2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2.已知向量、、，若且与不平行，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.3.如图已知A（4，0）、B（0，4）、O（0，0），若光线L从点P（2，0）射出，直线AB反射后到直线OB上，在经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（）A.B.C.D.4.若数列{a n}满足且，则a2018为（）A. B. C. 0 D. 1二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.写出直线2x+y+1=0的一个法向量=______．6.二元一次方程的增广矩阵为______．7.若，，，，则=______．8.行列式中，6的代数余子式的值是______．9.若向量，，，，，且，则x=______．10.若直线l的一个方向向量，，则l与直线x-y+1=0的夹角为______．11.已知数列{a n}是以1首项的等比数列，其各项和S=2，则{a n}的公比q=______．12.已知P1=（-1，1）、P2=（2，3），若P在P1P2的长线上，且，则点P的坐标为______．13.已知向量，，且，则在投影为______．14.若直线l经过点M（-2，1），且以A（0，-3）、B（-1，4）为端点的线段相交，则直线l倾斜角的取值范围是______．15.如图，在△OAB中，，若点M分所成的比为2：1，若点N分所成的比为3：1，OM和BN交于点P，则可用、表示为______．16.平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.设常数m R，利用行列式解关于x、y的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论：18.已知，，是与方向相同的单位向量，是与垂直的单位向量．（1）求；（2）求与的夹角大小．19.已知直线l上两个点A（0，3）、C（3，0），其中O为坐标原点．（1）若，求点D的坐标，并确定点D与直线l的位置关系；（2）已知点B是直线l上的一点，求证：若存在实数m、n，使向量，则m+n=1．20.已知，，且a1=2．（1）求a2：a3；（2）求{a n}的通项公式；（3）设{a n}的前n项和为S n，求{S n+1-S n}的前n项和．标系中，已知AB=BO=1，AB⊥BO，点P，是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成△AMN，设直线MN的斜率为k，问：（1）求直线MN的方程；（2）若△OMP的面积为S△OMP，求f（k）=S△OMP的表达式；（3）若S为△AMN的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式S2≥m（1-2S）有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中，∵1×2+2×（-1）=0，∴直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直．故选：B．利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0，得到两直线垂直．本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵•=•=1，∴A正确；∵•（+）=•+•，∴C正确；∵（）•=λ（•）=•（），∴D正确．故选：B．数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律．本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：由题意知y=-x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，∴P2A⊥OA；点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b），∴，解得a=4，b=2，∴直线MN：，即x-3y+2=0，联立，得x=，y=，∴直线PM：，即光线L所在的直线方程为y=3x-6．故选：D．点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b）列方程组求出a=4，b=2，从而求出直线MN：x-3y+2=0，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：设a n=tanθn，而==，∴=，即，则==tanθn=a n．∴a2018=a12×168+2=a2=．故选：A．设a n=tanθn，而==，可得，得到a n+12=a n，再由周期性求解．本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档题．5.【答案】（2，1）【解析】解：化直线2x+y+1=0的方程为斜截式y=-2x-1，∴直线的斜率为-2，∴直线的一个方向向量为（1，-2），∴直线的一个法向量为（2，1）．故答案为：（2，1）．化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求．本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．6.【答案】【解析】解：二元一次方程的增广矩阵．故答案为：．根据二元一次方程组求得增广矩阵即可．本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：，则=2+1=3．故答案为：3．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查计算能力．8.【答案】6【解析】解：6的代数余子式A23=-=-（1×8-2×7）=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A23=-，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．9.【答案】0或-3【解析】解：∵；∴x（x+1）+2x=0；∴x2+3x=0；∴x=0或-3．故答案为：0或-3．根据即可得出x（x+1）+2x=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．10.【答案】15°【解析】解：∵直线l的一个方向向量，∴直线l的斜率为=，故l的倾斜角为60°．又直线x-y+1=0的斜率为1，故直线x-y+1=0的倾斜角为45°故l与直线x-y+1=0的夹角为60°-45°=15°，故答案为：15°．先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由题意可得，=2，|q|＜1且q≠01=2（1-q），∴q=．故答案为：．由无穷等比数列{a n}的各项和为2，列出方程求解即可．本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.【答案】（，）【解析】解：由于P在P1P2的延长线上，且，则：，所以：λ=-3，由于：P1=（-1，1）、P2=（2，3），则：设P（x，y），则：x=，y=，故：P（）．故答案为（）首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式求出结果．本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】【解析】解：∵，∴--2=5，∴=-4，∴==，∴==，即在上的投影为．故答案为：．由，得=-4，得==．本题考查了平面向量数量积的运算，求得=-4是关键，是基础题目．14.【答案】[0，arctan3]∪[π-rac tan2，π）【解析】解：k MA=，k MB=，∵直线l与A（0，-3）、B（-1，4）为端点的线段相交，∴直线l的斜率k满足-2≤k≤3．∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．故答案为：[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．利用斜率计算公式即可求出答案．本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】+【解析】解：根据题意得，O，P，M三点共线，∴=λ=λ（+）=λ（+）=+λ①又B，P，N三点共线，∴=μ=μ（-）=μ（-）=μ，=μ+（1-μ）②由①②得=μ，=1-μ，∴μ=，λ=，∴=+．运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题．本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用．16.【答案】【解析】解：设=（x 1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|-|=2，∴=2，化为（y1-y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+yy2=2-（-y1）y2≥2-（）2=，当且仅当-y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：2=3，分别设设=（x只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：D==2×1-m（m+1）=（m+2）（1-m），D x==-m-2，D y==（2+m）（2-m），（1）当m≠-2，m≠1时，D≠0，原方程组有唯一组解，即，（2）当m=1时，D=0，D x=-3≠0，原方程组无解；（3）当m=-2时，D=0，D x=0，D y=0，原方程组有无穷组解．【解析】先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，D x，D y，下面对m的值进行分类讨论：（1）当m≠-2，m≠1时，（2）当m=1时，（3）当m=-2时，分别求解方程组的解即可．本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．18.【答案】解：（1）已知，，则：，是与方向相同的单位向量，则：=（，），（2）是与垂直的单位向量．故：，或，，所以：当，时，=，解得：当，时，=，解得：，故：．【解析】（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：根据题意得，（1）=（0，3）+（3，0）=（0，1）+（4，0）=（4，1）∴点D的坐标为（4，1）又∵+≠1∴点D不在直线l上；（2）∵点B是直线l上的一点=λ=λ（-）∴-=λ-λ∴=+（1-λ）∴由=m+n得m=1-λ；n=λ∴m+n=1-λ+λ=1∴命题得证．【解析】（1）运用平面向量的坐标表示可得结果；（2）运用平面向量基本定理可得结果．本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算．20.【答案】解：（1）由于，可得为奇数为偶数，由于，所以当n=1时，a1+2a2=-1，由于a1=2，解得，当n=2时，2a2+a3=5，解得a3=8；（2）当n为奇数时，，当n为偶数时，，可得n为奇数时，a n+1+2n+1-a n+2=1-2n，即有a n+2-a n=3•2n，由a3-a1=3•2，a5-a3=3•23，…，a n-a n-2=3•2n-2，累加可得a n-a1=3（2+23+…+2n-2）=3•=2n-2，即有a n=2n（n为奇数），当n为偶数时，a n=（1+2n）-2n=-2n-1，综上可得a n=，为奇数，为偶数；（3）{a n}的前n项和为S n，当n为偶数时S n=（2+23+…+2n-1）+•-（2+23++…+2n-1）=，当n为奇数时，S n=S n-1+a n=+2n，当n为偶数时，S n+1-S n=a n+1=2n+1，{S n+1-S n}的前n项和=a2+a3+…+a n+1=-（2+23++…+2n-1）+（23+25+…+2n+1）=-2+2n+1；当n为奇数时，{S n+1-S n}的前n项和=-2+2n+2n=-2+2n+1．综上可得，当n为奇数时，所求和为-2+2n+1，当n为偶数时，所求和为-2+2n+1．【解析】（1）令n=1，2，结合数列的递推式计算可得所求值；（2）讨论n为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（3）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）依题意有直线MN的方程为：y-（2）∵AB⊥OB，AB=OB=1∴直线OA方程为：y=x∴直线AB方程为：x=1由得M（，）∵∴k或k＞1又由得N（1，）∵∴即-由弦长公式可得OM=点P到直线OM的距离为d==（-）∴△（3）易得S△AMN=设t=4（1-k）+（-）由“对勾”函数性质可得4∴△又S2≥m（1-2S）且m∴=，S，∵的最小值为∴m≤【解析】（1）先利用点斜式求直线方程，（2）联立直线方程求出直线交点M点坐标，再用S△OPM=，（3）有解问题最值法，先分离变量m，S，再利用二次函数性质求函数最小值本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题．。
上海市控江中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
上海市控江中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位2． 已知命题:()(0xp f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >. 则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 3． 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24 4． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-25． 在下面程序框图中，输入44N =，则输出的S 的值是（ ）A ．251B ．253C ．255D ．260【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 6． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 7． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．8． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 9． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）A ．16cmB ．123cmC ．243cmD ．26cm10．设a ，b 为正实数，1122a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 11．执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A．四棱柱B．四棱锥C．三棱台D．三棱柱二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．14．已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 15．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年上海中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是．（只需填写一个）2．直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是．3．若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为．4．已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB 的长的最大值为．5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．6．抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝．7．已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝．8．已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝．9．若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为．10．已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|•|PF2|＝4，则的值为．11．已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是．12．