2019年浙江省中考数学分类汇编专题锐角三角函数(含答案解析)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
中考数学-锐角三角函数(解析版)
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
(完整版)2019年全国各地中考数学试卷真题汇集：锐角三角函数与特殊角(含答案),推荐文档
“人字梯”的顶端离地面的高度 AD 是【 】
A. 144cm
B. 180cm C. 240cm D. 360cm
【答案】B．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】∵“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的
6．（2019•甘肃庆阳，第 7 题，3 分）在△ABC 中，若角 A，B 满足|cosA﹣ |+（1﹣tanB）
2=0，则∠C 的大小是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． .
分析： 根据非负数的性质得出 cosA= ，tanB=1，求出∠A 和∠B 的度数，继而可求得 ∠C 的度数． 解 答： 解：由题意得，cosA= ，tanB=1， 则∠A=30°，∠B=45°， 则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°． 故选 D． 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角
解答： 解：sin30°= ，
=2 ， π0=1，
1
2﹣2= ，
故选：D． 点评： 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整数指 数幂与正整数指数幂互为倒数． 3．（2019•本溪，第 9 题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点
A（﹣2，0），与 x 轴夹角为 30°，将△ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y=（k≠0）上，则 k 的值为（ ）
点评： 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接 BC 构造直角三角形是解题的关 键． 4.（2019•四川巴中,第 18 题 3 分）如图，将∠AOB 放在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 则 tan∠AOB= ．
专题10三角形--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题10三角形一．选择题（共14小题）1．（2021•宁波）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD =√3．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A ．√33B ．√32C ．1D ．√62【分析】由直角三角形的性质求出AD ＝BD =√3,由锐角三角函数的定义求出DC ＝1,由三角形的中位线定理可求出答案．【详解】解:∵AD ⊥BC ,∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°,∵∠B ＝45°,BD =√3,∴AD ＝BD =√3,∵∠C ＝60°,∴DC =AD tan60°=√3√3=1,∴AC ＝DC ＝2,∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF =12AC ＝1．故选：C ．2．（2021•嘉兴）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且AD ＝2，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC 和DE 的中点，连结AG ，FG ，当AG ＝FG 时，线段DE 长为（ ）A ．√13B ．5√22C ．√412D ．4【分析】分别过点G ，F 作AB 的垂线，垂足为M ，N ，过点G 作GP ⊥FN 于点P ，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG 和FG 的长，建立等式可求出结论．【详解】解：如图，分别过点G ，F 作AB 的垂线，垂足为M ，N ，过点G 作GP ⊥FN 于点P ，∴四边形GMNP 是矩形，∴GM ＝PN ，GP ＝MN ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，∴CA ⊥AB ，又∵点G 和点F 分别是线段DE 和BC 的中点，∴GM 和FN 分别是△ADE 和△ABC 的中位线，∴GM =12AD =1，AM =12AE ，FN =12AC =52，AN =12AB =52，∴MN ＝AN ﹣AM =52−12AE ， ∴PN ＝1，FP =32，设AE ＝m ，∴AM =12m ，GP ＝MN =52−12m ，在Rt △AGM 中，AG 2＝（12m ）2+12，在Rt △GPF 中，GF 2＝（52−12m ）2+（32）2， ∵AG ＝GF ，∴（12m ）2+12＝（52−12m ）2+（32）2， 解得m ＝3，即DE ＝3，在Rt △ADE 中，DE =√AD 2+AE 2=√13．故选：A ．3．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形ABCDS 正方形EFGH 的值是（ ）A ．1+√2B ．2+√2C ．5−√2D ．154【分析】证明△BPG ≌△BCG （ASA ），得出PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，则EG ＝2x ，FG =√2x ，由勾股定理得出BC 2＝（4+2√2）x 2，则可得出答案．【详解】解：∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BGC ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG （ASA ），∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG =√2x ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x +√2x ，∴BC 2＝BG 2+CG 2=x 2(√2+1)2+x 2=(4+2√2)x 2，∴S 正方形ABCDS 正方形EFGH =(4+2√2)x 22x 2=2+√2．故选：B ．4．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【详解】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B ．5．（2019•宁波）已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【分析】先求出∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED ＝70°．【详解】解：设AB 与直线n 交于点E ，则∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°．又直线m ∥n ，∴∠2＝∠AED ＝70°．故选：C．6．（2020•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．4【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10．又∵CD为中线，∴CD=12AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD＝2.5．故选：B．7．（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．8．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C 点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE ＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE的度数．【详解】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．9．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．10．（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，5，11D．5，6，11【分析】根据三角形的三边关系即可求【详解】解：A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B．11．（2019•金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【详解】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有3，故选：C．12．（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c 2＝a 2+b 2，阴影部分的面积＝c 2﹣b 2﹣a （c ﹣b ）＝a 2﹣ac +ab ＝a （a +b ﹣c ），较小两个正方形重叠部分的宽＝a ﹣（c ﹣b ），长＝a ，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C ．13．（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√3417【分析】设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF ⊥BG 于F ，由△CDE ∽△CBF 的比例线段求得结果即可．【详解】解：过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6， 解得：x ＝4，∴DE ＝4，∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =√DE 2+CE 2=√42+32=5，∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴CE CF =CD CB ， 即3CF =58，∴CF =245．故选：A ．14．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．36D ．42【分析】过D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于H ，根据角平分线的性质得到DH ＝CD ＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于H ，∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，∴DH ＝CD ＝4，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD +S △BCD =12AB •DH +12BC •CD =12×6×4+12×9×4＝30， 故选：B ．二．填空题（共5小题）15．（2021•绍兴）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝70°，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则∠BAP 的度数是 15°或75° ．【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．【详解】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；当点P在点C的右侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP1A=∠ACB2=70°2=35°，∴∠BAP2＝∠CAP2﹣∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，故答案为：15°或75°．16．（2021•绍兴）已知△ABC与△ABD在同一平面内，点C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2√2，则CD长为2√3±2或4或2√6．【分析】分C,D在AB的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形．【详解】解：如图，当C,D同侧时，过点A作AE⊥CD于E．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°,AB＝4,∠ABE＝30°，∴AE=12AB＝2，∵AD＝AC＝2√2，∴DE=√(2√2)2−22=2,EC=√(2√2)2−22=2，∴DE＝EC＝AE，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝4，当C,D异侧时，过C′作C′H⊥CD于H，∵△BCC′是等边三角形，BC＝BE﹣EC＝2√3−2，∴CH＝BH=√3−1,C′H=√3CH＝6﹣2√3，在Rt△DC′H中，DC′=√DH2+C′H2=√(3+√3)2+(6−2√3)2=2√6，∵△DBD′是等边三角形，∴DD′＝2√3+2，∴CD的长为2√3±2或4或2√6．