摆线亮相高考风景这边独好

・试题赏析・
中・７擞．７
（２０１１年第９期・高中版）
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摆线亮相高考．风景这边独好
４３５２００湖北省阳新县高级中学邹生书
摆线即旋轮线是自选模块《坐标系与参数方程》中的内容，在数学史上，发现圆锥曲线后，受到科学家关注最多的曲线是摆线．摆线种类丰富，性质优美，应用广泛．摆线问题类属动态几何问题，解决摆线问题不仅需要平面几何、三角函数和解析几何等相关知识的支撑，而且还需要一定的运动想像能力和探究能力．２０１０年高考摆线首次亮相北京卷文理科第１４题，２０１１年高考摆线第二次亮相于江西省文理科第１０题，均属客观题的压轴题．这几道难得的考题视角独特、设计新颖、卓尔不群，运动中考能力，立意上求创新．例ｌ（２０１０北京文科１４）如图ｌ放置的边长为ｌ的正方形ｎＬＢＣ沿菇轴滚动．设顶点Ｐ（髫，ｙ）的轨迹方程是），＝火茹），则，，＝，（茗）的最小正周期为——；，，钒茗）在其两个相邻零点间图ｌ的图象与茹轴所围区域的面积为一说明“正方形删旧Ｃ沿茹轴滚动”包括沿茹轴正方向和沿茗轴负方向滚动。沿茗轴正方向滚动指的是先以顶点Ａ为中心顺时针旋转，当顶点Ｂ落在茗轴上时，再以顶点Ｂ为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形乃怛Ｃ可以沿菇轴负方向滚动．解析从某一个顶点（比如Ａ）落在茹轴上的时候开始计算，到下一次Ａ点落在髫轴上，这个过程中四个顶点依次落在了茗轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长ｌ，因此该函数的周期为４，其顶点Ｐ从首次落在髫轴上和第二次落在茗轴上时所画出的轨迹就是函数，，＝以鼻）在其两个相邻零点间的图象如图２所示，不难算出它与茹轴所围区域的面积为知・１２＋÷霄（√Ｅ）‘＋１２＝霄‘．｜＋１．图２点评本题实际上是正方形沿直线无滑动运动时有关顶点的摆线问题，本题考查了函数零点的概念、周期的定义及图形面积的计算，充分考查学生分析问题和解决问题的能力，是一道能力立意的创新题．例２（２０１１年江西文１０）如图３。一个“凸轮”放置
于直角坐标系石轴上方，其“底端”落在原点０处，一顶
点及中心Ｍ在，，轴的正半轴上，它的外围由以正三角形
的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组
成．今使“凸轮”沿石轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每
刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在
“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”
所形成的图形按上、下放置，应大致为

０
图３

／一、、／＼／一、
Ａ
、√—，＿、．／—、／，７
ＣＤ
解析（１）先探求“最高点”的轨迹．如图４，设删

＝２，则正三角形的边长为２移，那么“凸轮”上任意两点
间的距离的最大值为撕．当“凸轮”沿茗轴正向滚动到

Ｄ’时，连接Ｄ’Ⅳ，因为“凸轮”与石轴相切于Ｄ’．由圆的切
线性质知，Ｄ’Ⅳ上阻，而ＩＤ’ⅣＩ＝狮，即“凸轮”在运动过

程中最高点到茗轴的距离为定值２怕，故“最高点”的轨
迹是与茗轴平行的一条直线．
（２）探求“中心点”的轨迹．开始时，“中心点”到茗
轴的距离为撕一２，当“凸轮”的某一顶点运动到茗轴上

且中心在菇轴上的射影与该顶点重合时。中心到茗轴的
距离为２，因为２怕一２＜２，从运动变化可知，当“凸轮”各
边中点落在茗轴上时，中心最低；当“凸轮”的顶点落在茹
轴上且中心在聋轴上的射影与该顶点重合时，中心最
高，其轨迹为“正弦波”．
综合（１）（２）知，在“凸轮”滚动一周的过程中，其
“最高点”和“中心点”所形成的图形大致应为Ａ．
点评本题是曲边三角形“凸轮”沿直线无滑动运
动时最高点和中心的轨迹问题，实质上就是曲边三角形
“凸轮”的两条摆线问题，重点考查学生对动态图形运动
规律的探究能力．

