2017年全国高考理科数学试题分类汇编15：复数
2016年全国高考理科数学试题分类汇编15：复数
一、选择题
1 ．（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））
设复数z满足(1)2izi,
则z （ ）
A．i1 B．i1 C．i1 D．i1
【答案】
A
2 ．（2016年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））
若复数z满足(3)(2)5zi(
i
为虚数单位),则z的共轭复数z为 （ ）
A．2i B．2i C．5i D．5i
【答案】
D
3 ．（2016年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））
若复数z满足24izi,则在
复平面内,z对应的点的坐标是 （ ）
A．2,4 B．2,4 C．4,2 D．4,2
【答案】
C
4 ．（2016年高考湖南卷（理））
复数1ziii为虚数单位在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
B
5 ．（2016年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））
复数的11Zi模为 （ ）
A．12 B．22 C．2 D．2
【答案】
B
6 ．（2016年高考湖北卷（理））
在复平面内,复数21izi(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
D
7 ．（2016年高考四川卷（理））
如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是
y
x
D
B
A
O
C
（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】
B
8 ．（2016年高考江西卷（理））
已知集合M={1,2,zi},i,为虚数单位,N={3,4},则复数z= （ ）
A．-2i B．2i C．-4i D．4i
【答案】
C
9 ．（2016年高考新课标1（理））
若复数z满足(34)|43|izi,则z的虚部为 （ ）
A．4 B．45 C．4 D．45
【答案】
D．
10．（2016年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））
3
1+3i
（ ）
A．8 B．8 C．8i D．8i
【答案】
A
11．（2016年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））
已知i是虚数单位,则
)2)(1(ii
（ ）
A．i3 B．i31 C．i33 D．i1
【答案】
B
12．（2016年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））
已知复数z的共轭复数12zi(i
为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
D
13．（2016年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））
设i是虚数单位,_z是复数z的共
轭复数,若|()>0Ixfx+2=2zzi,则z= （ ）
A．1+i B．1i
C．1+i D．1-i
【答案】
A
14．（2016年高考北京卷（理））
在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
D
二、填空题
15．（2016年上海市春季高考数学试卷(含答案)）
复数23i(i是虚数单位)的模是_______________
【答案】
13
16．（2016年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））
已知复数512izi(i是虚数单位),
则_________z
【答案】
5
17．（2016年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））
设2)2(iz(
i
为虚数单位),则复数z的模为_________.
【答案】
5
18．（2016年高考上海卷（理））
设mR,222(1)immm是纯虚数,其中i是虚数单位,则
________m
【答案】
2m
.
19．（2016年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））
已知a, b∈R, i是虚数单位. 若
(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = ______.
【答案】
12i
2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22x y y x│，则A B=(,)(,)1│，B={}x y x y+=中元素的个数为A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。
集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12 BCD ．2【答案】C 【解析】【考点】 复数的模；复数的运算法则 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)1212z zz z ±=± ；(2) 1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z⋅== ；(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ；(5)1212z zz z =⨯ ；(6)1121z z z z =。
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。
【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。
(2017-2019)高考理数真题分类汇编专题17 数系的扩充与复数的引入(学生版)
专题17 数系的扩充与复数的引入1．【2019年高考北京卷理数】已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．52．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数满足=1i z -，在复平面内对应的点为(，y )，则 A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设=–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若(1i)2i z +=，则= A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i + 5．【2018年高考浙江卷】复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i6．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D7．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】12i12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55--D ．34i 55-+8．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】(1i)(2i)+-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +9．【2018年高考北京卷理数】在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设有下面四个命题1p ：若复数满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p11．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】3i1i+=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i +D ．2i -12．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设复数满足(1+i)=2i ，则∣∣=A ．12B ．2CD ．213．【2017年高考北京卷理数】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞14．【2019年高考天津卷理数】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________．15．【2019年高考浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________． 16．【2019年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．17．【2018年高考天津卷理数】i 是虚数单位，复数67i12i+=+______________． 18．【2018年高考江苏卷】若复数满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则的实部为______________． 19．【2017年高考天津卷理数】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为______________．20．【2017年高考浙江卷】已知,a b ∈R ，2(i)34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b +=______________，ab =______________．21．【2017年高考江苏卷】已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则的模是______________．。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题23复数文20171101142
