最新2013年全国初中数学竞赛试题及答案
初中数学竞赛试题 1
2
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，3 D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号4 里，不填、多填或错填都得0分） 5
1．设非零实数a，b，c，满足 a＋2b+3c＝02a＋3b+4c＝0则ab+bc+caa2+b2+c2的值为（ ） 6 （A）—12 （B）0 （C）12 （D）1 7 2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，8 x2，则下列关于x的一元二次方程中，以1 x12，1 x22为两个实根的是（ ） 9
（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 10 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0 11
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂12 足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定．．．是13
有理数的为（ ） 14
（A）OD （B）OE （C）DE （D）AC 15 4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，16 且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） 17
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8 18
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：xy=3x3y+3x2y2+xy3+45(x+1)3+(y+1)3—60， 19 且xyz=xyz（），则2013201232…的值为（ ） 20 （A）607967 （B）1821 967 （C）5463 967 （D）16389 967 21 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 22 6．设a=33，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________． 23 7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△24 CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________． 25
8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________． 26 9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程27 x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为28
___________________________________． 29
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始30 时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，31 则他至少卖出了__________支圆珠笔． 32
33 34 35 36 37
三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 38 11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴39
A B C F D E
A
B C E D
A B C O D
E 交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=—13x2+1与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE． 40 41 42 43 44 45 46 47
12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，48 求∠BAC所有可能的度数． 49
50 51
13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，x－y=252 时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论． 53
54 55 56
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m57 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为58 415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满59 足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数． 60
61 62 63
A D B C O y x
E 4
64 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案 65 一、选择题 66 1．【答案】A 67 【解答】由已知得(234)(23)0abcabcabc，故2()0abc．于是68 2221()2abbccaabc，所以22212abbccaabc
． 69
2．【答案】B 70 【解答】由于20axbxc是关于x的一元二次方程，则0a．因为12bxxa，71 12cxxa，且120xx，所以0c，且 221212222221212()2112xxxxbacxxxxc，22221211axxc， 72
于是根据方程根与系数的关系，以211x，221x为两个实根的一元二次方程是73 222
2
20bacaxxcc，即2222(2)0cxbacxa． 74
3．【答案】D 75 【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝76 OB＝OC＝2ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 77
由Rt△DOE∽Rt△COD，知2ODOEOC，·DCDODEOC都是78 有理数，而AC＝·ADAB不一定是有理数． 79 4．【答案】C 80
（第3题答题） （第3题）
（第4题） 5
【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 81 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 82 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积． 83 连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 84 因为4BCCF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6． 85 5．【答案】C 86 【解答】设201320124m，则 87
20132012433m
32
323339274593316460mmmmmm
， 88
于是2013201232923223333923929245546310360967． 89 90 二、填空题 91 6．【答案】9 92 【解答】由于2123aa，故32292ba，因此333(2)(9)9b． 93 7．【答案】20413 94 【解答】如图，连接AF，则有： 95 45=3AEFAEFBFEBCFAFDAFDCDFSSSBFSSSFDS， 96
