北师大版二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质【例3】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01>Θ ∴当3-=x 时， 7min -=y函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【例4】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。
103)5(232=-⨯-=-a b Θ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x 05<-Θ ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=maz y函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例3 (2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22≠-++=a ab ac a b x a y【二次函数题型总结】 1.关于二次函数的概念例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。
例 2抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。
2.关于二次函数的性质及图象例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号为 ，例 4 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ）（A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例5 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y（C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).-1OX=1YX3o-13 y例7 如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y抛物线cbxaxy++=2经过B、C、D三点，求它的解析式；642-6510DOCA B【练习题】一、选择题1. 二次函数247y x x=--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线22y x=-向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)y x=-+ B. 22(1)y x=-- C. 221y x=-+ D. 221y x=--3.函数2y kx k=-和(0)ky kx=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当1x=和3x=时,函数值相等;③40a b+=④当2y=-时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程20ax bx c++=的两个根分别是121.3x x==和（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
北师大二次函数知识点总结
北师大二次函数知识点总结二次函数作为高中数学中的重要内容之一，是函数学习的基础。
下面将对北师大的二次函数知识点进行总结。
一、二次函数的定义和特点二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
它的图像是抛物线。
1. 二次函数的图像特点：- 开口方向：若a > 0，抛物线开口向上；若a < 0，抛物线开口向下。
- 顶点坐标：顶点的横坐标x = -b / (2a)，纵坐标y = f(x)。
- 对称轴：过顶点的直线，方程为x = -b / (2a)。
- 判别式：Δ = b² - 4ac，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程无实根。
2. 二次函数的变形：- 平移变形：对原函数y = ax² + bx + c，平移后的函数为y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为平移的距离。
- 缩放变形：对原函数y = ax² + bx + c，缩放后的函数为y = a(x - h)² + k，其中a为缩放参数。
二、二次函数的图像与解析式1. 根据解析式确定图像：- 当a > 0时，抛物线开口向上，顶点在y轴上方，图像开口向上。
- 当a < 0时，抛物线开口向下，顶点在y轴下方，图像开口向下。
2. 根据图像确定解析式：- 顶点坐标：(h, k)- 根据开口方向和对称性确定a的正负- 利用顶点坐标推导解析式三、二次函数的性质和应用1. 判别式的意义：- Δ > 0时，二次函数与x轴有两个交点，此时方程有两个不相等的实根。
- Δ = 0时，二次函数与x轴有一个交点，此时方程有两个相等的实根。
- Δ < 0时，二次函数与x轴没有交点，此时方程无实根。
2. 最值和最值点：- 最值点是二次函数的顶点，即极值点。
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
北师大版九年级数学下册第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件
想一想：抛物线 y = ax2 还可以怎样平移，平移 后会得到新的抛物线吗？
1 二次函数 y = a(x - h)2 的图象和性质
例1 画出二次函数 y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
x
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
2x2
32 18 8 2
yO
x
-4 -2
24
(1) 顶点都是最_高___点，函数都
-2
有最_大___值，都为__y_=__0__；y 1 x 1 2 -4
(2)
y
函数的增减性： 1 x 1 2 当 x＜-1
时，y
2
随
x
y
增大而增大
1 2
x
12
2
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
y 1 x 12
2
当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小
2(x - 1)2 50 32 18 8
02 20
8 18 32 0 8 18
你能发现 2(x - 1)2 与 2x2 的值有什么关系？
描点、连线，如图所示： 根据图象回答下列问题:
(1) 图象的形状都是 抛物线 ；
(2) 图形的开口方向 向上 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都 是 x = 0，x = 1 ；
(4) 从左到右顶点坐标分别是 _(_0_，__0_)_，__(_1_，__0_)___；
y = 2x2
y = 2(x - 1)2
(5) 顶点都是最_低___点，函数都有 y = 2x2 最__小__值，都为__y_=__0__； (6) 函数 y = 2(x - 1)2 的增减性 ：
数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质
XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程 关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为 两个一次方程的乘积，然后分别解这 两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根 ；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方 程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和 性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该 函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求 该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对 称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图 像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。
北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第四课时)
内容
二次函数的图象与性质（4）
教学
目标
1.掌握用配方法把二次函数一般式y=ax²+bx+c变形为顶点式的方法
2.体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性
3.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
教学
难点
能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决问题.
教学
重点
用配方法推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并能熟练运用公式求二次函数的对称轴和顶点坐标.
学生活动
温故而知新。为后面学习做铺垫。
独立思考，组内交流.达成共识
教
学
环
节
设
计
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
做一做，掌握方法
用配方法确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
活动二：
.
活动三：顶点坐标公式
因此二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线
用顶点坐标公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
学生活动
通过解决实际问题，体会数形结合的思想方法。
分享学习成果。培养学生的分析，表达能力，归纳能力理解掌握知识
学生独立完成，组内交流。达成共识。
分享二：
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.
2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
北师大版九年级数学下册课件：二次函数的图像与性质
例１５.若二次函数y=ax2＋bx＋c 的x与y的部分对应值如下表，则当ｘ＝１时，y的值为
例１６.已知二次函数 ，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，下列说法错误的是（ ）
例１７.已知抛物线 经过点 和（－ａ， y1 ），则y1的值是_________．
C
分析：用数形结合的思想解决问题．视察图象，在 y 轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，所以 y3＜y2＜y1.
也可以用特殊值法计算得到答案．
３.１． y=x2 ＋１与y=-x2 －１的图像与性质
１．向上向下平移２. 顶点坐标（０,１），（０.－１）
３.２． y=ａx2 ＋ｃ与y=-x2 ＋ｃ的图像与性质
A．
例12．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④ ， 则的大小关系为
13．如图，抛物线 的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），ａ－ｂ＋ｃ的值为————
例１４.如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
例１８.将抛物线 的解析式向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 ．
例１９.如果二次函数y=（-2k+4）x2-3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是________
k＜2
例２０.已知函数y=（k﹣2）xk²﹣4k+5+2x是关于x的二次函数．求：（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
Ｋ＝１或ｋ＝３
例２１.已知抛物线y= +mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
二次函数的图象与性质 北师大版九年级数学下册
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
m2 2
的开口向上，则m的值为（
D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
m2 2
【详解】解：∵抛物线 y (m 1) x
的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
）
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，
故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此
m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．