专题23 复数1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i)【答案】C【考点】复数运算，复数基本概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a bi)(c di)(ac bd)(ad bc)i,(a,b,c.d R)．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a bi(a,b R)的实部为a、虚部为b、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为a bi.2.【2017课标II，文2】(1i)(2i)A.1iB.13iC.3iD.33i【答案】B【解析】由题意(1i)(2i)23i i213i，故选B.【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a bi)(c di)(ac bd)(ad bc)i,(a,b,c.d R).其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a bi(a,b R)的实部为、虚部为、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为a bi.3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数z i(2i)的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题意：z12i，在第三象限. 所以选C.【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a bi)(c di)(ac bd)(ad bc)i,(a,b,c.d R).其次要熟悉复数相关基本概念，如复1数 a bi (a ,b R ) 的实部为、虚部为、模为 a 2 b 2 、对应点为 (a ,b ) 、共轭为 a bi .4.【2017北京，文 2】若复数 (1i)(a i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A ） (,1) （B ） (,1) （C ） (1,)（D ） (1,)【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数 z ＝a ＋b i 复平面内的点 Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .5.【2017山东，文 2】已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 z i 1 i ,则 z 2 =A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】A 【解析】 试题分析：由 z i1 i 得 (z i)2 (1 i)2 ,即 z 2 2i ,所以 z 22i ,故选 A.【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似 于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形1＋i 1－i 式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i ；(2) ＝i, ＝－i.1－i 1＋i则a 20,a 25. 【考点】复数的运算2【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件 问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可，或者设 a ib a i 2b bi2 i，根据两边复数相等，求解.6.13.【2017天津，文 9】已知 a R ，i 为虚数单位，若 a i 2i为实数，则 a 的值为 . 【答案】 2【解析】 试题分析：a i(a i )(2 i ) (2a 1) (a 2)i 2a 1 a22 i (2 i )(2 i )55 5i 为实数，14. 【 2017浙 江 ， 12】 已 知 a ， b ∈ R ，（a b i ）2 3 4i （ i 是 虚 数 单 位 ） 则a 2b 2，ab = ．【答案】5，2【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则 运 算 ， 要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路 ， 如(a bi )(c di ) (ac bd ) (adbc )i ,(a ,b ,c .d R )． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 abi (a ,b R ) 的实部为、虚部为、模为 a 2b 2 、对应点为 (a ,b ) 、共轭为 a bi .【2016，2015，2014高考】1. 【2014高考广东卷.文.2】已知复数满足3 4iz 25,则 z ( )A .3 4iB .3+4iC .3 4iD .34i【答案】D【解析】解法一：由题意得252534i 2534iz34i34i 34i 34i25,故选D.3解法二：设z a bi a,b R,则34i z34i abi 3a 4b 3b 4a i 25, 3a4b25由复数相等得3b4a0a3,解得b4,因此z 34i,故选D.【考点定位】本题考查复数的四则运算,属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题．解题时一定注意分子和分母同时乘以34i的共轭复数，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即a bi ac bd bcadc di cd cd2222i，i21．2. 【2016高考新课标1文数】设12i a i的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=（）（A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3【答案】A考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i21中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.3.【2015高考广东，文2】已知是虚数单位，则复数1i （）2A．2B．C．2i D．2i 【答案】D【解析】1i 12i i 12i 12i，故选D．22【考点定位】本题主要考查的是复数的乘法运算【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算，属于容易题．解题时一定注意1i的展2开，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算，即a bi2a2b22abi，i21．44. 【2016高考新课标2文数】设复数z满足z i3i，则=（）（A）12i（B）12i（C）32i（D）32i 【答案】C【解析】试题分析：由z i3i得，z32i，所以z32i，故选C.考点：复数的运算，共轭复数.【名师点睛】复数a bi(a,b R)的共轭复数是a bi(a,b R)，两个复数是共轭复数，其模相等.5.【2015高考湖南，文1】已知(1i)2z=1i（为虚数单位），则复数z( )A、1iB、1iC、1iD、1i【答案】D【考点定位】复数的运算【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据i21，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.6. 【2014山东.文1】已知a,b R,i是虚数单位，若a i2bi,则a bi（）2（A）34i（B）34i（C）43i（D）43i【答案】A【解析】由已知得，a2,b1，即a bi2i，所以(a bi)2(2i)234i,选A.考点：复数的四则运算，复数相等的定义.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用共轭复数的实部相等、虚部互为相反数，求得a,b，再求(a＋b i)2.本题属于基础题，注意运算的准确性.5z7. 2016高考新课标Ⅲ文数]若z 43i，则|z|＝（）（A）1 （B）1（C）43i（D）43i5555【答案】D【解析】z43i43试题分析：i||4355z22，故选D．考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i2换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．z8.【2015高考山东，文2】若复数Z满足1ii，其中为虚数单位，则Z=( )（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i【答案】A【考点定位】1.复数的运算；2.共轭复数.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.9.【2014高考陕西版文第3题】已知复数z 2i，则z z的值为（）A.5B.5C.3D.3【答案】A【解析】试题分析：由z 2i得z 2i，所以z z (2i )(2i)5，故选A.考点：共轭复数；复数的运算.【名师点晴】本题主要考查的是共轭复数及复数的运算，属于容易题.解题时由共轭复数的定义，求出复数z 2i的共轭复数，然后由复数乘法的运算法则就可求出z z的值610. 【2016高考四川文科】设为虚数单位，则复数(1i)2=( )(A) 0 (B)2 (C)2(D)2+2【答案】C【解析】试题分析：由题意，(1i)212i i22i，故选C.考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．13i11. 【2014全国2，文2】（）1iA.12iB. 12iC. 12iD. 12i【答案】B13i1i 【解析】由已知得，(13i )(1i)24i12i(1i)(1i)2，选B【考点定位】复数的运算.【名师点睛】本题考查了复数的除法运算，本题属于基础题，复数的除法的关键是在分子分母同时乘以分母的共轭复数，将除法转化为乘法来做，注意运算的准确性.12i12. 【2016高考北京文数】复数2i（）A. B.1i C.i D.1i【答案】A考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化13. 【2016高考山东文数】若复数z 21i，其中i为虚数单位，则=（）（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i7【答案】B 【解析】 试题分析：2 2(1 i ) z1i ,z1i1i (1i )(1 i )，选 B.考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看， 复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之 一.114. 【2014全国 1，文 3】设 zi ，则| z |( )1 i A.1 2B.2 2C.3 2D. 2【答案】B【解析】根据复数运算法则可得：1 1i 1i 1 1 z iiii 1 i (1 i )(1i ) 222 ，由模的 11 2运算可得：| z | ( )( ).2222 2考点：复数的运算【名师点睛】本题主要考查了复数的运算公式，在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意i 2 的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力. 15.【2015高考新课标 1，文 3】已知复数满足 (z1)i 1 i ，则 z （ ）（A ） 2 i（B ）2 i （C ） 2 i （D ） 2i【答案】C【考点定位】复数运算【名师点睛】本题考查复数的运算，先由 (z1)i 1 i 解出 z ，再利用复数的除法运算法则求出复数z，本题也可以设出复数z，利用两个复数相等的充要条件，解出复数z，解复数题目的关键熟悉复数的相关概念，掌握复数的运算法则.16. 【2014高考重庆文第1题】实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的8（ ）A . 第一象限B .第二象限C . 第三象限D .第四象限【答案】B 【解析】试题分析：实部为-2，虚部为 1的复数在复平面对应的点坐标为-2，1，位于第二象限，故选 B. 考点：复平面.【名师点睛】本题考查了复数的几何意义及相关概念，本题属于基础题. 17. 【 2014， 安 徽 文1】 设 是 虚 数 单 位 ， 复 数32i i1i= （ ）A ．iB ．C ．1D ．【答案】D ． 【解析】32i 2i (1 i ) 2试题分析：由题意 ，故选 D ．iii i i 11i(1 i )(1 i )考点：1．复数的运算．