人教版数学九年级下册28.2.2《解直角三角形应用举例》课件(共四课时)
九年级数学下册-人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用1.解直角三角形
28．2．1 解直角三角形
1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)
2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)
一、情境导入
世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数．
在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？
二、合作探究
探究点一：解直角三角形
【类型一】 利用解直角三角形求边或角
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形．
(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；
(2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长．
解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．
解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝ac，即c＝acosB＝3632＝243，∴b＝sinB·c＝12×243＝123；
(2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tanA＝ab＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝122.
方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题
【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．
解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－43.
数学人教版九年级下册解直角三角形的应用举例
28.2解直角三角形及其应用举例
教案背景：
1、面向学生：初中三年级 学科：数学
2、课时：4课时（本节为3课时）
3、复习锐角三角函数的概念，解直角三角形的有关知识。
4、课前准备：导学案，多媒体课件。
教学课题：
28.2解直角三角形及其应用举例
教材分析：
解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应引起足够的重视。本节课主要内容是通过认识仰角、俯角的意义，并结合解直角三角形的基本理论知识去解决生活中的简单实际问题，它是在学习了“锐角三角函数、解直角三角形的条件、方法”的基础上进一步深入教学，使学生能联系新旧知识学有所用。
教学方法：
本节课主要运用了小组探究、精讲点拨、合作交流。为了突出重点，突破难点，我充分运用了互联网的信息，制作了多媒体课件，另外对测量物体高度的方法进一步拓展，开阔了学生的知识面，提高了学生学习数学的兴趣。
教学过程：
一、教学目标：
（一）知识目标：
理解仰角、俯角的意义，准确运用这些概念来解决一些实际问题。
（二）能力目标：
培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力。
（三）情感与态度目标：
在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：理解仰角和俯角的概念
教学难点：能解与直角三角形有关的实际问题。
三、关键：如何充分利用多媒体演示以及网络教学资源，使学生理解仰角和俯角的概念；并善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，这是突出重点和突破难点的关键。
四、教学过程设计：
（一）、复习引入，知识储备
1、解直角三角形
一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
数学人教版九年级下册28.2.2 利用仰角、俯角解直角三角形
教学设计
授课教师姓名 郑纯莲 课题 利用仰角、俯角解直角三角形
知识点来源 新人教版28.2.2 利用仰角、俯角解直角三角形
教学准备 PPT、三角尺
设计思路 （1）将实际问题抽象为数学问题
（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形；
（3）如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求
的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形
中的量，灵活应用方程思想解直角三角形．
教学设计
内 容
教学目标 1．了解仰角、俯角的定义；
2．会运用解直角三角形的知识解决有关仰角、俯角的实际问题；
3．体会数形结合和数学模型思想，灵活应用方程思想解直角三角形.
教学重难点 把实际问题转化为解直角三角形的问题.
教学过程 一、了解仰角、俯角的定义：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角;视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
二、探索（一）：根据条件，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形.
1.【例1】如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50o,观测旗杆底部B的仰角为45o,求旗杆的高度.(结果精确到0.1m,参考数sin50o≈0.77,cos50o≈0.64,tan50o≈1.19)
【设计意图】能分析线段的组成，并找到该线段所在的直角三角形，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形.
2.【例2】如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为
45∘,底部点C的俯角为30∘,求楼房CD的高度.
【设计意图】能分析线段的组成，并构造该线段所在的直角三角形，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形.
【例3】如图,已知一行人在A处看灯塔M的仰角为30o,此人沿着AC的方向行走了14米，到达B处，此时，在B处看灯塔M的仰角为75o.求此时灯塔M与行人之间的距离.
