2019年高考真题全国I卷数学(文)真题分类汇编 专题04 线性规划Word版含解析 10年真题
专题04 线性规划
线性规划小题：10年9考，就2019年没考，线性规划题考得比较基础，一般不与其他知识结合．由于线性规划的运算量相对较大，所以难度不宜太大，不过为了避免很多考生解出交点代入的情况估计会加大“形”的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题．
【答案】6
2．（2017年）设x，y满足约束条件
33
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
，则z＝x+y的最大值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D
【解析】x，y满足约束条件
33
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
的可行域如图，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，
由
33
y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
解得A（3，0），所以z＝x+y的最大值为3．故选D．
3．（2016年）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过
【答案】216000
【解析】设A 、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元．由题意，得 1.50.51500.39053600
x y x y x y x y ∈N ⎧⎪∈N ⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪+≤⎪⎩，z ＝2100x +900y ．不
等式组表示的可行域如图，由题意可得0.39053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：60100x y =⎧⎨=⎩
，A （60，100），目标函数z ＝
2100x +900y 经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值为2100×60+900×100＝216000元．
【答案】4
【解析】由约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
作出可行域如图，化目标函数z ＝3x +y 为y ＝﹣3x +z ，由图可知，当直
线y ＝﹣3x +z 过B （1，1）时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为3×1+1＝4．
5．（2014年）设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩，且z ＝x +ay 的最小值为7，则a ＝（ ） A ．﹣5
B ．3
C ．﹣5或3
D ．5或﹣3 【答案】B
去）．当a ＜1时，不符合条件．故选B ．
【答案】3
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，由3x y x
=⎧⎨=⎩得A （3，3），z ＝2x ﹣y 可转换成y ＝2x ﹣z ，z 最大
时，y 值最小，即当直线z ＝2x ﹣y 过点A （3，3）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3．
7．（2012年）已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC
内部，则z＝﹣x+y的取值范围是（）
【答案】A
【解析】设C（a，b）（a＞0，b＞0），由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB＝AC＝BC
【答案】﹣6
【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z＝x+2y，变化为y
与2x+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴z＝4+2⨯（﹣5）＝﹣6．
9．（2010年）已知ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在ABCD 的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）
A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）
【答案】B
AB=⇒D（0
【解析】由已知条件得DC。
【数学】2019年高考真题——全国Ⅰ卷(文)(精校版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学一、选择题1．设z＝，则|z|等于()A．2 B. C.D．1答案 C解析∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A等于() A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}答案 C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a答案 B解析∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm答案 B解析若头顶至咽喉的长度为26 cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B.5．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为()A. B.C. D.答案 D解析∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝＝>0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生答案 C解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知，616号学生被抽到．7．tan 255°等于()A．－2－B．－2＋C．2－D．2＋答案 D解析tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案 B解析设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝B．A＝2＋C．A＝D．A＝1＋答案 A解析A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A.10．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为() A．2sin 40°B．2cos 40°C. D.答案 D解析由题意可得－＝tan 130°，所以e＝＝＝＝＝.11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则等于()A．6 B．5 C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.12．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.二、填空题13．曲线y＝3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．答案y＝3x解析因为y′＝3(2x＋1)e x＋3(x2＋x)e x＝3(x2＋3x＋1)e x，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.14．记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.答案解析设等比数列的公比为q，则a n＝a1q n－1＝q n－1.∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝.15．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．答案－4解析∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.16．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．答案解析如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝＝.三、解答题17．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝.解(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K2的观测值k＝≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．18．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．解(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5，即9a5＝－a5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，S n＝.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于≥(n－5)d，化简得n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．19.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．(1)证明连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，所以四边形A1B1CD是平行四边形，可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解过点C作CH⊥C1E交C1E于H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，且BC∩C1C＝C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.又DE∩C1E＝E，DE，C1E⊂平面C1DE，从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，故CH＝.从而点C到平面C1DE的距离为.20．已知函数f(x)＝2sin x－x cos x－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．(1)证明设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋x sin x－1，g′(x)＝x cos x.当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)上存在唯一零点．所以f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点．(2)解由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0，π)上只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范围是(－∞，0]．21．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解(1)因为－1<≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为＝.当α＝－时，4cos4＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.23．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2) ＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.。