故答案为：2√3±2或4或2√6．17．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．18．（2020•绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD．若BD的长为2√3，则m的值为2或2√7．【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE=√3，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE=√3，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2√3，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2√3，∴D′E＝3√3，∴AD′=√(3√3)2+12=2√7，∴m＝2√7，综上所述，m的值为2或2√7，故答案为：2或2√7．19．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆P A＝PC＝140cm，AB＝BC＝CQ＝QA＝60cm，OQ＝50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．（1）点P到MN的距离为160cm．（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为6409cm．【分析】（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．解直角三角形求出PT即可．（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA＝xcm．解直角三角形求出HT即可．【详解】解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．由题意：OP ＝OQ ＝50cm ，PQ ＝P A ﹣AQ ＝140﹣60＝80（cm ），PM ＝P A +BC ＝140+60＝200（cm ），PT ⊥MN ，∵OH ⊥PQ ，∴PH ＝HQ ＝40（cm ），∵cos ∠P =PH OP =PT PM ，∴4050=PT 200，∴PT ＝160（cm ），∴点P 到MN 的距离为160cm ，故答案为160．（2）如图4中，当O ，P ，A 共线时，过Q 作QH ⊥PT 于H ．设HA ＝xcm ．由题意AT ＝PT ﹣P A ＝160﹣140＝20（cm ），OA ＝P A ﹣OP ＝140﹣50＝90（cm ），OQ ＝50cm ，AQ ＝60cm ， ∵QH ⊥OA ，∴QH 2＝AQ 2﹣AH 2＝OQ 2﹣OH 2，∴602﹣x 2＝502﹣（90﹣x ）2，解得x =4609，∴HT ＝AH +AT =6409（cm ）， ∴点Q 到MN 的距离为6409cm ． 故答案为6409．三．解答题（共8小题）20．（2021•杭州）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 交AC 边于点D ，AE ⊥BC 于点E ．已知∠ABC ＝60°，∠C ＝45°．（1）求证：AB ＝BD ；（2）若AE ＝3，求△ABC 的面积．【分析】（1）计算出∠ADB 和∠BAC ，利用等角对等边即可证明；（2）利用锐角三角函数求出BC 即可计算△ABC 的面积．【详解】（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC =12∠ABC ＝30°，∵∠ADB ＝∠DBC +∠C ＝75°，∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD ；（2）解：由题意得，BE =AE tan∠ABC =√3，EC =AE tanC =3，∴BC ＝3+√3，∴S △ABC =12BC ×AE =9+3√32． 21．（2021•台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝10√2．（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．【分析】(1)根据已知条件利于SSS 即可求证△ABC ≌△ADC ；(2)过点B 作BE ⊥AC 于点E ,根据已知条件利于锐角三角函数求出BE 的长，再根据Rt △ABE 边的关系即可推出∠BAC 的度数，从而求出∠BAD 的度数．【详解】解：（1）证明：在△ABC 和△ADC 中，{AB =AD BC =DC AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）；（2）过点B 作BE ⊥AC 于点E ，如图所示，∵∠BCA ＝45°，BC ＝10√2，∴sin ∠BCA ＝sin45°=BE BC =10√2=√22, ∴BE ＝10，又∵在Rt △ABE 中，AB ＝20，BE ＝10，∴∠BAE ＝30°，又∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAD ＝∠BAE +∠DAC ＝2∠BAE ＝2×30°＝60°．22．（2021•杭州）在①AD ＝AE ，②∠ABE ＝∠ACD ，③FB ＝FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，点D 在AB 边上（不与点A ，点B 重合），点E 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BE ，CD ，BE 与CD 相交于点F ．若 ①AD ＝AE （②∠ABE ＝∠ACD 或③FB ＝FC ） ，求证：BE ＝CD ．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【分析】若选择条件①，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“SAS ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件②，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件③，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，再证明∠ABE ＝∠ACD ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ．【详解】证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，在△ABE 和△ACD 中，{AB =AC ∠A =∠A AE =AD，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝CD ；选择条件②的证明为：∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，在△ABE 和△ACD 中，{∠ABE =∠ACD AB =AC ∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE ＝CD ；选择条件③的证明为：∵∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，∵FB ＝FC ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴∠ABC ﹣∠FBC ＝∠ACB ﹣∠FCB ，即∠ABE ＝∠ACD ，在△ABE 和△ACD 中，{∠ABE =∠ACD AB =AC ∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴BE ＝CD ．故答案为①AD ＝AE （②∠ABE ＝∠ACD 或③FB ＝FC ）23．（2021•温州）如图，BE 是△ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB ＝DE ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）若∠A ＝65°，∠AED ＝45°，求∠EBC 的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE ＝∠EBC ，从而求出∠DEB ＝∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）由（1）中DE ∥BC 可得到∠C ＝∠AED ＝45°,再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC ，最后用角平分线求出∠DBE ＝∠EBC ，即可得解．【详解】解：（1）∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠DBE ＝∠EBC ，∵DB ＝DE ,∵∠DEB ＝∠DBE ，∴∠DEB ＝∠EBC ，∴DE ∥BC ；（2）∵DE ∥BC ，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC=12∠ABC=35°．24．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD=12(180°﹣80°)＝50°,根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣50°＝60°,推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°,于是得到结论;(2)设∠BEC＝α,∠BDC＝β,由于α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE,根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α,求得∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+∠ABE,推出∠CBE＝∠BEC＝α,于是得到结论。
2019年浙江省中考数学分类汇编专题圆(解析版)
2019年浙江省中考数学分类汇编专题:圆（解析版）一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得：。
故答案为：C。
【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。
2.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A. 2B.C.D.【答案】B【考点】圆周角定理，切线的性质【解析】【解答】解：连接OA∵∠ABC=30°弧AC=弧AC∴∠AOC=2∠ABC=60°∵AP是圆O的切线，∴OA⊥AP∴∠OAP=90°∴AP=OAtan60°=1× =故答案为：B【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A. πB. πC. 2πD. π【答案】A【考点】圆周角定理，弧长的计算【解析】【解答】解：连接OC、OB，∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB∴∠A=180°-65°-70°=45°∵弧BC=弧BC∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°∵OB=OC在Rt△OBC中，∠OBC=45°∴OC=BCsin45°= =2∴弧BC的长为：故答案为：A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。
4.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 4-【答案】A【考点】切线的性质，解直角三角形的应用，切线长定理【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，又∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，∴BD=CE，∵OD=OE，∴△ODB≌△OEC（SAS），∴OB=OC= BC=4，在Rt△ODB中，∴sin60°= ，即OD=OBsin60°=4× =2 ，∴⊙O的半径为2 .故答案为：A.【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS 得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.5.已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm2【答案】B【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设圆锥母线为R，圆锥底面半径为r，∵R=13cm，r=5cm，∴圆锥的侧面积S= ·2 r.R= ×2 ×5×13=65 （cm2）.故答案为：B.【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，再由扇形面积计算即可求得答案.6.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A. 60°B. 70°C. 72°D. 144°【答案】C【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC=∠C= (5−2)×180°=108°，∵CD=CB，∴∠CBD== (180°−108°)=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，故答案为：C.【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。