在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，⊙O：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一2条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k 的值的集合为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（）A．上B．y2＝|x|上C．上D．x2＝y上15．已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（）A．B．C．D．16．已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1+k2B．|k1﹣k2|C．k1•k2D．三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．（1）若l1与l2垂直，求m的值．（2）若l1与l2平行，求m的值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．（1）若P在线段AB上，求P的坐标．（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是（）．（只需填写一个）【解答】解：直线的整理得：3x﹣2y﹣3＝0，则k＝故非零向量为（），故答案为：（）2．直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是相交．【解答】解：根据圆心（0，0）到直线y＝2x+1的距离为＝，小于半径1，可得直线和圆相交，故答案为：相交．3．若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为﹣2．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程是（t∈R），其普通方程为y+1＝﹣2（x﹣2），其斜率k＝﹣2；故答案为：﹣24．已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB的长的最大值为．【解答】解：如图，圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为（1，2），半径为1，则线段AB的长的最大值为．故答案为：．5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【解答】解：根据题意知a＝2b，c＝又∵a2＝b2+c2∴a2＝4 b2＝1∴＝1故答案为：∴＝1．6．抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝2．【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以＝1，所以p＝2．故答案为：2．7．已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝4．【解答】解：该双曲线的一条渐近线方程为：，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y＝2x，又λ＞0，可以得出λ＝4．故答案为：4．8．已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝．【解答】解：椭圆的右焦点为F（3，0），过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，设A的纵坐标为q，可得，解得q＝．故答案为：．9．若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为[﹣2，2]．【解答】解：由，得（y≥0）．令t＝y﹣2x，得y＝2x+t．联立，得8x2+4tx+t2﹣4＝0．由△＝16t2﹣32（t2﹣4）＝128﹣16t2＝0，得t＝．如图，又当直线t＝y﹣2x过（1，0）时t＝﹣2，∴y﹣2x的取值范围为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．10．已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|•|PF2|＝4，则的值为0．【解答】解：F1（﹣，0），F2（，0）是Γ的左右焦点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a＝2，又mn＝4，可得m2+n2＝12+2mn＝12+8＝20，而|F1F2|2＝4c2＝20，即有|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，可得PF1⊥PF2，即＝0．故答案为：0．11．已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是6．【解答】解：如图所示：由题意设P坐标（x，4x2），△OPA是等腰三角形分3种情况：①OP＝OA时：x2+16x4＝4，即：16x2+x2﹣4＝0，x2有一个值，所以x有2个值，即有2个p点符合条件；②OP＝AP，x2+16x4＝x2+（4x2﹣2）2，解得：x2＝，同①符合条件的P有2个；③OA＝AP：4＝x2+（4x2﹣2）2解得：x2＝，也有2个点，综上符合条件的P点共有6个；故答案为：6．12．在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，⊙O：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一2条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k 的值的集合为{2}．【解答】解：根据题意，直线l为过原点且斜率为k的直线，则直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0；⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，其圆心为（2，2），⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，其圆心为（﹣3，﹣3）；两圆的圆心不会同时在直线l上，若两张纸上阴影部分的面积相等，则两圆的圆心O1、O2在直线l的两侧且两圆圆心到直线l的距离相等，则有，解可得k＝2；故k的值的集合为{2}；故答案为：{2}．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2+y2+Dx+Ey+F＝0等价为（x+）2+（y+）2＝，若方程表示圆，则D2+E2﹣4F＞0，即“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的充要条件，故选：A．14．在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（）A．上B．y2＝|x|上C．上D．x2＝y上【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，图形是抛物线开口向右，顶点在坐标原点，对称轴为x轴，所以G中的点都落在曲线y2＝|x|上．故选：B．15．已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π），变形可得+y2＝1，（0≤x≤2，﹣1≤y≤1），其图形为椭圆+y2＝1的右半部分；故选：B．16．已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1+k2B．|k1﹣k2|C．k1•k2D．【解答】解：A（﹣2，0）、B（2，0）是双曲线的左、右顶点，设P（m，n），可得﹣＝1，即有＝，k1k2＝•＝＝．故选：C．三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．（1）若l1与l2垂直，求m的值．（2）若l1与l2平行，求m的值．【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．若l1与l2垂直，必有m+3（m﹣2）＝0，解可得m＝；（2）直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0，若l1与l2平行，必有m（m﹣2）＝1×3＝3，解可得：m＝﹣1或3，当m＝﹣1时，直线l1：﹣x+3y﹣1＝0，l2：x﹣3y+1＝0，两条直线重合，不合题意；当m＝3时，直线l1：3x+3y﹣1＝0，l2：x+y+1＝0，两条直线平行，符合题意；故m＝3．18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．（1）若P在线段AB上，求P的坐标．（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．【解答】解：（1）根据题意，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），若P在线段AB上，则P在x轴上，设P的坐标为（x，0），且﹣1≤x≤1，又由，即|PA|＝2|PB|，则有（x+1）＝2（1﹣x），解可得：x＝，故P的坐标为（，0）；（2）证明：根据题意，设P的坐标为（x，y）；若，即|PA|＝2|PB|，则有（x+1）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得：x2+y2﹣x+1＝0，其表示一个圆；故点P总落在一个定圆上，且该圆的方程为x2+y2﹣x+1＝0．19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．【解答】解：（1）由抛物线方程可得，准线方程为：x＝﹣1；直线l的倾斜角为30时，直线l的方程为：y＝（x﹣2），与准线联立得：x＝﹣1，y＝﹣，所以l与抛物线C的准线的交点坐标为：（﹣1，﹣）；（2），设A（x，y），B（x'，y'），显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为：x＝my+2，代入抛物线方程得：y2﹣4my﹣8＝0，y+y'＝4m，yy'＝﹣8，所以弦长|AB|＝•|y﹣y'|＝•＝•＝4，∵m2≥0，所以当m2＝0时，弦长|AB|最小值为4，这时直线l的方程为：x＝2．20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为y＝﹣x和y＝x，即有tanθ＝||＝2，且0＜θ＜，由＝2，sin2θ+cos2θ＝1，解得cosθ＝；（2）设D（x0，y0），可得2x02﹣y02＝4，点N（x，y）满足，可得N为BD的中点，由点B的坐标为，可得2x＝1+x0，2y＝+y0，即x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣，则2（2x﹣1）2﹣（2y﹣）2＝4，可得N的轨迹方程为2（x﹣）2﹣（y﹣）2＝1；（3）设过点B的动直线l的方程为y﹣＝k（x﹣1），代入双曲线方程2x2﹣y2＝4，可得（2﹣k2）x2﹣2k（﹣k）x﹣4﹣（﹣k）2＝0，k ≠±，由△＝4k2（﹣k）2+4（2﹣k2）（4+（﹣k）2）＞0，解得﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝，即有PQ的中点M（，），可得直线AM的斜率为k AM＝＝，由﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，可得k AM∈（﹣4﹣3，﹣）∪（﹣，﹣）．21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得倒椭圆C2的x轴或y轴，对称中心（0，0），∵＝1﹣∈（0，1），∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；（2）设P（x0，y0），代入倒椭圆中：＝1，∴4y02+x02＝x02y02且x0y0≠0，则A（x0，0），B（0，y0），所以直线AB的方程为：，代入椭圆C1得：（x02+4y02）x2﹣8x0y02x+4x02（y02﹣1）＝0，则△＝64x02y04﹣16（x02+4y02）x02（y02﹣1）＝﹣16x02（x02y02﹣x02﹣4y02）＝0，所以直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）设直线l上任意一点Q（m，n），若Q是l与椭圆的C1的公共点，则1＝≥2，∴|mn|≤1，也即Q不是l与椭圆C1的公共点时，则必有|mn|＞1，同理，若Q是与倒椭圆C2的公共点时则1＝≥2∴|mn|≥4，所以Q若不是直线l与倒椭圆的公共点时，|mn|＜4，从而得Q不是直线l与C1，C2的公共点时则必有1＜|mn|＜4，对于直线l上任意一点Q（m，n），mn＝0或mn∈R，不存在符合题意的直线l．。
上海市杨浦区控江中学2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一.填空题1．已知等比数列{a n}，a1=1，a4=﹣8，则S7=．2．线性方程组的增广矩阵是．3．已知向量=（2，），则向量的单位向量=．4．已知向量=（3，2），=（﹣12，x﹣4），且∥，则实数x=．5．已知a n=，n∈N*，则a n=．6．已知向量=（cosα，0），=（1，sinα），则|+|的取值范围为．7．已知平面内三点A（3，0）、B（2，2）、C（5，﹣4），则向量与的夹角为．8．已知数列{a n}满足a n=，且a1=2，则a n=．+19．已知不同的三点A，B，C在一条直线上，且=a5+a2012，则等差数列{a n}的前2016项的和等于．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n=（n+1）a n，则a n=．+111．若数列{a n}是首项为，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值为．12．以AB为直径的半圆，||=2，O为圆心，C是上靠近点A的三等分点，F是上的某一点，若∥，则•=．13．把数列{}的所有数按照从大到小的原则写成如表数表：第k行有2k﹣1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（11，4）=．14．点O在△ABC内部，且满足4+5+6=，则△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为二.选择题15．用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（）A．B．C．D．16．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±217．已知a＞0，b＞0，若，则a+b的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．1018．已知点A，B，C，D是直角坐标系中不同的四点，若=λ（λ∈R），=μ（μ∈R），且+=2，则下列说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上三.解答题19．已知向量=（1，2），=（x，1）；（1）若（+2）⊥（2﹣）时，求x的值；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求x的取值范围．20．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S n；（1）若S3=3，S6=﹣21，求公比q；（2）若q＞0，且T n=a1+a3+…+a2n，求．﹣1=﹣a n2+2a n，n∈N*，且a1=0.9，令b n=lg（1﹣a n）；21．已知数列{a n}满足a n+1（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{}各项和．22．设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点列A n、B n（n∈N*）分别满足下列两个条件：①=且=+；②=4且=×4；（1）写出及的坐标，并求出的坐标；（2）若△OA n B n的面积是a n，求a n（n∈N*）的表达式；+1（3）对于（2）中的a n，是否存在最大的自然数M，对一切n∈N*都有a n≥M成立？若存在，求出M，若不存在，说明理由．2016-2017学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知等比数列{a n}，a1=1，a4=﹣8，则S7=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设出等比数列的公比，由a1和a4的值求出q，直接代入等比数列的前n项和公式求S7．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a4=﹣8，得：a4=a1q3=1×q3=﹣8，所以，q=﹣2．则S7==．故答案是：．2．线性方程组的增广矩阵是．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．【解答】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故答案为．