【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母 乘 以 自 己 的 共 轭 复 数 ）， 这 也 历 年 考 查 的 重 点 ； 另 外 ， 要 记 住 复 数 中i 4k 1,i 4k1i ,i 4k21,i 4k3i .18.【2015高考安徽，文 1】设是虚数单位，则复数1i 1 2i （）（A ）3+3i （B ）-1+3i（3）3+i （D ）-1+i【答案】C【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算公式. 【名师点睛】在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意2i 2 的运算结果，本题很好的考查9了考生的基本运算能力.1i19.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】为虚数单位，则()1i2A. B. 1 C. D.i（）【答案】B【解析】试题分析：因为)1(1i22i，故选B.1i2i考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题考查了复数的四则运算，属容易题. 其难度虽然不大，但仍能较好的考查复数的基本概念和基本运算法则，充分体现了高考始终坚持基本概念、基本操作和基本技能的考查，注重基础，强调教材的重要性.20. 【2015高考湖北，文1】为虚数单位，i607（）A．i B．C．1D．1【答案】A.【解析】因为i607(i2)303ii，所以应选A.【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.21.【2014福建,文2】复数32i i等于（）A .23iB .23i C.23i D.23i【答案】B考点：复数的四则运算.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般i21中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的难度不大,但容易出现运算错误,特别是10准确性.22.【2015高考福建，文1】若(1i)(23i)a bi（a,b R,i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）A．3,2B．3,2C．3,3D．1,4【答案】A【解析】由已知得32i a bi，所以a 3,b2，选A．【考点定位】复数的概念．【名师点睛】本题考查复数相等的充要条件和复数运算，利用复数相等可以确定参数的取值，属于基础题，但是要注意运算准确．23. 【2015新课标2文2】若为实数,且A．4B．3C．D．2ia3i1i,则a ( )【答案】D【解析】由题意可得2a i1i 3i24i a 4,故选D.【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般i21中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的难度不大,但容易出现运算错误,特别是准确性.24. 【2014辽宁文2】设复数z满足(z 2i)(2i)5，则z （）A．23i B．23i C．32i D．32i【答案】A【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解.11本题属于基础题，注意运算的准确性. 25. (2014课标全国Ⅰ，文 3)设1 zi 1i，则|z |＝( )．A ．1 2B ．22C ．3 2D ．2答案：B 解析：因为z1 1i1i 1 1i= iii 1 i 1 i1i 22 2，所以22z1 1 11 2i 2 2 2 22，故选 B.名师点睛：本题考查复数的运算、复数的模，复数 z a bi (a ,b R ) 的模| z | a 2 b 2 .考查计算能力，容易题. 二、填空题1. 【 2014湖南文 11】复数3i i2（为虚数单位）的实部等于_________.【答案】3【解析】由题可得3i3 ii2,3i 的实部为 3,故填3.【考点定位】复数【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后 一步的计算中，根据i 21，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复 数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.2. 【2014四川，文 12】复数2 2 i1 i.【答案】2i .【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来12说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3. 【2015高考四川，文11】设i是虚数单位，则复数i 1＝_________. i【答案】2i1【解析】ii i 2i i【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i的运算，容易误解为＝i，从而导致答案错误.一般地，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，而＝i－1＝－i.属于容易题4. 【2014年.浙江卷.文11】设已知是虚数单位，计算1i(1i)2________.11【答案】22i【解析】试题分析：因为1i1i1i11(1i)2i2222i.考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．有关复数的运算应该注意：(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．5. 【2016高考天津文数】i是虚数单位，复数满足(1i)z 2，则z的实部为_______. 【答案】1考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a bi)(c di)(ac bd)(ad bc)i,(a,b,c.d R)，13a bi(ac bd)(bc ad)i,(a,b,c.d R)，. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数c di c d22a bi ab R的实部为、虚部为、模为a2b2、共轭为a bi.(,)6. 【2015高考重庆，文11】复数(1+2i)i的实部为________.【答案】-2【解析】由于(1+2i)i=i+2i2=-2+i,故知其实部为-2，故填：-2.【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用复数的乘法法则进行求解.本题属于基础题，注意复数实部的概念.7. 【2014高考北京文第9题】若x i i12i x R，则x.【答案】2【解析】由题意知：xi112i，所以由复数相等的定义知x2.考点：本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.8. 【2015高考北京，文9】复数i1i的实部为．【答案】1【解析】复数i(1i)i11i，其实部为1.【考点定位】复数的乘法运算、实部.【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和复数的概念，属于容易题．解题时要抓住重要字眼“实部”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算和复数的a bi c di ac bd ad bc i，概念，即i21，若z a bi（、b R），则复数的实部是，虚部是．19.【2014上海,文2】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z)z=___________.z【答案】6【考点】复数的运算.【名师点睛】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则14①加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；z1 a＋b i a＋b i c－d i ac＋bd bc－ad④除法：＝＝＝＋i(c＋d i≠0)．z2 c＋d i c＋d i c－d i c2＋d2 c2＋d215。
2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析
2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p44.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋29.(5分)已知曲线C1：y＝cosx,C2：y＝sin(2x＋),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x＝3y＝5z,则( )A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为. 16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4,g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0},∴A∩B＝{x|x＜0},故A正确,D错误；A∪B＝{x|x＜1},故B和C都错误.故选：A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解：根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S＝,则对应概率P＝＝,故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解：若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题；p 2：复数z＝i满足z2＝－1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题；p 3：若复数z1＝i,z2＝2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R,则＝z∈R,故命题p4为真命题.故选：B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4＋a5＝24,S6＝48,∴,解得a1＝－2,d＝4,∴{an}的公差为4.故选：C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式－1≤f(x－2)≤1化为－1≤x－2≤1,解得答案.【解答】解：∵函数f(x)为奇函数.若f(1)＝－1,则f(－1)＝1,又∵函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,－1≤f(x－2)≤1,∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1),∴－1≤x－2≤1,解得：x∈[1,3],故选：D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解：(1＋)(1＋x)6展开式中：若(1＋)＝(1＋x－2)提供常数项1,则(1＋x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数：若(1＋)提供x－2项,则(1＋x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数：由(1＋x)6通项公式可得.可知r＝2时,可得展开式中x2的系数为.