2019年浙江省杭州市中考数学试卷(附答案,解析)
2019年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1．（3分）（2019•杭州）计算下列各式，值最小的是()A．2019⨯+-B．2019+⨯-C．2019+-⨯D．2019++-2．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，点(,2)A m与点(3,)B n关于y轴对称，则()A．3m=，2n=B．3m=-，2n=C．2m=，3n=D．2m=-，3n=-3．（3分）（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若3PA=，则(PB= )A．2B．3C．4D．54．（3分）（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则()A．23(72)30x x+-=B．32(72)30x x+-=C．23(30)72x x+-=D．32(30)72x x+-=5．（3分）（2019•杭州）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是()A．平均数B．中位数C．方差D．标准差6．（3分）（2019•杭州）如图，在ABC∆中，点D，E分别在AB和AC上，//DE BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则()A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=7．（3分）（2019•杭州）在ABC ∆中，若一个内角等于另外两个内角的差，则( ) A ．必有一个内角等于30︒ B ．必有一个内角等于45︒C ．必有一个内角等于60︒D ．必有一个内角等于90︒8．（3分）（2019•杭州）已知一次函数1y ax b =+和2()y bx a a b =+≠，函数1y 和2y 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC OB ⊥，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB a =，AD b =，BCO x ∠=，则点A 到OC 的距离等于( )A ．sin sin a x b x +B ．cos cos a x b x +C ．sin cos a x b x +D ．cos sin a x b x +10．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则( ) A ．1M N =-或1M N =+ B ．1M n =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）（2019•杭州）因式分解：21x -= ．12．（4分）（2019•杭州）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n +个数据的平均数等于 ．13．（4分）（2019•杭州）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 2cm （结果精确到个位）．14．（4分）（2019•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C = ．15．（4分）（2019•杭州）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式 ．16．（4分）（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 ．三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）（2019•杭州）化简：242142x x x ---- 圆圆的解答如下：22242142(2)(4)242x x x x x x x x --=-+--=-+-- 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．18．（8分）（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号 数据 1 2 3 4 5甲组 4852 47 49 54 乙组2- 23-1-4（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为2S甲，2S乙，比较2S甲与2S乙的大小，并说明理由．19．（8分）（2019•杭州）如图，在ABC∆中，AC AB BC<<．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：2APC B∠=∠．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若3AQC B∠=∠，求B∠的度数．20．（10分）（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．21．（10分）（2019•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为1S，点E在DC边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =． （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD HG =．22．（12分）（2019•杭州）设二次函数121()()(y x x x x x =--，2x 是实数）． （1）甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；乙求得当12x =时，12y =-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含1x ，2x 的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点(m ，n 是实数），当1201x x <<<时，求证：1016mn <<． 23．（12分）（2019•杭州）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD BC ⊥于点D ，连接OA ． （1）若60BAC ∠=︒， ①求证：12OD OA =．②当1OA =时，求ABC ∆面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE OD =，连接DE ，设ABC m OED ∠=∠，(ACB n OED m ∠=∠，n 是正数），若ABC ACB ∠<∠，求证：20m n -+=．2019年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1．（3分）计算下列各式，值最小的是()A．2019++-+-⨯D．2019⨯+-B．2019+⨯-C．2019【考点】1G：有理数的混合运算【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【解答】解：.20198A⨯+-=-，B．20197+⨯-=-+-⨯=-C．20197D．20196++-=-，故选：A．2．（3分）在平面直角坐标系中，点(,2)A m与点(3,)B n关于y轴对称，则()A．3n=D．2m=，3n=-m=-，3m=-，2m=，2n=B．3n=C．2【考点】5P：关于x轴、y轴对称的点的坐标【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：点(,2)A m与点(3,)B n关于y轴对称，∴=-，2n=．m3故选：B．3．（3分）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若3PB=)PA=，则(A．2B．3C．4D．5【考点】MC：切线的性质【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA PA⊥，然后证得Rt AOP Rt BOP∆≅∆，⊥，OB PB即可求得3==．PB PA【解答】解：连接OA 、OB 、OP ，PA ，PB 分别切圆O 于A ，B 两点，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，在Rt AOP ∆和Rt BOP ∆中， OA OBOP OP=⎧⎨=⎩， Rt AOP Rt BOP(HL)∴∆≅∆， 3PB PA ∴==，故选：B ．4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x 人，则( )A ．23(72)30x x +-=B ．32(72)30x x +-=C ．23(30)72x x +-=D ．32(30)72x x +-=【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案． 【解答】解：设男生有x 人，则女生(30)x -人，根据题意可得： 32(30)72x x +-=．故选：D ．5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是( ) A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．标准差【考点】1W ：算术平均数；4W ：中位数；7W ：方差；8W ：标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关． 故选：B ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则( )A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【考点】9S：相似三角形的判定与性质【分析】先证明ADN ABM∆∆∽得到DN ANBM AM=，再证明ANE AMC∆∆∽得到NE ANMC AM=，则DN NEBM MC=，从而可对各选项进行判断．【解答】解：//DN BM，ADN ABM∴∆∆∽，∴DN AN BM AM=，//NE MC，ANE AMC∴∆∆∽，∴NE AN MC AM=，∴DN NE BM MC=．故选：C．7．（3分）在ABC∆中，若一个内角等于另外两个内角的差，则()A．必有一个内角等于30︒B．必有一个内角等于45︒C．必有一个内角等于60︒D．必有一个内角等于90︒【考点】7K：三角形内角和定理【分析】根据三角形内角和定理得出180A B C∠+∠+∠=︒，把C A B∠=∠+∠代入求出C∠即可．【解答】解：180A B C∠+∠+∠=︒，C A B∠=∠+∠，2180C∴∠=︒，90C∴∠=︒，ABC∴∆是直角三角形，故选：D．8．（3分）已知一次函数1y ax b =+和2()y bx a a b =+≠，函数1y 和2y 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【考点】3F ：一次函数的图象【分析】根据直线①判断出a 、b 的符号，然后根据a 、b 的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．【解答】解：A 、由①可知：0a >，0b >．∴直线②经过一、二、三象限，故A 正确；B 、由①可知：0a <，0b >．∴直线②经过一、二、三象限，故B 错误；C 、由①可知：0a <，0b >．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误；D 、由①可知：0a <，0b <，∴直线②经过二、三、四象限，故D 错误．故选：A ．9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC OB ⊥，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB a =，AD b =，BCO x ∠=，则点A 到OC 的距离等于( )A ．sin sin a x b x +B ．cos cos a x b x +C ．sin cos a x b x +D ．cos sin a x b x +【考点】9T ：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；LB ：矩形的性质【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到OC 的距离，本题得以解决．【解答】解：作AE OC ⊥于点E ，作AF OB ⊥于点F ， 四边形ABCD 是矩形， 90ABC ∴∠=︒，ABC AEC ∠=∠，BCO x ∠=， EAB x ∴∠=， FBA x ∴∠=， AB a =，AD b =，cos sin FO FB BO a x b x ∴=+=+，故选：D ．