2019年全国卷Ⅰ文数高考真题及答案解析(word精编)
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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =I ð A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考新课标Ⅰ卷文数试题解析(正式版)(解析版)文件.doc
绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试本试卷共5页，满分150 分。
考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A= x|x 2 ，B= x|3 2x 0 ，则A．A B=3x|x B．A B 2C．A B3x|x D．A B= R 2【答案】 A【解析】由 3 2x0 得3x ，所以23 3A B { x | x 2} { x | x } { x | x } ，选A．2 22．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，⋯，x n，下面给出的指标中能够用来评估这种农作物亩产量稳定水准的是A．x1，x2，⋯，x n 的平均数B．x1，x2，⋯，x n 的标准差C．x1，x2，⋯，x n 的最大值D．x1，x2，⋯，x n 的中位数【答案】 B【解析】评估这种农作物亩产量稳定水准的指标是标准差或方差，故选B.3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i) 2B．i2(1-i) C．(1+i) 2 D．i(1+i)【答案】 C【解析】由 2(1 i) 2i为纯虚数知选C．4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】 B22 y5．已知 F 是双曲线C：x 1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，学/网点A 的坐标是(1，33)，则△APF 的面积为A．13B．12C．23D．32【答案】 D【解析】由2 2 2 4c a b 得c 2，所以F (2,0) ，将x2 代入2y2 1x ，得y 3，所以| PF |3，3又点 A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133 (2 1)22，选D．6．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是A．B．C．D．【答案】 A【解析】对于B，易知AB∥MQ ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ ，则直线AB∥平面MNQ ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A ．x 3y 3,x y 1, 则z=x+y 的最大值为7．设x，y 满足约束条件y 0,A．0 B．1 C．2 D．3【答案】 D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y经过A(3, 0) 时z 取得最大值，故z max 3 0 3，故选D．8．函数ysin2 x1 cosx的部分图像大致为A．B．C．D．【答案】 C【解析】由题意知，函数ysin 2x1 cos x为奇函数，故排除B；当x π时，y 0，故排除D；当x 1时，sin 2y 0，故排除A．故选C．1 cos 29．已知函数 f (x) lnx ln(2 x) ，则A．f (x) 在（0，2）单调递增B．f (x) 在（0，2）单调递减C．y= f (x) 的图像关于直线x=1对称D．y= f (x) 的图像关于点（1，0）对称【答案】 Cn n 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，能够10．下面程序框图是为了求出满足 3 2 1000分别填入A ．A>1000 和n=n+1 B．A>1000 和n= n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n= n+2 【答案】Dn n【解析】由题意，因为 3 2 1000 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 A 1000 ，故填A 1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n n 2 ，故选 D.11．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知sin B sin A(sin C cosC )0 ，a=2，c= 2 ，则C=A ．π12B．π6C．π4D．π3【答案】 B12．设A，B 是椭圆C：2 2x y3 m1长轴的两个端点，若 C 上存有点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1] [9, ) B．(0, 3] [9, )C．(0,1] [4, ) D．(0, 3] [4, )【答案】 Aa【解析】当0 m 3时，焦点在x轴上，要使 C 上存有点M 满足AMB 120 ，则tan 603b，即3m3 ，得0 m 1；当m 3 时，焦点在y 轴上，要使 C 上存有点M 满足AMB 120 ，则a b tan 60 3m，即 33，得m 9 ，故m 的取值范围为(0,1] [9, ) ，选A．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．【答案】7【解析】由题得a b(m 1,3)，因为(a b) a0，所以(m 1) 2 3 0 ，解得m 7 ．14．曲线2 1y xx在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】y x 1【解析】设y f ( x) ，则 f (x) 2x 12x，所以 f (1) 2 1 1，所以曲线2 1y xx在点(1, 2) 处的切线方程为y 2 1 ( x 1) ，即y x 1．15．已知π(0 )，，tan α=2，则2πcos ( )4=__________ ．【答案】3101016．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA= A C，SB=BC，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【答案】36π【解析】取SC 的中点O，连接OA, OB ，因为SA AC, SB BC ，所以OA SC, O B SC ，因为平面SAC 平面SBC ，所以OA 平面SBC ，设OA r ，则1 1 1 13V S OA 2r r r r ，A SBC SBC3 3 2 3所以133r9r3，所以球的表面积为24πr36π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记S n为等比数列a n的前n项和，已知S2=2，S3=-6．（1）求a n的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解析】（1）设{a}的公比为q．由题设可得n a(1q)2,12a(1q q) 6.1解得q2，a12．n 故{a}的通项公式为a(2)．n n（2）由（1）可得Snn na1(1q)22n(1)1q331．因为n3n2n142222n nS S(1)2[(1)]2S，n2n1n3333故S n1，S n，S n2成等差数列．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAP CDP90．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）由已知∠BAP∠CDP90，得AB AP，CD PD．因为AB∥CD，故AB PD，从而AB平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD．19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得161x x 9.97 ，i16i 116 161 12 2 2s (x x) ( x 16x ) 0.212，i i16 16i 1 i 116162(i 8.5) 18.439，( x i x )(i 8.5) 2.78 ，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i 1,2, ,16 ．i 1i 1（1）求(x, )i(i 1,2,, 16)的相关系数r ，并回答是否能够认为这个天生产的零件尺寸不随生产过程i的实行而系统地变大或变小（若| r | 0.25 ，则能够认为零件的尺寸不随生产过程的实行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x3s,x3s)之外的零件，就认为这条生产线在这个天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程实行检查．（ⅰ）从这个天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程实行检查？