可知r＝4时,可得展开式中x2的系数为.(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为：15＋15＝30.故选：C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,＝×2×(2＋4)＝6,S梯形∴这些梯形的面积之和为6×2＝12,故选：B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”,进而通过偶数的特征确定n＝n＋2.【解答】解：因为要求A＞1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A＞1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选：D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C 1：y ＝cosx,C 2：y ＝sin(2x ＋),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y ＝cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y ＝cos2(x ＋)＝cos(2x ＋)＝sin(2x＋)的图象,即曲线C 2, 故选：D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|＋|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解：如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|＋|DE|最小,则A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0),则直线l 2的方程为y ＝x －1,联立方程组,则y 2－4y －4＝0,∴y 1＋y 2＝4,y 1y 2＝－4, ∴|DE|＝•|y 1－y 2|＝×＝8,∴|AB|＋|DE|的最小值为2|DE|＝16,方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝,∵0＜sin 22θ≤1,∴当θ＝45°时,|AB|＋|DE|的最小,最小为16, 故选：A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题.11.(5分)设x 、y 、z 为正数,且2x ＝3y ＝5z ,则( )A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.可得3y ＝,2x ＝,5z ＝.根据＝＝,＞＝.即可得出大小关系.另解：x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.＝＝＞1,可得2x＞3y,同理可得5z＞2x.【解答】解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴3y＝,2x＝,5z＝.∵＝＝,＞＝.∴＞lg＞＞0.∴3y＜2x＜5z.另解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴＝＝＞1,可得2x＞3y,＝＝＞1.可得5z＞2x.综上可得：5z＞2x＞3y.解法三：对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选：D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【分析】方法一：由数列的性质,求得数列{bn}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项,及前n项和Sn＝2n＋1－2－n,及项数,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解：设该数列为{an },设bn＝＋…＋＝2n＋1－1,(n∈N＋),则＝ai ,由题意可设数列{an }的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n＋1－1＝2n＋1－n－2,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,A项,由＝435,440＝435＋5,可知S440＝T29＋b5＝230－29－2＋25－1＝230,故A项符合题意.B项,仿上可知＝325,可知S330＝T25＋b5＝226－25－2＋25－1＝226＋4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知＝210,可知S220＝T20＋b10＝221－20－2＋210－1＝221＋210－23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知＝105,可知S110＝T14＋b5＝215－14－2＋25－1＝215＋15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二：由题意可知：,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：21－1,22－1,23－1,…,2n－1,每项含有的项数为：1,2,3,…,n,总共的项数为N＝1＋2＋3＋…＋n＝,所有项数的和为Sn：21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,则①1＋2＋(－2－n)＝0,解得：n＝1,总共有＋2＝3,不满足N＞100,②1＋2＋4＋(－2－n)＝0,解得：n＝5,总共有＋3＝18,不满足N＞100,③1＋2＋4＋8＋(－2－n)＝0,解得：n＝13,总共有＋4＝95,不满足N＞100,④1＋2＋4＋8＋16＋(－2－n)＝0,解得：n＝29,总共有＋5＝440,满足N＞100, ∴该款软件的激活码440.故选：A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝2.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解：【解法一】向量,的夹角为60°,且||＝2,||＝1,∴＝＋4•＋4＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12,∴|＋2|＝2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示；结合图形＝＋＝＋2；在△OAC中,由余弦定理得||＝＝2,即|＋2|＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为－5 .【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(－1,1).∴z＝3x－2y的最小值为－3×1－2×1＝－5.故答案为：－5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos30°＝,可得：＝,即,可得离心率为：e＝.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为4cm3.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝3,V＝＝,令＝5－x,三棱锥的高h＝,求出S△ABCf(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,f(x)≤f(2)＝80,由此能求出体积最大值.【解答】解：由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝5－x,三棱锥的高h＝＝＝,＝3,则V＝＝＝,令f(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,令f′(x)≥0,即x4－2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)＝80,∴V≤＝4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为：4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA＝,即可求出A＝,再根据正弦定理可得bc＝8,根据余弦定理即可求出b＋c,问题得以解决.＝acsinB＝,【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA＝2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC＝；(2)∵6cosBcosC＝1,∴cosBcosC＝,∴cosBcosC－sinBsinC＝－＝－,∴cos(B＋C)＝－,∴cosA＝,∵0＜A＜π,∴A＝,∵＝＝＝2R＝＝2,∴sinBsinC＝•＝＝＝,∴bc＝8,∵a2＝b2＋c2－2bccosA,∴b2＋c2－bc＝9,∴(b＋c)2＝9＋3cb＝9＋24＝33,∴b＋c＝∴周长a＋b＋c＝3＋.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD；(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD 为矩形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A－PB－C的余弦值.【解答】(1)证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD＝P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD；(2)解：∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA＝PD,∠APD＝90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则：D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y＝1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB＝A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos＜＞＝＝.