匈牙利算法和KM算法简介
最佳匹配
如果边上带权的话，找出权和最大的匹配叫 做求最佳匹配。 实际模型：某公司有职员x1,x2,…,xn,他们去 做工作y1,y2,…,yn,每个职员做各项工作的效 益未必一致，需要制定一个分工方案，使得 人尽其才，让公司获得的总效益最大。 数学模型：G是加权完全二分图，求总权值 最大的完备匹配。
例题3 打猎 猎人要在n*n的格子里打鸟，他可以在某一行 中打一枪，这样此行中的所有鸟都被打掉， 也可以在某一列中打，这样此列中的所有鸟 都打掉。问至少打几枪，才能打光所有的鸟？ 建图：二分图的X部为每一行，Y部为每一列， 如果(i,j)有一只鸟，那么连接X部的i与Y部的j。 该二分图的最大匹配数则是最少要打的枪数。
KM算法
对于任意的G和M，可行顶标都是存在的： l(x) = maxw(x,y) l(y) = 0 欲求完全二分图的最佳匹配，只要用匈牙利算法求 其相等子图的完备匹配；问题是当标号之后的Gl无 完备匹配时怎么办？1957年（居然比匈牙利算法 早？？？），Kuhn和Munkras给出了一个解决该问 题的有效算法，用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对 应的相等子图之最大匹配逐次增广，最后出现完备 匹配。
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例题1 Place the Robots（ZOJ） 模型二
把每个横向块看作X部的点，竖向 块看作Y部的点，若两个块有公共 的空地，则在它们之间连边。 于是，问题转化成这样的一个二 部图：
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例题1 Place the Robots（ZOJ） 模型二
参考文献
王树禾《离散数学引论》 吴文虎 王建德《图论算法与程序设计》 刘汝佳 黄亮《算法艺术与信息学竞赛》 2002年冬令营论文－孙方成《偶图的算法及 应用》 2004年冬令营论文－黄源河《浅谈图论模型 的建立与应用》
例题1 Place the Robots（ZOJ1654） 问题描述
有一个N*M(N,M<=50)的棋盘， 棋盘的每一格是三种类型之一： 空地、草地、墙。机器人只能放 在空地上。在同一行或同一列的 两个机器人，若它们之间没有墙， 则它们可以互相攻击。问给定的 棋盘Байду номын сангаас最多可以放置多少个机器 人，使它们不能互相攻击。
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由于每条边表示一个空地，有冲 突的空地之间必有公共顶点，所 以问题转化为二部图的最大匹配 问题。
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例题1 Place the Robots（ZOJ） 小结
比较前面的两个模型：模型一过于简单，没有给问 题的求解带来任何便利；模型二则充分抓住了问题的内 在联系，巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种 截然不同的结果呢？其一是由于对问题分析的角度不同： 模型一以空地为点，模型二以空地为边；其二是由于对 原型中要素的选取有差异：模型一对要素的选取不充分， 模型二则保留了原型中“棋盘”这个重要的性质。由此 可见，对要素的选取，是图论建模中至关重要的一步。
例题4 最小路径覆盖 一个不含圈的有向图G中，G的一个路径覆盖 是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每 一个结点仅包含于P中的某一条路径。路径可 以从任意结点开始和结束，且长度也为任意 值，包括0。请你求任意一个不含圈的有向图 G的最小路径覆盖数。 理清一个关系：最小路径覆盖数＝G的顶点 数－最小路径覆盖中的边数
例题2 救护伤员（TOJ1148） 无情的海啸夺取了无数人的生命.很多的医疗 队被派往灾区拯救伤员.就在此时,医疗队突 然发现自己带的药品已经不够用了,只剩下了 N种。(1 < n <= 20)，随着病人病情的发 展，每种药在每天能获得的效果是不一样的。 同时，每天病人只能服用一种药。也就是说， 这些药还够支持N天。现在，给出你每种药 在每天使用的效果，请你判断当每种药都用 完后所有药达到的效果之和最大可以是多少。
KM算法
上述算法的证明也很容易 Kuhn－Munkras算法流程： (1)初始化可行顶标的值 (2)用匈牙利算法寻找完备匹配 (3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值 (4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为 止
KM算法
int KM(){ int i,j,k,d; int cost=0; init(); for(i=1;i<=n;i++) { while(1) { memset(x,0,sizeof(x)); memset(y,0,sizeof(y)); if(hungary (i)) break; //若找到最大匹配，结束 d=M; for(j=1;j<=n;j++) if(x[j]) for(k=1;k<=n;k++) if(!y[k]) d=Min(d,lx[j]+ly[k]-m[j][k]); //找ld+;y中最小值d if(d==M) break;
匈牙利算法
程序清单： 程序清单： int hungary(){ int num=0; int i,j; for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=m;j++) use[j]=0; if (dfs(i)) num++; } return num; }
匈牙利算法
bool dfs(int x){ int i,j; for(i=1;i<=m;i++){ if (use[i]==0&&map[x][i]) { use[i]=1; j=link[i]; link[i]=x; if (j==-1||dfs(j)) { return true; } link[i]=j; } } return false; }
KM算法