10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a b ≠，设函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有M 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有N 个交点，则( )A ．1M N =-或1M N =+B ．1M n =-或2M N =+C ．M N =或1M N =+D ．M N =或1M N =-【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答． 【解答】解：2()()()1y x a x b x a b x =++=+++，∴△22()4()0a b ab a b =+-=->，∴函数()()y x a x b =++的图象与x 轴有2个交点，2M ∴=，函数2(1)(1)()1y ax bx abx a b x =++=+++，∴当0ab ≠时，△22()4()0a b ab a b =+-=->，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有2个交点，即2N =，此时M N =；当0ab =时，不妨令0a =，a b ≠，0b ∴≠，函数(1)(1)1y ax bx bx =++=+为一次函数，与x 轴有一个交点，即1N =，此时1M N =+； 综上可知，M N =或1M N =+． 故选：C ．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）因式分解：21x -= (1)(1)x x -+ ． 【考点】54：因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解． 【解答】解：21(1)(1)x x x -=-+， 故答案为：(1)(1)x x -+．12．（4分）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n +个数据的平均数等于 mx nym n++ ． 【考点】2W ：加权平均数【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．【解答】解：某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ， 则这m n +个数据的平均数等于：mx nym n ++． 故答案为：mx nym n++． 13．（4分）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 2cm （结果精确到个位）． 【考点】1H ：近似数和有效数字；MP ：圆锥的计算【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积21231236113()2cm ππ=⨯⨯⨯=≈．故答案为113．14．（4分）在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C = 或 ． 【考点】1T ：锐角三角函数的定义【分析】讨论：若90B ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，利用勾股定理计算出BC =，然后根据余弦的定义求cos C 的值；若90A ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，利用勾股定理计算出BC =，然后根据余弦的定义求cos C 的值．【解答】解：若90B ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以22(2)3BC x x x =-=，所以33cos 22BC x C AC x ===； 若90A ∠=︒，设AB x =，则2AC x =，所以22(2)5BC x x x =+=，所以225cos 55AC x C BC x===； 综上所述，cos C 的值为32或255． 故答案为32或255． 15．（4分）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式 1y x =-+ ．【考点】4G ：反比例函数的性质；6F ：正比例函数的性质；5F ：一次函数的性质；3H ：二次函数的性质【分析】根据题意写出一个一次函数即可． 【解答】解：设该函数的解析式为y kx b =+，函数满足当自变量1x =时，函数值0y =，当自变量0x =时，函数值1y =， ∴01k b b +=⎧⎨=⎩解得：11k b =-⎧⎨=⎩，所以函数的解析式为1y x =-+， 故答案为：1y x =-+．16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '点，D 点的对称点为D '点，若90FPG ∠=︒，△A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 2(535)+ ．【考点】LB ：矩形的性质；PB ：翻折变换（折叠问题）【分析】设AB CD x ==，由翻折可知：PA AB x '==，PD CD x '==，因为△A EP '的面积为4，△D PH'的面积为1，推出4A E D H '='，设D H a '=，则4A E a '=，由△A EP '∽△D PH '，推出D H PD PA EA ''=''，推出4a xx a=，可得2x a =，再利用三角形的面积公式求出a 即可解决问题． 【解答】解：四边形ABC 是矩形， AB CD ∴=，AD BC =，设AB CD x ==，由翻折可知：PA AB x '==，PD CD x '==， △A EP '的面积为4，△D PH '的面积为1，4A E D H ∴'='，设D H a '=，则4A E a '=，△A EP '∽△D PH '，∴D H PD PA EA ''=''， ∴4a xx a=， 224x a ∴=，2x a ∴=或2a -（舍弃）， 2PA PD a ∴'='=，1212a a =， 1a ∴=， 2x ∴=，2AB CD ∴==，PE =PH =，415AD ∴=+=+，∴矩形ABCD 的面积2(5=+．故答案为2(5+三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）化简：242142x x x ---- 圆圆的解答如下：22242142(2)(4)242x x x x x x x x --=-+--=-+-- 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 【考点】6B ：分式的加减法【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．【解答】解：圆圆的解答错误， 正确解法：242142x x x ---- 42(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x x +-+=---+-+-+ 24244(2)(2)x x x x x ---+=-+ 22(2)(2)x x x x -=-+ 2xx =-+． 18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号 数据 1 2 3 4 5甲组 4852 47 49 54 乙组2- 23-1-4（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，写出x 甲与x 乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为2S 甲，2S 乙，比较2S 甲与2S 乙的大小，并说明理由．【考点】1W ：算术平均数；VD ：折线统计图；7W ：方差 【分析】（1）利用描点法画出折线图即可． （2）利用方差公式计算即可判断．【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2）①50x x =+乙甲．②22S S =乙甲．理由：(2222221[(4850)(5250)(4750)(4950)5450) 6.85S ⎤=-+-+-+-+-=⎦甲． (2222221[(20)(20)(30)(10)40) 6.85S ⎤=--+-+--+--+-=⎦乙， 22S S ∴=乙甲．19．（8分）如图，在ABC ∆中，AC AB BC <<．（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连接AP ，求证：2APC B ∠=∠．（2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连接AQ ．若3AQC B ∠=∠，求B ∠的度数．【考点】KG ：线段垂直平分线的性质；KH ：等腰三角形的性质【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA PB=，根据等腰三角形的性质可得B BAP∠=∠，根据三角形的外角性质即可证得2APC B=∠；（2）根据题意可知BA BQ=，根据等腰三角形的性质可得BAQ BQA∠=∠，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解答】解：（1）证明：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，PA PB∴=，B BAP∴∠=∠，APC B BAP∠=∠+∠，2APC B∴∠=∠；（2）根据题意可知BA BQ=，BAQ BQA∴∠=∠，3AQC B∠=∠，AQC B BAQ∠=∠+∠，2BQA B∴∠=∠，180BAQ BQA B∠+∠+∠=︒，5180B∴∠=︒，36B∴∠=︒．20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．【考点】GA：反比例函数的应用【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为72小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．【解答】解：（1）480vt=，且全程速度限定为不超过120千米/小时，v ∴关于t 的函数表达式为：480v t=，(04)t ． （2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时 将6t =代入480v t =得80v =；将245t =代入480v t=得100v =． ∴小汽车行驶速度v 的范围为：80100v ．②方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下： 8点至11点30分时间长为72小时，将72t =代入480v t =得9601207v =>千米/小时，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B 地．21．（10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在DC 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S =． （1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD HG =．【考点】LB ：矩形的性质；LE ：正方形的性质【分析】（1）设出正方形CEFG 的边长，然后根据12S S =，即可求得线段CE 的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD 和HG 的长，即可证明结论成立． 【解答】解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ， 正方形ABCD 的边长为1， 1DE a ∴=-， 12S S =，21(1)a a ∴=⨯-， 解得，1512a =-（舍去），2512a =-， 即线段CE 512-； （2）证明：点H 为BC 边的中点，1BC =， 0.5CH ∴=，25052DH ∴=，0.5CH =，12CG =，HG ∴ HD HG ∴=．22．（12分）设二次函数121()()(y x x x x x =--，2x 是实数）． （1）甲求得当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；乙求得当12x =时，12y =-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含1x ，2x 的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点(m ，n 是实数），当1201x x <<<时，求证：1016mn <<． 【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；3H ：二次函数的性质；7H ：二次函数的最值；5H ：二次函数图象上点的坐标特征【分析】（1）将(0,0)，(1,0)代入12()()y x x x x =--求出函数解析式即可求解； （2）对称轴为122x x x +=，当122x x x +=时，212()4x x y -=-是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出12m x x =，12121n x x x x =--+，再表示出22121111[()][()]2424mn x x =--+--+，由已知1201x x <<<，可求出211110()244x --+，221110()244x --+，即可求解． 