（ⅱ）在(x3s,x3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）n(x x)(y y)i i附：样本(x,y)(i1,2,,n)的相关系数i i r i1n n22(x x)(y y)i i，0.0080.09．i1i1【解析】（1）由样本数据得(x,i)(i1,2,,16)的相关系数为i16r(x x)(i8.5)ii1161622(x x)(i8.5)i2.780.2121618.4390.18．i1i1因为|r|0.25，所以能够认为这个天生产的零件尺寸不随生产过程的实行而系统地变大或变小．（2）（i）因为x9.97,s0.212，由样本数据能够看出抽取的第13个零件的尺寸在(x3s,x3s)以外，所以需对当天的生产过程实行检查．（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(169.979.22)10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．16222x160.212169.971591.134，ii1剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为11522(1591.1349.221510.02)0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09．20．（12分）设A，B为曲线C：y=2x4上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM，求直线AB的方程．【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x x，122x1y，142x2y，x1+x2=4，24于是直线AB的斜率k y y x x1212x x1241．21．（12分）已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)0，求a的取值范围．【解析】（1）函数f(x)的定义域为(,)，2x x2x xf(x)2e ae a(2e a)(e a)，①若a0，则f(x)e2x，在(,)单调递增．②若a0，则由f(x)0得x ln a．当x(,ln a)时，f(x)0；当x(ln a,)时，f(x)0，故f(x)在(,ln a)单调递减，在(ln a,)单调递增．a③若a0，则由f(x)0得x ln()．2a a a当x(,ln())时，f(x)0；当x(ln(),)时，f(x)0，故f(x)在(,ln()) 222单调递a减，在(ln(),)2单调递增．（2）①若a0，则()e2f x，所以f(x)0．x②若a0，则由（1）得，当x ln a时，f(x)取得最小值，最小值为2f(ln a)a ln a．从而当且仅当a a，即a1时，f(x)0．2ln0a③若a0，则由（1）得，当x ln()时，f(x)取得最小值，最小值为2a23af(ln())a[ln()]．从242而当且仅当23aa[ln()]0，即4234a2e时f(x)0．3综上，a的取值范围为4[2e,1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xy3cos,sin,（θ为参数），直线l的参数方程为x a4t,（为参数）．ty1t,（1）若a1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．【解析】（1）曲线C的普通方程为2x921y．当a1时，直线l的普通方程为x4y30．x4y30,由2x92y1解得xy3,或xy21252425.,从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124 (,)2525．（2）直线l的普通方程为x4y a40，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin a4|d．17当a4时，d的最大值为9a17．由题设得a91717，所以a8；当a4时，d的最大值为a171．由题设得a17117，所以a16．综上，a8或a16．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）2ax已知函数f(x)x4，g(x)|x1||x1|．（1）当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；（2）若不等式f(x)g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．（2）当x[1,1]时，g(x)2．所以f(x)g(x)的解集包含[1,1]，等价于当x[1,1]时f(x)2．又f(x)在[1,1]的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1．所以a的取值范围为[1,1]．.。
2019年全国统一高考数学试卷(文)(新课标Ⅰ)【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】
【后附：极详细的解析、分析、考点、答案解释等】 2019年全国统一高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）一、选择题1. 设x =3−i1+2i，则|x|=( ) A.2 B.√3 C.√2 D.12. 已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7},A ={2,3,4,5},B ={2,3,6,7}.则B ∩∁U A =（ ） A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}3. 已知a =log 20.2，b =20.2，c =0.20.3，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是√5−12（√5−12=0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚挤的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm5. 函数f(x)=sinx+x cosx+x 2的[−π,π]图像大致为( )A.B.C.D.6. 某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体制测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( ) A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生7. tan255∘=（ ）. A.−2−√3 B.−2+√3 C.2−√3 D.2+√38. 已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|，且(a →−b →)⊥b →，则a →与b →的夹角为( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π69. 下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入( )A.A =12+A B.A =2+1A C.A =11+2A D.A =1+12A10. 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130∘，则C 的离心率为（ ）. A.2sin40∘B.2cos40∘C.1sin50D.1cos5011. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinA −bsinB =4csinC,cosA =−14，则bc=（ ）A.6B.5C.4D.312. 已知椭圆C 的焦点为F 1(−1,0),F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A,B 两点，若|AF 2|=2|F 2B|，|AB|=|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1二、填空题曲线y =3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，S 3=34,则S 4=________.函数f(x)=sin (2x +3π2)−3cosx 的最小值为________.已知∠ACB =90∘，P 为平面ABC 外的一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为√3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 三、解答题某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表；(1)分别估算男、女顾客对该商场服务满意的概率？(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=−a5.(1)若a3=4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n>a n的n的取值范围.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD= 60∘,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明：MN//平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)是f(x)的导数.(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.已知点A,B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|−|MP|为定值？并说明理由. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2,y=4t1+t2（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+ 11=0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）一、选择题 1.【答案】C【考点】复数的模【解析】此题暂无解析 【解答】解：x =3−i1+2i =(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−75i ， 所以|x|=√(15)2+(−75)2=√2，故选C .2.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∁U A ={1,6,7}，所以B ∩∁U A ={6,7}， 故选C . 3.【答案】 B【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得：a =log 20.2<log 21=0；b =20.2>20=1；c =0.20.3<0.20=1且0<c <1； ∴ a <c <b ， 故选B . 