修改方法如下： 先将一个未被匹配的顶点u(u in {x})做一次增广路， 记下哪些结点被访问那些结点没有被访问。求出 d=min{lx[i]+ly[j]-w[i,j]}其中i结点被访问，j结点没有 被访问。然后调整lx和ly：对于访问过的x顶点，将 它的可行标减去d，对于所有访问过的y顶点，将它 的可行标增加d。修改后的顶标仍是可行顶标，原 来的匹配M仍然存在，相等子图中至少出现了一条 不属于M的边，所以造成M的逐渐增广。
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这是NP问题！
例题1 Place the Robots（ZOJ） 模型二
我们将每一行，每一列被墙隔开， 且包含空地的连续区域称作 “块”。显然，在一个块之中， 最多只能放一个机器人。我们把 这些块编上号。 1 2 2 5 1 3 4
同样，把竖直方向的块也编上号。
匈牙利算法
由增广路的定义可以推出下述三个结论： 1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最 后一条边都不属于M。 2－P经过取反操作可以得到一个更大的匹配 M’。 3－M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于 M的增广路径。
匈牙利算法
用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙 利数学家Edmonds于1965年提出) 算法轮廓： (1)置M为空 (2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得 更大的匹配M’代替M (3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
Empty Grass Wall
例题1 Place the Robots（ZOJ） 模型一
在问题的原型中，草地，墙这些信 息不是我们所关心的，我们关心的 只是空地和空地之间的联系。因此， 我们很自然想到了下面这种简单的 模型： 以空地为顶点，有冲突的空地间连 边，我们可以得到右边的这个图： 于是，问题转化为求图的最大独立 集问题。
例题4 最小路径覆盖
试想我们应该使得最小路径覆盖中的边数尽量多， 但是又不能让两条边在同一个顶点相交。 拆点：将每一个顶点i拆成两个顶点Xi和Yi。然后根 据原图中边的信息，从X部往Y部引边。所有边的方 向都是由X部到Y部。
例题4 最小路径覆盖 因此，所转化出的二分图的最大匹配数则是 原图G中最小路径覆盖上的边数。因此由最 小路径覆盖数＝原图G的顶点数－二分图的 最大匹配数便可以得解。
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例题1 Place the Robots（ZOJ） 模型一
在问题的原型中，草地，墙这些信 息不是我们所关心的，我们关心的 只是空地和空地之间的联系。因此， 我们很自然想到了下面这种简单的 模型： 以空地为顶点，有冲突的空地间连 边，我们可以得到右边的这个图：
二分图匹配
匈牙利算法和KM算法简介
二分图的概念
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊 模型。 设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分 割为两个互不相交的子集，并且图中每条边 依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则 1 2 3 4 5 称图G为二分图。
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最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M 的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个 顶点，则称M是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹 最大匹 配问题(maximal matching problem) 配问题 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中 某条边相关联，则称此匹配为完全匹配 完全匹配，也 完全匹配 称作完备匹配。 完备匹配。 完备匹配
KM算法
穷举的效率－n！，我们需要更加优秀的算法。 定理： 设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给 每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i] 表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所 有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示 边的权)，且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j] 成立，则M是图G的一个最佳匹配。证明很容易。
最大化指派问题匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。
最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。
下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。
1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。
算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。
寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。
如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。
修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。
重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。
