答案】A【解析】函数y = 4-2?与V = -X √Σ27的定义域均为(-O 0],且 y = √=2√ =^J-2x ∙ y/7 = -Xy∣-2x ‘所以两函数对应法则相同，故A 正确:函数V = (√7)2的左义域为[O, +S),函数V=IxI 的左义域为R , 所以两函数不是同一函数，故B 错误；2函数/(x) = X 的定义域为R ,函数g (X)=—的左义域为{x∣x≠O}t 所以两函数不是同一函数，故C 错误;5.若函数/U)=在R 上单调递减，则实数d 的取值范用是(-x fc +x+2>0【解析】若函数∕ω =(G-I)X-2α, X<2y = J-2χ3 与 y = -x√-2x(G-I)X -2G , x<2函数^(X) = √7+T.√7^T 的上义域为［i,4∙s),所以两函数不是同一函数，故D 错误,【解析］V fM 与gd)都是偶函数,∙∙J(χ)∙g(χ)也是偶函数, 由此可排除A 、D, 又由 X→-H>o 时，/(x)∙^(x)→→0 ,可排除 B, 故选C.8・IOg W 2 = «, IOg Jπ3 = ⅛,则加2网的值为( )A. 6B ・ 7 C. 12 D ・ 18【答案】C【解析】Tlog 川2 = α, log fπ3 = Z?, ∙∙∙"{=2, =3，Irr a ^ = 〃严〃/ = (Hi o )2Hi h =22×3 = 12,故选 C.9.若函数/(x) = log l (-x 2+4x + 5)在区间(3∕n -2√π + 2)内单调递增.则实数加的取值范围 为()函数/(x) = √2√^T的泄义域为［芈2 ,+oθ)U(-°°,-故选A.7.函数/(x) = log 2g(x) = -x 2+2 ,则函数f(x)∙g(x)的图象大致()【答案】C【答案】C【解析】解不等式-χ2+4x+5>0,即4x-5v0,解得一1VXV5, 内层函数W =→2+4.V + 5在区间(72)上单调递增，在区间(2,5)上单调递减, 而外层函数y = Iog 1 "在左义域上为减函数，2由复合函数法可知，函数fW = IOg I (→∙2÷4x + 5)的单调递增区间为(2,5), 2由于函数f(x) = IOg I (-X 2+ 4Λ∙+5)在区间(3m- 2, m + 2)上单调递增，-2≥24所以，3ιn -2<m + 2 9 解得一 Smv2,3//? + 2 ≤ 5 4因此,实数加的取值范围是［-,2),故选C.【答案】Br的+3 = 4 U-IOgM = 4【解析】因为/(α)=4,所以< C 或(C a≤0a>0故选B.11.已知定义在R 上的奇函数/(X)满足/(x+2) = -∕(x),当时［0,1］ , /(x) = 2x -l,则()A. /⑹ nV*)B. /⑹ vf(¥)v/(_7)22X^, +310.设函数fM = ↑t IIl-IOg2 九4 B. ［亍4 C. l-,2)弋，若/(¢/) = 4,则实数d 的值为( x>0A.B.D.1 16a≤0 a>0C. /(-7) < /(y) < /(6)D. /(y) < /(6) < /(-7)【答案】B【解析】由题意得,因为/(x+2) = -∕(x),则/(x+4) = ∕(x), 所以函数/S)表示以4为周期的周期函数， 又因为/⑴ 为奇函数，所以/(-X) =-/U),所以/(6) = /(4 + 2) = /(2) = -/(O) = 0, /(-7) = /(-8 + 1) = /(1) = 1,12.已知函数/(Λ-) = Iog 1 (?-av-«)对任意两个不相等的实数Λ-p x 2∈(-σ□,-l),都满3 2足不等式"" >0,则实数G 的取值范围是()A- I -I ^) B- (^-Il c∙ hl 41D ∙ [7》【答案】C瞬析嘶 詈严2>。
北京第四中学19年-20年学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
北京四中高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间. 【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.计算:________；________.【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.10.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.11.函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）13.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.14.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.15.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）16.不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.17.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量（台）10 20 39 81 160则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.19.设全集，集合,则_______；_______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.二、解答题：（本大题共2小题，共22分）21.（12分）设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.22.（10分）给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.。
2020-2021人教版高一年级数学期中试卷附答案解析[最新版]
人教版高一年级数学期中试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|﹣7＜2x﹣1＜1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}2．函数y=的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）3．下列函数中为偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=D．y=log2x4．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣5．设a=log32，b=log2，c=log23，则（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．设全集U=Z，A={﹣1，0，2，4，7，8}，B={﹣2，﹣1，1，3，4，8}，则韦恩图中阴影部分表示的集合是（）A．{﹣2，0，1，3} B．{﹣2，1，3，4} C．{﹣2，1，3}D．{0，2，7}7．