3．已知向量=（2，），则向量的单位向量=．【考点】单位向量．【分析】利用向量的单位向量=，即可得出．【解答】解：向量的单位向量===．故答案为：．4．已知向量=（3，2），=（﹣12，x﹣4），且∥，则实数x=﹣4．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴﹣12×2﹣3（x﹣4）=0，解得x=﹣4．故答案为：﹣4．5．已知a n=，n∈N*，则a n=1．【考点】数列的极限．【分析】利用数列的极限求解即可．【解答】解：a n=，n∈N*，则a n===1．故答案为：1．6．已知向量=（cosα，0），=（1，sinα），则|+|的取值范围为[0，2] ．【考点】三角函数的最值；平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的模化简，通过三角函数求解表达式的最值．【解答】解：向量=（cosα，0），=（1，sinα），则|+|==∈[0，2]．故答案为：[0，2]．7．已知平面内三点A（3，0）、B（2，2）、C（5，﹣4），则向量与的夹角为π．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出的坐标，容易得到，这样即可得出，的夹角．【解答】解：；∴；∴与方向相反；∴的夹角为π．故答案为：π．8．已知数列{a n }满足a n +1=，且a 1=2，则a n = ﹣2 ．【考点】数列的极限．【分析】可设a n +1﹣t=（a n ﹣t ），解得t=﹣2，则a n +1+2=（a n +2），运用等比数列的通项公式，可得数列{a n }的通项公式，再由数列极限公式，即可得到所求值．【解答】解：a n +1=，可设a n +1﹣t=（a n ﹣t ）， 解得t=﹣2，则a n +1+2=（a n +2），可得a n +2=（a 1+2）•（）n ﹣1， =4•（）n ﹣1，即a n =4•（）n ﹣1﹣2，则a n =[4•（）n ﹣1﹣2]=0﹣2=﹣2． 故答案为：﹣2． 9．已知不同的三点A ，B ，C 在一条直线上，且=a 5+a 2012，则等差数列{a n }的前2016项的和等于 1008 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】不同的三点A ，B ，C 在一条直线上，且=a 5+a 2012，可得a 5+a 2012=1．可得a 1+a 2016=a 5+a 2012．再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：不同的三点A ，B ，C 在一条直线上，且=a 5+a 2012， ∴a 5+a 2012=1．∴a 1+a 2016=a 5+a 2012=1．则等差数列{a n }的前2016项的和==1008．故答案为：1008．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n=（n+1）a n+1，则a n=．【考点】数列递推式．【分析】a1=2且S n=（n+1）a n+1，n≥2时，S n﹣1=na n，可得：a n+1=a n．即可得出．【解答】解：a1=2且S n=（n+1）a n+1，n≥2时，S n﹣1=na n，可得：S n﹣S n﹣1=na n，可得：a n=（n+1）a n+1﹣na n，∴a n+1=a n．∴a n=．故答案为：．11．若数列{a n}是首项为，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得：=a，化为：2a2﹣3a+1=0，解得a并验证即可得出．【解答】解：由题意可得：=a，化为：2a2﹣3a+1=0，解得a=1或，a=时，公比为0，舍去．∴a=1．故答案为：1．12．以AB为直径的半圆，||=2，O为圆心，C是上靠近点A的三等分点，F是上的某一点，若∥，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可以点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并连接OC，根据条件可得出∠COA=∠FOB=60°，并且OC=OF=1，这样即可求出点A，B，C，F的坐标，进而得出向量的坐标，从而得出的值．【解答】解：以O为原点，OB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系：连接OC，据题意，∠COA=60°；∴∠CAO=FOB=60°；且OC=OF=1；∴；∴；∴．故答案为：．13．把数列{}的所有数按照从大到小的原则写成如表数表：第k行有2k﹣1个数，第t行的第s个数（从左数起）记为A（t，s），则A（11，4）=．【考点】归纳推理．【分析】第k行有2k﹣1个数知每行数的个数成等比数列，要求A（t，s），先求A（t，1），就必须求出前t﹣1行一共出现了多少个数，根据等比数列求和公式可求，而由可知，每一行数的分母成等差数列，可求A（t，s），令t=11，s=4，可求A（11，4）．【解答】解：由第k行有2k﹣1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2，∴前t﹣1行共有=2t﹣1﹣1个数，∴第t行第一个数是A（t，1）==，∴A（t，s）=，令t=11，s=4，∴A（11，4）=．故答案为．14．点O在△ABC内部，且满足4+5+6=，则△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15：11【考点】向量在几何中的应用．【分析】可作，从而可得到，然后以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，并连接OE，设交BC于点N，这样画出图形，根据三角形的相似便可得出，进而便可求出的值，这样即可求出的值，从而得出△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比值．【解答】解：作，则；∴；∴；以为邻边作平行四边形OAED，连接OE，交BC于N，如图所示：；∴；根据三角形相似得，，；∴；∴；∴；∴；∴△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15：11．故答案为：15：11．二.选择题15．用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（）A．B．C．D．【考点】用数学归纳法证明不等式．【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．【解答】解：用数学归纳法证明，第一步应验证不等式为：；故选C．16．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±2【考点】等比数列的通项公式；函数的零点．【分析】利用根与系数的关系可得a4a8，再利用等比数列的性质即可得出．【解答】解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．∴a4＞0，a8＞0．由等比数列{a n}，，∴．由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．∴．17．已知a＞0，b＞0，若，则a+b的值不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】数列的极限．【分析】通过a＞b与a＜b，利用极限分别求出a与b的关系，然后求解a+b的值即可判断选项．【解答】解：当a＞b时，，可得=a，所以a+b＜2a=10．当a＜b时，，可得=b，所以a+b＜2b=10，综上，a+b的值不可能是10．故选D．18．已知点A，B，C，D是直角坐标系中不同的四点，若=λ（λ∈R），=μ（μ∈R），且+=2，则下列说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量共线定理得到A，B，C，D四点共线，再利用反证法求证，问题得以解决．【解答】解：由题意知=λ（λ∈R），=μ（μ∈R）且+=2，故A，B，C，D四点共线，若C是线段AB的中点，=，∴λ=，μ=0，不成立，A错误；同理，若D是线段AB的中点，=，∴λ=0，μ=，不成立，B错误；若C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，∴+＞2，与+=2矛盾，故C错误；若C，D不可能同时在线段AB的延长线上，假设M，N同时在线段AB的延长线上，则λ＞1．μ＞1，∴+＜2，与+=2矛盾，故假设不成立，所以C、D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．故选：D．三.解答题19．已知向量=（1，2），=（x，1）；（1）若（+2）⊥（2﹣）时，求x的值；（2）若向量与向量的夹角为锐角，求x的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）先写出和的坐标，根据（+2）⊥（2﹣）便有（+2）•（2﹣）=0，这样即可求出x值；（2）向量与向量的夹角为锐角时便有，，并且与不平行，这样便可建立关于x的不等式组，从而得出x的取值范围．【解答】解：（1），；∵；∴=（1+2x）（2﹣x）+12=0；解得x=﹣2，或；（2）若向量与向量的夹角为锐角，则，且，不平行；∴；∴x＞﹣2，且；∴x的取值范围为．20．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S n；（1）若S3=3，S6=﹣21，求公比q；，求．（2）若q＞0，且T n=a1+a3+…+a2n﹣1【考点】数列的极限．【分析】（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q；（2）分别运用等比数列的求和公式，求得S n，T n，再对公比q讨论：0＜q＜1，q=1，q＞1，由极限公式，即可得到所求值．【解答】解：（1）S3=3，S6=﹣21，可得q≠1，则=3，=﹣21，两式相除可得1+q3=﹣7，解得q=﹣2；（2）S n=，T n=a1+a3+…+a2n=．﹣1当q＞1时，==0；当0＜q＜1时，==1+q；当q=1时，==1．=﹣a n2+2a n，n∈N*，且a1=0.9，令b n=lg（1﹣a n）；21．已知数列{a n}满足a n+1（1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）求数列{}各项和．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）数列{a n }满足a n +1=﹣a n 2+2a n ，n ∈N *，变形为1﹣a n +1=，两边取对数可得：lg （1﹣a n +1）=2lg （1﹣a n ），可得：b n +1=2b n ．即可证明．（2）由（1）可得：b n =﹣2n ﹣1. =﹣．再利用无穷等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }满足a n +1=﹣a n 2+2a n ，n ∈N *，∴1﹣a n +1=，且a 1=0.9，1﹣a 1=0.1．对1﹣a n +1=两边取对数可得：lg （1﹣a n +1）=2lg （1﹣a n ）， ∵b n =lg （1﹣a n ），∴b n +1=2b n ．∴数列{b n }是等比数列，公比为2，首项为﹣1．（2）解：由（1）可得：b n =﹣2n ﹣1．=﹣．∴数列{}各项和===﹣2．22．设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点列A n 、B n （n ∈N *）分别满足下列两个条件：①=且=+；②=4且=×4；（1）写出及的坐标，并求出的坐标； （2）若△OA n B n +1的面积是a n ，求a n （n ∈N *）的表达式；（3）对于（2）中的a n ，是否存在最大的自然数M ，对一切n ∈N *都有a n ≥M 成立？若存在，求出M ，若不存在，说明理由．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的加法运算写出及的坐标，并求出的坐标；（2）A n （n ﹣1，n ），它满足直线方程y=x +1，因此点A n 在直线y=x +1上．=（1+1﹣+…+﹣）×4=×，即可求a n （n ∈N *）的表达式；（3）设t=n +1，（t ≥2，t ∈N +）则a n =4t +﹣6，a n =4t +﹣6≥3，即可得出结论．【解答】解：（1）=+=++=+2=（1，2），=2+3=（2，3）=（n﹣1）+n=（n﹣1，n）；（2）A n（n﹣1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点A n在直线y=x+1上．=（1+1﹣+…+﹣）×4=×，的面积a n==；∴△OA n B n+1（3）设t=n+1，（t≥2，t∈N）则a n=4t+﹣6，+y=4t+，则y′=4﹣＞0在[2，+∞）上恒成立，∴a n=4t+﹣6≥3，∵对一切n∈N*都有a n≥M成立，∴M≤3，∴M的最大值为3．2016年11月29日。
上海市控江中学20182019学年高二上期中质量调研数学试题解析版.docx
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 直线x +2y +2=0与直线2x -y +1=0的位置关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ ，若a ⃗ ⋅b ⃗ =1且a⃗ 与c ⃗ 不平行，则下列结论不正确的是（ ） A. b ⃗ ⋅a ⃗ =1 B. (a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ =a ⃗ (b ⃗ ⋅c ⃗ )C. a ⃗ (b ⃗ +c ⃗ )=a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗D. (λa ⃗ )b ⃗ =a ⃗ ⋅(λb ⃗ ) 3. 如图已知A （4，0）、B （0，4）、O （0，0），若光线L 从点P （2，0）射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为（ ） A. y =x −2 B. y =2x −4C. y =13x −23 D. y =3x −64. 若数列{a n }满足a 1=12且a n+1=n √3)1−(2−√3)a ，则a 2018为（ ）A. 5√3−63B. 1+3√25C. 0D. 1二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 写出直线2x +y +1=0的一个法向量n⃗ =______． 6. 二元一次方程{2x +y =0x+y=1的增广矩阵为______． 7. 若a ⃗ =(1，−1)，b ⃗ =(2，−1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______． 8. 行列式∣∣∣∣123456789∣∣∣∣中，6的代数余子式的值是______．9. 若向量a ⃗ =(x ，1)，b ⃗ =(−2x ，x +1)，x ∈R ，且a ⃗ ∥b⃗ ，则x =______． 10. 若直线l 的一个方向向量d⃗ =(1，√3)，则l 与直线x -y +1=0的夹角为______． 11. 已知数列{a n }是以1首项的等比数列，其各项和S =2，则{a n }的公比q =______．12.已知P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），若P 在P 1P 2的长线上，且|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点P 的坐标为______．13. 已知向量|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=2，且(a ⃗ −2b ⃗ )(a ⃗ +b ⃗ )=5，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 投影为______．14. 若直线l 经过点M （-2，1），且以A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是______．15. 如图，在△OAB 中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点M 分AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比为2：1，若点N 分OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比为3：1，OM 和BN 交于点P ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可用a ⃗ 、b ⃗ 表示为______．16. 平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，e ⃗ 满足|e ⃗ |=1，a ⃗ ⋅e ⃗ =1，b ⃗ ⋅e ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 设常数m ∈R ，利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论：{mx +y =22x+(m+1)y=m18. 