由图可知,二面角A－PB－C为钝角,∴二面角A－PB－C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中x为i抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【分析】(1)通过P(X＝0)可求出P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(－3＋3)＝(9.334,10.606),进而需剔除(－3＋3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ－3σ,μ＋3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率为1－0.9974＝0.0026,因为P(X＝0)＝×(1－0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,又因为X～B(16,0.0026),所以E(X)＝16×0.0026＝0.0416；(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(－3＋3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(－3＋3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由＝9.97,s≈0.212,得μ的估计值为＝9.97,σ的估计值为＝0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(－3＋3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02,因此μ的估计值为10.02.2＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134,剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P 2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,求出a2＝4,b2＝1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足；当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),联立,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,－1).【解答】解：(1)根据椭圆的对称性,P3(－1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,得：,解得a2＝4,b2＝1, ∴椭圆C的方程为＝1.证明：(2)①当斜率不存在时,设l：x＝m,A(m,yA ),B(m,－yA),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,∴＝＝＝－1,解得m＝2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,,x1x2＝,则＝＝＝＝＝－1,又t≠1,∴t＝－2k－1,此时△＝－64k,存在k,使得△＞0成立,∴直线l的方程为y＝kx－2k－1,当x＝2时,y＝－1,∴l过定点(2,－1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；＜(2)由(1)可知：当a＞0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min＝g(e－2)＝e－2lne－2＋e－2－1＝－－1,g(1)＝0, 0,g(a)＝alna＋a－1,a＞0,求导,由g(a)min即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝ln,当f′(x)＞0,解得：x＞ln,当f′(x)＜0,解得：x＜ln,∴x∈(－∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,当a＞0时,f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,当x→－∞时,e2x→0,e x→0,∴当x→－∞时,f(x)→＋∞,当x→∞,e2x→＋∞,且远远大于e x和x,∴当x→∞,f(x)→＋∞,∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,由f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数,∴f(x)＝f(ln)＝a×()＋(a－2)×－ln＜0,min∴1－－ln＜0,即ln＋－1＞0,设t＝,则g(t)＝lnt＋t－1,(t＞0),求导g′(t)＝＋1,由g(1)＝0,∴t＝＞1,解得：0＜a＜1,∴a的取值范围(0,1).方法二：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝－lna,当f′(x)＞0,解得：x＞－lna,当f′(x)＜0,解得：x＜－lna,∴x∈(－∞,－lna)时,f(x)单调递减,x∈(－lna,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,－lna)是减函数,在(－lna,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,＝f(－lna)＝1－－ln, ②当a＞0时,由(1)可知：当x＝－lna时,f(x)取得最小值,f(x)min当a＝1,时,f(－lna)＝0,故f(x)只有一个零点,当a∈(1,＋∞)时,由1－－ln＞0,即f(－lna)＞0,故f(x)没有零点,当a∈(0,1)时,1－－ln＜0,f(－lna)＜0,由f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0, 故f(x)在(－∞,－lna)有一个零点,假设存在正整数n0,满足n＞ln(－1),则f(n)＝(a＋a－2)－n＞－n＞－n＞0,由ln(－1)＞－lna,因此在(－lna,＋∞)有一个零点.∴a的取值范围(0,1).【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨论思想,属于中档题.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【分析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标；(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.【解答】解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是：＋y2＝1；a＝－1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x＋4y－3＝0；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(－,).(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是：x＋4y－a－4＝0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为：。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A ∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．23．（5分）（2017•新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（2017•新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆+＝1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝16．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称C．f（x+π）的一个零点为x＝D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）（2017•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a ＝（）A．﹣B．C．D．112．（5分）（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)
（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 ．
x − y ≤ 0
15．已知双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ，以
A 为圆心， b
为半径作
圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点，若 ∠MAN = 60o，则 C 的离心
率为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的 等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为______．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题13 复数(解析版)
一、填空题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知复数z 满足(23i)32i z -=+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知,a b ∈R ，i ibia 231-=++，其中i 是虚数单位，则ab += ． 【答案】6【解析】由i i i bi a +=-+=+5)23)(1(得1,5==b a ，故6=+b a .3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知复数z 满足(1i)i z -=（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】因为i 11i 1i 22z ==+-，则||z == 4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知复数21iz i-=+,则z 的共轭复数的模为_______.【答案】2【解析】因为()()212131(1)(1)22i i i z i i i i ---===-++-，所以1322z i =+，则||z =本题若用模的性质，则能简化运算：2|2||||z|||1|1|2i i z i i --=====++5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】已知23(,,ia bi ab R i i+=+∈为虚数单位)，则a b +=_______.【答案】1 【解析】23323,2, 1.ia bi i a bi ab a b i+=+⇒-=+⇒==-+= 6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设复数2(a,b R,z a bi i =-∈是虚数单位）的模为1，则复数2z 的共轭复数的模是 ． 【答案】1．【解析】由题设可知1422=+b a ，而abi b a bi a z 44)2(2222--=-=，其共轭复数为abi b a z 44222+-=，其模为1)4(16)4(||222222222=+=+-=b a b a b a z ．7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知复数z 满足42-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．【答案】2i 【解析】试题分析：设222(,,0),24z a bi a b R b z a b abi =+∈>=-+=-则，因此 20,4,2a b b =-=-=±，又0b >则2,2b z i ==8. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ．9. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i ，且z 1·¯z 2是实数（其中¯z 2为z 2的共轭复数），则实数a ＝___________． 【答案】34【解析】试题分析：因为i a a i a i z z )34(43))(43(21-++=-+=⋅是实数，所以.43,034==-a a 10. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知i为虚数单位，计算()21i=【答案】14-【解析】原式=ii32231+-i i 4341)31(2)31(2--=+-=11. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】已知复数()1z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限．12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是_____________． 【答案】1- 【解析】()2221221ii z i i i ++===-+，所以虚部为1- 13. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】 复数iz 251+=的共轭复数为____▲_____.29i +【解析】复数299z i ===-29i . 14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ．【答案】i 26-【解析】i i z z z 26215-=-+=+⋅15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z|＝________ 【答案】10【解析】22(3)9686z i i i i =+=++=+，10z ==．16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB ，则向量AB 对应的复数所对应的点的坐标为____________． 【答案】(1,1)-【解析】∵复数122,12z i z i =+=+，∴(2,1)OA =，(1,2)OB =，∴(1,1)AB OB OA =-=-，∴向量AB 对应的复数所对应的点的坐标为(1,1)-.17. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 . 【答案】34i + 【解析】 试题分析：()22=34,3 4.z i i z i=--=+18. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若复数z 满足(2)43i z i -=+（i 为虚数单位），则||z = ▲ .19. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ． 【答案】1- 【解析】试题分析：22210(i)2i122 1.22aa a ai i aa⎧-=-=⇒--=⇒⇒=-⎨-=⎩20. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是▲ ．【答案】【解析】试题分析：由题意得(1。
高考数学复习 专题17 复数(解析版)
专题17 复数考纲解读三年高考分析1.复数的概念(1)理解复数的基本概念.(2)理解复数相等的充要条件.(3)了解复数的代数表示法及其几何意义.2.复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算.(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数的运算是考查的重点，解题时常用到复数的运算法则、复数的模的计算、共轭复数的概念，考查学生的数学数学运算能力，题型以选择题，较小难度.主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1．【2019年新课标3理科02】若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝1+i．故选：D．2．【2019年全国新课标2理科02】设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．3．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z＝x+yi，∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，∴|z﹣i|，∴x2+（y﹣1）2＝1，故选：C．4．【2019年北京理科01】已知复数z＝2+i，则z•（）A．B．C．3 D．5 【解答】解：∵z＝2+i，∴z•．故选：D．5．【2018年新课标1理科01】设z2i，则|z|＝（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．6．【2018年新课标2理科01】（）A．i B．C．D．【解答】解：．故选：D．7．【2018年新课标3理科02】（1+i）（2﹣i）＝（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i．故选：D．8．【2018年浙江04】复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：化简可得z1+i，∴z的共轭复数1﹣i故选：B．9．【2018年北京理科02】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数，共轭复数对应点的坐标（，）在第四象限．故选：D．10．【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1；p 4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z＝i满足z2＝﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1，故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R，则z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．11．【2017年新课标2理科01】（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：2﹣i，故选：D．12．【2017年新课标3理科02】设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|．故选：C．13．【2017年北京理科02】若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．14．【2019年天津理科09】i是虚数单位，则||的值为．【解答】解：由题意，可知：2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|．故答案为：．15．【2019年江苏02】已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．16．【2019年浙江11】复数z（i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：∵z．∴|z|．故答案为：．17．【2018年江苏02】若复数z满足i•z＝1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．【解答】解：由i•z＝1+2i，得z，∴z的实部为2．故答案为：2．18．【2018年上海05】已知复数z满足（1+i）z＝1﹣7i（i是虚数单位），则|z|＝．【解答】解：由（1+i）z＝1﹣7i，得，则|z|．故答案为：5．19．【2018年天津理科09】i是虚数单位，复数．【解答】解：4﹣i，故答案为：4﹣i20．【2017年江苏02】已知复数z＝（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【解答】解：复数z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|．故答案为：．21．【2017年浙江12】已知a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），则a2+b2＝，ab＝．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2＝3+4i（i是虚数单位），∴3+4i＝a2﹣b2+2abi，∴3＝a2﹣b2，2ab＝4，解得ab＝2，，．则a2+b2＝5，故答案为：5，2．22．【2017年上海05】已知复数z 满足z 0，则|z |＝ ．【解答】解：由z 0，得z 2＝﹣3，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z 2＝﹣3，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝﹣3， 即，解得：．∴． 则|z |．故答案为：．23．【2017年天津理科09】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若为实数，则a 的值为 ．【解答】解：a ∈R ，i 为虚数单位，i由为实数，可得0，解得a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．1．【吉林省舒兰一中、吉化一中、九台一中、榆树实验中学等八校联考】若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A.45i -B.45-C.45D.45i 【答案】C 【解析】 由题意得，()()()534534z 34343455i i i i i +===+--+ 所以z 的虚部为45.故本题答案为452．【2019年9月广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】设复数z 满足(3)3i z i +=-，则||z =（）． A ．12B ．1C 2D ．2【答案】B 【解析】由题意得：()()()23386433331055i i i z i i i i ---====-++-2243155z ⎛⎫⎛⎫∴=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够利用复数的除法运算整理出复数.3．【2019年9月广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4【答案】A 【解析】依题意，复数1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，故选A.4．【湖南省怀化市2018-2019学年高三下学期期末】已知i 是虚数单位，则复数122ii+-等于（ ） A ．i B ．i -C ．5iD ．45i + 【答案】A 【解析】 复数122ii+-化简可得122ii+- ()()()()122+=22+i i i i +-22+52=5i i + =i所以选A5．【安徽省合肥一中2019-2020学年9月高三阶段性检测】复数z 满足()1i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部与虚部之和为（ ） A ．1 B ．0C ．12i- D ．12i+ 【答案】B 【解析】 因为()1i z i += 所以111122z i i ==-+ 所以z 的实部与虚部之和为11022-=，故选B 项. 6．【湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考】已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-i B ．-1+2i C ．-1-2i D ．-2+3i【答案】A 【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A.7．