4.【答案】 B【考点】黄金分割法—0.618法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：记其咽喉至肚挤的长度为xcm ， 依题，有：26x=√5−12， 则：x =√5−1≈42.07，记其身高为y ，则y =26+x +105=131+x ≈173.08， 故选B . 5.【答案】 D【考点】函数图象的作法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx+xcosx+x 2=−f(x)， ∴ f(x)为奇函数，可排除A ， 而f(π)=π−1+π2>0， ∴ 可排除B 和C . 故选D . 6.【答案】 C【考点】系统抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知将1000名学生分成100组，每组10名学生，用系统抽样46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{a n}，公差d=10，所以a n=6+10(n−1)=10n−4(n∈N∗)，若8=10n−4，则n=65，不符合题意；若200=10n−4，则n=20.4，不合题意；若616=10n−4，则n=62，符合题意；若815=10n−4，则n=81.9不合题意. 故选C.7.【答案】D【考点】两角和与差的正切公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：tan255∘=tan(180∘+75∘)=tan75∘=tan(45∘+30∘)=tan45∘+tan30∘1−tan45∘tan30∘=1+√33 1−√33=2+√3.故选D.8.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵(a→−b→)⊥b→，|a→|=2|b→|，∴(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2=|a→||b→|cos<a→,b→>−|b→|2=(2cos<a→,b→>−1)|b→|2=0，而：|b→|≠0，∴2cos<a→,b→>−1=0，由：<a→,b→>∈[0,π]知：<a→,b→>=π3. 故选B.9.【答案】A【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：空白框填12+A时，当k=1, A=12+12,当k=2,A=12+12+12,满足题意.故选A.10.D【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得tan130∘=−ba，则tan50∘=ba，即sin250∘cos250∘=b2a2=c2−a2a2=e2−1,1cos250∘=e2,e=1cos50∘.故选D.11.【答案】A【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由正弦定理知a2−b2=4c2，则b2+c2−a2=−3c2=2bccosA，即−3c2=2bc(−14)，解得:bc=6.故选A.12. B【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的定义和性质余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由定义|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，|BF2|+|BF1|=2a，|AF2|=2|F2B|及|AB|=|BF1|，得|AF1|=|AF2|=a，|BF1|=3a2，|BF2|=a2，由∠AF2F1+∠BF2F1=π，得cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0，(2c)2+(a2)2−(32a)22×2c×a2+(2c)2+a2−a22×2c×a=0，解得a2=3, b2=2.故选B.二、填空题【答案】y=3x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵点(0,0)在曲线上，∴(0,0)是切点，求导得：y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1),∴切线斜率k=y′|x=0=3，又∵切线过切点(0,0)，∴切线方程为y=3x.故答案为：y=3x.【答案】58等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则S3=a1+a1q+a1q2=34,因为a1=1，解得q=−12,S4=34+a1q3=34−18=58.故答案为：58.【答案】−4【考点】二次函数的应用二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式二次函数在闭区间上的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=sin(2x+3π2)−3cosx=sin2xcos 3π2+sin3π2cos2x−3cosx=−(cos2x+3cosx)=−2cos2x−3cosx+1,设cosx=m,m∈[−1,1]，则f(x)=−2m2−3m+1，由二次函数图象可知，当m=1时f(x)min=−4. 故答案为：−4.【答案】√2【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：设PE⊥BC，PF⊥AC，PO⊥平面ABC，如图连接EO,FO, CO.因为PO⊥平面ABC，所以PO⊥FO，PO⊥EO.又因为PF=PE,所以FO=EO.因为CE⊥PE,CE⊥PO，所以CE⊥平面POE.因为OE在平面POE上,所以CE⊥OE，同理CF⊥OF.所以CO为∠ACB的角平分线因为∠ACB=90∘所以∠OCE=45∘=∠EOC因为PC=2,PE=√3,所以CE=√22−3=1=OE，所以OC=√1+1=√2.在△POC中PO⊥OC，PC=2.所以PO=√22−2=√2.故答案为：√2.三、解答题【答案】解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6，因此女顾客对该商场服务的概率的估计值为0.6.(2)K2=100×(40×20−30×10)250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【考点】独立性检验用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6，因此女顾客对该商场服务的概率的估计值为0.6.(2)K2=100×(40×20−30×10)250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【答案】解：(1)设{a n}的公差为d,由S9=−a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4,于是a1=8,d=−2.因此{a n}的通项公式为a n=10−2n.(2)由(1)得a1=−4d，故a n=(n−5)d,S n=n(n−9)d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2−11n+10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N∗}.【考点】数列与不等式的综合等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设{a n}的公差为d,由S9=−a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4,于是a1=8,d=−2.因此{a n}的通项公式为a n=10−2n.(2)由(1)得a1=−4d，故a n=(n−5)d,S n=n(n−9)d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2−11n+10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N∗}.【答案】解：(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1，BC的中点，所以ME//B1C，且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D.由题设知A1B1平面且相等DC，可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.又MN平面C1DE，所以MN//平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE=1, C1C=4，所以C1E=√17，故CH=4√1717.从而点C到平面C1DE的距离为4√1717.【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1，BC的中点，所以ME//B1C，且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D.由题设知A1B1平面且相等DC，可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.又MN平面C1DE，所以MN//平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE=1, C1C=4，所以C1E=√17，故CH=4√1717.从而点C到平面C1DE的距离为4√1717.【答案】(1)证明：设g(x)=f′(x)，则g(x)=cosx+xsinx−1，g′(x)=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0；当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,π2)单调递增，在(π2,π)单调递减.又g(0)=0，g(π2)>0，g(π)=−2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点.(2)解：由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π)单调递减.又f(0)=0,f(π)=0，所以当x∈[0,π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0,π]时，ax≤0，故f(x)≥aπ.因此，a的取值范围是(−∞,0].