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（）=4x﹣，则f（）=（）A．﹣B．﹣2 C．3 D．8．某手机上网套餐资费：每月流量500M以下（包含500M），按20元计算；超过500M，但没超过1000M（包含1000M）时，超出部分按0.15元/M计费，超过1000M时，超出部分按0.2元/M计费，流量消费累计的总量达到封顶值（15GB）则暂停当月上网服务．若小明用该上网套餐一个月的费用是100元，则他的上网流量是（）A．800M B．900M C．1025M D．1250M9．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=log4x﹣x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）11．若函数f（x）=ln（ax2﹣2x+3）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．（，+∞） C．（﹣∞，] D．（0，]12．设函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[0，3]C．[2，3]D．[2，4]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=为奇函数，则a=．14．已知幂函数f（x）=x a，指数函数g（x）=a x，若f（x）在[，2]上的最大值为4，则g（f（a+1））=．15．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x2﹣m=0}，若N⊆M，则m所有取值的集合为．16．已知正实数a，b满足log2a=log3b，则以下情况：①a=b②1＜b＜a③1＜a＜b④0＜a＜b＜1⑤0＜b＜a＜1⑥b=2a+1其中所有可能正确的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|﹣1≤x＜6}，B={x|0＜x﹣3＜6}，C={x|y=}．（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B；（3）若A∩C=A，求实数a的取值范围．18．（12分）（1）已知10a=3，10b=5，试用a，b表示log2045；（2）已知实数x满足x+x﹣1=3（x＞1），求x2﹣x﹣2的值．19．（12分）已知函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数．（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）=f（x）+的奇偶性，并加以证明；（3）解不等式：log a（1+x）＜log a（2﹣x）．20．（12分）（1）已知f（2x﹣1）=4x，求f（x）在[0，log23]上的值域；（2）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））=f（x）+2，求g（x）=的值域及单调区间．21．（12分）已知函数f（x）=（log4x）（log2x）﹣（log2x+log4x）+m（m∈R），若f（x）在[1，n]上的值域为区间D，试问是否存在常数n，使得区间D的长度为+log2n？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]（p＜q）的长度为q﹣p）．22．（12分）若函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，满足f（x+y）=f （x）+f（y），已知当x＞0时，f（x）＜0且f（﹣4）=2．（1）证明：函数f（x）在R上单调递减；（2）若g（x）=是定义在[﹣a，0）∪（0，b]上的奇函数，g（1）=f（﹣2）+f（﹣1），f（c）=﹣1，求g（x）的解集．答案一、ADACB CDCBC AD二、13．1．14．256．15．{m|m＜1}16．①③⑤．三、17．解：（1）由已知中集合A={x|﹣1≤x＜6}，B={x|0＜x﹣3＜6}={x|3＜x ＜9}，∴A∪B={x|﹣1≤x＜9}，（2）∁R A={x|x＜﹣1，或x≥6}，∴（∁R A）∩B={x|6≤x＜9}，（3）∵C={x|y=}={x|x＞a}，若A∩C=A，则A⊆C，∴a＜﹣1．18．解：（1）∵10a=3，10b=5，∴lg3=a，lg5=b，∴log2045=log205+log209=+=+=；（2）∵x+x﹣1=3，∴x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=7，∴（x﹣x﹣1）2=x2+x﹣2﹣2=5，又x＞1，故x﹣x﹣1=，故x2﹣x﹣2=（x+x﹣1）（x﹣x﹣1）=3．19．解：（1）a2﹣2a﹣2=1，可得a=3或a=﹣1（舍去），∴f（x）=3x；（2）F（x）=f（x）+=3x+3﹣x，∴F（﹣x）=F（x），∴F（x）是偶函数；（3）不等式：log a（1+x）＜log a（2﹣x）即log3（1+x）＜log3（2﹣x）．可化为：2﹣x＞1+x＞0，∴﹣1＜x＜，即不等式：log a（1+x）＜log a（2﹣x）的解集为{x|﹣1＜x＜}．20．解：（1）由f（2x﹣1）=4x，设2x﹣1=t，则x=，那么f（t）=2t+1，∴f（x）的解析式为f（x）=2x+1，根据指数函数的性质可得f（x）是递增函数，∵x∈[0，log23]上∴f（0）≤f（x）≤f（log23）即2≤f（x）≤6∴f（x）的值域为[2，6]；（2）f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0∵f（f（x））=f（x）+2，即k（kx+b）+b=kx+b+2，∴，解得：k=1，b=2，∴f（x）=x+2那么g（x）===1﹣，其定义域为{x|x=﹣2}∴根据反比例函数的性质可得：f（x）单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）∵≠0∴y≠1可得g（x）的值域为{y|y≠1}．21．解：设log2x=t，可得log4x=t，由1≤x≤n，可得0≤t≤log2n，可得y=f（x）=t2﹣t+m，0≤t≤log2n，对称轴为t=，若log2n≤，即1＜n≤2，可得[0，log2n]为递减区间，可得函数y的最大值为m，最小值为m+（log2n）2﹣log2n，由m﹣[m+（log2n）2﹣log2n]= +log2n，解得（log2n）2﹣log2n+=0，由△=1﹣4×=﹣8＜0，可得方程无实数解，则1＜n≤2不成立；当log2n＞，即有n＞2，可得函数y的最小值为﹣+m=m﹣，当t=0时，y=m，t=log2n，y=m+（log2n）2﹣log2n，当n≤8时，函数y的最大值为m，由题意可得m﹣m+=，不符区间D的长度为+log2n；当n＞8时，函数y的最大值为m+（log2n）2﹣log2n，由m+（log2n）2﹣log2n﹣m+=+log2n，可得（log2n）2﹣5log2n=0，解得n=32．符合题意．综上可得，存在常数n=32，使得区间D的长度为+log2n22．（1）证明：由题意，设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∴f（x1﹣x2）＜0，而f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）＜f（x2），∴函数y=f（x）是R上的减函数；（2）解：由g（x）=是定义在[﹣a，0）∪（0，b]上的奇函数，∴﹣a+b=0，…①∵f（﹣4）=2．即f（﹣4）=f（﹣2）+f（﹣2）=2f（﹣2）=2，∴f（﹣2）=1，即f（﹣2）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=1∴f（﹣1）=，∵f（c）=﹣1，即f（﹣c）=1，那么c=2，由g（1）=f（﹣2）+f（﹣1），可得：…②，由①②解得：a=b=1．则g（x）=，由g（x），即解得：x＞0．所以g（x）的解集为（0，+∞）．。