（第4题答题）
（第7题答题）6
354AFDAFDCDFBCFAEFAEFBEFSSSCFSSSFES， 97
解得10813AEFS，9613AFDS． 98 所以，四边形AEFD的面积是20413． 99 8．【答案】2013 100 【解答】由已知2220abc，2380abc消去c，并整理得 101 228666baa．由a为正整数及26aa≤66，可得1≤a≤3． 102
若1a，则2859b，无正整数解； 103 若2a，则2840b，无正整数解； 104 若3a，则289b，于是可解得11b，5b． 105 （i）若11b，则61c，从而可得311612013abc； 106 （ii）若5b，则13c，从而可得3513195abc． 107 综上知abc的最大值为2013． 108 9． 【答案】(1212)，，，，(00)，，，tt（t为任意实数） 109
【解答】由韦达定理得，，，．abcabdcdacdb 110 由上式，可知bacd． 111 7
若0bd，则1dab，1bcd，进而2bdac． 112 若0bd，则ca，有()(00)，，，，，，abcdtt（t为任意实数）． 113 经检验，数组(1212)，，，与(00)，，，tt（t为任意实数）满足条件． 114 10．【答案】207 115
【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，xyxy 116 所以201371(5032)44yyxy， 117 于是14y是整数．又20134()343503xyyy， 118 所以204y，故y的最小值为207，此时141x． 119 120 三、解答题 121
11．如图，抛物线y23axbx，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴122 交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113yx与y轴交于点D． 123
求∠DBC∠CBE． 124 【解答】将0x分别代入y113x，23yaxbx知，125 D(0，1)，C(0，3)， 126
所以B(3，0)，A(1，0)．直线y113x过点B． 127 将点C(0，3)的坐标代入y(1)(3)axx，得1a． 128 129
（第11题答题）
（第11题）
2013全国数学竞赛Word
中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1、对正整数n ，记!123......n n =⨯⨯⨯⨯，则1!2!3!......10!+++的末尾数为（ ）A 、0B 、1C 、3D 、52、已知关于x 的不等式组322553x t x x x +⎧-<⎪⎪⎨+⎪->-⎪⎩，恰好有5个整数解，则t 的取值范围（ ） A 、1162t -<<-B 、1162t -≤<-C 、1162t -<≤-D 、1162t -≤≤- 3、已知关于x 的方程22222x x a x x x x x --+=--恰有一个实数根，则满足条件的a 值有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）A 、3B 、4C 、6D 、85、在分别标有号码2，3，4，……，10的9个球中，随机取出两个球记下它们的标号，则较大号码被较小号码整除的概率是（ ）A 、14B 、29C 、518D 、736二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、设a =b 是2a 的小数部分，则()32b +的值为 ；7、一个质地均匀的正方体六个面上分别标有1,2,3,4,5,6，掷这个正方体三次，则朝上面的数字之和为3的倍数的概率为 ；8、已知正整数a ，b ，c 满足2220a b c +--=，2380a b c -+=，则abc 的最大值为 ；9、实数,,,a b c d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组(),,,a b c d 为 ；10、小明某天在文具店做志愿卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。
2013年全国初中数学联赛选拔赛详解[1]-2
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2013年全国初中数学联赛初赛试题时间2013年3月3日上午 （答题时间：90分钟，20道试题共计100分）一 选择题 （每题5分，共50分）1．方程()2013211x x x -+-=的根有（ ）个A 。
1B 。
2C 。
3D 。
42．如图所示，阴影部分的面积是102cm ，ED AE =，3:5:=DC BD ，则ABC ∆的面积是（ ）。
A 。
24B 。
26C 。
27D 。
30FEBCAD图13．同时含有字母c b a ,,，且系数是10的9次的单项式，一共有（ ）个 A 。
9 B 。
10 C 。
15 D 。
284．若抛物线2442-+-=m mx x y 与x 轴相交于整点，则抛物线的对称轴为（ ）A 。
1=xB 。
1=yC 。
1-=xD 。
因为与m 取值有关，故不能确定对称轴． 5．由四名学生每人各随机投掷一枚一元硬币，恰好有两个硬币国徽朝上的概率是（ ）（ ） A 。
21 B 。
41 C 。
81 D 。
83 6．已知实数b a ,满足：1844=+-b a ab ，则22b a +的最小值是（ ）A 。
14B 。
16C 。
18D 。
20 7．已知点P 是正ABC ∆内一点，若2=PA ，7=PB ，︒=∠150APB ，则PC 的长度=( )。
A 。
3 B 。
5 C 。
3 D 。
58．设实数332142021420-++=x ，则2013x 的末位数字是（ ）A 。
3B 。
4C 。
6D 。
8 9．已知c b a ,,满足：k bac a c b c b a =+=+=+，则直线32k k kx y -+=与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A 。
2B 。
2或4C 。
4D 。
4或510．如图所示，点A 为圆O 外一点，AB 切圆O 于点B 。
AEF 是圆O 的割线，点E 、F 在圆上。
BC ┴AO 于点C ，CF 与OE 相交于点G 。
若CG=1，GF =4，OG =57，则圆O 的半径是（ ） A 523 B 4 C 3594 D 734GED C BOAF二 填空题 （每题5分，共50分）11．若n 是正整数，且使392-+n n 是完全平方数，则n = 或 。
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题-6