已知a ⃗ =(3，−4)，b ⃗ 是与a⃗ 方向相同的单位向量，c ⃗ 是与a ⃗ 垂直的单位向量． （1）求b⃗ ； （2）求a ⃗ 与(b ⃗ −c ⃗ )的夹角大小．19. 已知直线l 上两个点A （0，3）、C （3，0），其中O 为坐标原点．（1）若OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系； （2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =1．20. 已知a n b n+1+b n a n+1=(−2)n +1，b n =3+(−1)n−12，n ∈N ∗且a 1=2．（1）求a 2：a 3；（2）求{a n }的通项公式；（3）设{a n }的前n 项和为S n ，求{S n +1-S n }的前n 项和．21.如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=1，AB⊥BO，点P(12，14)是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成△AMN，设直线MN的斜率为k，问：（1）求直线MN的方程；（2）若△OMP的面积为S△OMP，求f（k）=S△OMP的表达式；（3）若S为△AMN的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式S2≥m（1-2S）有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中，∵1×2+2×（-1）=0，∴直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直．故选：B．利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0，得到两直线垂直．本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵•=•=1，∴A正确；∵•（+）=•+•，∴C正确；∵（）•=λ（•）=•（），∴D正确．故选：B．数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律．本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：由题意知y=-x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，∴P2A⊥OA；点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b），∴，解得a=4，b=2，∴直线MN：，即x-3y+2=0，联立，得x=，y=，∴直线PM：，即光线L所在的直线方程为y=3x-6．故选：D．点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b）列方程组求出a=4，b=2，从而求出直线MN：x-3y+2=0，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：设a n=tanθn，而==，∴=，即，则==tanθn=a n．∴a2018=a12×168+2=a2=．故选：A．设a n=tanθn，而==，可得，得到a n+12=a n，再由周期性求解．本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档题．5.【答案】（2，1）【解析】解：化直线2x+y+1=0的方程为斜截式y=-2x-1，∴直线的斜率为-2，∴直线的一个方向向量为（1，-2），∴直线的一个法向量为（2，1）．故答案为：（2，1）．化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求．本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．6.【答案】(111)210【解析】解：二元一次方程的增广矩阵．故答案为：．根据二元一次方程组求得增广矩阵即可．本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：，则=2+1=3．故答案为：3．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查计算能力．8.【答案】6【解析】解：6的代数余子式A23=-=-（1×8-2×7）=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A23=-，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．9.【答案】0或-3【解析】解：∵；∴x（x+1）+2x=0；∴x2+3x=0；∴x=0或-3．故答案为：0或-3．根据即可得出x（x+1）+2x=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．10.【答案】15°【解析】解：∵直线l的一个方向向量，∴直线l的斜率为=，故l的倾斜角为60°．又直线x-y+1=0的斜率为1，故直线x-y+1=0的倾斜角为45°故l与直线x-y+1=0的夹角为60°-45°=15°，故答案为：15°．先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．11.【答案】12【解析】解：由题意可得，=2，|q|＜1且q≠01=2（1-q），∴q=．故答案为：．由无穷等比数列{a n}的各项和为2，列出方程求解即可．本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.【答案】（7，4）2【解析】解：由于P在P1P2的延长线上，且，则：，所以：λ=-3，由于：P1=（-1，1）、P2=（2，3），则：设P（x，y），则：x=，y=，故：P（）．故答案为（）首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式求出结果．本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】√5【解析】解：∵，∴--2=5，∴=-4，∴==，∴==，即在上的投影为．故答案为：．由，得=-4，得==．本题考查了平面向量数量积的运算，求得=-4是关键，是基础题目．14.【答案】[0，arctan3]∪[π-rac tan2，π）【解析】解：k MA=，k MB=，∵直线l与A（0，-3）、B（-1，4）为端点的线段相交，∴直线l的斜率k满足-2≤k≤3．∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．故答案为：[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．利用斜率计算公式即可求出答案．本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】310a⃗+35b⃗【解析】解：根据题意得，O，P，M三点共线，∴=λ=λ（+）=λ（+）=+λ①又B，P，N三点共线，∴=μ=μ（-）=μ（-）=μ，=μ+（1-μ）②由①②得=μ，=1-μ，∴μ=，λ=，∴=+．运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题．本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用．16.【答案】54【解析】解：设=（x 1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y 1），=（2，y2）．∵|-|=2，∴=2，化为（y1-y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y 1y2=2-（-y1）y2≥2-（）2=，当且仅当-y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：分别设设=（x1，y1），=（x2，y2），=（1，0），由题意可得化为（y1-y2）2=3，只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：D=∣∣∣2m+1m1∣∣∣=2×1-m（m+1）=（m+2）（1-m），D x=∣∣∣m m+121∣∣∣=-m-2，D y=∣∣∣2mm2∣∣∣=（2+m）（2-m），（1）当m ≠-2，m ≠1时，D ≠0，原方程组有唯一组解，即{x =1m−1y =m−2m−1， （2）当m =1时，D =0，D x =-3≠0，原方程组无解；（3）当m =-2时，D =0，D x =0，D y =0，原方程组有无穷组解．【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当m≠-2，m≠1时，（2）当m=1时，（3）当m=-2时，分别求解方程组的解即可．本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．18.【答案】解：（1）已知a ⃗ =(3，−4)，则：|a⃗ |=5， b ⃗ 是与a⃗ 方向相同的单位向量， 则：b ⃗ =a ⃗ |a ⃗ |=（35，−45）， （2）c⃗ 是与a ⃗ 垂直的单位向量． 故：c ⃗ =(45，35)或(−45，−35)， 所以：当c ⃗ =(45，35)时，cosθ=a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )|a ⃗ ||b ⃗ −c ⃗ |=√22， 解得：θ=π4当c⃗ =(−45，−35)时，cosθ=a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )|a ⃗ ||b ⃗ −c ⃗ |=√22， 解得：θ=π4，故：θ=π4．【解析】（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：根据题意得，（1）OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13（0，3）+43（3，0）=（0，1）+（4，0）=（4，1）∴点D 的坐标为（4，1）又∵13+43≠1∴点D 不在直线l 上；（2）∵点B 是直线l 上的一点AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ +（1-λ）OA ⃗⃗⃗⃗⃗∴由OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得m =1-λ；n =λ∴m +n =1-λ+λ=1∴命题得证．【解析】（1）运用平面向量的坐标表示可得结果；（2）运用平面向量基本定理可得结果． 本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算．20.【答案】解：（1）由于b n =3+(−1)n−12， 可得b n ={2(n 为奇数)1(n 为偶数)， 由于a n b n+1+b n a n+1=(−2)n +1，所以当n =1时，a 1+2a 2=-1，由于a 1=2，解得a 2=−32，当n =2时，2a 2+a 3=5，解得a 3=8；（2）当n 为奇数时，a n +2a n+1=−2n +1，当n 为偶数时，2a n +a n+1=2n +1，可得n 为奇数时，a n +1+2n +1-a n +2=1-2n ，即有a n +2-a n =3•2n ，由a 3-a 1=3•2，a 5-a 3=3•23，…，a n -a n -2=3•2n -2，累加可得a n -a 1=3（2+23+…+2n -2）=3•2(1−4n−12)1−4=2n -2，即有a n =2n （n 为奇数），当n 为偶数时，a n =12（1+2n ）-2n =12-2n -1，综上可得a n ={2n ，n 为奇数12−2n−1，n 为偶数； （3）{a n }的前n 项和为S n ，当n 为偶数时S n =（2+23+…+2n -1）+12•n 2-（2+23++…+2n -1）=n 4，当n 为奇数时，S n =S n -1+a n =n−14+2n ，当n 为偶数时，S n +1-S n =a n +1=2n +1，{S n +1-S n }的前n 项和=a 2+a 3+…+a n +1=n 4-（2+23++…+2n -1）+（23+25+…+2n +1）=n 4-2+2n +1；当n 为奇数时，{S n +1-S n }的前n 项和=n−14-2+2n +2n =n−14-2+2n +1． 综上可得，当n 为奇数时，所求和为n−14-2+2n +1，当n 为偶数时，所求和为n 4-2+2n +1．【解析】（1）令n=1，2，结合数列的递推式计算可得所求值；（2）讨论n 为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（3）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）依题意有直线MN 的方程为：y -14=k(x −12)（2）∵AB ⊥OB ，AB =OB =1∴直线OA 方程为：y =x∴直线AB 方程为：x =1由{y −14=k(x −12}y =x得M （2k−14k−4，2k−14k−4） ∵2k−14k−4≥0∴k ≤12或k ＞1又由{y −14=k(x −12)x =1得N （1，2k+14） ∵2k+14≥0∴k ≥−12即-12≤k ≤12由弦长公式可得OM =√1+k 22k−14k−4点P 到直线OM 的距离为d =14√1+k 2 ∴S △OPM =12OM ⋅d =2k−132(k−1) （-12≤k ≤12）（3）易得S △AMN =132[4(1−k)+11−k +4]设t =4（1-k ）+11−k （-12≤k ≤12）由“对勾”函数性质可得4≤t ≤203 ∴14≤S △AMN ≤13又S 2≥m （1-2S ）且13≤1−2S ≤12m ∴≤S 21−2S =1(1S −1)2−1，S ∈[14，13] ∵1(1s −1)2−1的最小值为18 ∴m ≤18【解析】（1）先利用点斜式求直线方程，（2）联立直线方程求出直线交点M 点坐标，再用S △OPM =，（3）有解问题最值法，先分离变量m ，S ，再利用二次函数性质求函数最小值本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题．。
上海市控江中学高二期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
控江中学高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 复数1i -的虚部是2. 两条异面直线所成角的取值范围是3. 若直线a 、b 与平面α所成的角相等，则直线a 、b 的位置关系是 （填“平行、相交、异面”中的一个或几个）4.计算：2021=5. 已知复数134i z =+，2i z t =+，且12z z ⋅是实数，则实数t =6. 如果实数x 、y 满足102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为7. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则点1A 到平面ADE 的距离为8. 正方形ABCD 在平面M 的同一侧，若A 、B 、C 三点到平面M 的距离分别是2、3、4，则直线BD 与平面M 的位置关系是9. 如图，Rt △ABC 的直角顶点A 在平面α内，BC ∥α，BC =，AB 、AC 与α分别成30°、45°角，则BC 与平面α的距离是 10. 已知12,z z C ∈，下列命题：（1）若22120z z +=，则120z z ==；（2）若||1z <，则11z -<<； （3）若12z z >，则120z z ->；（4）若0z z +=，则z 是纯虚数； 其中真命题的序号是11. 下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）12. 已知复数1z 、2z 满足1||1z ≤，21Re 1z -≤≤，1Im 1-≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积是二. 选择题13. 已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能14. 若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A. 若m ∥α，n α⊄，则m ∥n B. 若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥ C. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D. 若m αβ=，m n ⊥，则n α⊥15. 已知集合{||5i ||5i |8,}A z z z z C =+--=∈与{|||4,}B z z z C ==∈，则集合A B 中的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边 三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方 形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方 形ABCD 内的轨迹是（ ）A. B. C. D.