北京高一第一学期期中考试数学试卷含答案
2019—2020年度第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷一．选择题1.设集合{}0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤,则M N ⋂中元素的个数为( )A. 0B. 2C. 3D. 4 2.命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A. 2,220x x x ∀∈++>RB. 2,220x R x x ∀∈++≤C. 2,220x x x ∃∈++>RD. 2,220x x x ∃∈++≥R 3.下列四组函数,表示同一函数的是( )A. ()f x =()g x x =B. ()f x x =,()21x x g x x -=-C. ()f x x =,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x =()g x =4.条件p :a b =是条件q :a b c c>的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.已知集合30x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭,{}B x x a =<,若A B B ⋃=,则实数a 的取值范围是( ) A. [)3,+∞ B. ()3,+∞ C. (],0-∞ D. ,0 6.已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A. ()()()23ff f π>->- B. ()()()32f f f π>->- C. ()()()23f f f π>->- D. ()()()32f f f π>->-7.函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 38.已知函数()2,00x x f x x ⎧≥⎪=<,若()4f a =,则a 等于( ) A. 2 B. 2- C. 2± D. 2或16- 9.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率%x ),则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x 的最小值为( )A. 2B. 6C. 8D. 10 10.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值（ ）A. 一定大于12B. 一定小于12C. 一定等于14D. 一定小于14第Ⅱ卷二､填空题11.函数()f x =的定义域是______．12.已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩;则()3f f -⎡⎤⎣⎦等于______．13.已知()1,x ∈+∞,则函数91y x x =+-的最小值等于______． 14.已知函数()221f x x x =-++, ①函数的值域是______．②若函数在[]3,a -上不是单调函数,则实数a 的取值范围是______．15.已知实数,a b 满足2850a a -+=,2850b b -+=,则22a b +=______．16.若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一个根,则实数a 的取值范围是______．17.函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围是______；②如果对任意[],x a b ∈ (b <0)，都有[]2,1y ∈-，那么b 的最大值是______．18.能够说明“若()0f x <对任意的(]0,2x ∈都成立,则函数()f x 在(]0,2是减函数”为假命题的一个函数是______．(答案不唯一)19.对于函数()1f x x=(0x >)的定义域中任意1x ,2x (12x x ≠)有如下结论: ①()()()1212f x x f x f x +=+;②()()12120f x f x x x ->-;③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭上述结论中正确结论的序号是______．20.已知函数()212f x x x=+,a ,b 均为正数且2a b +=,则()()f a f b +的最小值等于______． 三､解答题21.已知函数()43f x x x =-+的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+ (1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围．22.已知函数()4f x x x=- (1)判断函数的奇偶性,并说明理由:(2)证明:函数()f x 在0,上单调递增; (3)求函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域．23.已知函数()()22f x x a x b =+++,其中a ,b R ∈． (1)当1a =,4b =-时,求函数()f x 的零点;(2)当2b a =时,解关于x 的不等式()0f x ≤;(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方,证明:2b >．参考答案1【答案】C【详解】解:因为集合()0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤, 所以{}{}00,1,22N x N x =∈≤≤=,所以{}0,1,2M N ⋂=,则M N ⋂中元素的个数为3个.故选:C2【答案】A【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A.3【答案】C【详解】解: 选项A.:()f x =R ,()g x x =的定义域为R()f x x ==,对应法则不同,不是同一函数.