一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分）1．（5分）从长度是2cm 、2cm 、4cm 、4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．（5分）（2008•铜仁地区）如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，且BN ⊥AN ，垂足为N ，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC 的周长是（ ） A ． 28 B ． 32 C ． 18 D ． 25 3．（5分）已知xy ≠1,且有5x 2+2011x+9=0,9y 2+2011y+5=0，则y x的值等于( ) A ． 95B ． 59C ． 52011-D ． 92011-4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 5．（5分）设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC 是（ ）A ． 等腰三角形B ． 锐角三角形C ． 钝角三角形D ． 直角三角形 6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e ，d ，c ，取出数据的顺序则是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ． 5种 B ． 6种 C ． 10种 D ． 12种 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．（5分）设方程x 2﹣|2x ﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为 _________ ． 8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB=4，BE=5，则DE 的长为 _________ ． 8．（5分）（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AFFG的值为 _________ ． 9．（5分）已知a 2﹣a ﹣1=0，且32-，则x= _________ ． 中国教育学会中学数学数学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有_________件．11．（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，，则电线杆AB的长为_________米．12．（5分）若实数x，y，使得这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)为_________．三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）13．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求证：a=b=c14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为_________；用含t的式子表示点P的坐标为_________；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分160分，每小题20分）1．（5分）从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（）A．B．C．D．1考点：概率公式；三角形三边关系；等腰三角形的判定．分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，有4种情况，由于三角形中两边之和应大于第三边，所以能构成等腰三角形的情况有2种，故能构成等腰三角形的概率==．故选C．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率P（A）=；用到的知识点为：等腰三角形有2条边长相等；构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边．2．（5分）（2008•铜仁地区）如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，且BN ⊥AN ，垂足为N ，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC 的周长是（ ） A ． 28 B ． 32 C ． 18 D ． 25 考点： 三角形中位线定理． 分析： 延长线段BN 交AC 于E ，从而构造出全等三角形，（△ABN ≌△AEN ），进而证明MN 是中位线，从而求出CE 的长．解答： 解：延长线段BN 交AC 于E ．∵AN 平分∠BAC ，∴∠BAN=∠EAN ，AN=AN ，∠ANB=∠ANE=90°， ∴△ABN ≌△AEN ， ∴AE=AB=6，BN=NE ，又∵M 是△ABC 的边BC 的中点， ∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC 的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25， 故选D ．点评：本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．3.（5分）已知xy ≠1,且有5x 2+2011x+9=0,9y 2+2011y+5=0，则y x的值等于( ) A ． 95B ． 59C ． 52011-D ． 92011-选B 4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 考点： 扇形面积的计算；三角形的面积；勾股定理． 专题： 计算题． 分析：如图，AC=4，S 1+S 2=10，设BC=a ，利用圆的面积公式得到S 1+S 2+S 3+S 4=π×22+π×a 2=2π+a 2，于是有S 3+S 4=2π+a 2﹣10①，再用以AB 为直径的半圆减去三角形ABC 的面积得到S 3+S 4，即S 3+S 4=π×﹣×4a=a 2+2π﹣2a ②，有①﹣②得到a 的方程，求出a ，然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和． 解答：解：如图，AC=4，S 1+S 2=10，设BC=a ， ∴S 1+S 2+S 3+S 4=π×22+π×a 2=2π+a 2，∴S3+S4=2π+a2﹣10①，又∵AB2=42+a2=16+a2，∴S3+S4=π×﹣×4a=a2+2π﹣2a②，①﹣②得，2π+a2﹣10=a2+2π﹣2a，解得a=5，∴S3+S4=2π+a2﹣10=2π+×25﹣10≈6.1，即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．故选A．点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR2．也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决．5．（5分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形考点：二次函数的最值；勾股定理的逆定理．专题：计算题．分析：根据二次函数在对称轴时取得最小值，然后根据题意列出方程组即可求出答案；解答：解：由题意可得，即，所以，，因此a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故选D．点评：本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时，在对称轴处取得最小值．6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A．5种B．6种C．10种D．12种考点：加法原理与乘法原理．专题：计算题．分析：此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中，不论怎样排列，a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，这样排列开头的字母只能是a或c，由此解答问题即可．解答：解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，cadbe，cadeb六种情况；综上所知，共10种取法．故选C．点评：解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，从而运用一一列举的方法解答即可．二．