三. 解答题17. 已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=. （1）若2m =，求此方程的解；（2）若方程的一个根α满足||2α=，求实数m 的值.18. 已知三种食品P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示，现将x 公斤的食品P 、y 公斤的食品Q 、z 公斤的食品R 混合，制成10公斤的混合物，如果这10公斤的混合物中至少含320单位的维生素A 与640单位的维生素B .（1）当1x =，2y =时，求10公斤混合物中维生素A 的总含量； （2）当x 、y 、z 为何值时，混合物的成本最小？19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，2AD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.（1）求直线FB 与平面ABCD 所成的角的余弦值； （2）求二面角F AE D --的大小（用反三角函数表示）.20. 已知虚数z 使得4m z z=+是实数. （1）求||z 的值； （2）求m 的取值范围；（3）若(2)(1i)z ++是纯虚数，求z 的值.21. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱AB 、AD 的中点. （1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；（2）连接AC ，与EF 交于点M ，点N 在线段1A C 上移动，求证：MN 与EF 保持垂直； （3）已知点G 是直线1A E 上一点，过直线11B D 和点G 的平面交平面1A EF 于直线GH ，试根据点G 的不同位置，判断直线11B D 与直线DH 的位置关系，并证明你的结论.参考答案一. 填空题1. 1-2. (0,]2π3. 平行、相交、异面4.1i 25.34 6. 727. 8. 平行9. 2 10. （3） 11. ①④⑤ 12. 12π+二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. B三. 解答题17.（1）1i x =±；（2）{0,8,4}m =-. 18.（1）310；（2）2x =，5y =，3z =.19.（1（2）20.（1）||2z =；（2）(4,4)-；（3）2i z =. 21.（1）3π；（2）证明略；（3）异面、相交.。
上海市控江中学2018-2019学年高二上期中质量调研数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.直线x +2y +2=0与直线2x -y +1=0的位置关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2.已知向量，若且与不平行，则下列结论不正确的是（ ）⃗a、⃗b、⃗c ⃗a ⋅⃗b=1⃗a ⃗c A. B.⃗b ⋅⃗a =1(⃗a ⋅⃗b )⃗c=⃗a (⃗b ⋅⃗c)C. D.⃗a (⃗b+⃗c)=⃗a ⋅⃗b+⃗a ⋅⃗c(λ⃗a )⃗b=⃗a⋅(λ⃗b)3.如图已知A （4，0）、B （0，4）、O （0，0），若光线L 从点P （2，0）射出，直线AB 反射后到直线OB 上，在经直线OB 反射回原点P ，则光线L 所在的直线方程为（ ）A. y =x ‒2B. y =2x ‒4C.y =13x ‒23D. y =3x ‒64.若数列{a n }满足且，则a 2018为（ ）a 1=12a n +1=a n +(2‒3)1‒(2‒3)a n A.B.C. 0D. 153‒631+325二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.写出直线2x +y +1=0的一个法向量=______．⃗n 6.二元一次方程的增广矩阵为______．{x +y =12x +y =07.若，则=______．⃗a=(1，‒1)，⃗b=(2，‒1)⃗a ⋅⃗b 8.行列式中，6的代数余子式的值是______．∣123456789∣9.若向量，且，则x =______．⃗a=(x ，1)，⃗b=(‒2x ，x +1)，x ∈R⃗a∥⃗b 10.若直线l 的一个方向向量，则l 与直线x -y +1=0的夹角为______．⃗d=(1，3)11.已知数列{a n }是以1首项的等比数列，其各项和S =2，则{a n }的公比q =______．12.已知P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），若P 在P 1P 2的长线上，且，则|⃗P 1P 2|=2|⃗P 2P|点P 的坐标为______．13.已知向量，且，则在投影为______．|⃗a|=3，|⃗b|=2(⃗a‒2⃗b)(⃗a+⃗b)=5⃗a ⃗a+⃗b 14.若直线l 经过点M （-2，1），且以A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是______．15.如图，在△OAB中，若点M 分所成⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b ⃗AB 的比为2：1，若点N 分所成的比为3：1，OM 和⃗OA BN 交于点P ，则可用表示为______．⃗OP ⃗a 、⃗b 16.平面向量满足，则的最小值为⃗a，⃗b，⃗e |⃗e|=1，⃗a ⋅⃗e=1，⃗b ⋅⃗e=2，|⃗a‒⃗b|=2⃗a⋅⃗b ______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.设常数m ∈R ，利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组，并对其解的情况进行讨论：{2x +(m +1)y =mmx +y =218.已知，是与方向相同的单位向量，是与垂直的单位向量．⃗a=(3，‒4)⃗b ⃗a ⃗c ⃗a （1）求；⃗b （2）求与的夹角大小．⃗a (⃗b‒⃗c)19.已知直线l 上两个点A （0，3）、C （3，0），其中O 为坐标原点．（1）若，求点D 的坐标，并确定点D 与直线l 的位置关系；⃗OD=13⃗OA +43⃗OC （2）已知点B 是直线l 上的一点，求证：若存在实数m 、n ，使向量，则m +n =1．⃗OB=m ⃗OA+n ⃗OC20.已知且a 1=2．a nb n +1+b n a n +1=(‒2)n+1，b n =3+(‒1)n ‒12，n ∈N ∗（1）求a 2：a 3；（2）求{a n }的通项公式；（3）设{a n }的前n 项和为S n ，求{S n +1-S n }的前n 项和．21.如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB =BO =1，AB ⊥BO ，点P是三角(12，14)板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形锯成△AMN ，设直线MN 的斜率为k ，问：（1）求直线MN 的方程；（2）若△OMP 的面积为S △OMP ，求f （k ）=S △OMP 的表达式；（3）若S 为△AMN 的面积，问是否存在实数m ，使得关于S 的不等式S 2≥m （1-2S ）有解，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中，∵1×2+2×（-1）=0，∴直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直．故选：B．利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0，得到两直线垂直．本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵•=•=1，∴A正确；∵•（+）=•+•，∴C正确；∵（）•=λ（•）=•（），∴D正确．故选：B．数量积满足交换律，分配律，数与向量的结合律，不满足向量与向量的结合律．本题考查了平面向量的数量积的运算规律，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：由题意知y=-x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM，∴P1，N，M，P2共线，∵∠P2AB=∠PAB=45°，∴P2A⊥OA；点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b），∴，解得a=4，b=2，∴直线MN：，即x-3y+2=0，联立，得x=，y=，∴直线PM：，即光线L所在的直线方程为y=3x-6．故选：D．点P关于y轴的对称点P1（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P2（a，b）列方程组求出a=4，b=2，从而求出直线MN：x-3y+2=0，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．本题考查直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：设a n=tanθn，而==，∴=，即，则==tanθn=a n．∴a2018=a12×168+2=a2=．故选：A．设a n=tanθn，而==，可得，得到a n+12=a n，再由周期性求解．本题考查数列递推式，考查数列的周期性，训练了两角和正切的应用，是中档题．5.【答案】（2，1）【解析】解：化直线2x+y+1=0的方程为斜截式y=-2x-1，∴直线的斜率为-2，∴直线的一个方向向量为（1，-2），∴直线的一个法向量为（2，1）．故答案为：（2，1）．化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，则答案可求．本题考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．6.【答案】(111 210)【解析】解：二元一次方程的增广矩阵．故答案为：．根据二元一次方程组求得增广矩阵即可．本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：，则=2+1=3．故答案为：3．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查计算能力．8.【答案】6【解析】解：6的代数余子式A23=-=-（1×8-2×7）=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A23=-，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．9.【答案】0或-3【解析】解：∵；∴x（x+1）+2x=0；∴x2+3x=0；∴x=0或-3．故答案为：0或-3．根据即可得出x（x+1）+2x=0，解出x即可．考查向量坐标的概念，向量平行时的坐标关系．10.【答案】15°【解析】解：∵直线l的一个方向向量，∴直线l的斜率为=，故l的倾斜角为60°．又直线x-y+1=0的斜率为1，故直线x-y+1=0的倾斜角为45°故l与直线x-y+1=0的夹角为60°-45°=15°，故答案为：15°．先求出两条直线的斜率，可得两条直线的倾斜角，进而得到两条直线的夹角．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．11.【答案】12【解析】解：由题意可得，=2，|q|＜1且q≠01=2（1-q ），∴q=．故答案为：．由无穷等比数列{a n }的各项和为2，列出方程求解即可．本题主要考查了等比数列的前n 项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n 项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n 项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．12.【答案】（）72，4【解析】解：由于P 在P 1P 2的延长线上，且，则：，所以：λ=-3，由于：P 1=（-1，1）、P 2=（2，3），则：设P （x ，y ），则：x=，y=，故：P （）．故答案为（）首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式求出结果．本题考查的知识要点：分点坐标的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】5【解析】解：∵，∴--2=5，∴=-4，∴==，∴==，即在上的投影为．故答案为：．由，得=-4，得==．本题考查了平面向量数量积的运算，求得=-4是关键，是基础题目．14.【答案】[0，arctan3]∪[π-rac tan2，π）【解析】解：k MA =，k MB =，∵直线l 与A （0，-3）、B （-1，4）为端点的线段相交，∴直线l 的斜率k 满足-2≤k≤3．∴直线l 的倾斜角的取值范围是[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．故答案为：[0，arctan3]∪[π-ractan2，π）．利用斜率计算公式即可求出答案．本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】+310⃗a 35⃗b【解析】解：根据题意得，O ，P ，M 三点共线，∴=λ=λ（+）=λ（+）=+λ①又B，P，N三点共线，∴=μ=μ（-）=μ（-）=μ，=μ+（1-μ）②由①②得=μ，=1-μ，∴μ=，λ=，∴=+．运用平面向量基本定理和三点共线的知识可解决此问题．本题考查三点共线的知识和平面向量基本定理的应用．16.【答案】5 4【解析】解：设=（x1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|-|=2，∴=2，化为（y1-y2）2=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y1y2=2-（-y1）y2≥2-（）2=，当且仅当-y1=y2=时取等号．∴则的最小值为．故答案为：分别设设=（x1，y1），=（x2，y2），=（1，0），由题意可得化为（y1-y2）2=3，只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可求答案．本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：D ==2×1-m （m +1）=（m +2）（1-m ），∣2m +1m1∣D x ==-m -2，∣m m +121∣D y==（2+m ）（2-m ），∣2m m 2∣（1）当m ≠-2，m ≠1时，D ≠0，原方程组有唯一组解，即，{x =1m ‒1y =m ‒2m ‒1（2）当m =1时，D =0，D x =-3≠0，原方程组无解；（3）当m =-2时，D =0，D x =0，D y =0，原方程组有无穷组解．【解析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，下面对m 的值进行分类讨论：（1）当m≠-2，m≠1时，（2）当m=1时，（3）当m=-2时，分别求解方程组的解即可．本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．18.【答案】解：（1）已知，⃗a=(3，‒4)则：，|⃗a |=5是与方向相同的单位向量，⃗b ⃗a 则：=（），⃗b =⃗a |⃗a |35，‒45（2）是与垂直的单位向量．⃗c ⃗a 故：，⃗c =(45，35)或(‒45，‒35)所以：当时，=，⃗c =(45，35)cosθ=⃗a ⋅(⃗b ‒⃗c )|⃗a ||⃗b ‒⃗c |22解得：θ=π4当时，=，⃗c =(‒45，‒35)cosθ=⃗a ⋅(⃗b ‒⃗c )|⃗a ||⃗b ‒⃗c |22解得：，θ=π4故：．θ=π4【解析】（1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：根据题意得，（1）=（0，3）+（3，0）=（0，1）+（4，0）⃗OD 1343=（4，1）∴点D 的坐标为（4，1）又∵+≠11343∴点D 不在直线l 上；（2）∵点B 是直线l上的一点=λ=λ（-）⃗AB ⃗AC ⃗OC ⃗OA ∴-=λ-λ⃗OB ⃗OA ⃗OC ⃗OA ∴=+（1-λ）⃗OB λ⃗OC ⃗OA∴由=m +n 得m =1-λ；n =λ⃗OB ⃗OA ⃗OC ∴m +n =1-λ+λ=1∴命题得证．【解析】（1）运用平面向量的坐标表示可得结果；（2）运用平面向量基本定理可得结果．本题考查平面向量基本定理和平面向量的坐标运算．20.