选项B.:()f x x =定义域为R ,()21x x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠, 定义域不同,不是同一函数.选项C:()f x x = 定义域为R ,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域为R . (),0,0f x x x x x x ≥⎧=⎨-<=⎩,定义域相同,对应法则也相同,是同一函数.选项D:()f x ={}|1x x ≥,()g x =定义域为|11x x ,定义域不同,不是同一函数.故选:C4【答案】D 详解】解:证充分性:若:p a b =,则a b c c=,则 p q ≠>,则充分性不成立.证必要性: 若q : a b c c>,则a b >,则q p ≠>,则必要性不成立. 故条件:p a b =是条件q :a b c c>的既不充分也不必要条件. 故选:D5【答案】B【详解】解: {}3003x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬⎩⎭, 又因为: {}B x x a =<,若A B B ⋃=,所以A B ⊂,则|3a a所以实数a 的取值范围是: ()3,+∞.故选:B6【答案】B【详解】由题意，函数()f x 为定义域上的偶函数，可得()()2(2),3(3)f f f f -=-=， 又由当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，且32π>>，所以()()()32f f f π>>，即()()()32f f f π>->-.故选：B .7【答案】B【详解】解: ()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩,当1x ≥ 时, ()10f x x ==无解,则不存在零点. 当1x < 时,()220f x x =-+=,解得x =1x =>(舍去),则零点为x =综上所述: ()f x 的零点个数是1.故选:B8【答案】D【详解】解:因为函数()2,0,x xf xx x⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,()4f a=当0a≥时, ()24f a a==,解得2a=.当0a<时, ()4f a a=-=,解得16a=-故a等于2或16-.故选:D9【答案】A【详解】2(10010)70%1121016028x x x x x-⨯⨯≥⇒-+≤∴≤≤，x的最小值为2，选A. 10【答案】D【详解】由题可得：()()10f nf n⎧>⎪⎨+>⎪⎩.又,αβ为函数()2f x x px q=++的两个零点，所以pαβ+=-，qαβ⋅=.将函数()2f x x px q=++图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数()2f x x px q=++图像往上平移时，()(){}min,1f n f n+变大，即：当αβ→时，()(){}min,1f n f n+越大，又由二次函数的对称性得：当2121,22n nαβ++→→时，()(){}min,1f n f n+最大令212nαβ+==，则：122nαβ+=-，()(){}min,1f n f n+就是()f n．又()2f n n pn q=++=2112222p q αβαβ++⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2112222αβαβαβαβ++⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()2144αβ--由已知得αβ<，所以()f n 一定小于14， 所以()(){}min ,1f n f n +一定小于14. 故选D 【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题． 11【答案】[]2,2-【详解】解: ()f x =:20x -≥,解得22x -≤≤ ,故函数的定义域为:[]2,2-.故答案: []2,2-12【答案】8-【解析】【详解】解: 因为函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩, 则()()()2339918f f f f ⎡⎤-=-==-+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 故答案为:8-.【点睛】本题考查分段函数求值,看清楚自变量所在的区间是解题的关键.13【答案】7【详解】解: 已知()1,x ∈+∞,则10x ->, 所以()991111y x x x x =+=-++--17≥=, 当且仅当911x x -=-,即4x =时,等号成立. 所以函数91y x x =+-的最小值为7. 故答案为: 714【答案】 (1). (],2-∞ (2). 1,【详解】解: ①()221f x x x =-++,定义域为R ,开口向下,()221f x x x =-++()2212x x =--++()2122x =--+≤,所以函数的值域是(],2-∞.②因为()()212f x x =--+,对称轴为1x =,若函数在[]3,a -上不是单调函数,则1a >,故实数a 的取值范围是1,.故答案为: ①(],2-∞;②1,15【答案】54或54±【详解】解:因为2850a a -+=,2850b b -+=, ①当a b 时,可设,a b 是方程2850x x -+=的两根, 85a b a b , ()2222282554a b a b ab ∴+=+-=-⨯=②当a b =时,解2850a a -+=得411a ,所以当4a b ==, 2254a b +=+当4a b ==, 2254a b +=-综上所述: 22a b +的值为54或54±.故答案为: 54或54±16【答案】1,【详解】解:令()221f x ax x =--.当0a =时,()1f x x =--,0f x 的根为1x =-,显不在区间0,1内,所以0a =时不成立.当0a ≠时,若一元二次方程0f x在0,1内恰有一个根, 则有以下两种情况：①0f x有两个相等的实数根, 则180a ,18a =, 此时0f x的解为2x =-,不在区间0,1内, 所以18a =时不成立； ②0f x 有两个不相等的实数根,且有一个根在0,1内,则()()010f f ⋅<,则()()22200121110a a ⨯--⋅⨯--<,解得1a >.综上可知,实数a 的取值范围是:1,.故答案为: 1,17【答案】 (1). []1,2 (2). 2-【详解】由图象可知，当0x =时，函数在[]1,1-上的最小值min 1y =， 当1x =±时，函数在[]1,1-上的最小值max 2y =， 所以当[]1,1x ∈-，函数()y f x =值域为[]1,2；当[]0,3x ∈时，函数()()212f x x =--+，当[)3,x ∈+∞时，函数()5f x x =-， 当()1f x =时，2x =或7x =，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意[],(0)x a b b ∈<，要使得[]2,1y ∈-，则a R ∈，7b =-或2b =-， 则实数b 的最大值是2b =-． 