可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。
3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。
项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。
资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。
4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。
在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。
基于匈牙利算法评估路由算法中网络负载的方法
基于匈牙利算法评估路由算法中网络负载的方法作者：张方爽段新明来源：《软件工程》2018年第06期摘要：最坏情况的吞吐率是衡量路由算法性能的重要因素之一。
负载最重的地方是最坏情况吞吐率的体现，因此最坏情况的吞吐率在路由算法中很关键。
在此基础上本文提出了通过利用匈牙利算法来评估网络负载的方法并且通过实验仿真进行比较。
将匈牙利算法和穷举法运用到Oblivious路由中的O1TURN、VAL等算法中进行比较。
实验结果表明运用该方法与利用传统的穷举法相比，可以大大减少计算量、降低时间复杂度，实验结果证明了方法的可行性和有效性。
关键词：匈牙利算法；最坏情况吞吐率；Oblivious路由；穷举法中图分类号：TP393 文献标识码：A1 引言（Introduction）路由算法是决定网络性能重要因素之一，最坏情况的吞吐率是衡量路由算法的重要指标。
通过随机选择路由路径网络传输过程中故障节点绕道路由问题，以及自适应网络选择路由的路径问题，负载最重的地方是最坏情况吞吐率的体现，因此最坏情况的吞吐率在路由算法中很关键[1，2]。
本文通过利用匈牙利算法的思想计算网络吞吐率的负载。
利用Oblivious路由功能的线性，找到最坏情况的流量模式被视为二分图的最大权重匹配。
使用这种结构，问题通常在多项式时间内解决，快速产生确切的最坏情况结果。
使用最坏情况来确定特定系统的最坏情况吞吐。
William J.Dally等人提出将匈牙利算法运用到Oblivious路由中的DOR和ROMM中评估吞吐率[3]，在此基础上本文引入扩展到Oblivious路由的O1TURN等算法中[1，4]。
2 相关知识（Related information）匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是二分图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
匈牙利算法和KM算法简介
KM算法
❖ 穷举旳效率－n！，我们需要愈加优异旳算法。 ❖ 定理： ❖ 设M是一种带权完全二分图G旳一种完备匹配，给
每个顶点一种可行顶标(第i个x顶点旳可行标用lx[i] 表达，第j个y顶点旳可行标用ly[j]表达)，假如对全 部旳边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表达 边旳权)，且对全部旳边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j] 成立，则M是图G旳一种最佳匹配。证明很轻易。
KM算法
❖ 对于任意旳G和M，可行顶标都是存在旳：
❖ l(x) = maxw(x,y)
❖ l(y) = 0 ❖ 欲求完全二分图旳最佳匹配，只要用匈牙利算法求
其相等子图旳完备匹配；问题是当标号之后旳Gl无 完备匹配时怎么办？1957年（居然比匈牙利算法 早？？？），Kuhn和Munkras给出了一种处理该问 题旳有效算法，用逐次修改可行顶标l(v)旳方法使相 应旳相等子图之最大匹配逐次增广，最终出现完备 匹配。
KM算法
❖ 修改措施如下：
❖ 先将一种未被匹配旳顶点u(u in {x})做一次增广路， 记下哪些结点被访问那些结点没有被访问。求出 d=min{lx[i]+ly[j]-w[i,j]}其中i结点被访问，j结点没有 被访问。然后调整lx和ly：对于访问过旳x顶点，将 它旳可行标减去d，对于全部访问过旳y顶点，将它 旳可行标增长d。修改后旳顶标仍是可行顶标，原 来旳匹配M依然存在，相等子图中至少出现了一条 不属于M旳边，所以造成M旳逐渐增广。
Empty Grass Wall
例题1 Place the Robots（ZOJ）
模型一
在问题旳原型中，草地，墙这些信 息不是我们所关心旳，我们关心旳 只是空地和空地之间旳联络。所以， 我们很自然想到了下面这种简朴旳 模型：
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
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目录
一、匈牙利算法的概念与基本原理
二、匈牙利算法的应用实例
三、匈牙利算法的优缺点
正文
一、匈牙利算法的概念与基本原理
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家 Mátyásovszky 于 1937 年首次提出。
该算法的基本思想是：通过不断循环寻找图中的偶数长度路径，并将路径中的顶点依次匹配，直到找不到这样的路径为止。
此时，图中的所有顶点都已匹配，即得到了二分图的最大匹配。
二、匈牙利算法的应用实例
匈牙利算法广泛应用于任务分配、资源调度、数据融合等领域。
下面举一个简单的例子来说明匈牙利算法的应用。
假设有 5 个工人和 8 个任务，每个工人完成不同任务的效率不同。
我们需要为每个任务分配一个工人，使得总效率最大。
可以用一个二分图来表示这个问题，其中顶点分为两类：工人和任务。
边表示任务与工人之间的效率关系。
匈牙利算法可以用来求解这个问题，找到最优的任务分配方案。
三、匈牙利算法的优缺点
匈牙利算法的优点是简单、高效，可以解决二分图的最大匹配问题。
然而，它也存在一些缺点：
1.匈牙利算法只能解决无向图的匹配问题，对于有向图，需要将其转
换为无向图才能使用匈牙利算法。
2.当图中存在环时，匈牙利算法无法找到最大匹配。
这时需要使用其他算法，如 Euclidean algorithm（欧几里得算法）来解决。
3.匈牙利算法在实际应用中可能存在数值稳定性问题，即在计算过程中可能出现精度误差。
二分图匹配――匈牙利算法和KM算法简介.