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）7．（5分）设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为_________．考点：解一元二次方程-因式分解法；绝对值；解一元二次方程-公式法．专题：因式分解．分析：因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．解答：解：当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜∴x2=﹣1（舍去）∴x=3当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故答案是：2﹣点评：本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为_________．考点：切割线定理；平行四边形的性质；圆周角定理；弦切角定理．分析：连接CE，根据圆周角定理易知：∠BAE=∠BEC+∠EBC，而∠DCB=∠DCE+∠BCE，这两个等式中由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC；再由平行四边形的性质知：∠DCB=∠EAB，因此∠BEC=∠BCE即可得BC=BE=5，即AD=5，进而可由切割线定理求DE的长．解答：解：连接CE；∵，∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；∵∠DCB=∠DCE+∠BCE ，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC ，由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE ， ∴∠BEC=∠BCE ，即BC=BE=5， ∴AD=5；由切割线定理知：DE=DC 2÷DA=，故选D ．点评： 此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用，能够判断出△BEC 是等腰三角形，是解决此题的关键．8．（5分）（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AFFG的值为 _________ ． 考点： 特殊角的三角函数值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析： 首先证明△CAD ≌△ABE ，得出∠ACD=∠BAE ，证明∠AFG=60°． 解答：解：在△CAD 与△ABE 中，AC=AB ，∠CAD=∠ABE=60°，AD=BE ， ∴△CAD ≌△ABE ． ∴∠ACD=∠BAE ． ∵∠BAE+∠CAE=60°， ∴∠ACD+∠CAE=60°．∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°． 在直角△AFG 中， ∵sin ∠FAG=AFFG， ∴AF FG =21． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义．综合性强，有一定难度．9．（5分）已知a 2﹣a ﹣1=0，且32，则x=． 考点： 解分式方程． 专题： 计算题．分析： 本题可先根据a 2﹣a ﹣1=0，得出a 2，a 3，a 4的值，然后将等式化简求解． 解答：解：由题意可得a 2﹣a ﹣1=0 a 2=a+1a 4=（a 2）2=（a+1）2=a 2+2a+1=a+1+2a+1=3a+2 a 3=a •a 2=a （a+1）=a 2+a=a+1+a=2a+1=32-=32-x=4．点评：本要先根据给出的a 2﹣a ﹣1=0得出对等式化简有用的一些信息，然后再将方程化简求解．本题计算过程较长，比较复杂．10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 12 件． 考点： 二元一次方程组的应用． 分析： 设共购商品2x 件，9元的商品a 件，根据两人购买商品的件数相等，且两人购买商品一共花费了172元，可列出方程，求解即可．解答： 解：设共购商品2x 件，9元的商品a 件，则8元商品为（2x ﹣a ）件，根据题意得：8（2x ﹣a ）+9a=172， 解得a=172﹣16x ，∵依题意2x ≥a ，且a=172﹣16x ≥0，x 为大于0的自然数， ∴可得9.6≤x ≤10.75， ∴x=10，则a=12．所以9元的商品12件，故答案填12．点评： 本题主要考查了二元一次方程的应用及不等式组的解法．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．本题解题的关键在于按生活实际讨论未知数的取值范围．11．（5分）如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ，，则电线杆AB 的长为 _________ 米． 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 专题： 应用题． 分析： 延长AD 交地面于E ，作DF ⊥BE 于F ，求出BE=BC+CF+FE=，根据正切求出AB 的值即可．解答： 解：延长AD 交地面于E ，作DF ⊥BE 于F ．∵∠DCF=45°．CD=4． ∴CF=DF=． 由题意知AB ⊥BC ． ∴∠EDF=∠A=60°． ∴∠DEF=30°∴EF=．∴BE=BC+CF+FE=． 在Rt △ABE 中，∠E=30°． ∴AB=BEtan30°=（m ）．答：电线杆AB 的长为6米．点评：此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．作辅助线、求出BE=BC+CF+FE 是解题的关键．12．（5分）若实数x，y，使得这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)为_________．考点：实数的运算．专题：分类讨论．分析：此题可以先根据分母不为0确定x+y与x﹣y不相等，再分类讨论即可．解答：解：因为有意义，所以y不为0，故x+y和x﹣y不等（1）x+y=xy=解得y=﹣1，x=，（2）x﹣y=xy=解得y=﹣1，x=﹣，答案为（﹣1，）（﹣1，﹣）点评：解答本题的关键是确定x+y与x﹣y不相等，再进行分类讨论．三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）13．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求证：a=b=c考点：完全平方式．专题：计算题．分析：先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]2，化简有ab+bc+ac=a2+b2+c2，那么就有（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a=b=c．解答：解：原式=3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，∴3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]2，∴ab+bc+ac=（a+b+c）2=（a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc），∴ab+bc+ac=a2+b2+c2，∴2（ab+bc+ac）=2（a2+b2+c2），即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c．点评：本题考查了完全平方式、非负数的性质．