故答案为[]1,22-；18【答案】()sin f x x =-(答案不唯一)【详解】解:令()sin f x x =-,则对任意的(]0,2x ∈,()0f x <都成立. ()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减,在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增. 故函数()f x 在(]0,2是减函数不成立.故()sin f x x =-是符合题意的一个函数.故答案为: ()sin f x x =-(答案不唯一)19【答案】③【详解】解: 对于①,12121f x x x x ,121211f x f x x x , 显然()()()1212f x x f x f x +≠+,故①不正确;对于②,取121,2x x ==,则1211,2f x f x , 可得()()121211120122f x f x x x --==-<--,故②不正确; 对于③121222x x f x x +⎛⎫=⎪+⎝⎭,()()12121212111222f x f x x x x x x x +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭, 2121212121222f x f x x x x x f x x x x ,120,0x x 且12x x ≠,21212120x x x x x x , 1212022f x f x x x f , 121222f x f x x x f ,故③正确.故答案为: ③20【答案】3【详解】解:因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以20b a ,则02a <<,()()221122a b a f a f b b ++=++ ()212422a b a b ab ab ab ab+=+-+=-+ 因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以a b +≥,则2220122a b ab +⎛⎫⎛⎫<≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令t ab =,则01t <≤, ()142f t t t=-+在01t <≤单调递减, 所以()min 142131f t =-⨯+= 所以()()3f a f b +≥. 故()()f a f b +的最小值等于3.故答案为:321【答案】(1)|34x x A ;(2){}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .【详解】解: (1)要使函数()f x =有意义, 则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x.所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, , {}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A, 若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩,综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤ 22【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）[]3,3--.【详解】解: （1）证明:定义域为(,0)(0,)-∞+∞; 444()()f x x x x f x x x x ,f x 为奇函数.（2）证明:对任意的()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,()()12112244x x f x f x x x ⎛⎫=--- ⎝-⎪⎭()121244x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x -=-+()121241x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭120x x <<,12120,0x x x x ,()()120f x f x ∴-<()()12f x f x ∴<f x 在0,上单调递增. （3）f x 为奇函数且在0,上是增函数, 则()f x 在,0上是增函数,f x 在[]4,1--上是增函数,()()()41f f x f -≤≤-,即()33f x -≤≤,所以函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域为[]3,3-- 23【答案】(1) 4-或1;(2)当2a =时,解集为|2x x ,当2a >时解集为,2a ,当2a <时,解集为2,a ;(3)证明见解析.【详解】解: (1)因为函数()()22f x x a x b =+++, 当1a =,4b =-时, ()()2221434f x x x x x =++-=+- 0f x ,则2340x x +-=,解得4x =-或1x =. 所以函数的零点为4-或1;(2)当2b a =时,()()222f x x a x a =+++, 令0f x 解得x a =-或2x =-,①当2a =时, ()0f x ≤的解集为|2x x②当2a >时, ()0f x ≤的解集为,2a , ③当2a <时, ()0f x ≤的解集为2,a .(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 则()22f x x >+对任意的x ∈R 恒成立,即220x ax b ++->对任意的x ∈R 恒成立24(2)0a b ∴=--<,即224a b -> 又因为204a ≥,所以20b ->,2b >. 所以函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 2b >成立.。
2020-2021高中必修一数学上期中试卷附答案(4)