卧鹜
万方数据
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中。７擞’７（２０１１年第９嘲・高中版）
・试题赏析・
对一道不等式问题的多角度审视
３１３０００浙江省湖州中学李连方
２０１ｌ高考虽然远离我们而去，但是人们研究考题热情却是高涨不退．最近笔者认真研究浙江省高考自选模块考试的不等式问题，觉得条件淡朴，想象不易，值得深究挖掘剖析，在此与同仁共享．１问题的提出（２０１１年浙江．省高考自选模块试题）已知正数茗，ｙ，彳满足２髫＋２ｙ拟＝１．＋（１）求３拶彬＋搿的最大值；（２）证明：南＋忐＋忐≥等显然若知道第一同的最大值，第二问利用柯西不等式的变式便迎刃丽解，因为柯西不等式变式是：设ｑｅＲ＾＞０（渊＇２，…∽测矗≥筹，●‘Ｉｌ，．，Ｕ．所以有南＋忐＋忐＝志＋羔＋毛、（３＋ｌ＋１）２
≥万忑万玎而万币ｉ一．

下面就来探究第一问的解题思路谈谈笔者的想法．
２勰题思路
２．１
消元配方是不等式问题的永恒主题

分析注意到条件和待求的式子中均有因子“茁＋
ｙ”，则我们可以通过消元的思想将三元不等式转化为二
元不等式问题，从而将问题简单化．并且注意到条件和
待求的式子中茹，，，地位的一致性，在解题中，若利用基
本不等式应该保证茗＝弘
解３矽ｔ弦＋毪＝３可能（聋啊）
＝３矽＋【ｌ一２（茗蚵）】（茗吖）＝３夥＋（菇吖）一２（茹吖ｒ．

≤÷（髫＂）２＋（茗岬）一２（茗吖）２

＝｛（菇啊）２＋（茗吖）＝一÷【（茗岬）一自２＋÷≤÷，

例３（２０１１年江西理１０）如图５，一个直径为Ｚ的小圆沿着直径为２的大圆内壁的逆时针方向嬲滚动，肘和Ⅳ是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点ＪＩｆ，Ⅳ在大圆内所绘出的图形大致是图５◎⑧ｏＡＢＣ解析如图６。设大小两圆的圆心分别为Ｄ，０’．假设开始时，小圆定直径删的端点肘为大圆．上的点Ａ，则点Ⅳ与Ｏ重合．当小圆沿大圆内壁逆时针方向滚动到两圆内切于点Ｐ时。且点Ｐ在互己上时，由内切预圆性质知，０，０’，ＰＤＤ厂、＼．佐）０＼瞰ＵＰ＼≮／Ｃ图６三点共线．动点肘满足的几何条件是舻，鼐等长．设厶ＡＤＰ＝ｐ，￡ＰＤ’膨＝妒，则有２一＝妒，即￡Ｐｏ’膨＝２良设００’交０幢于点肘’，因为Ｄ’Ｄ＝
Ｄ’肘’．所以乞ＰＤ’肼’＝２￡Ｐ伽’＝２口，所以￡ＰＤ’肘＝

￡ＰＤ’掰’，故点ｊｌｆ和点膨７重合，即点彤在半径ＤＡ上，容
易证明点Ⅳ在半径ＤＣ上．同理。当点Ｐ运动到℃雪时，则
点＾ｆ在半径ＤＣ上，点Ⅳ在半径彻上．以此类推，所以

点膨，Ⅳ的轨迹是互相垂直的直径Ａ曰，ＣＤ，故选Ａ．
点评，本题是一道小圆在大圆内作无滑动的圆周
运动时，小圆固定直径两端点轨迹问题，实则小圆上的
定点在大圆的内摆线问题．本题综合考查圆的几何性
质，直线与圆的位置关系以及分类讨论、化归与转化的
数学思想和探究能力．
这几道摆线高考题，体现了“返璞归真，支持课改；
突破定势，考查真功”的命题理念，彰显了“规避特殊技
巧，凸显数学本质，强调过程评价，引导研究性学习”等
特色．摆线问题，研究运动图形的性质，重点考查学生的
自主探究能力、作图能力、观察归纳猜想能力以及分析
问题和解决问题的能力，能有效考查学生的创新意识和
数学综合素养．这几道摆线考题的出现成为新课标试卷
中的几个亮点，构成了一道靓丽的风景线，摆线亮相高
考风景这边独好．
（收稿日期：２０ｌｌｃｒ７２２）

万方数据
摆线亮相高考风景这边独好
作者：邹生书
作者单位：435200,湖北省阳新县高级中学
刊名：
中学数学

英文刊名：Middle School Mathematics
年，卷(期)：2011(17)

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsx201117006.aspx