【考点】利用导数研究不等式恒成立问题由函数零点求参数的取值范围利用导数研究函数的单调性函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：设g(x)=f′(x)，则g(x)=cosx+xsinx−1，g′(x)=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0；当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,π2)单调递增，在(π2,π)单调递减.又g(0)=0，g(π2)>0，g(π)=−2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点.(2)解：由题设知f(π)≥aπ，f(π)=0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,π)单调递减.又f(0)=0,f(π)=0，所以当x∈[0,π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0,π]时，ax≤0，故f(x)≥aπ.因此，a的取值范围是(−∞,0].【答案】解：(1)因为⊙M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，由已知A在直线x+y=0，且A,B关于原点O对称，所以M在直线y=x上，故可设M(a,a)因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径为r=|a+2|，由已知得|AO|=2，又MO→⊥AO→，故可得2a2+4=(a+2)2，解得a=0或a=4，故⊙M的半径为r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|−|MP|为定值.理由如下：设M(x,y)，由已知得⊙M半径为r=|x+2|,AO=2. 由于MO→⊥AO→，故可得x2+y2+4=(x+2)2，化简得M的轨迹方程为y2=4x，因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x=−1为准线的抛物线. 所以|MP|=x+1.因为|MA|−|MP|=r−|MP|=x+2−(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的标准方程直线与圆的位置关系圆的切线方程轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为⊙M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上，由已知A在直线x+y=0，且A,B关于原点O对称，所以M在直线y=x上，故可设M(a,a)因为⊙M与直线x+2=0相切，所以⊙M的半径为r=|a+2|，由已知得|AO|=2，又MO→⊥AO→，故可得2a2+4=(a+2)2，解得a=0或a=4，故⊙M的半径为r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|−|MP|为定值.理由如下：设M(x,y)，由已知得⊙M半径为r=|x+2|,AO=2.由于MO→⊥AO→，故可得x2+y2+4=(x+2)2，化简得M的轨迹方程为y2=4x，因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x=−1为准线的抛物线. 所以|MP|=x+1.因为|MA|−|MP|=r−|MP|=x+2−(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P . 【答案】解：(1)∵ 直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0, ∵ 曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t1+t 2,(t 为参数) ∴ x 2=(1−t 2)2(1+t 2)2, y 2=16t 2(1+t 2)2， ∴ x 2+y 24=(1−t 2)21+t +4t 21+t =(1+t 2)21+t =1,∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离 d =|2cosα+2√3sinα+11|√4+3=|4sin(α+π6)+11|√7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时， d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值 d min =√7=√7.【考点】两角和与差的正弦公式 椭圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0, ∵ 曲线C 的参数方程为{x =1−t 21+t 2,y =4t1+t 2,(t 为参数) ∴ x 2=(1−t 2)2(1+t 2)2, y 2=16t 2(1+t 2)2， ∴ x 2+y 24=(1−t 2)2(1+t 2)2+4t 2(1+t 2)2=(1+t 2)2(1+t 2)2=1,∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1.(2)∵ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1∴ 可设曲线C 上任意一点P(cosα, 2sinα)(0≤α<2π), ∴ 点P 到直线l 的距离 d =√3sinα√4+3=|4sin(α+π6)+11|7.∵ 0≤α<2π,∴ 当sin(α+π6)=−1时， d 取得最小值.∴ 曲线C 上的点到l 距离的最小值 d min =7=√7.【答案】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1， ∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c )⋅abc =bc +ac +ab =12(2bc +2ac +2ab) ≤12(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2)=a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立. (2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24. 当且仅当a =b =c =1时，等号成立. 【考点】 不等式的证明 基本不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解:(1)∵ a,b,c 为正数，且满足abc =1， ∴ 1a +1b +1c =(1a +1b +1c )⋅abc =bc +ac +ab =1(2bc +2ac +2ab) ≤12(b 2+c 2+a 2+c 2+a 2+b 2) =12(2a 2+2b 2+2c 2) =a 2+b 2+c 2.当且仅当a =b =c =1时，等号成立. (2)由基本不等式得：(a +b)3+(b +c)3+(c +a)3≥(2√ab)3+(2√bc)3+(2√ca)3 ≥3√(2√ab)3⋅(2√bc)3⋅(2√ca)33=24. 当且仅当a =b =c =1时，等号成立.。
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题04 线性规划(原卷版)
专题04 线性规划
线性规划小题：10年9考，就2019年没考，线性规划题考得比较基础，一般不与其他知识结合．由于线性规划的运算量相对较大，所以难度不宜太大，不过为了避免很多考生解出交点代入的情况估计会加大“形”的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题．
2．（2017年）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩
，则z ＝x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．（2016年）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，
乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过
5．（2014年）设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩，且z ＝x +ay 的最小值为7，则a ＝（ ） A ．﹣5 B ．3
C ．﹣5或3
D ．5或﹣3
7．（2012年）已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z ＝﹣x +y 的取值范围是（ ）
9．（2010年）已知Y ABCD 的三个顶点为A （﹣1，2），B （3，4），C （4，﹣2），点（x ，y ）在Y ABCD
的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）
A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）。
2019年全国Ⅰ卷文数高考试题(含答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(Ⅰ卷)文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2－3B ．－2+3C ．2－3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考文科数学全国卷Ⅰ文数(附参考答案和详解)(可编辑修改word版)
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. b c a
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【解析】由对数函数的单调性可得 a log2 0.2 log21 0 ，
由指数函数的单调性可得 b 20.2 20 1， 0 c 0.20.3 0.20 1 ，所以 a c b .故选 B.
比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm ，则其身高可能是（ ）
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
【解析】设某人身高为 m cm，脖子下端至肚脐的长度为 n cm，
则由腿长为 105 cm，可得 m 105 5 1 0.618 ，解得 m 169.890 .
所以 |
AB
|
3 2
|
AF2
|
，所以 |
AF1
|
3 |
AF2
|
4a
.
又因为 | AF1 | | AF2 | 2a ，所以 | AF2 | a . 所以 A 为椭圆的短轴端点.
第 5 页（共 12 页）
如图，不妨设 A(0,b) ，
又
F2
(1,
0)，AF2来自2F2 B，所以
B
3 2
,
b 2
.