【答案】解：（1）由于，b n =3+(‒1)n ‒12可得，b n ={2(n 为奇数)1(n 为偶数)由于，a nb n +1+b n a n +1=(‒2)n +1所以当n =1时，a 1+2a 2=-1，由于a 1=2，解得，a 2=‒32当n =2时，2a 2+a 3=5，解得a 3=8；（2）当n 为奇数时，，a n +2a n +1=‒2n +1当n 为偶数时，，2a n +a n +1=2n +1可得n 为奇数时，a n +1+2n +1-a n +2=1-2n ，即有a n +2-a n =3•2n ，由a 3-a 1=3•2，a 5-a 3=3•23，…，a n -a n -2=3•2n -2，累加可得a n -a 1=3（2+23+…+2n -2）=3•=2n -2，2(1‒4n ‒12)1‒4即有a n =2n （n 为奇数），当n 为偶数时，a n =（1+2n ）-2n =-2n -1，1212综上可得a n =；{2n ，n 为奇数12‒2n ‒1，n 为偶数（3）{a n }的前n 项和为S n ，当n 为偶数时S n =（2+23+…+2n -1）+•-（2+23++…+2n -1）=，12n 2n 4当n 为奇数时，S n =S n -1+a n =+2n ，n ‒14当n 为偶数时，S n +1-S n =a n +1=2n +1，{S n +1-S n }的前n项和=a 2+a 3+…+a n +1=-（2+23++…+2n -1）+（23+25+…+2n +1）n 4=-2+2n +1；n 4当n 为奇数时，{S n +1-S n }的前n项和=-2+2n +2n =-2+2n +1．n ‒14n ‒14综上可得，当n为奇数时，所求和为-2+2n +1，n ‒14当n 为偶数时，所求和为-2+2n +1．n 4【解析】（1）令n=1，2，结合数列的递推式计算可得所求值；（2）讨论n 为奇数和偶数，运用累加法和等比数列的求和公式，可得所求通项公式；（3）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：（1）依题意有直线MN的方程为：y -14=k (x ‒12)（2）∵AB ⊥OB ，AB =OB =1∴直线OA 方程为：y =x∴直线AB 方程为：x =1由得M （，）{y ‒14=k (x ‒12}y =x 2k ‒14k ‒42k ‒14k ‒4∵2k ‒14k ‒4≥0∴k 或k ＞1≤12又由得N （1，）{y ‒14=k (x ‒12)x =12k +14∵2k +14≥0∴k ≥‒12即-12≤k ≤12由弦长公式可得OM =1+k 22k ‒14k ‒4点P 到直线OM 的距离为d =141+k 2= （-）∴S △OPM =12OM ⋅d 2k ‒132(k ‒1)12≤k ≤12（3）易得S △AMN =132[4(1‒k )+11‒k +4]设t =4（1-k ）+ （-）11‒k 12≤k ≤12由“对勾”函数性质可得4≤t ≤203∴14≤S △AMN ≤13又S 2≥m （1-2S ）且13≤1‒2S ≤12m ∴=，S ≤S 21‒2S 1(1S ‒1)2‒1∈[14，13]∵1(1s ‒1)2‒1的最小值为18∴m ≤18【解析】（1）先利用点斜式求直线方程，（2）联立直线方程求出直线交点M 点坐标，再用S△OPM=，（3）有解问题最值法，先分离变量m，S，再利用二次函数性质求函数最小值本题考查直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题．。
上海市控江中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
上海市控江中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____. 【答案】5250x y --= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题.2.过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上， 则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案：43250x y +-=.【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.3.焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【分析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a 的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a-=>，==2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y -=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题.4.平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____. 【答案】()044y x =-≤≤ 【解析】 【分析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程.【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P，则PA PB AB +=， 则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 5.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为arccos 5，则实数k 的值为_____. 【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos5β=，则tan 2α=，cos β=，sin β=1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.已知t 是实数，设向量()3,4a =，向量()2,1b =，若()a a tb ⊥-，则t 的值为_____.【答案】52【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a 和ab ⋅的值，由()a a tb ⊥-得()0a a tb ⋅-=，由此可计算出实数t 的值. 【详解】()3,4a =，()2,1b =，则2223425a =+=，324110a b ⋅=⨯+⨯=，()a a tb ⊥-，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=，解得52t =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.7.直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB .【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6.【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.8.设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =- 【解析】 【分析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程.【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-.【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.9.椭圆()22210416x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】 【分析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c == 由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =，即()7a c a c +=-，可得334c a ==3=，解得b =..【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=，则1F P =_____.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P 和2F P 的方程组，即可解出1F P 的值. 【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=，则120F P F P ->，由双曲线的定义可得1223F P F P -= 又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=，则1212F P F P +=，所以，12122312F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩173F P =.故答案为：73.【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____.【答案】23【解析】 【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值.【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-= 【解析】 【分析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程. 【详解】点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=.【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题. 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20-∞B. (),5-∞C. ()5,+∞D.()20,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ） A.35B.35C.95D.95【答案】C 【解析】 【分析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离. 【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为22312951024d -+==+. 故选：C.【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.15.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A. A 点处B. B 点处C. C 点处D. D 点处【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处.【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分，所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.16.设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A. 甲和乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲和乙都是假命题【答案】A 【解析】 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：()222221111111324414544x x AP x y x x x =-+=-++-=-+同理可得2223454x AQ x =-+AP AQ =，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5题，共46分）17.已知向量()11,2e =与()24,2e =是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-，试用向量1e 与2e 表示v ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =，设b 与1e 的夹角为α，b 与2e 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-；（2）6t =. 【解析】 【分析】（1）设12v e e λμ=+，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值.【详解】（1）设12v e e λμ=+，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩， 因此，123v e e =-；（2）根据题意，11cos 5b e b e α⋅==⋅⋅22cos 25b e b e β⋅==⋅αβ=，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上. 【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析.【解析】 【分析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值； （2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19.设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由. 【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论.【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦， 直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140kk k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点， 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=；（2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+，点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=， 上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程；（3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立.【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =， 由0FA FB FC ++=，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =， 由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+， 将①代入可得()1123x x <-，解得12x <， 所以点A 的横坐标小于2.【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S .（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.【答案】（1）圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =±；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+， 联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得AB ===可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得3t =±，因此，直线l 的方程为y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O ，圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎫⎛⎫--=--+=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()222294131203333m m OS m --=+-=--≤⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
上海市杨浦区2018-2019学年第一学期高二数学期中考试(含精品解析)