【河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试】设复数1z 在复平面内对应的点为(,)x y ，1(12)z i z =+，若复数z 的实部为1，则（）A ．21x y +=B ．21x y -=C ．21x y +=D ．21x y -=【答案】D 【解析】因为1z x yi =+，()()()()1222z i x yi x y x y i =++=-++，所以21x y -=.故选D . 8．【广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考】若复数z 满足()1i 13i z +=+，则复数z 的共轭复数的模为 A ．1 B 2C ．2D ．2【答案】B 【解析】由于213i 1+(3)2+=，则22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 所以复数z 的共轭复数1z i =+，则22112z =+=故答案选B9．【广东省台山市华侨中学2020届高三级10月模考】设i 为虚数单位,m R ∈,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】复数()1m m i -+是纯虚数,则0m =或1m =,所以“复数()1m m i -+是纯虚数”不是“1m =”的充分条件；当1m =时,复数为i ,是纯虚数,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的必要条件, 所以“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的必要不充分条件． 故选B ．10．【2019年河南省八市重点高中联盟高三9月“领军考试”】已知复数z 的共轭复数为z ，若11z z i-=+，则z 在复平面内对应的点为（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1)【答案】A 【解析】设R z x yi x y =+∈（，），由11z z i-=+，得()()11x yi i x yi -+=+-, 即()()1x y x y i x yi ++-=-+，则1x y x x y y+=-⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-.∴z 在复平面内对应的点为()2,1--， 故选：A11．【2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考】复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ） A ．7 B ．49 C ．9 D ．81【答案】B 【解析】设z x yi =+，则()()()()223434342z i x y i x y ++=+++=+++=，()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离的平方，原点到圆心的()()2230405--+--=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选：B.12．【2019年广东省珠海市高三9月月考】已知i 为虚数单位，若复数z 满足31iz i-=+,则z =（ ） A ．12i + B ．3i +C 5D 10【答案】C 【解析】()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-,故5z =，选B.13．【2019年山东省济南市外国语学校高三9月阶段测试】复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（） A ．-1 B ．1C ．i -D ．i【答案】B 【解析】因为21(1)(1)(1)21222i i i i i i i ----==-==+，所以虚部是1，故选B.14．【山西省大同市2020届高三开学学情调研测试】设x ，y R ∈，i 为虚数单位，且3412ii Z+=+，则Z x yi =+的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由3412ii Z+=+可得，3412)i i x yi +=+⋅+（）（，即342(2)i x y x y i +=-++， 23,24x y x y ∴-=+=，112,55x y ∴==-，故Z x yi =+的共轭复数为11255i +，故Z x yi =+的共轭复数在复平面内对应的点为112(,)55，故选：A 。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题23复数文20171101142
专题23 复数1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【考点】复数运算，复数基本概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++=A.1i -B.13i +C.3i +D.33i + 【答案】B【解析】由题意2(1)(2)2313i i i i i ++=++=+，故选B. 【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C. 【考点】复数运算【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 4.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .5.【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】试题分析：由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i ＝－i.则20,25a a +==-. 【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可，或者设22a ib a i b bi i-=⇒-=++，根据两边复数相等，求解. 6.13.【2017天津，文9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】 试题分析：()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 14. 【2017浙江，12】已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ．【答案】5，2【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R (,)a b 、共轭为.-a bi 【2016，2015，2014高考】1. 【2014高考广东卷.文.2】已知复数满足()3425i z -=,则z =( )A .34i --B .34+i -C .34i -D .34i +【答案】D【解析】解法一：由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i ++====+--+,故选D .解法二：设(),z a bi a b R =+∈,则()()()()()3434343425i z i a bi a b b a i -=-+=++-=,由复数相等得3425340a b b a +=⎧⎨-=⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩,因此34z i =+,故选D .【考点定位】本题考查复数的四则运算,属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题．解题时一定注意分子和分母同时乘以34i -的共轭复数，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即2222a bi ac bd bc ad i c di c d c d++-=++++，21i =-． 2. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.3.【2015高考广东，文2】已知是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．C ．2i -D ．2i 【答案】D【解析】()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．【考点定位】本题主要考查的是复数的乘法运算【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算，属于容易题．解题时一定注意()21i +的展开，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算，即()2222a bi a b abi +=-+，21i =-．4. 【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则=（ ）（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数.【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数是共轭复数，其模相等.5.【2015高考湖南，文1】已知2(1)i z-=1i +（为虚数单位），则复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i -- 【答案】D【考点定位】复数的运算【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果.6. 【2014山东.文1】 已知i R b a ,,∈是虚数单位，若,2bi i a -=+则()2bi a +（ ）（A ）i 43- （B ）i 43+ （C ） i 34- （D ）i 34+ 【答案】A【解析】由已知得，2,1a b ==-，即2a bi i +=-，所以22()(2)34,a bi i i +=-=-选A .考点：复数的四则运算，复数相等的定义.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用共轭复数的实部相等、虚部互为相反数，求得a,b ，再求(a ＋b i)2.本题属于基础题，注意运算的准确性. 7. 2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则||zz ＝（ ）（A ）1 （B ）1-（C ）43i 55+（D ）43i 55- 【答案】D 【解析】 试题分析：43i ||55z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 8.【2015高考山东，文2】若复数Z 满足1zi-i =，其中为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A【考点定位】1.复数的运算；2.共轭复数.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.9.【2014高考陕西版文第3题】已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ）.5A B .3C D 【答案】A 【解析】试题分析：由2z i =-得2z i =+，所以(2)(2)5z z i i ⋅=-⋅+=，故选A . 考点：共轭复数；复数的运算.【名师点晴】本题主要考查的是共轭复数及复数的运算，属于容易题.解题时由共轭复数的定义，求出复数2z i =-的共轭复数，然后由复数乘法的运算法则就可求出z z ⋅的值 10. 