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（t，t）；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数的最值；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质．专题：压轴题．分析：（1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4﹣NP，NP的值可根据相似比求得；（2）由（1）的结论易得△OMP的高为t，而OM=6﹣AM=6﹣t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值；（3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得S△OCN=×4×3=6，∴S△ORT=S△OCN=2；然后分两种情况考虑：①当点T在点O、C之间时，②当点T 在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标．解答：解：（1）延长NP交OA于H，∵矩形OABC，∴BC∥OA，∠OCB=90°，∵PN⊥BC，∴NH∥OC，∴四边形CNHO是平行四边形，∴OH=CN，∵OA=6，AB=4，∴点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=0H=CN=t，纵坐标=4﹣NP，∵NP⊥BC，∴NP∥OC，∴NP：OC=BN：CB，即NP：4=（6﹣t）：t，∴NP=4﹣t，∴点P的纵坐标=4﹣NP=t，则点P的坐标为（）；（其中写对B点得1分）（3分）（2）∵S△OMP=×OM×，（4分）∴S=×（6﹣t）×=+2t．=（0＜t＜6）．（6分）∴当t=3时，S有最大值．（7分）（3）存在．由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：．设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得，∴直线ON与MT的交点R的坐标为．∵S△OCN=×4×3=6，∴S△ORT=S△OCN=2．（8分）①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1=RD1•OT=••b=2．∴3b2﹣4b﹣16=0，b=．∴b1=，b2=（不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）．（9分）②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则S△R2NE=•EN•R2D2=••==2．∴b2+4b﹣48=0，b=．∴b1=，b2=（不合题意，舍去）．∴此时点T2的坐标为（0，）．综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．（10分）点评：此题综合性较强，考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点．15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．考点：二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式．专题：证明题．分析：（1）由已知求得q=﹣b，代入抛物线y=x2+px+q，得y=x2+px+﹣b，将抛物线y=x2+ax+b的顶点横坐标x=﹣代入可求y的值，确定结果为顶点纵坐标即可；（2）方程x2+ax+b=0与x2+px+q=0的判别式分别为a2﹣4b，p2﹣4q，由2q=ap﹣2b可得出两个判别式的和为非负数，可知其中至少有一个判别式为非负数，故至少有一个方程有实数解．解答：证明：（1）由ap=2（b+q），得q=﹣b，代入抛物线y=x2+px+q，得：﹣y+x2﹣b+p（x+）=0，得，解得：，故抛物线y=x2+px+q通过定点（﹣，）．（2）由2q=ap﹣2b得p2﹣4q=p2﹣2•2q=p2﹣2（ap﹣2b）=（p﹣a）2﹣（a2﹣4b），∴（p2﹣4q）+（a2﹣4b）=（p﹣a）2≥0，∴p2﹣4q，a2﹣4b中至少有一个非负，∴x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．点评：本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点，判别式判断一元二次方程解的运用，明确两个数的和为非负数时，其中至少有一个数为非负数．。
2013年全国初中数学联赛初二组初赛试卷
2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、()︒---+1|3|4π的值是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9 2、若()()222-+=+-bx x a x x ，则=+b a （ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2 3、如图，已知在ABC ∆中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，且AB OM //，AC ON //，若6=CB ，则OMN ∆的周长是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、12 4、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++≥+23131221x x x x 的解是（ ） A 、16≤-x B 、16 x - C 、16 x ≤- D 、16≤≤-x5、非负整数x ，y 满足1622=-y x ，则y 的全部可取值之和是（ ） A 、9 B 、5 C 、4 D 、3 6、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，M 点为CD 边上的中点，若M 点是A 点关于线段EF 的对称点，则EDAE等于（ ） A 、35 B 、53 C 、2 D 、21二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知0|3|22=++-+-y x x ，则_________22=+y x .2、已知31=+x x ，则_____________132=++x x x.3、设⎩⎨⎧=++=++36542332z y x z y x ，则___________23=+-z y x .4、如图，在ABC ∆中，BC AC =，且︒=∠90ACB ，点D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交BD 的延长线于点E ，且BD AE 21=，则_________=∠ABD . 