2020-2021高中必修一数学上期中试卷附答案(4)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．25．函数()log a x xf x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,78．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．29．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．611．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)12．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-二、填空题13．下列各式：（1）122[(]--= （2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤； （5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正．确的．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 14．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 15．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．16．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________． 17．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．20．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 22．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 23．设函数()()()22log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）若2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值． 24．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.25．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．26．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.5．C【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.8．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．10．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.12．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
2019-2020学年北京四中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，共65.0分） 1. log 223+log 26等于( )．A. 1B. 2C. 5D. 6 2. 已知集合M ={x|x 2−x −6=0}，则下列正确的是( )A. {−2}∈MB. 2∈MC. −3∈MD. 3∈M3. 函数y =log 2(x 2−2x −3)的定义域为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. [−1,3]C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−1,3)4. 已知f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)为( )A. 1B. 2C. 4D. 55. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√x +1B. y =(x −1)2C. y =2−xD. y =log 0.5(x +1)6. 函数y =x 2−2x 定义域为{0,1，2，3}，则值域为( )A. {−1,0，3}B. {0,1，2，3}C. [−1,3]D. [0,3] 7. 函数f (x )=−|x −5|+2x−1的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)8. 设a =log 123.b =ln4，c =(13)0.2，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. b <c <a 9. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 210. 已知函数f (x )=a ⋅2x −1与函数g (x )=x 3+ax 2+1(a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )与g (x )图象的是( )A.B.C.D.11. 不等式23x−5>(12)2x+3的解集为 ( )A. (−∞,25) B. (25,+∞)C. (−∞,8)D. (8,+∞)12. 下列函数中，f(x)是偶函数的是( )A. f(x)=2|x|−1B. f(x)=x 2，x ∈[−2,2)C. f(x)=x 2+xD. f(x)=x 313. 某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：第x 月 1 2 3 4 5 6 枝数y(枝)247163363( )A. y =2xB. y =x 2−x +2C. y =2xD. y =log 2x +2二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）14. 计算：2log 23+lg √5+lg √20=__________________.15. 已知y =f(x)是定义在[1,4)上的函数，则函数y =f(2x +1)的定义域为__________． 16. 若函数f(x)=x 2−2x(x ∈[0,3])，则f(x)的最小值是______ ．17. 已知函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点，一个零点在(−1,1)内，另一个零点在(1,2)内，则实数m 的取值范围是________．18. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，则集合∁U (A ∩B)=______． 19. 设f(x)={2e x−1,x <2,log 3(x 2−1),x ≥2,则f(f(1))=________，不等式f(x)>2的解集为________．20. 已知−1<a +b <3且2<a −b <4，求2a +3b 的取值范围______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）21. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|x 2−ax −4=0}．(1)若a =0，求A ∪B ．(2)若a=3，求A∩B．22.已知函数f(x)=log21+x1−x．(1)判断f(x)奇偶性并证明你的结论；(2)解方程f(x)<−1．23.f(x)=−12x2+132在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]．24.