2021年高二下学期期中联考试题 数学 含答案

2021年高二下学期期中联考试题 数学 含答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷．．纸的相应位置上．．．．．．．

． 1.设复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位），若z i ＝1－2i ，则a ＋b ＝ ． －3

2.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________． 64

3.根据如图所示的伪代码，最后输出的值为 ．

5

4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取

容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 20

a ← 1

b ← 3

While a<8 a ← a ＋b b ← a －b End while Print b 开始 n <10

S ← 0，n ←1

Y

N

n ←n + 2 S ←S + n

5.如右图是一个算法流程图，则输出S的值是．

25

6.设(为虚数单位),则复数的模为_________.

10

7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2 4x的焦点到其准线的距离为．

2

8.某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为____ ___．

9.已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的体积为___________．

10.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .

11.已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．．

12.如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别

交于点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率为．

A

13.已知圆C ：，点在直线上，O 为坐标原点，若圆C 上存在一点Q ，使，则的取值范围是 ． [0,2]

14.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．(本题满分14分)

已知z ∈C ，和都是实数． (１）求复数；

(２）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（１）设 a ，b ∈R ， 则，

()(2)2222(2)(2)5

5

z a bi a bi i a b a b

i i i i i ，

∵和都是实数， ∴，解得，

∴． ……………………………… 7分 (２）由（１）知，

∴222

()

[4(2)]16(2)8(2)z ai a i a a i ， ∵在复平面上对应的点在第四象限， ∴，

即，∴，

∴，即实数的取值范围是． …………………………… 14分

16．（本小题满分14分）

在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AB = AC = AA 1 = 3a ， BC = 2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点， 且AE = CF = 2a ．

（1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；

（2）求证：BE ∥平面ADF ．

A F

C B 1

1

1

E

1 1 1

【答案】（1）证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD底面ABC，∴AD⊥B1B．

∵BCB1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF= 2a，

∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．

∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD= 90°．∴B1F⊥FD．

∵ADFD=D，∴B1F⊥平面AFD．…………………7分

（2）连EF，EC，设，连，

，∴四边形AEFC为矩形，为中点．

为中点，．

平面，平面，

平面……………………………14分

17．（本小题满分15分）

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶

图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

(1）求和的值；

(2）计算甲班7位学生成绩的方差；

(3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.

【答案】 (1）∵甲班学生的平均分是85，

∴.

∴. …………………3分

∵乙班学生成绩的中位数是83，

∴.…………………5分

(2）甲班7位学生成绩的方差为

()()()

2222222

1

67500711

7

??

=-+-+-++++

??

??

.…………………9分

A

F

C

B

D

C

B 1

1

1

E

1 1

1

A

M

(3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：

()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………………11分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况： . ………………… 13分

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.……… 15分

18.（本小题满分15分）

先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为． (1）求直线与圆相切的概率；

（2）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

【答案】(1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．

∵直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2

=1相切的充要条件是

即：a 2＋b 2

=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝

∴满足条件的情况只有a =3,b =4；或a =4,b =3两种情况．

∴直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2＋y 2

=1相切的概率是 ………………… 7分 (2)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．

∵三角形的一边长为5 ∴当a =1时，b =5，（1，5，5） 1种 当a =2时，b =5，（2，5，5） 1种 当a =3时，b =3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 当a =4时，b =4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 当a =5时，b =1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），

（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 当a =6时，b =5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种

答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．………………… 15分

19.（本小题满分16分）

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线l 的方程为x ＝，短轴长为2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过定点B （1，0）作直线l 与椭圆C 相交于P ，Q

（异于

A 1，A 2）两点，设直线PA 1与直线QA 2相交于点M （2x 0，y 0）．

①试用x 0，y 0表示点P ，Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条定直线上．

【答案】（1）由得 ∴椭圆C 的方程为；………………… 4分 （2）A 1（－2，0），A 2（2，0），方程为MA 1的方程为：， 即．代入， 得，即．∴=， 则=． 即P （，）．…………………7分

同理MA 2的方程为， 即．代入， 得，即． ∴=． 则=． 即Q （，）．………………… 10分 ∵P ，Q ，B 三点共线，∴，即． ∴．即． 由题意，，∴．

2222000000003(1)(1)(1)(1)(1)3(1)x x x y x x x y +--+=-+--．

∴．则或．

若，即，则P ，Q ，M 为同一点，不合题意． ∴，点M 始终在定直线上．………………… 16分

20.（本小题满分16分）

设函数．

（1）若函数为奇函数，求b 的值；

（2）在（1）的条件下，若，函数在的值域为，求的零点； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】：（1）恒成立，则b =0；………………… 3分 （2）

① 若，则恒成立，则单调递减，又函数在的值域为， ，此方程无解．………………… 5分 ② 若，则．

（i）若，即时，函数在单调递增，，此方程组无解；

（ii），即时，，所以c=3；……6分

（iii），即时，，此方程无解．

综上，所以c=3．…………………8分

的零点为：．…………………10分

（3）由题意可得:记恒成立．

若，则三次函数至少有一个零点，且在左右两侧异号，

所以原不等式不能恒成立；

所以，此时恒成立等价于：

1）b=c=0或者2）．

在1）中，，在2）中,

所以，即恒成立．

．

综上：的取值范围是．…………………16分YI837416 9228 鈨%26869 68F5 棵36077 8CED 賭32674 7FA2 羢EY_30357 7695 皕25892 6524 攤