【解答】解：（1）当0x =时，0y =；当1x =时，0y =；∴二次函数经过点(0,0)，(1,0)，10x ∴=，21x =，2(1)y x x x x ∴==-=-， 当12x =时，14y =-， ∴乙说点的不对；（2）对称轴为122x x x +=， 当122x x x +=时，212()4x x y -=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过(0,)m 和(1,)n 两点， 12m x x ∴=，12121n x x x x =--+，22121111[()][()]2424mn x x ∴=--+--+1201x x <<<，211110()244x ∴--+，221110()244x --+， 1016mn ∴<<． 23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC 内接于圆O ，OD BC ⊥于点D ，连接OA ． （1）若60BAC ∠=︒， ①求证：12OD OA =．②当1OA =时，求ABC ∆面积的最大值．（2）点E 在线段OA 上，OE OD =，连接DE ，设ABC m OED ∠=∠，(ACB n OED m ∠=∠，n 是正数），若ABC ACB ∠<∠，求证：20m n -+=．【考点】MR ：圆的综合题【分析】（1）①连接OB 、OC ，则1602BOD BOC BAC ∠==∠=︒，即可求解；②BC 长度为定值，ABC ∆面积的最大值，要求BC 边上的高最大，即可求解； （2）11801802BAC ABC ACB mx nx BOC DOC∠=︒-∠-∠=︒--=∠=∠，而1802180AOD COD AOC mx nx mx mx nx ∠=∠+∠=︒--+=︒+-，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB 、OC ，则1602BOD BOC BAC ∠==∠=︒，30OBC ∴∠=︒，1122OD OB OA ∴==；②BC 长度为定值，ABC ∴∆面积的最大值，要求BC 边上的高最大，当AD 过点O 时，AD 最大，即：32AD AO OD =+=， ABC ∆面积的最大值113332sin 602224BC AD OB =⨯⨯=⨯︒⨯=； （2）如图2，连接OC ，设：OED x ∠=，则ABC mx ∠=，ACB nx ∠=，则11801802BAC ABC ACB mx nx BOC DOC ∠=︒-∠-∠=︒--=∠=∠，22AOC ABC mx ∠=∠=，1802180AOD COD AOC mx nx mx mx nx ∴∠=∠+∠=︒--+=︒+-， OE OD =，1802AOD x ∴∠=︒-，即：1801802mx nx x ︒+-=︒-， 化简得：20m n -+=．考试小提示试卷一张一张，发的是希望；考试一场一场，考的是能力；笔尖一动一动，动的是梦想；问候一声一声，道的是真情；考试日，愿你们认真、细心做题，取得好成绩。
2019年中考真题 锐角三角函数分类汇编(PDF版含解析)
【答案】 16 【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在 Rt△ADC 中，∵∠ADC＝90°， 5
cos C 3 ，AC＝2，∴DC= 3 ×2= 6 ， AD
5
55
AC2 CD2
22
6 5
2
8 ，在 5
Rt△ADB 中，∠ADB＝90°，
sinB= AD 15 10 ，故选 D. AB 2 6 4
. （2019·天津）2sin60°的值等于
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)2
1
【答案】C【解析】常用特殊角三角函数值 sin60°=
3 ，再乘以 2，可得答案 C.
2
.（2019·金华）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，已知 AB=m，∠BAC=∠α，下列结论错误的是（）
到△ADE，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan∠ECD= ED = 12 = 3 ， DC 8 2
故答案为： 3 . 2
. （2019·自贡）如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则 cos(α+β)=.
2019 中考试题分类汇编
知识点 33 锐角三角函数 2019
第一批
一、选择题
. （2019·杭州）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC⊥OB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内)，已知 AB=a，
AD=b，∠BCO=x，则点 A 到 OC 的距离等于（ ）
A．asinx+bsinx
B．acosx+bcosx
A．AB＝ 41 ，BC＝4，AC＝5
2019年数学中考真题知识点汇编33 锐角三角函数(含解析).docx
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】一、选择题9. （2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于（ ）A ．asinx+bsinxB ．acosx+bcosxC ．asinx+bcosxD ．acosx+bsinx【答案】D 【解析】作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选D ．3． （2019·威海）如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点.已知坡角为20°，山高BC ＝2）A.B.C. D.【答案】A1.（2019·怀化）已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α=（） A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A.【解析】∵∠α为锐角，且sinα=12， ∴∠α=30°．故选A.2.（2019·滨州）满足下列条件时，△ABC 不是．．直角三角形的为（ ） A ．AB ，BC ＝4，AC ＝5B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：520°2C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．213cos A tan B 23－－＝0 【答案】C【解析】A 中，∵4＜5，AC 2+BC 2=52+42=41，AB 2=）2=41，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；B 中，∵AB ：BC ：AC=3：4：5，设AB=3k ，BC=4k ，AC=5k ，∵AB 2+BC2=（3k ）2+（4k ）2=25k 2，AC 2=（5k ）2=25k 2，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形；C 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，∴∠A =180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∠C=180°×512=75°，∴△ABC 不是直角三角形；D 中，∵213cos A tan B 23－－=0，又∵1cos A 2－≥0，23tan B 3－≥0，∴cosA=12，tanB=3，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC 是直角三角形．故选C ．3.（2019·达州）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B （32，2），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，下列结论：①OA=BC=32；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP 是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(332,0)，其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】D【解析】已知B （32，2），所以OA=BC=32，故①正确；当点D 运动到OA 的中点处时，OD=3，而OC=2，所以OC 2=7，在直角三角形CPD 中，PC 2+PD 2=7，故②正确；过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，所以在运动过程中，∠CDP 是一个定值，故③正确；当△ODP 为等腰三角形时，OC ⊥BD ，∠CDO=60°所以3 ODOC ，即OD=332，所以点D 的坐标为(332,0).4. （2019· 凉山） 如图，在△A B C 中，CA = CB = 4，cos B 的值为（▲）A．2B．3C．4D．4【答案】D【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cos C =14，AC =4，∴CD =1，∴BD =3，AD，在Rt △ABD 中，AB，∴sin B=AD AB =，故选D .5. （2019·天津）2sin60°的值等于(A) 1 (B) 2(C)3(D)2【答案】C【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=321，再乘以2，可得答案C.6.（2019·金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB =m ，∠BAC =∠α，下列结论错误的是（） A. ∠BDC =∠α B.BC = m ·tan α C.AO =2sin m α D.BD =cos mα【答案】C ．【解析】由锐角三角函数的定义，得sin α= 2BC OA，∴AO =2sin BC α，故选C ．二、填空题15．（2019·德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO ＝50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°Bm DB≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02【解析】∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．14.（2019·杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC则cosC=___________.【答案】或【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．1. (2019·聊城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝12 BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.【答案】9 2 a【解析】∵BC＝a,∴CF＝12BC＝12a,∴BF＝32a∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BF,DE＝12a,∴△MED∽△MFB,∴MD EDMB FB,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝12a,MB＝32a,∵MB＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝92 a.2.（2019·淄博）如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.如图1，当CD ＝12AC 时，13tan ;4α= 如图2，当CD ＝13AC 时，25tan ;12α= 如图3，当CD ＝14AC 时，37tan ;24α= ……依次类推，当CD ＝11AC n +（n 为正整数）时，tan n α= ……【答案】21.2(1)n n n ++【解析】当n ＝1时，133tan ;414α==⨯ 当n ＝2时，255tan ;1226α==⨯ 当n ＝3时，377tan ;2438α==⨯ …… ∴2121tan .(22)2(1)n n n n n n n α++==++3.（2019·乐山）如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ，53cos =C .则AB 边的长为▲.30°【答案】165【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，53cos =C ，AC ＝2，∴DC=35×2=65，85AD ==，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠B ＝30°．∵sin B=12AD AB =，AB =2AD=165．4.（2019·眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =5，BC =12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为_________．