数学人教版九年级下册28.2解直角三角形应用仰角俯角问题
28.2解直角三角形的应用(1)
——仰角、俯角
一．教学目标
1、理解仰角，俯角的意义
2、经历解决实际问题(画出平面图形转化为解直角三角形)的过程，会用直角三角形的知识解决有关测高的简单的实际问题
3、感受数学与现实的联系，增强数学来源于生活，服务于生活的意识以及数学应用的能力
二．教学重难点：
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：将实际问题转化为解直角三角形问题
三．教法与建议
1．用1个课时完成教学
2．自主阅读，启发点拨，合作探究。
3、引导学生将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，即把实际问题转化为解直角三角形的问题来解决。
四、教学过程
一、 知识回顾
师： 同学们，在直角三角形中 除直角外还有5个元素，那么至少知道几个元素就你就能求出其余的元素？ 生：两个
师：知道两个锐角行吗？ 生：必须有一条边
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素至少有一个元素是边，可以求得这个三角形的其他三个元素.
1）解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
师：让我们再回忆一下解直角三角形的依据，以三角形ABC为例
2）.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
师： 以角A为例，它直角三角形的边有什么关系呢？
角A的正弦（xian）为，角A的余弦为，正切为
caAsin，cbAcos，baAtan
二、新课讲解
1）创设情景引出问题
测绘员小王要测量甲乙两幢高楼的高度，他正视甲大楼的时候，他的视线与什么平行？视线就与地面平行。水平线也是与地面平行的直线。而铅垂线与地面ＡＣＢb是垂直的。他从下向上看，抬头看到了甲高楼的顶部A处，在仰视过程中产生了一个角，角的一边是视线，另一边是水平线
数学人教版九年级下册28.2.2解直角三角形(3)坡度-坡比
28.2.2 解直角三角形（3） _ 坡角
教学目标
使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
二、教学重点：
把实际问题转化为解直角三角形的问题
三、教学难点：
将实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中元素间的关系
一、知识回顾：
tanA=______ tanA=Asin
二、自主学习探究；
1、阅读，并完成坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡面的_________h和_________l的比叫做_________（或叫做坡比），一般用_____表示。常写成ｉ＝lh（或写成i=1:m）的形式。把坡面与水平面的夹角α叫做_____________．
思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
i＝_____________＝____________，显然，坡度越大，坡角___________，坡面_________________。
三、探究、合作、展示
例1、如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD
例2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，
求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
．
四、巩固训练：
1、河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12 B．4米 C．5米 D．6米
2、如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（ ）
A．25m B．25m C．225m D．3350m
3、如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC30，则该山坡的高BC的长为_____米。
28.2.2解直角三角形(2)实际应用
28.2.2解直角三角形（2）实际应用 姓名： 家长签名：
介绍：仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .
例1. 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的
C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，
求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高? （结果保留小数点后一位）
练习：建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
小结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的
一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
课后练习：1、如图所示，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．在AC上取一点B，使得∠ABD=140°，BD=520米，∠D=50°．•要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是多少？
2、2003年10月15日“神舟”5号载人飞船发射成功，当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km， 取3.142，结果保留整数）？
3、已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．
人教版九年级数学下册28.2.2解直角三角形的应用优秀教学案例
人教版九年级数学下册28.2.2解直角三角形的应用优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学下册28.2.2解直角三角形的应用，通过生活中的实际问题，让学生掌握解直角三角形在实际生活中的应用。在案例背景中，我们以一个实际问题引入：某城市电视台发射塔高300米，其拉线长200米，若在地面上有一点，从该点到发射塔的影长为100米，求该点与发射塔之间的距离。通过这个问题，让学生思考解直角三角形在实际生活中的运用，激发学生的学习兴趣。
在教学过程中，我将以问题为导向，引导学生运用解直角三角形的知识，解决实际问题。通过小组合作、讨论交流的方式，让学生在解决问题的过程中，掌握解直角三角形的原理和方法。同时，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识。
本节课的教学目标是让学生理解解直角三角形的应用，掌握解直角三角形在实际问题中的运用方法，提高学生的数学素养。通过案例背景的引入，激发学生的学习兴趣，使他们在解决实际问题的过程中，能够自主探究、合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。同时，注重培养学生的数学思维，提高他们的解决问题的能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 让学生掌握解直角三角形的原理和方法，能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。通过生活中的实际问题，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
2. 培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。通过解决实际问题，让学生能够灵活运用所学知识，提高学生的数学思维能力。
3. 培养学生自主学习能力和合作交流能力。在教学过程中，引导学生独立思考、主动探究，通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（二）过程与方法
1. 以问题为导向，引导学生自主探究、合作交流。通过生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生在解决问题的过程中，能够主动运用所学知识，提高学生的自主学习能力。
数学人教版九年级下册28.2.2解直角三角形的应用——坡度问题
28.2.2解直角三角形的应用——坡度问题
教学目标
1.知道坡角、坡比（坡度）的意义.