【2016高考四川文科】设为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2 (D)2+2【答案】C 【解析】试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 11. 【2014全国2，文2】131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- 【答案】B 【解析】由已知得，131i i +-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B 【考点定位】复数的运算.【名师点睛】本题考查了复数的除法运算，本题属于基础题，复数的除法的关键是在分子分母同时乘以分母的共轭复数，将除法转化为乘法来做，注意运算的准确性. 12. 【2016高考北京文数】复数122ii+=-（ ） A. B.1i + C.i - D.1i - 【答案】A考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化13. 【2016高考山东文数】若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则=（ ） （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i【答案】B 【解析】试题分析：22(1)1,11(1)(1)i z i z i i i i +===+∴=---+，选B. 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.14. 【2014全国1，文3】设i iz ++=11，则=||z ( ) A.21 B. 22 C. 23 D. 2 【答案】B【解析】根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=-++-，由模的运算可得：||2z ==. 考点：复数的运算【名师点睛】本题主要考查了复数的运算公式，在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意2i 的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力.15.【2015高考新课标1，文3】已知复数满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +【答案】C【考点定位】复数运算【名师点睛】本题考查复数的运算，先由(1)1z i i -=+解出z ，再利用复数的除法运算法则求出复数z ，本题也可以设出复数z ，利用两个复数相等的充要条件，解出复数z ，解复数题目的关键熟悉复数的相关概念，掌握复数的运算法则.16. 【2014高考重庆文第1题】实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【解析】试题分析：实部为-2，虚部为1的复数在复平面对应的点坐标为()-21，，位于第二象限， 故选B. 考点：复平面.【名师点睛】本题考查了复数的几何意义及相关概念，本题属于基础题. 17. 【2014，安徽文1】设是虚数单位，复数321iii++= （ ） A ．i - B ． C ． 1- D ． 【答案】D ． 【解析】 试题分析：由题意3222(1)11(1)(1)i i i ii i i i i i i -+=-+=-+-=++-，故选D ． 考点：1．复数的运算．【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，要记住复数中44142431,,1,k k k k i i i i i i+++===-=-. 18.【2015高考安徽，文1】设是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】C【考点定位】本题主要考查复数的乘法运算公式.【名师点睛】在应用复数的乘法运算公式时，一定要注意22i -的运算结果，本题很好的考查了考生的基本运算能力.19.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. B. 1- C. D.i - 【答案】B试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选B. 考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题考查了复数的四则运算，属容易题. 其难度虽然不大，但仍能较好的考查复数的基本概念和基本运算法则，充分体现了高考始终坚持基本概念、基本操作和基本技能的考查，注重基础，强调教材的重要性.20. 【2015高考湖北，文1】为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．C ．1-D ．1 【答案】A .【解析】因为6072303()i i i i =⋅=-，所以应选A . 【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.21.【2014福建,文2】复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A iB iC iD i ---+-+【答案】B考点：复数的四则运算.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.22.【2015高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4-【答案】A【解析】由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 【考点定位】复数的概念．【名师点睛】本题考查复数相等的充要条件和复数运算，利用复数相等可以确定参数的取值，属于基础题，但是要注意运算准确． 23. 【2015新课标2文2】若为实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ． D ． 【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.24. 【2014辽宁文2】设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 【答案】A【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，其解答利用方程思想，采用分母实数化求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性. 25. (2014课标全国Ⅰ，文3)设1i 1iz =++，则|z |＝( )．A ．12 B ．2 C ．2D ．2 答案：B解析：因为11i 1i 11i=i i i 1i 1i 1i 222z --=++=+=++(+)(-)，所以11i 222z =+==，故选B.名师点睛：本题考查复数的运算、复数的模，复数),(R ∈+=b a bi a z 的模22||b a z +=.考查计算能力，容易题. 二、填空题1. 【 2014湖南文11】复数23ii+（为虚数单位）的实部等于_________. 【答案】3- 【解析】由题可得233ii i +=--,3i --的实部为3-,故填3-. 【考点定位】复数【名师点睛】在对复数之间进行乘法运算时，直接利用多项式的乘法分配律进行计算，在最后一步的计算中，根据21i =-，最后根据复数的加法原则，实部与实部相加，虚部与虚部相加便可得到最终结果；在进行复数的除法运算时，首先将分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数，分子的运算遵循复数的乘法运算法则，从而得到相应的结果. 2. 【2014四川，文12】复数221ii-=+ . 【答案】2i -.【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3. 【2015高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i-＝_________. 【答案】2i【解析】12i i i i i-=+=【考点定位】本题考查复数的概念，复数代数形式的四则运算等基础知识.【名师点睛】解决本题的关键取决于对复数运算的熟练程度，也就是＝－i 的运算，容易误解为＝i ，从而导致答案错误.一般地，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，而＝i －1＝－i .属于容易题4. 【2014年.浙江卷.文11】设已知是虚数单位，计算21(1)ii -=+________.【答案】1122i -- 【解析】试题分析：因为211111(1)2222i i i i i i --+===--+-.考点：复数的运算，容易题.【名师点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．有关复数的运算应该注意：(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 5. 【2016高考天津文数】i 是虚数单位，复数满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______. 【答案】1考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈，a bi c di ac bd ad bc i abcd R 22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R .-a bi6. 【2015高考重庆，文11】复数(12i)i +的实部为________. 【答案】-2【解析】由于2(12i)i 22i i i +=+=-+,故知其实部为-2，故填：-2. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，利用复数的乘法法则进行求解.本题属于基础题，注意复数实部的概念.7. 【2014高考北京文第9题】若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = . 【答案】2【解析】由题意知：112xi i -=-+，所以由复数相等的定义知2x =.考点：本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.8. 【2015高考北京，文9】复数()1i i +的实部为 ． 【答案】1-【解析】复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 【考点定位】复数的乘法运算、实部.【名师点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和复数的概念，属于容易题．解题时要抓住重要字眼“实部”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是复数的乘法运算和复数的概念，即()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，21i =-，若z a bi =+（、R b ∈），则复数的实部是，虚部是．9.【2014上海,文2】若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________. 【答案】6【考点】复数的运算.【名师点睛】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．。
2017年全国各地高考数学真题试卷(含答案和解析)
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