【答案】32【解析】在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，∴，∵△ABC 绕点A 旋转到△ADE ，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan ∠ECD=ED DC =128=32，故答案为：32.5. （2019·自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)=.【答案】【解析】连接BC ，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成， ∴AD =DE =CE =BE ，∠ADE =∠BEC =1200， ∴△ADE ≌△BEC ， ∴∠EBC =α.∵∠BEC =1200，BE =CE ，∴∠BCE =(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB =∠ACE +∠BCE =600+300=900， 设小正三角形的边长为a ， 则AC =2a ，BC =√3a ，在Rt △ACB 中，AB =√AC 2+BC 2=√7a . ∴cos ∠ABC =BCAB =√3a √7a=√217. 又∵∠ABC =∠ABE +∠CBE =α+β， ∴cos (α+β)=√217.三、解答题 19．（2019山东省青岛市，19，6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行.在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32°方向.已知CD =120m ，BD =80m ，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）. （参考数据：sin 32°≈1732，cos 32°≈1720，tan 32°≈58，sin 42°≈2740，cos 42°≈34，tan 42°≈910）【解题过程】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ， //AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =， 17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin3280322BF BD =︒=⨯≈，1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=， 155********AB AE BE m ∴=+=+≈， 答：木栈道AB 的长度约为134m ．24．（2019·常德） 图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A 点处，手柄长AB＝25cm ，AB 与墙壁D D '的夹角∠D 'AB ＝37°，喷出的水流BC 与AB 行程的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE ＝50cm ，CE ＝130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【解题过程】过B 点作MN ∥DE ，分别交直线AD 和直线EC 于点M 、N ，由题意可知AD ∥CE ，∠ADE ＝90°∴四边形DMNE 为矩形，∴∠AMB ＝∠BNC ＝9 0°，MN ＝DE ，MD ＝NE ．在Rt △ABM 中，∠D 'AB ＝37°，sin ∠MAB ＝MB AB ，∴MB ＝AB ·sin37°＝25×0.6＝15，cos ∠MAB ＝AMAB，∴AM ＝AB ·cos37°＝25×0.8＝20，∵MN ＝DE ＝50，∴NB ＝50－15＝35，∵∠ABM ＝90°－37°＝53°，∠ABC ＝72°，∴∠NBC ＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN ＝90°－55°＝35°．在Rt △BNC 中，tan ∠BCN ＝BN CN ，∴CN ＝350.75＝50，∴EN ＝CN +CE ＝50+130＝180＝MD ，∴AD ＝MD －AM ＝180－20＝160（cm ）．D'图10ECBA答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm 高的位置．1.（2019·淄博）如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ．连接MD ，MG ，M B ． (1)试证明DM ⊥MG ，并求MBMG的值； (2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中MBMG的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．解：(1)延长GM 交DE 于H ，∵EF 的中点M ，∴EM ＝FM ，∵正方形ABDE 、正方形BCFG ，∴AB ∥DE ∥GF ，∴∠HEM ＝∠GFM ，在△EHM 和△FGM 中，==AMH FMG EM FM HEM GMF ⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△EHM ≌△FGM (ASA ),∴HM ＝MG ，GF ＝EH ，∵AB ＝2BC ，∴GF ＝EH ＝DH ＝DG ，∴DM 是△HDG 底边上的中线，∴DM ⊥MG ； 设AB ＝4，BC ＝2，易求MB ＝12EF=，MG＝2BC，∴MB MGD'NM 图10DCBA图2图1ABCDEF MGAB CDEFMG图2图1ABCDEF MGABCDEFMGQ T(2)MBMG比值会随着α的变化而变化，理由如下：连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α∴四边形TBFD为矩形∴DF＝TB∵G为BD的中点∴MG＝11 22 DF TB=由题设AB＝2，BC＝1∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα∴DF＝TB＝2sinαMG＝1122DF TB=＝sinα在RT△EBF中由勾股定理得EF∴===∴MB＝2EF∴MBMG=中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
2019年中考数学试题汇编 锐角三角函数填空题(解析版)
1.（2019年四川省眉山市）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，所以CD＝8．在Rt△CED中根据tan∠ECD＝计算结果．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．2.（2019年湖北省孝感市）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.（2019年湖北省江汉油田）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．4.（2019年贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15﹣5．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．5.（2019年广东省）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．6.（2019年湖南省株洲市）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【分析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，求出y C＝1+2＝3，同理可得：y D＝1.5，即可求解．【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本题关键是弄懂题意，正确画图．7.（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．8.（2019年浙江省湖州市）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．9.（2019年四川省乐山市）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10.（2019年甘肃省天水市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD ＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴EF＝3﹣x＝，∴sin∠EFC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．11.（2019年浙江省丽水市）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12.（2019年浙江省丽水市）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．13.（2019年浙江省宁波市）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为456米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．14.（2019年浙江省衢州市）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．15.（2019年四川省绵阳市）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．16.（2019年甘肃省）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．17.（2019年江苏省盐城市）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及解一元一次方程，通过解直角三角形及勾股定理，找出BC与AC之间的关系是解题的关键．18.（2019年浙江省温州市）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝2019年浙江省温州市米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝2019年浙江省温州市米，晾衣臂支架HG＝FE＝2019年浙江省温州市米，且HO＝FO＝2019年浙江省温州市米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM 为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.（2019年山东省德州市）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．20.（2019年四川省自贡市）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．21.（2019年山东省枣庄市）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．。
专题14 锐角三角函数(浙江专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题14 锐角三角函数1．（2019·浙江金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．已知AB =m ，∠BAC =∠α，则下列结论错误的是A ．∠BDC =∠αB ．BC =m •tan αC ．AO 2sin mα=D ．BD cos mα=【答案】C【解析】A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠DCB =90°，AC =BD ，AO =CO ，BO =DO ， ∴AO =OB =CO =DO ，∴∠DBC =∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC =∠BDC =∠α，故本选项不符合题意；B 、在Rt △ABC 中，tan αBCm =，即BC =m •tan α，故本选项不符合题意； C 、在Rt △ABC 中，AC cos m α=，即AO 2cos mα=，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC =AB =m ，∵∠BAC =∠BDC =α，∴在Rt △DCB 中，BD cos mα=，故本选项不符合题意； 故选C ．【名师点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．2．（2019·浙江杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cos x+b•sin x，故选D．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用——坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2019·浙江台州）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于A．14B．12C．817D．