已知函数f(x)=2x−1的反函数为y=f−1(x)，记g(x)=f−1(x−1)．(1)求函数y=2f−1(x)−g(x)的最小值；(2)若函数F(x)=2f−1(x+m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，求实数m的取值范围．25.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．【解答】×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，是基础题．求出集合M，根据元素与集合间的关系即可判断．【解答】解：M={x|x2−x−6=0}={−2,3}，所以−2∈M,3∈M，所以D正确，故选D．3.答案：A解析：解：要使函数有意义，则x2−2x−3>0，即x>3或x<−1，即函数的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，故选：A．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.答案：A解析：【分析】直接利用分段函数的解析式求解函数值即可．本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题． 【解答】解：f(x)={x −6,(x ≥6)f(x +2),(x <6)，则f(3)=f(5)=f(7)=7−6=1． 故选：A ．5.答案：A解析：利用函数的单调性或函数的图像逐项验证.A.函数y =√x +1在[−1,+∞)上为增函数，所以函数在(0,+∞)上为增函数，故正确；B.函数y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在[1,+∞)上为增函数，故错误；C.函数y =2−x =(12)x 在R 上为减函数，故错误；D.函数y =log 0.5(x +1)在(−1,+∞)上为减函数，故错误．6.答案：A解析： 【分析】本题考查了函数的值域问题，属于基础题． 根据所给定义域代入函数，解得值域． 【解答】解：∵y =x 2−2x ， 又∵x ∈{0,1，2，3}， ∴y =−1，0，3． 即函数值域为{−1,0，3}． 故选A ．7.答案：C解析： 【分析】本题考查函数零点存在性定理问题，属于基础题．对于连续函数只要满足两端点的函数值符号相反即可，分别代入判断符号即可． 【解答】解：因为f (0)=−92，f (1)=−3，f (2)=−1，f (3)=2，所以f(x)的零点所在的区间是(2,3)，故选C．8.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．10.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．对a进行分类讨论，利用排除法，可得答案．【解答】解：a=0时，函数f(x)与g(x)图象为：故排除A；g′(x)=3x2+2ax，令g′(x)=0，则x=0，或x=−2a3，当a<0时，0为函数g(x)的极大值点，函数f(x)与g(x)图象为：故排除C ；当a >0时，0为函数g(x)的极小值点， 函数f(x)与g(x)图象为：故排除B ； 故选D ．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了指数不等式的求解，属基础题目．解题的关键是熟练掌握指数函数的单调性.可将原不等式转化为3x −5>−2x −3，解此不等式即可． 【解答】解：不等式23x−5>(12)2x+3可化为23x−5>2−2x−3，∴3x −5>−2x −3， 解得x >25，所以原不等式的解集为(25,+∞)． 故选B ．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据偶函数的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解析：解：A.f(−x)=2|−x|−1=2|x|−1=f(x)，x∈R，因此该函数为偶函数，B.函数f(x)的定义域不关于原点对称，函数f(x)是非奇非偶函数，C.f(−x)=x2−x≠f(x)，不是偶函数，D.f(−x)=−x3=−f(x)，x∈R，则f(x)是奇函数．故选A．13.答案：C解析：【分析】本题考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题．本题要选择合适的模型，从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)，和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适．【解答】解：从所给数据可以看出图象大约过(1,2)和(2,4)和(4,16)和(6,63)，把这四个点代入所给的四个解析式发现只有y=2x最合适，故选：C．14.答案：4解析：【分析】本题考查了指数恒等式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数恒等式、对数运算性质即可得出．【解答】解：原式=3+lg(√5×√20)=3+lg10=4．故答案为4．)15.答案：[0,32解析：因为函数y =f(x)的定义域为[1,4)，令1≤2x +1<4，解得0≤x <32，所以函数y =f(2x +1)的定义域为[0,32).故答案为：[0,32)．16.答案：−1解析：解：函数f(x)=x 2−2x 的对称轴为：x =1∈[0,3]，二次函数的开口向上， 函数的最小值为：f(1)=1−2=−1． 故答案为：−1．求出函数的对称轴，利用二次函数的性质求解函数的最小值即可．本题考查二次函数的最值的求法，求出函数的对称轴判断开口方向是解题的关键．17.答案：(−87,−1)解析： 【分析】本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于基础题．由二次函数f(x)的图象，结合两个零点的范围，可得f(−1)>0，f(1)<0，f(2)>0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数f(x)=x 2+2mx +3m +4有两个零点， 一个零点在(−1,1)之间，另一个零点在(1,2)之间， 可得{f(−1)>0f(1)<0f(2)>0，即{5+m >05+5m <08+7m >0，即有{m >−5m <−1m >−87，可得−87<m <−1， 即有m 的范围是(−87,−1)． 故答案为(−87,−1)．18.答案：{1,2，4}解析： 【分析】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 由条件根据交集的定义求得A ∩B ，再根据补集的定义求得∁U (A ∩B)．【解答】解：因为集合A ={1,3，5}，B ={3,4，5}，所以A ∩B ={3,5}，又U ={1,2，3，4，5}，所以∁U (A ∩B)={1,2，4}，故答案为{1,2，4}．19.答案：1 (1,2)∪(√10,+∞)解析：【分析】本题考查了分段函数，指数、对数不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.