2.能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题.
3.培养严谨致学的学习态度.
教学重点与难点
将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.
教学过程
一、知识回顾
解决直角三角形的应用思路。
1.把实际问题转化为解直角三角形的问题，关键是找出实际问题中的 ，直角三角形 之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具。
2.解答过程的思路：
实际问题
解直角三角形的问题
二、探究新知
（一）学习坡角和坡比（坡度）的定义.
从爬山引入：有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡的程度呢？
hL转化
问题答案 求出有关的边或角 比较上面两个斜坡，给出坡度的定义.
定义：坡面的铅垂高度（h）与水平宽度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作,i即Lhi.
坡度通常写成1∶m的形式.
定义：坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.
坡度与坡角的关系：antLhiα.
问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？
答：坡度越大，坡面越陡.
小练习：
1.斜坡的坡度是31：，则坡角α=_____度。
2.斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
4.在一次军事训练中，有一辆坦克准备通过如图的一座小山，AC为1000米，BC为400米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？
能爬过。那么反过来，你能利用我们今天学习的知识来阻止坦克爬过这个斜坡吗？
（二）有关坡角与坡比（坡度）的实际应用 A C 1000米 400米 B
学生分组讨论以下问题：
（1）梯形的常用辅助线的作法之一是作高，其目的是什么？
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2解直角三角形的简单应用第1课时解直
1 28.2.2解直角三角形的简单应用
第1课时
一、学习目标：
1．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决
2．渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养用数学的意识
二、学习重难点：
重点：利用所学知识解决实际问题．
难点：实际问题转化为数学模型
三、合作探究
课前复习
1.解直角三角形
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系：______________________________；
(2)两锐角之间的关系:_____________________________；
(3)边角之间的关系:______________________________.
情境导入
公园里，小明和小丽开心地玩跷跷板，当小丽用力将4 m长的跷跷板的一端压下并碰到地面,此时另一端离地面1.5m.你能求出此时跷跷板与地面的夹角吗？
2 课堂探究
问题1 如图,当棋棋乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°,你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?
问题2当棋棋要乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C, 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°,缆车行进速度为1m/s,棋棋需要多长时间才能到达目的地？
例题解析
例1： 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km,
3 结果取整数）？
归纳小结
例2：如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
人教版九年级数学下册第28章之解直角三角形的应用
解直角三角形的应用
学习目标：
1、知道“横断面、坡度、坡角”的概念和意义。
2、熟记tanα=i并会应用这个公式及直角三角形的有关知识解决筑坝问题。
3、会解决有公共直角边的两个直角三角形的相关问题。
学习重点：会用解直角三角形的知识解决筑坝问题。
学习难点：会用解直角三角形的知识解决实际问题
自学过程：
一、解决下列问题。
1、什么叫坡度（坡比）？_________________________
2、什么叫坡角？（画图说明）
3、自学课本58页例4，画出图形，并在下面写出例4的完整解答过程。
4、自学课本59页例5，对于有公共直角边的两个直角三角形的问题，对你是个考验，试试你的身手吧！画出图形，并在下面写出例5的完整解答过程
解直角三角形的应用达标题：
1、（5分）如图所示，一座堤坝的横截面为梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽，（精确到0.1 m，参考数据：1.414，1.732）
2、（5分）已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度(答案可带根号)．