KM算法
对于任意的G和M，可行顶标都是存在的： l(x) = maxw(x,y) l(y) = 0 欲求完全二分图的最佳匹配，只要用匈牙利算法求 其相等子图的完备匹配；问题是当标号之后的Gl无 完备匹配时怎么办？1957年（居然比匈牙利算法 早？？？），Kuhn和Munkras给出了一个解决该问 题的有效算法，用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对 应的相等子图之最大匹配逐次增广，最后出现完备 匹配。
二分图匹配
匈牙利算法和KM算法简介
二分图的概念
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊
模型。 设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分 割为两个互不相交的子集，并且图中每条边 依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则 1 2 3 4 5 称图G为二分图。
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最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M
的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个 顶点，则称M是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹 配问题(maximal matching problem) 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中 某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也 称作完备匹配。
匈牙利算法
求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部 匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复 杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更 加高效的算法。 增广路的定义(也称增广轨或交错轨)： 若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且 属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P 上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
KM算法
穷举的效率－n！，我们需要更加优秀的算法。 定理： 设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给 每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i] 表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所 有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示 边的权)，且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j] 成立，则M是图G的一个最佳匹配。证明很容易。
二分图(匈牙利,KM算法详解)
4,匹配数+1;
最小点覆盖
最小覆盖： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集 合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一 个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数） ＝最大匹配数 M
简单的证明如下：
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1
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2
5 把图中红色线去掉
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蓝色线加上
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3
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更改各自的匹配点
找到一个更好的匹配 2
5
3
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总结
所以流程就是:
1,对于一个未匹配的节点u,寻找它的每条边,如果它的边上 的另一个节点v还没匹配则表明找到了一个匹配,直接转步 骤4;
2,假如节点u它边上的另一个节点v已经匹配,那么就转向跟 v匹配的节点,假设是w,然后再对w重复1,2的步骤,即寻找增 广路.
现在我们假设要求的是最大距离.那么就是求最大权 匹配. 下面我们先介绍一下KM算法
KM算法
基本概念：可行顶标和相等子图
可行顶标：L是一个关于结点的函数，L(x)是顶点x对应 的顶标值。可行顶标对于图中的每条边(x,y)都有 L(x)+L(y)>=w(x,y)
相等子图：只包含L(x)+L(y)=w(x,y)的边的子图
KM算法
定理：如果一个相等子图中包含完备匹配，那 么这个匹配就是最优匹配
证明：由于在算法过程一直保持顶标的可行性， 所以任意一个匹配的权值和肯定小于等于所有 结点的顶标之和，则相等子图中的完备匹配肯 定是最优匹配
KM算法
算法流程 设顶点Xi的顶标为a[i]，顶点Yi的顶标为b[i] ⅰ.初始时，a[i]为与Xi相关联的边的最大权值，
匈牙利算法
匈牙利算法匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。
M-交错路:p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。
如:路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。
M-饱和点:对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v 是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。
如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。
M-可增广路:p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。