2018-2019学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.无穷等比数列9、-3、1，-、……，各项的和为（）A. B. C.27 D.2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E△为ABC的重心，则=（）A. B. C. D.3.已知直角坐标系xOy平面上的直线+=1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足（）A.，B.，C.，D.，4.已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足+3=0，则|-|的最小值是（）-4•A. B. C.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）2 D.5.求值：=______．6.已知向量=（k，1）与=（2，k+1）平行，则实数k=______．7.已知点M（0．b）与点N（-，1）连成直线的倾斜角为120°，则b=______．8.已知||=1，||=2，向量与的夹角为60°，则|+|=______．9.直线l1：x-y+1=0与直线l：x-y+5=0之间的距离是______．210.已知=（2，-1），=（3，4），则在的方向上的投影为______．11. 过点A（1，6）且与直线=垂直的直线的点法向式方程为______．12. 已知A（-1，4）、B（3，2），如果点H是线段AB的两个三等分点中距离A较近的那个三等分点，则点H的坐标是______．13. 直线y=（k x+3）-2与直线y=-x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是______．14. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，当•取到最小值时，DE的长为______．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分）15. 设{an }是首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列，前n项和为S，求n值．16. 已知向量=（，1），=（0，1）．（1）（+k）⊥（-k），求实数k的值；（2）向量2k+7与向量+k的夹角大于90°，求实数k的取值范围．17. 已知直线l的方程为3x+4y-12=0，分别求满足下列条件的直线l′的一般式方程．（1）过点（1，2）且与l的夹角为45°；（2）l'为l绕原点逆时针旋转90°后得到的直线．18. 设P P…P是半径为l122018的圆O内接正2018边形，M是圆上的动点．（1）求|+ ++…+- |的取值范围；（2）求证：++…+为定值，并求出该定值．22219. 已知射线OA：y=kx（k＞0，x＞0），OB：y=-kx（x＞0），动点P（x，y）在∠AOx的内部，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，四边形OMPN的面积恰为k．（1）求点M的坐标（用点P的横坐标x、点P的纵坐标y及k表示）；（2）当k为定值时，求动点P的纵坐标y关于横坐标x的函数y=f（x）的解析式．答案和解析1.【答案】B【解析】解：等比数列 9、-3、1，- 、……，可得公比为 前 n 项和为：．，无穷等比数列 9、-3、1，- 、……，各项的和为：．故选：B ．求出等比数列的前 n 项和，然后求解极限即可．本题考查数列求和以及数列的极限的运算．是基本知识的考查． 2.【答案】A【解析】= =解：因为 E 为△ABC 的重心，所以= = • （ +）= +，故选：A ．根据重心的性质以及平行四边形法则可得．本题考查了重心的性质以及向量的平行四边形法则．属基础题．3.【答案】A【解析】解：坐标系 xOy 平面上的直线 + =1 经过第一、第二和第四象限，如图所示；则 a ＞0，b ＞0．故选：A ．根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由-4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=0）上．（x＞不妨以y=即为例，则|．- |的最小值是（2，0）到直线的距离减1．故选：A．把等式-4•+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．5.【答案】【解析】解：故答案为：．===．直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.【答案】-2或1【解析】解：∵与平行；∴k•（k+1）-2=0；解得k=-2或1．故答案为：-2或1．根据即可得出k•（k+1）-2=0，解出k即可．考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系．7.【答案】-2【解析】解：k==tan120°，解得b=-2，故答案为：-2．由题意可得k==tan120°，解得即可本题考查了斜率公式，以及倾斜角和斜率的关系，属于基础题8.【答案】【解析】解：由题意可得∴|+|=故答案为：．=|=|•||•cos60°=1×2×=1，==，由题意可得=1，再根据|+|=，计算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：直线l1：x-y+1=0与直线l2：x-y+5=0之间的距离==2．故答案为：2．利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由题意得：在的方向上的投影为：==，故答案为：．根据投影的几何意义求出即可．本题考查了向量的投影，考查向量的坐标运算，是一道基础题．11.【答案】7（x-1）+5（y-6）=0【解析】解：与直线=垂直的直线的法向量为（7，5），则点法向式直线方程为7（x-1）+5（y-6）=0．故答案为：7（x-1）+5（y-6）=0．根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．本题考查了直线点法向式方程，属于基础题12.【答案】，【解析】解：设H（x，y）；∵点H是线段AB的两个三等分点中距离A较近的那个三等分点；∴根据定比分点公式得：；∴；∴H（）．故答案为：．可设 H （x ，y ），根据条件及定比分点公式可得出，这样即可得出点 H 的坐标．考查三等分点的定义，以及线段的定比分点公式． 13.【答案】（ ，1）【解析】解：联立由题意可得，解之可得交点（，，， ），解之可得 ＜k ＜1，故 k 的取值范围是（ ，1）故答案为：（ ，1）联立方程求出两直线的交点坐标，根据交点在第一象限这一条件来确定 k 的 取值范围即可．本题考查两直线的交点问题，涉及二元一次方程组和不等式的解法，属中档 题．14.【答案】【解析】解：设 DE=x ，∵∠BAD=120°，AB=AD=1， △ABD 中，由余弦定理可得，BD =AB +AD -2AB•ADcos120°=1+1 ∴ ，△ABD 中，∠ABD=∠B DA=30°， ∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，=（ ）•（ ∴∴=）=3，=1×1×cos60°+1+0+1×x×cos150°+0+x2222==，此时DE=x=，故答案为：．设DE=x，由已知结合余弦定理可求∠ABD=∠B DA=30°，而=（）•（），展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质可求．本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．15.【答案】解：当公比q满足0＜q＜1时，S=1+q+q +…+q=n，于是=，=1．当公比q=1时，S=1+1+…+1=n，于是n=．因此=═1当公比q＞1时，S=1+q+q+…+q=n于是因此=．===．，＜综合以上讨论得到=，＞．【解析】当公比q满足0＜q＜1时，S=n，求出的值，然后求解极限，当公比q=1时，S=n，求出n的值．当公比q＞1时，求出的值．综合然后求解极限的值即可．本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．16.【答案】解：（1）；∵⊥，；n-122n-1∴=4-k=0；∴k =±2；（2）∵向量 2k +7 与向量 +k 的夹角大于 90°； ∴=2k +15k +7＜0；解得＜ ＜；，∴实数 k 的取值范围为【解析】（1）可求出，根据．即可得出，从而求出 k 的值；（2）根据向量 2k +7与向量+k的夹角大于 90°即可得出，进行数量积的运算即可求出 k 的取值范围．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式．17.【答案】解：（1）直线 l设所求直线的斜率为 k ，则 ∴=±1，的方程为 3x +4y -12=0，则 l=±tn 45°=±1，的斜率为-，解得 k =-7 或 k = ，∴k =-7 时，直线方程为 y -2=-7（x -1），化为一般式方程是 7x +y -9=0； ∴k =时，直线方程为 y -2= （x -1），化为一般式方程是 x -7y +13=0；综上知，所求的直线方程为 7x +y -9=0 或 x -7y+13=0；（2）直线 3x +4y -12=0 与坐标轴的交点坐标为（4，0）和（0，3）， 则旋转后的直线与坐标轴的交点坐标为（-3，0）和（0，4），∴所求的直线方程为 + =1，即为 4x -3y +12=0．【解析】（1）求出直线 l的斜率，设所求直线的斜率为 k ，利用两条直线所成的角求出 k的值，再写出所求的直线方程；（2）根据直线 3x+4y-12=0 与坐标轴的交点求出旋转后的直线与坐标轴的交点 坐标，即可写出所求的直线方程．2 2本题考查了直线方程与应用问题，也考查了两条直线所成的角以及直线旋转 问题，是中档题．18.【答案】解：（1）∵P P …P 是半径为 l 点． ∴| + ++…+-|=| - | =| |， ∴|+ ++…+ - | 的取值范围是[0，2]．的圆 O 内接正 2018 边形，M 是圆上的动 证明：（2）把 ， ，…，这2018 个向量都旋转+…+后，不变，∴和向量旋转弧度后也不变，∴+…+ =，∴2 2 2 =（ ） +（ -）+…+（ -） 2=（+…+ ）-2•（）+20182=2018-2 •（+…+）+2018=2018-2=4036． 【解析】+2018（1）推导出|+++…+-|=| - |=| |，由此能求出|+++…+-|的取值范围．（2）推导出+…+=，从而2 +2+…+2=（） +（-） 2+…+（-） =（+…+）-2•（）+20182，由此能证明2+2+…+2为定值，并能求出该定值．本题考查向量和的模的取值范围的求法，考查向量的平方和为定值的证明，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 是中档题．1 2 2018+ +…+2 2 2 219.【答案】解：（1）设M （x ，y ），则，解得 x =M MM），故 M 的坐标为（，（2）OM =•（），点 P 到直线 OA 的距离为，，根据点 P 的位置可知 PM =因此 S = OM •PM = •，），同理，把 k 替换为-k 可知 N （，-，y =M，ON =•（），PN =，因此 S = ON •PN = •，∴四边形 OMPN 的面积 S =△S OMP △SONP+ • =（x-y ），因此（x -y ）=k ，解得 y =， 注定义域这里不作要求，由 x ＞0，0＜y ＜kx ，0＜y ＜ x 可得：当 0＜k ＜1 时，x ∈（ ，当 k =1 时，x ∈（ ，+∞），），当 k ＞1 时，x ∈（ ，k【解析】）（1）设 M （x ，y ），则MM，解的即可（2）先要仔细分析题目所给的条件，设出点 M 、N 的坐标，将四边形分解成两个三角形：三角形 OMP 、三角形 ONP 分别表示出面积，然后求和即可找到 x 、 y 之间的关系式，进而即可获得问题的解答本题考查的是函数解析式的求解问题．在解答的过程当中充分体现了图形分割的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．△OMP △ONP + = • 2 2 2 2。
上海高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
上海市杨浦区高二上学期数学期中试卷(含答案)一、选择题1.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.2.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A. B. C. D.与a的值有关联3.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则A. B.C. D.4.一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是（）A.P(0<X≤2)B.P(X≤1)C.P(X=1)D.P(X=2)5.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若为非零常数，，则的均值和方差分别为（）A. B. C. D.6.从区间随机抽取个数，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于的数对有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（）A. B. C. D.7.某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A. B. C. D.8.将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为（）A. B. C. D.9.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为（）A. B. C. D.10.下列说法正确的是（）A.若残差平方和越小，则相关指数越小B.将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C.若的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D.若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数11.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元） 4 2 3 549 26 39 54销售额（万元）根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元12.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A. B. C. D.二、填空题13.有一批产品，其中有件次品和件正品，从中任取件，至少有件次品的概率为______.14.运行如图所示的流程图，则输出的结果S为_______.15.在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间的概率为__________.16.为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体名员工中抽名员工做体检，现从名员工从到进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是，则从这个数中应抽取的数是__________.17.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________18.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是____________.INPUT xIF x<0 THENy=(x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT yEND19.某学生每次投篮的命中概率都为.现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________.20.已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为______________；三、解答题21.某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表.组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组0.35第3组0.3第4组0.2第5组0.1合计 1.00（Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率；（Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由.22.画出解关于的不等式的程序框图，并用语句描述.23.为检验两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于分为优品.前件的评分记录如下，第件暂不公布.（1）求所抽取的生产线上的个产品的总分小于生产线上的第个产品的总分的概率；（2）已知生产线的第件产品的评分分别为.①从生产线的件产品里面随机抽取件，设非优品的件数为，求的分布列和数学期望；②以所抽取的样本优品率来估计生产线的优品率，从生产线上随机抽取件产品，记优品的件数为，求的数学期望.24.(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数，求的概率；(2)从区间[1，12]内任意选取一个整数，求的概率.25.某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额关于月份的线性回归方程；（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额.（参考公式：，）26.