根据函数的解析式求出f(1)的值是2，从而求出f(2)的值即可；不等式f(x)>2即2e x−1>2或log 3(x 2−1)>2，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解出即可．【解答】解：f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2， f(1)=2⋅e 1−1=2，故f(f(1))=f(2)=log 3(4−1)=1，若f(x)>2，则2e x−1>2(x <2)或log 3(x 2−1)>2(x ≥2)，即e x−1>1=e 0，或x 2−1>9，解得：1<x <2或x >√10，故答案为1 (1,2)∪(√10,+∞)．20.答案：−92<2a +3b <132解析：解：2a +3b =m(a +b)+n(a −b)，∴{m +n =2m −n =3∴m =52，n =−12.∴2a +3b =52(a +b)−12(a −b)． ∵−1<a +b <3，2<a −b <4，∴−52<52(a +b)<152，−2<−12(a −b)<−1， ∴−92<52(a +b)−12(a −b)<132即−92<2a +3b <132． 故答案为：−92<2a +3b <132．把2a +3b 设为m(a +b)+n(a −b)，解出m ，n ，回代，然后利用不等式的性质，求出2a +3b 的取值范围．本题考查不等式及其不等关系，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．21.答案：解：(1)因为a =0，所以B ={x|x 2−4=0}={2,−2}，所以A ∪B ={−2,−1,2}．(2)因为a =3，所以B ={x|x 2−3x −4=0}={−1,4}，所以A ∩B ={−1}．解析：本题考查了交、并集运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．属于基础题．(1)求出集合B ，再利用并集运算即可求解；(2)求出集合B ，再利用交集运算即可求解．22.答案：解：(1)根据题意，f(x)为奇函数；证明：1+x 1−x >0⇒−1<x <1，所以f(x)定义为(−1,1)，关于原点对称；任取x ∈(−1,1)，则f(−x)+f(x)=log 21−x 1+x +log 21+x 1−x =log 2(1−x 1+x ⋅1+x 1−x )=log 21=0．则有f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数；(2)由(1)知−1<x <1，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12， 1+x 1−x−12=(2+2x)−(1−x)2(1−x)=3x+12(1−x)<0， 即3x+1x−1>0，∴x <−13或x >1，又由−1<x <1，则有−1<x <−13，综上，不等式解集为(−1,−13)解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；(2)根据题意，f(x)<−1⇒log 2(1+x)(1−x)<−1,即1+x 1−x <2−1=12，求出x 的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域． 23.答案：解：(1)因为f(x)对称轴为x =0若0≤a <b ，则f(x)在[a,b]上单调递减，所以f(a)=2b ，f(b)=2a ，于是{2b =−12a 2+1322a =−12b 2+132， 解得[a,b]=[1,3]．(2)若a <b ≤0，则f(x)在[a,b]上单调递增，所以f(a)=2a ，f(b)=2b ，于是{2a =−12a 2+1322b =−12b 2+132，方程两根异号， 故不存在满足a <b ≤0的a ，b ．(3)若a <0<b ，则f(x)在[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，所以2b =132⇒b =134． 所以f(b)=−12⋅(134)2+132=1932>0， 又a <0，所以2a ≠1932，故f(x)在x =a 处取得最小值2a ，即2a =−12a 2+132，得a =−2−√17，所以[a,b]=[−2−√17,134]．综上所述，[a,b]=[1,3]或[−2−√17,134]．解析：求出二次函数的对称轴，通过对区间与对称轴x =0的位置关系分三类，求出二次函数f(x)的最值，列出方程组，求出a ，b 的值．解决二次函数在区间上的单调性、最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，根据对称轴与区间的关系来解决．24.答案：解：(1)由f(x)=2x −1得x =log 2(y +1)，即f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1) g(x)=f −1(x −1)=log 2x ，(x >0)∴函数y =2f −1(x)−g(x)=2log 2(x +1)−log 2x =log 2(x+1)2x =log 2x 2+2x+1x =log 2(x +1x +2)， ∵x >0，∴x +1x +2≥4，当且仅当x =1时取等号，∴函数y =2f −1(x)−g(x)的最小值为：log 24=2．(2)由f −1(x)=log 2(x +1)(x >−1)得，函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)=2log 2(x +m +1)−log 2x …(8分)∴F(x)=log 2(x+m+1)2x =log 2[x +(m+1)2x +2(m +1)]，在区间[1,+∞)上是单调递增函数需满足：当x ≥1时，x +m +1>0，即m >−2…(10分)[|m +1|,+∞)⊆[1，+∞)…(12分)，即|m +1|≤1⇔−2≤m ≤0，…(13分)，∴−2<m ≤0…(14分)解析：(1)求出原函数的反函数，然后推出函数y =2f −1(x)−g(x)的表达式，即可求解其最小值；(2)利用(1)函数的解析式，通过化简表达式，利用函数F(x)=2f −1(x +m)−g(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数，转化不等式，然后求实数m 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，反函数以及对数函数基本不等式以及函数单调性的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．25.答案：5解析：【分析】本题考查集合的新定义，属于基础题型，理解题意是关键．【解答】解：∵A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，∴A+B={2,3，4，5}故集合A+B中元素的最大值是5；故答案为5．。