815【答案】D【解析】如图，∵∠ADC=∠HDF=90°，∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM=DM，∵sinα=sin∠DMCCD MD =，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，设MD=a=BM，则CM=8–a，∵MD2=CD2+MC2，∴a2=4+（8–a）2，∴a174=，∴CM154=，∴tanα=tan∠DMC815CDMC==，故选D．【名师点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求CM的长是本题的关键．4．（2019·浙江温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为A．95sinα米B．95cosα米C．59sinα米D．59cosα米【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，则BD32=+0.395=，∵cosαBDAB=，∴cosα95AB=，解得AB95cosα=米，故选B．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2019·浙江金华）如图，在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是__________．【答案】40°【解析】过A 点作AC ⊥OC 于C ， ∵∠AOC =50°， ∴∠OAC =40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°． 故答案为：40°．【名师点睛】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC 的度数．6．（2019·浙江杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________．【答案】2或5【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==，所以cosC22BCAC x===；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosCACBC===；综上所述，cos C【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．7．（2019·浙江舟山）如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2–BC2=AB2，则tan C=__________．【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A=45°，∴∠ABD=∠A=45°，∴AD=BD．∵∠ADB=∠CDB=90°，∴AB2=AD2+DB2=2BD2，BC2=DC2+BD2，∴AC2–BC2=（AD+DC）2–（DC2+BD2）=AD2+DC2+2AD•DC–DC2–BD2=2AD•DC=2BD•DC，∵AC2–BC2=AB2，∴2BD•DC=2BD2，∴DC=BD，∴tanBDCDC===故答案为【名师点睛】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，难度适中．证明出AC2–BC2=（AD+DC）2–（DC2+BD2）=2BD•DC，是解题的关键．8．（2019·浙江衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是__________米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【答案】1.5【解析】∵sinαADAC=，∴AD=AC•sinα≈2×0.77≈1.5，故答案为：1.5．【名师点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．9．（2019·浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__________米．（精确到1≈1.414≈1.732）【答案】567【解析】如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO=∠CAO=45°，则AC=O C．∵OA=400米，∴OC=OA•cos45°=4002⨯=∵在直角△OBC中，∠COB=60°，OC∴cos 602OC OB ===︒≈567（米）故答案为：567．【名师点睛】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．10．（2019·浙江湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD =α．若AO =85cm ，BO =DO =65cm ．问：当α=74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为__________cm ．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【答案】120【解析】如图，过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO =DO ，∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE 12=∠BOD 12=⨯74°=37°， ∴∠FAB =∠BOE =37°，在Rt △ABF 中，AB =85+65=150（cm ）， ∴h =AF =AB •cos ∠FAB =150×0.8=120（cm ）， 故答案为：120．【名师点睛】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．11．（2019·浙江金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB=50cm，CD=40cm．（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC=__________cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为__________cm2．【答案】（1）90﹣2）2256．【解析】∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB=50cm，CD=40cm．∴EF=50+40=90（cm）．∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点运动的路程之比为5：4．AB cm，（1）当∠ABE=30°时，在Rt△ABE中，BE2∴B运动的路程为（50﹣）cm．∵B、C两点运动的路程之比为5：4，∴此时点C 运动的路程为（50﹣）45⨯=（40﹣cm ，∴BC =（50﹣）+（40﹣=（90﹣cm ，故答案为：90﹣（2）当A 向M 方向继续滑动15cm 时，设此时点A 运动到了点A'处，点B 、C 、D 分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'=15cm ，∴A'E =15+25=40（cm ）， 由勾股定理得：EB'=30cm ，∴B 运动的路程为50﹣30=20（cm ），∴C 运动的路程为16cm ，∴C'F =40﹣16=24（cm ）， 由勾股定理得：D'F =32cm ，∴四边形A'B'C'D'的面积=梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积()1190403222=⨯⨯+-⨯30×4012-⨯24×32=2256（cm 2）． ∴四边形ABCD 的面积为2256cm 2．故答案为：2256．【名师点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12．（2019·浙江绍兴）如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC =150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ． （2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD =165°，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ≈1.41≈1.73）【答案】（1）39.6cm．（2）此时连杆端点D离桌面l的高度减少了，减少了3.2cm．【解析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA=∠BOE=∠BAE=90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA=90°，∴∠DBO=150°﹣90°=60°，∴OD=BD•sin60°cm），∴DF=OD+OE=OD+AB5≈39.6（cm）．（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH=60°，∠CHB=90°，∴∠BCH=30°，∵∠BCD=165°，∠DCP=45°，∴CH=BC sin60°cm，DP=CD sin45°，∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=（5）（cm），∴下降高度：DE﹣DF5﹣=3.2（cm）．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．（2019·浙江台州）图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．【答案】把手A离地面的高度约为92.5cm．【解析】过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，∵sin∠ABDADAB=，∴AD=92×0.94≈86.5，∵DE=6，∴AE=AD+DE=92.5，∴把手A离地面的高度约为92.5cm．【名师点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．14．（2019·浙江舟山）某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34 1.73）【答案】（1）150°；（2）斗杆顶点D的最高点比初始位置约高了0.8米．【解析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG=180°–∠CDE=110°，∴BCG=∠BCD–∠GCD=30°，∴∠ABC=180°–∠BCG=150°；（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°≈0.51（米），在Rt△BCN中，CN=BC×cos30°≈1.04（米），所以，DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35（米），如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt△CKD中，DK=CD×sin50°≈1.16（米），所以，DH=DK+KH=3.16（米），所以，DH–DE≈0.8（米），所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置约高了0.8米．【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．。
03填空题知识点分类-浙江省杭州市四年(2019-2022)中考数学真题分层分类汇编