某“双一流类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？【参考答案】一、选择题1.B解析：B【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.2.C解析：C【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为. 考点：几何概型，圆的面积公式．3.A解析：A【解析】【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案．【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，，故.选A.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．4.B解析：B【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P（X=1）和P（X=0），即可判断等式表示的意义．【详解】由题意可知，∴表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P（X≤1），故选B．【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．5.A解析：A【解析】试题分析：因为样本数据的平均数是,所以的平均数是；根据（为非零常数，），以及数据的方差为可知数据的方差为，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．6.B解析：B【解析】【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可.【详解】如下图：由题意，从区间随机抽取的个数对，，…，，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为，所以由几何概型可知，所以.故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.7.C解析：C【解析】【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率．【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.故选C．【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．8.A解析：A【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有种结果，而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有中结果，根据古典概型的概率公式得.故选：A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.9.B解析：B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】输出；；；；；，退出循环，输出，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.B解析：B【解析】【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断；由方差的性质可判断；由的随机变量的观测值的大小可判断；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断.【详解】对于，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数越大，故错误；对于，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故正确；对于，对分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，故错误；对于，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数，故错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．11.B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5考点：线性回归方程12.B解析：B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的.从而S△PBC=S△ABC.由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，∵，∴，∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的.∴S△PBC=S△ABC.∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P==.故选B.【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．二、填空题13.【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式解析：.【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件“至少有件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】记事件至少有件次品，则其对立事件为全都是次品，由古典概型的概率公式可得，.因此，至少有件次品的概率为，故答案为.【点睛】本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.14.【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当则执行运算;继续运行:;继续运行:;当时;应填答案解析：【解析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当,则执行运算;继续运行:;继续运行:;当时;,应填答案.15.【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间，则线段的长介于与之间，满足条件的点对应的线段长为，而线段的总长度为，故正方形的面积介于与之间的概率.故答案为：.16.52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列，则从这个数中应抽取的数是：.故答案为52.17.【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x y则所有事件集可表示为0≤x≤50≤y≤5由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x解析：【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．18.-6或6【解析】当x＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写解析：-6或6【解析】当x＜0时，25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去）当x≥0时，25=（x﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去）即输入的x值为±6故答案为：﹣6或6.点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．19.【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537 730 488 027 257 683 458 925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填解析：【解析】这20组随机数中,该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为,故填.20.【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意解析：【解析】为单独递增函数，所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围三、解答题21.（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3组【解析】分析：（Ⅰ）由分层抽样方法可得第组：＝人；第组：＝人；第组：＝人；（Ⅱ）利用列举法可得个人抽取两人共有中不同的结果，其中第组的两位同学至少有一位同学被选中的情况有种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）由前两组频率和为，中位数可得在第组.详解：（Ⅰ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：第3组：＝3人；第4组：＝2人；第5组：＝1人.所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）设第3组3位同学为A1，A2，A3，第4组2位同学为B1，B2，第5组1位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15种.其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种可能.所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.（Ⅲ）第3组点睛：本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.22.见解析【解析】【分析】【详解】解：流程图如下：程序如下：INPUT a，bIF a＝0 THENIF b＜0 THENPRINT“任意实数”ELSEPRINT“无解”ELSEIF a＞0 THENPRINT“x＜“；﹣b/aELSEPRINT“x＞“；﹣b/aENDIFENDIFENDIFEND点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.23.（1）；（2）①详见解析；②2.【解析】【分析】（1）根据生产线前件的总分为，生产线前件的总分为；则要使制取的生产线上的个产品的总分小于生产线上的个产品的总分，则第件产品的差要超过7.（2）①可能取值为，根据超几何分布求解概率，列出分布列，再求期望.②由样品估计总体，优品的概率为，可取且，代入公式求解.【详解】（1）生产线前件的总分为，生产线前件的总分为；要使制取的生产线上的个产品的总分小于生产线上的个产品的总分，则第件产品的评分分别可以是，，，故所求概率为.（2）①可能取值为，，，，随机变量的分布列为：.②由样品估计总体，优品的概率为，可取且，故.【点睛】本题主要考查茎叶图，离散型随机变量的分布列和期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.24.(1)；（2）.【解析】【分析】（1）求解不等式可得的范围，由测度比为长度比求得的概率；（2）求解对数不等式可得满足的的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案．【详解】解：（1），，又故由几何概型可知，所求概率为.（2），，则在区间内满足的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个，故由古典概型可知，所求概率为.【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题．25.（1）；（2）万元.【解析】【分析】(1)先计算出，，代入公式求出，结合线性回归方程的表达式求出结果(2)由线性回归方程计算出、、时的值，然后计算出结果【详解】（1）由题意得：，，，，故每月的销售额关于月份的线性回归方程.（2）因为每月的销售额关于月份的线性回归方程，所以当时，；当时，；当时，，则该药企今年第三季度这种新药的销售总额预计为万元.【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，结合公式求出回归方程是本题关键，较为基础26.(1)2；(2)方案一能收到更多的费用.【解析】【分析】（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加；（2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可．【详解】(1)这100人月薪收入的样本平均数是.(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；月薪落在区间收活动费用约为（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）；方案二：这50人共收活动费用约为（万元）；故方案一能收到更多的费用.【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题．上海市嘉定区高二上学期期中考试试卷数学试题考试时间: 120分钟满分: 150分一､填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.2213limx n n →∞+=____. 2.已知(1,),(2,3),a k b ==若a b 与平行，则k=_____.3.方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____.4.在等差数列{}n a 中,己知则该数列前11项和11S = ___.5.若1312,2433A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，B 则2A-B=___.6.已知11111()1,234212f n n n=++++++-则f(n+1)-f(n)= ___. 7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形, p 为边BC 上一点,满足2,PC BP =则BA AP ⋅=___. 8.已知数列n a 的前n 项和为2*,4,.n n S S n n N =+∈且则n a =___. 9.设无穷等比数列n a 的公比是q ，若1a =34lim(),n x a a a →∞+++则q =___.10.已知点12(1,1),(7,4),P P ==点P 分向量12PP 的比是1,2则向量1PP 在向量方向上的投影为____.11.在△ABC 中, , CB a CA b ==, ∠ACB=120°.若点D 为△ABC 所在平面内一点,且满足条件:①(1)(),(),CD CB CA R CD bCB CA λλλ=+-∈+②则||CD =____.(用a, b 表示)12. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 若存在实数A,使得对任意的*1,n N ∈都有||n S A <,则称数列{}n a 为“T 数列”,则以下{}n a 为“T 数列”的是_______.①{}n a 是等差数列,且10,a >公差d<0; ②若{}n a 是等比数列, 且公比q 满足|q|<1;③若2(1)2n nn a n n +=+；④若120,(1)0n n n a a a +=+-=.二､选择题(本大题共有4题,每题5分,满分20分)13.已知a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭为单位矩阵,则向量(,)m a b =的模为()A.0B.1C.2D 14. 已知,a b 为两个非零向量,命题甲: ||||||a b a b -=+,命题乙:向量a 和b 共线,则甲是乙的() A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件15.标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式,标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标,且从视力5.2的视标所在行开始往上,每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍,若视力4.1的视标边长为a,则视力4.9的视标边长为()45.10A a 109.10B a 45.10C a -910.10D a -16.在△ABC 中, H 是边AB 上一定点,满足AB= 4HB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB PC HB HC ⋅≥⋅,则()A ∠ABC= 90° B.∠BAC= 90° C.AB= AC D.AC= BC三､解答题(本大题共有5题,满分76分)解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知A(2,1), B=(3,2), D=(-1,4)(1)若四边形A BCD 是矩形,试确定点C 的坐标;(2)已知O 为坐标原点,求.OA OB OC ⋅-。