【答案】A
12.（2019 全国卷Ⅰ·文）已知椭圆 C 的焦点为 F1 1, 0， F2 1, 0，过 F2 的直线与 C 交于 A ， B 两
点．若 | AF2 | 2 | F2B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为（ ）
A. x2 y2 1 2
B. x2 y2 1 32
105
2
由头顶至脖子下端的长度为 26 cm，可得 26 5 1 0.618 ，解得 n 42.071 . n2
2019年高考全国卷I数学(文)试题及参考答案-9页精选文档
希望同学们在学习和做题过程中有何问题时，能够和我及时沟通，我将尽力为大家解决课程中所遇到的问题，我的邮箱地址：guowx@一、考核形式本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。
考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。
其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。
形成性考核的内容及成绩的评定按《中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点高等数学基础形成性考核册》的规定执行。
期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。
二、试题类型填空题：每小题4分，共20分；单选题：每小题4分，共20分；计算题：每小题11分，共44分；应用题：16分。
三、复习要求（一）函数、极限与连续1．理解函数的概念，了解分段函数．能熟练地求函数的定义域和函数值；2．了解函数的奇偶性；3．掌握极限的四则运算法则.掌握求极限的一些方法；4．了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质；5．了解函数的连续性和间断点的概念。
（二）一元函数微分学1.理解导数与微分概念，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则；3.熟练掌握复合函数的求导法则；4.掌握求显函数的二阶导数的方法；5.掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；6.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。
（三）一元函数积分学1. 理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系；2. 熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；3. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法；4. 会计算较简单的无穷积分。
四、综合练习（一）单项选择题1. 下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．2(A)()()(B) ()()f x g x xf xg x x ====34(C) ()ln ()3ln (D) ()ln ()4ln f x x g x xf x xg x x ====答案C2．设函数f(x)的定义域是整个x 轴，则f(x)-f(-x)的图形关于（ ）对称.(A) (B) 0 (C) 0 (D) y xx y ===坐标原点答案D3. 当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．231sin (A)(B)(C) e 1(D) xx x xxx-答案C4. 设()f x 在x=0处可导，则0(2)(0)limh f h f h→--=（ ）． (A) (0)(B)(0)(C) 2(0)(D)2(0) f f f f ''''--答案D5. 下列等式不成立的是（ ）．(A) ()(B)sin (cos )x x e dx d e xdx d x =-=1(D) ln ()d xdx d x==答案D6. 函数322-+=x x y 在区间)4,2(内满足（ ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降 答案B (220y x '=+>Q )()cos ()d (A) sin (B) cos (C) sin (D) cos f x x f x x x c x c x c x c'==++-+-+⎰若，则（）7. ．答案B8. 若)(x f 的一个原函数是x1，则=')(x f （ ）． 32211(A) ln (B) (C) (D) x x x x-答案B （211()()()f x x x -''''==Q ）9. =+-⎰-x x x x d )22cos (2π2π7（ ）．π(A) 0(B) π(C)(D) 2π2答案D10.下列无穷积分收敛的是（ ）．30111(A) cos d (B) e d (C) (D) d x x xxx x x+∞+∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰答案B （二）填空题 1.函数ln()(0,0)y x a a b =+>>的定义域是 ． 答案 a x b -<<2. 若函数2(1)2f x x x a +=++，则()f x = ．答案 2()1f x x a =-+ （22(1)211(1)1f x x x a x a +=++-+=+-+Q ） 3. 若函数sin ()1xf x x=-，当x → 时()f x 是无穷小量． 答案 04. 函数210sin 0x x y x x ⎧+>=⎨≤⎩的间断点是 ．答案0=x5. 若1(1)0()20x x x f x x kx ⎧⎪+<=⎨⎪+≥⎩，在0=x 处连续，则=k ．答案e6. 若2()ln f x x =，则[(2)]f '= . 答案 07. 曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是 ． 答案41（1()(2)4f x f ''===Q ）8．函数22y x =+的单调增加区间是 ． 答案 (0,)+∞ 9.=⎰x xx d e d d 2． 答案 2e x 10. 11d px x +∞⎰当p 时收敛． 答案 1p >11． 3121d (4)x x x -=+⎰ ． 答案 0（三)计算题1. 计算极限0tan limsin x xxa b →．解 利用重要极限1sin lim0=→x xx ，及极限的运算法则得 000sin tan sin 1cos lim lim lim sin sin sin cos x x x x x x a a a a b b b x x x x ax →→→==⋅0sin 1lim sin cos x a a a xx b x b x x b a →=⋅⋅a b=2. 计算极限5456lim 221--++-→x x x x x ．解 221165(1)(5)42lim lim 45(1)(5)63x x x x x x x x x x →-→-++++===---+-- 3. 计算极限2sin()lim()x ax a x a b x ab→--++． 解 利用重要极限1sin lim0=→xxx ，及极限的运算法则得2sin()sin()11limlim ()()()()x ax a x a x a x a b x ab x a x b a b →→--=⋅=-++---4. 设22sin x y x =，求．解 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得2222(2)sin 2(sin )(2ln 2)sin 2(cos 2)x x x x y x x x x x '''=+=+⋅222(ln 2sin 2cos )x x x x =+5. 设ln cos a y x x =+，求y d ．解 由微分的公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则得11d d [ln cos ][cos (sin )]a a y y x x x dx a x x dx x-''==+=+-11[cos sin ]a a x x dx x -=-⋅6. 设sin cos x x y e e =-，求y d ．解 由微分的公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则得sin sin (cos )(sin cos )x x x x x dy e e dx e e e x dx '=-=-⋅-⋅sin (sin cos )x x x e e e x dx =-+7. 计算积分ln d xx x⎰． 解 由换元积分法得 ln 1d ln d ln d(ln )x x x x x x x x=⋅=⎰⎰⎰2ln 2x c =+ 8. 计算积分⎰x xxd e21．解 由换元积分法得 ⎰⎰-=)1(d e d e 121x x xx xc x +-=1e9.计算积分x 解 由换元积分法得22d 2x x x c '====-⎰⎰10． 计算定积分10e d ax x x ⎰．解 由分部积分法得 设 ,e ,axu x v '== 得到e ,axv a=1111100000e e e e 1e d d()|d e d ax ax ax a axaxx x x x x x a a a a a ==-=-⎰⎰⎰⎰11022220e 1e e e e 1e d()|a a ax a a axax a aa a a a a =-=-=-+⎰11. 计算积分 1ln d (1)e a x x x a ≠-⎰．解 由分部积分法得 设 ln ,,au x v x '== 得到1,1a x v a +=+ 11111111ln ln d ln d()|d(ln )111eee e x x x x x x x x x ααααααα+++==-+++⎰⎰⎰11111d 11e e x x x αααα++=-⋅++⎰ 111d 11e e x x αααα+=-++⎰ 111112221|1(1)1(1)(1)e e x e e ααααααααα++++=-=-++++++ 由此可得1ln d (0)ex xa =⎰1ln d (1)ex x xa =⎰11()2ex a -=⎰21ln d (2)e x xa x =-⎰（四）应用题1. 用钢板焊接一个容积为43m 、底为正方形的长方体无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22x x xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，由于S '经过驻点x=2时，符号是由负变正，所以该驻点是实际问题的最小值点。