如(X3,Y2,X1,Y4)。
(不要和流网络中的增广路径弄混了)求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。
因此，需要寻求一种更加高效的算法。
下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。
增广路的定义(也称增广轨或交错轨):若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论:1-P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2-将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M'。
3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
算法轮廓:⑴置M为空⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M'代替M⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止折叠。
最大匹配算法(匈牙利算法)
最小路径覆盖
将n个点拆成2n个点，如1号变为1和1’， 1代表出边，1’代表进边。对于每个结点， 将与其相临的边连出来。 对已经连好的图求最大匹配数
最小路径覆盖
最小路径覆盖数=顶点数n-最大匹配数
Nkoj 1684 1465 1681 1070
courses Taxi Cab Scheme Girls and boys 信和信封的问题
一张残缺的棋盘，用1*2的矩形去覆盖它， 要求矩形不互相重叠棋盘染成黑白相间，黑色方格作为左 边的点，白色方格作为右边的点，相邻 的黑白方格中间连一条边。 对已经建好的图求最大匹配
二分图的最大独立数
最大独立数=最大匹配数
最小路径覆盖
一张图n个点，给定某些点之间可以用线 连起来。 问最少画多少笔才能将所有的点全部盖 住 poj1422
二分图的最小覆盖数
棋盘上有N个点，每次可以拿走一行或者 一列。 问最少多少次可以把棋盘上的所有点都 拿走
poj3041
二分图的最小覆盖数
将行作为左边的点，列作为右边的点， 原图中的每个点形成一条边，将代表其 行和列的点连接起来。 对已经建好的图求最大匹配
Konig定理
最大匹配数=最小覆盖数
二分图的最大独立数
二分图的 最大匹配
RCA
二分图
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二分图是一种特殊的图 对于无向图G=(V,E)，如 果V可以分为两个互不相 交的子集，并且图中的每 条边所依附的两点都属于 不同的子集，则图G则称 为一个二分图
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最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图的边 集中的任意两条边都不依附于同一个顶 点，则称此子图是一个匹配。 选择这样的边数最大的子集称为图的最 最 大匹配问题(maximal matching problem) 大匹配问题 如果一个匹配中，图中的每个顶点都和 图中某条边相关联，则称此匹配为完全 完全 匹配，也称作完备匹配。 完备匹配。 匹配 完备匹配
匈牙利算法——精选推荐
二分图最优匹配：对于二分图的每条边都有一个权（非负），要求一种完备匹配方案，使得所有匹配边的权和最大，记做最优完备匹配。
（特殊的，当所有边的权为1时，就是最大完备匹配问题）解二分图最优匹配问题可用穷举的方法，但穷举的效率=n！，所以我们需要更加优秀的算法。
先说一个定理：设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i]表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示边的权)，且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j]成立，则M是图G的一个最优匹配。
Kuhn－Munkras算法（即KM算法）流程：v(1)初始化可行顶标的值v(2)用匈牙利算法寻找完备匹配v(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值v(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止KM算法主要就是控制怎样修改可行顶标的策略使得最终可以达到一个完美匹配，首先任意设置可行顶标（如每个X节点的可行顶标设为它出发的所有弧的最大权，Y节点的可行顶标设为0），然后在相等子图中寻找增广路，找到增广路就沿着增广路增广。
而如果没有找到增广路呢，那么就考虑所有现在在匈牙利树中的X节点（记为S集合），所有现在在匈牙利树中的Y节点（记为T 集合），考察所有一段在S集合，一段在not T集合中的弧，取delta = min {l(xi)+l(yj)-w(xi,yj) , | xi in S, yj in not T} 。
明显的，当我们把所有S集合中的l(xi)减少delta之后，一定会有至少一条属于(S, not T)的边进入相等子图，进而可以继续扩展匈牙利树，为了保证原来属于(S,T )的边不退出相等子图，把所有在T 集合中的点的可行顶标增加delta。
随后匈牙利树继续扩展，如果新加入匈牙利树的Y节点是未盖点，那么找到增广路，否则把该节点的对应的X匹配点加入匈牙利树继续尝试增广。
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
摘要：
1.数学建模与匈牙利算法简介
2.匈牙利算法的基本原理
3.匈牙利算法的应用实例
4.结论
正文：
一、数学建模与匈牙利算法简介
数学建模是一种利用数学方法解决实际问题的科学研究方法，其主要目的是通过建立数学模型，揭示问题的本质，从而为问题求解提供理论依据。
匈牙利算法是解决数学建模中整数规划问题的一种有效方法，它主要用于求解二分图的最大匹配问题。
二、匈牙利算法的基本原理
1.互斥约束
在整数规划问题中，如果约束条件是互斥约束，可以新增一个决策变量y （取值为0 或1），并新增一个无穷大M。
2.匈牙利算法的基本思想
匈牙利算法的基本思想是依次寻找图中的匹配边，并将非匹配边加入到图中，直到找不到匹配边为止。
算法的执行过程可以分为两个阶段：第一阶段是构造阶段，主要目的是找到一个可行解；第二阶段是优化阶段，主要目的是通过交替寻找匹配边和非匹配边，逐步改善解的质量，直至找到最优解。
三、匈牙利算法的应用实例
匈牙利算法在实际应用中具有广泛的应用，其中最典型的应用是求解二分图的最大匹配问题。
例如，在任务分配、资源调度、数据融合等领域，都可以通过匈牙利算法来找到最优解。
四、结论
匈牙利算法是解决整数规划问题的一种有效方法，它具有计算简便、效率高等优点。