三、（本大题满分20分）先化简后，再求值：244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中12-=a . MNOACBFE M GDA CB2013年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、A 2、B 3、B 4、C 5、D 6、A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、13 2、1013、104、︒5.22 三、（本大题满分20分）解原式()()2421222+-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-=a a a a a a a （5分） ()4224222-+⋅+--=a a a a a a ()21+=a a （10分）()()1212121=+--= （5分）四、(本大题满分25分) 解：∵822=-=OC OB CB∴B 点坐标（8，6） （5分） 又∵A （10，0）∴AB 的中点坐标为（9，3）∴OD 的表达式为：x y 31= （10分）∵A （10，0），C （0，6）∴AC 的表达式为：653+-=x y （15分）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==65331x y x y ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==715745y x （20分） 故点D 的坐标为（745，715） （25分） 五、（本大题满分25分）证明：连结AC ，取AC 的中点K ，连结EK ，FK （5分） ∵ED AE =，KC AK =yQxOPACB D∴DC EK //，DC EK 21=（10分） 同理AB FK //，AB FK 21= （15分） ∴EK DC AB FK ===2121 ∴EFK FEK ∠=∠ （20分） ∵DC EK // ∴FEK CMF ∠=∠ ∵AB FK // ∴EFK BNF ∠=∠∴CMF BNF ∠=∠ （25分） 四、(本大题满分25分)如图，已知直角梯形OABC 的A 点在x 轴上，C 点在y 轴上，6=OC ，10==OB OA ，AB PQ //交AC 于D 点，且︒=∠90ODQ ，求D 点的坐标。
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） （ ） ． B ． C ．2．（5分）（2008•铜仁地区）如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，且BN ⊥AN ，垂足为N ，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC 的周长是（ ）3．（5分）已知xy ≠1,且有5x 2+2011x+9=0,9y 2+2011y+5=0，则y x 的值等于( )4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）5．（5分）设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC 是6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e ，d ，c ，取出数据的顺序则是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）中国教育学会中学数学数学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）7．（5分）设方程x 2﹣|2x ﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为 _________ ．8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB=4，BE=5，则DE 的长为 _________ ．8．（5分）（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AFFG 的值为 _________ ．9．（5分）已知a 2﹣a ﹣1=0，且32 ，则x= _________ ．10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 _________ 件．11．（5分）如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ，，则电线杆AB 的长为 _________ 米．12．（5分）若实数x ，y ，使得这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)为 _________ ．三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）13．（20分）已知：（x+a ）（x+b ）+（x+b ）（x+c ）+（x+c ）（x+a ）是完全平方式．求证：a=b=c14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为_________；用含t的式子表示点P的坐标为_________；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分160分，每小题20分）（）．B．C．=．=2．（5分）（2008•铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）3.（5分）已知xy ≠1,且有5x 2+2011x+9=0,9y 2+2011y+5=0，则y x 的值等于( )4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）π×+π×a π××a π×π×a a a π××4a=a a a ×5．（5分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC是，6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）二．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）2≥∴时，原方程化为：±，1+ 1+，∴（舍去））． 8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB=4，BE=5，则DE 的长为 _________ ．，DA=8．（5分）（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AFFG 的值为 _________ ．9．（5分）已知a 2﹣a ﹣1=0，且32-，则x= ．10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 12 件．11．（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，，则电线杆AB的长为_________米．BE=BC+CF+FE=EF=BE=BC+CF+FE=米．12．（5分）若实数x，y，使得这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)为解：因为解得x=解得，））三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）13．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．=[x+（x+（ab+bc+ac=（14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（t，t）；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．的高为ttNP=）=×，S=××==的函数关系式为：．的函数关系式为：解方程组得的坐标为=RD••b=（不合题意，舍去），作•=2，，15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．﹣+px+﹣﹣），，，。
2013年全国初中数学竞赛试题
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1 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11.如图，抛物线32-+=bx ax y ，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC=3OA,直线13
1+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC －∠CBE.