2019年全国Ⅰ卷高考文科数学真题及解析(Word版,精校解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）文科数学1. 设312iz i-=+，则z =（ ） A.2 B.3 C.2 D.1 答案：C 解析： 因为3(3)(12)1712(12)(12)5i i i iz i i i ----===++- 所以z =2217()()55+-2= 2. 已知集合}7,6,5,4,3,2,1{=U ，5}43{2，，，=A ，7}63{2，，，=B ，则=A C B U （ ） A. }6,1{ B.}7,1{ C.}7,6{ D. }7,6,1{ 答案：C解析：}7,6,5,4,3,2,1{=U ，5}43{2，，，=A ，则7}6{1，，=A C U ，又 7}63{2，，，=B ，则7}{6，=A C B U ，故选C.3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 答案：B 解答：由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215- .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 190答案：B解析： 方法一：设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，t BD =，λ=-215， 根据题意可知λ=BD AB ,故t AB λ=；又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DFAD，故t DF λλ1+=； 所以身高t DF AD h λλ2)1(+=+=，将618.0215≈-=λ代入可得t h 24.4≈.根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；即26<t λ，1051>+t λλ，将618.0215≈-=λ代入可得4240<<t 所以08.1786.169<<h ，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接近，故选B.5. 函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A. B.C. D.答案：D 解答：∵()()()2sin ()cos x x f x x x ---=-+-=2sin cos x xx x+-+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A.又22sin 4222()02cos22f πππππππ++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C ，()22sin ()01cos f πππππππ+==>++，排除B ，故选D. 6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）.A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生 答案：C 解答：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号数就为106(099,)n n n N +≤≤∈，可得出616号学生被抽到.7. tan 255︒=（ ）A.2-B.2-2D.2+ 答案：D 解析：因为tan 255tan(18075)tan 75︒=︒+︒=︒tan 45tan 30tan(4530)1tan 45tan 30︒+︒=︒+︒=-︒⋅︒化简可得tan 2552︒=8. 已知非零向量a ，b 满足||2||b a =，且b b a⊥-)(，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.32π D.65π 答案：B 解答：||2||b a =，且b b a ⊥-)(，∴0)(=⋅-b b a ，有0||2=-⋅b b a ，设a 与b 的夹角为θ，则有0||cos ||||2=-⋅b b a θ，即0||cos ||222=-b b θ，0)1cos 2(||2=-θb ， 0||≠b ，∴21cos =θ，3πθ=，故a 与b的夹角为3π，选B .9. 右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A =+ B.12A A=+ C.112A A =+ D.112A A=+答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A 代入运算可得1=12+12+2A ，满足条件，选项B 代入运算可得1=2+12+2A ,不符合条件， 选项C 代入运算可得12A =,不符合条件，选项D 代入运算可得11+4A =,不符合条件.10.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线的倾斜角为︒130，则C 的离心率为（ ）A.︒40sin 2B.︒40cos 2C.︒50sin 1D.︒50cos 1答案：D解答： 根据题意可知︒=-130tan a b ，所以︒︒=︒=50cos 50sin 50tan a b ， 离心率︒=︒=︒︒+︒=︒︒+=+=50cos 150cos 150cos 50sin 50cos 50cos 50sin 1122222222a b e . 11. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（ ）A.6B.5C.4D. 3答案：A 解答：由正弦定理可得到：222sin sin 4sin 4a A b B c C a b c -=⇒-=，即2224a c b =+，又由余弦定理可得到：2221cos 24b c a A bc +-==-，于是可得到6b c =12. 已知椭圆C 的焦点坐标为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）A.2212x y +=B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y +=答案：B 解答：由222AF F B =，1AB BF =，设2F B x =，则22AF x =，13BF x =，根据椭圆的定义21212F B BF AF AF a +=+=，所以12AF x =，因此点A 即为椭圆的下顶点，因为222AF F B =，1c =所以点B 坐标为3(,)22b，将坐标代入椭圆方程得291144a +=，解得 223,2ab ==，故答案选B.13.曲线23()xy x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 . 答案：3y x = 解答：∵23(21)3()xxy x e x x e '=+++23(31)xx x e =++，∴结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k =， ∴切线方程为3y x =.14. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S = . 答案：58解析：11a =，312334S a a a =++=设等比数列公比为q ∴211134a a q a q ++=∴12q =- 所以4S =5815．函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________． 答案：4- 解答：23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+， 因为cos [1,1]x ∈-，知当cos 1x =时()f x 取最小值， 则3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为4-． 16.