03填空题知识点分类-浙江省杭州市四年（2019-2022）中考数学真题分层分类汇编一．完全平方公式（共1小题）1．（2020•杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．二．因式分解-运用公式法（共1小题）2．（2019•杭州）因式分解：1﹣x2＝ ．三．最简二次根式（共1小题）3．（2022•杭州）计算：＝ ；（﹣2）2＝ ．四．一元二次方程的应用（共1小题）4．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ （用百分数表示）．五．解分式方程（共1小题）5．（2020•杭州）若分式的值等于1，则x＝ ．六．坐标与图形性质（共1小题）6．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC ∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．七．一次函数的性质（共1小题）7．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 ．八．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）8．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ．九．平行线的性质（共1小题）9．（2020•杭州）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC ＝130°，则∠A＝ ．一十．切线的性质（共2小题）10．（2021•杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O 的切线，T为切点，连结OT，则PT＝ ．11．（2020•杭州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝ ．一十一．圆锥的计算（共1小题）12．（2019•杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2（结果精确到个位）．一十二．圆的综合题（共1小题）13．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 度；的值等于 ．一十三．翻折变换（折叠问题）（共3小题）14．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 度．15．（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF ＝ ，BE＝ ．16．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 ．一十四．相似三角形的应用（共1小题）17．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝ m．一十五．锐角三角函数的定义（共1小题）18．（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝ ．一十六．特殊角的三角函数值（共1小题）19．（2021•杭州）计算：sin30°＝ ．一十七．加权平均数（共2小题）20．（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 元/千克．21．（2019•杭州）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这（m+n）个数据的平均数等于 ．一十八．概率公式（共1小题）22．（2022•杭州）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ．一十九．列表法与树状图法（共1小题）23．（2020•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．参考答案与试题解析一．完全平方公式（共1小题）1．（2020•杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ﹣ ．【解答】解：法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减得4xy＝﹣3，解得xy＝﹣，则P＝﹣．法二：由题可得，解之得：，∴P＝xy＝﹣，故答案为：﹣．二．因式分解-运用公式法（共1小题）2．（2019•杭州）因式分解：1﹣x2＝ （1﹣x）（1+x） ．【解答】解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．三．最简二次根式（共1小题）3．（2022•杭州）计算：＝ 2 ；（﹣2）2＝ 4 ．【解答】解：＝2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．四．一元二次方程的应用（共1小题）4．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝ 30% （用百分数表示）．【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），依题意得：100（1+x）2＝169，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．0.3＝30%，∴新注册用户数的年平均增长率为30%．故答案为：30%．五．解分式方程（共1小题）5．（2020•杭州）若分式的值等于1，则x＝ 0 ．【解答】解：由分式的值等于1，得＝1，解得x＝0，经检验x＝0是分式方程的解．故答案为：0．六．坐标与图形性质（共1小题）6．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC ＝ ∠DAE （填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．【解答】解：连接DE，由上图可知AB＝2，BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，又∵AE＝＝＝，同理可得DE＝＝，AD＝＝，则在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°，∴∠BAC＝∠DAE，故答案为：＝．七．一次函数的性质（共1小题）7．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 y＝﹣x+1（答案不唯一） ．【解答】解：设该函数的解析式为y＝kx+b，∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，∴解得：，所以函数的解析式为y＝﹣x+1，故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．八．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）8．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ．【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y＝3x﹣1与y＝kx的方程组的解为：，故答案为：．九．平行线的性质（共1小题）9．（2020•杭州）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC ＝130°，则∠A＝ 20° ．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故答案为：20°．一十．切线的性质（共2小题）10．（2021•杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O 的切线，T为切点，连结OT，则PT＝ ．【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∴PT＝＝＝，故：PT＝．11．（2020•杭州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝ ．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵sin∠BAC＝＝，∴设BC＝x，AC＝3x，∴AB＝＝＝2x，∴OB＝AB＝x，∴tan∠BOC＝＝，故答案为：．一十一．圆锥的计算（共1小题）12．（2019•杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 cm2（结果精确到个位）．【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113（cm2）．故答案为113．一十二．圆的综合题（共1小题）13．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝ 36 度；的值等于 ．【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO＝∠BCO，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∴∠CEB＝2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠B＝36°；∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2＝EO•BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，∴a2＝x（x+a），解得，x＝a（负值舍去），∴OE＝a，∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，∴＝．故答案为：36，．一十三．翻折变换（折叠问题）（共3小题）14．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝ 18 度．【解答】解：连接DM，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°．∵M是AC的中点，∴DM＝AM＝CM，∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．∵DC，DF关于DE对称，∴DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF．∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，∴MF＝FD．∴∠FMD＝∠FDM．∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，∴∠DFC＝2∠FMD．∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，∴∠DMC＝2∠FAD．设∠FAD＝x°，则∠DFC＝4x°，∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，∴2x+4x+4x＝180．∴x＝18．故答案为：18．15．（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF ＝ 2 ，BE＝ ﹣1 ．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ADF＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（ASA），∴DF＝AE＝2；∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴＝，∴EF＝﹣1（负值舍去），∴BE＝EF＝﹣1，方法二：∵AB∥CD，∴S△ACD＝S△DCE，∴S△ACD﹣S△DCF＝S△DCE﹣S△DCF，∴S△ADF＝S△ECF，由题意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE，∴S△ACD﹣S△ADF＝S△ABC﹣S△CEF＝S△ABC﹣S△BCE，∴S△DCF＝S△ACE，∴×DF•CF＝AE•BC，∵CF＝BC，∴DF＝AE＝2，设BE＝x，∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1（负值舍去），∴BE＝﹣1．故答案为：2，﹣1．16．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 10+6 ．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，又∵△A′EP∽△D′PH，∴A′P：D′H＝2，∵PA′＝x，∴D x，∵•x•x＝1，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）＝10+6．故答案为10+6一十四．相似三角形的应用（共1小题）17．（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝ 9.88 m．【解答】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴，即，解得AB＝9.88，∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．一十五．锐角三角函数的定义（共1小题）18．（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝ 或 ．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．一十六．特殊角的三角函数值（共1小题）19．（2021•杭州）计算：sin30°＝ ．【解答】解：sin30°＝．一十七．加权平均数（共2小题）20．（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元/千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 24 元/千克．【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（30×2+20×3）÷5＝24（元/千克）．故答案为：24．21．（2019•杭州）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这（m+n）个数据的平均数等于 ．【解答】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于：．故答案为：．一十八．概率公式（共1小题）22．（2022•杭州）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于 ．【解答】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性，∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于，故答案为：．一十九．列表法与树状图法（共1小题）23．（2020•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．【解答】解：根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝．故答案为：．。