已知90ACB ∠=︒，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案：2解答：如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ∆中，由2,3PC PF ==，可得出1CF =，同理在Rt PCE ∆中可得出1CE =，结合90ACB ∠=︒，,OE CB OF CA⊥⊥可得出1OE OF ==，2OC =，222PO PC OC =-=17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满 意不 满 意男 顾 客 40 10女 顾 客30 20（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2） 能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d κ-=++++2()P k κ≥0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828解答：（1） 男顾客的的满意概率为404505P == 女顾客的的满意概率为303505P ==. (2) 22100(40201030) 4.762(4010)(3020)(4030)(1020)κ⨯-⨯==++++ 4.762 3.841>有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a S -=； （1）若43=a ，求{}n a 的通项公式；（2）若01>a ，求使得n n a S ≥的n 的取值范围. 解答：（1）由59a S -=结合591992)(9a a a S =+=可得05=a ，联立43=a 得2-=d ，所以102)3(3+-=-+=n d n a a n（2）由59a S -=可得d a 41-=，故d n a n )5(-=，2)9(dn n S n -=. 由01>a 知0<d ，故n n a S ≥等价于010112≤+-n n ，解得101≤≤n ，所以n 的取值范围是{}N n n n ∈≤≤,101 19. 如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 解答：（1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG .,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由MN ⊂平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE（2）E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠=DE BC ∴⊥，又1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又12,4AB AA ==，1DE C E ∴==，设点C 到平面1C DE 的距离为h由11C C DE C DCE V V --=得1111143232h ⨯=⨯⨯解得h =所以点C 到平面1C DE 20. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '是()f x 的导数. （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0,]x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围. 解答：（1）由题意得()2cos [cos (sin )]1f x x x x x '=-+--cos sin 1x x x =+- 令()cos sin 1g x x x x =+-，∴()cos g x x x '= 当(0,]2x π∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(,)2x ππ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的最大值为()122g ππ=-，又()2g π=-，(0)0g =∴()()02g g ππ⋅<，即()()02f f ππ''⋅<，∴()f x '在区间(0,)π存在唯一零点.（2）令()()F x f x ax =-2sin cos x x x x ax =---， ∴()F x 'cos sin 1x x x =+-a -，由（1）知()f x '在(0,)π上先增后减，存在(,)2m ππ∈，使得()0f m '=，且(0)0f '=，()=1022f ππ'->，()2f π'=-， ∴()F x '在(0,)π上先增后减，(0)F a '=-，()122F a ππ'=--，()2F a π'=--，当()02F π'≤时，()F x '在(0,)π上小于0，()F x 单调递减，又(0)0F =，则()(0)0F x F ≤=不合题意，当()02F π'>时，即102a π-->，12a π<-时，若(0)0F '≥，()0F π'≤，()F x 在(0,)m 上单调递增，在(,)m π上单调递减，则(0)0()0F F π≥⎧⎨≥⎩解得0a ≤，而(0)0()20F a F a π'=-≥⎧⎨'=--≤⎩解得20a -≤≤，故20a -≤≤，若(0)0F '≥，()0F π'≥，()F x 在(0,)π上单调递增，且(0)0F =， 故只需(0)0()20F a F a π'=-≥⎧⎨'=--≥⎩解得2a ≤-；若(0)0F '≤，()0F π'≤，()F x 在(0,)2π上单调递增，且(0)0F =，故存在(0,)2x π∈时，()(0)0F x F ≤=，不合题意，综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.21. 已知点,A B 关于坐标原点O 对称，4AB =，M 过点,A B 且与直线20x +=相切.（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值？并说明理由. 解答： （1）∵M 过点,A B ，∴圆心在AB 的中垂线上即直线y x =上，设圆的方程为222()()x a y a r -+-=，又4AB =，根据222AO MO r +=得2242a r +=；∵M 与直线20x +=相切，∴2a r +=，联解方程得0,2a r ==或4,6a r ==.（2）设M 的坐标为(,)x y ，根据条件22222AO MO r x +==+即22242x y x ++=+ 化简得24y x =，即M 的轨迹是以(1,0)为焦点，以1x =-为准线的抛物线，所以存在定点(1,0)P ，使(2)(1)1MA MP x x -=+-+=.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值. 解答：(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到23110x y ++=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则4sin()112cos 23sin 11677d πθθθ++++==所以当362ππθ+=723.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ，证明：（1）222111c b a cb a ++≤++；（2）24)()()(333≥+++++a c c b b a .解析：（1） ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ac a c 222≥+，∴ac bc ab c b a 222222222++≥++，即ac bc ab c b a ++≥++222，当且仅当c b a ==时取等号. 1=abc 且a ，b ，c 都为正数，∴c ab 1=，a bc 1=，bac 1=，故222111c b a cb a ++≤++. （2） 3333333)()()(3)()()(ac c b b a a c c b b a +++≥+++++，当且仅当333)()()(a c c b b a +=+=+时等号成立，即c b a ==时等号成立.又- 11 - ))()((3)()()(33333a c c b b a a c c b b a +++=+++ac bc ab 2223⋅⋅⨯≥abc 42=， 当且仅当c b a ==时等号成立， 1=abc ，故2424)()()(33333=≥+++abc a c c b b a ，即得24)()()(333≥+++++a c c b b a .。
2019年全国卷Ⅰ文数高考真题及答案解析(word精编)
2019年全国卷Ⅰ文数高考真题及答案解析（word精编）绝密★启用前 xx年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ卷文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则=A.2B.C.D.12.已知集合，则A.C.D.3.已知，则A.B.C.D.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm5.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A.B.C.6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生7.tan255°=A.－2－B.－2+C.2－D.2+8.已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为A.B.C.D.9.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A.A=C.A=D.A=10.双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A.2sin40°B.2cos40°C.D.11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA －bsinB=4csinC，cosA=－，则=A.6B.5C.4D.312.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A.B.C.D.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。