12.设△ABC 的外心，垂心分别为O ，H ，若B ，C ，H ，O 共圆，对于所有的△ABC ，求∠BAC 所有可能的度数.
13.设a ，b ，c 是素数，记a c b x -+=，b a c y -+=，c b a z -+=，当y z =2，2=-y x 时，a ，b ，c 能否构成在角形的三边长？证明你的结论.
14.如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）.求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a 中都至少一个为m 的魔术数.。
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题(含答案)
M（第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会20XX 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A ．41 B ．31C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38B ．39C ．40D . 413．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx的值等于（ ） A ．95 B ．59C ．52011-D ．92011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6B . 7C ．8D ．95．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2ba cx xb a y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图AABCD 中，过A，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF=． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 _______m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．（1） （2）（第5题图）(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（备用图）(第14题图)15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.参考答案一、选择题（每小题5分，共30分） 1—6 C D B A D C二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12. )1,21(-)1,21(--. 三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0. 即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c cb b a解这个方程组，得c b a ==.14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分）………………………………3分（2）∵S △OMP =12×OM ×23t ， ∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =． 设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3b y x b =-+，解方程组433y x b y x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++． ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13 S △OCN ＝2． ················· …………………10分当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1， 如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR 1T 1＝12••••RD 1•OT ＝12•34b b +•b ＝2.∴234160b b --=， b.∴b 1b 2此时点T 1的坐标为（0）. ········· ……………………………………………15分 ② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R 2NE ＝12•EN •D 2 =12•312(3)b b --•4(4)4b b -+96(4)b b =+＝2. ∴24480b b +-=，b2=±.∴b 1＝2，b 2＝2-（不合题意，舍去）． ∴此时点T 2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0，23+），T 2（0，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=∴b ap q -=2代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-ax p b x y 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-0202a x b x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4422ba y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点)44,2(2b a a --……………………10分（2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-（备用图）=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分。
2013初一第一学期数学竞赛试卷及参考答案
2013初一第一学期数学竞赛试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1、设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的整数，则cba++的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．32、已知|x|=3，|y|=2，x、y异号，则x＋y的值是( )A．5或1 B．－1或1 C．5或－5 D．－5或－13、某商品提价100%后要恢复原价，则应降价（）A、30%B、50%C、75%D、100%4、客运列车在哈尔滨与A站之间运行，沿途要停靠5个车站，那么哈尔滨与A站之间需要安排( )种不同的车票。
A、6B、7C、21D、425、如图，在ABC∆中，ECBDCEACDEBCDBEABD∠=∠=∠∠=∠=∠,，若=∠BEC145°，则BDC∠等于（）A．100°B．105°C．110°D．115°6、现有3×3的方格，每个小方格内均有数目不同的点图，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和．．．．均相等．图中给出了部分点图，则P（）二、填空题（每小题4分，共32分）1、3点分时，时针和分针重合.2、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128……用你发现的规律写出22013的末位数字是_______。
3、一位同学在斜坡上练习骑自行车，上坡速度为m km/h，下坡速度为n km/h，则上下坡的平均速度为（）km/h4、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是A．B．C D5、若a 是有理数，则|)|(||||)(a a a a -+-++-的最小值是＿＿＿. 6． 如图，∠AOB 是直角，i OP （i ＝1,2，3，4,5，6）是射线， 则图中共有锐角 个.7、整片牧场上的草长得一样密，一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。
如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有 头牛。
全国初中数学竞赛试题暨参考答案201346
“《数学周报》杯”初中数学竞赛试题暨参考答案题 号 一 二 三 总 分1～5 6～10 11 1213 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x-=+=，，则444y x +的值为（ ）．（A ）7 （B ） 1132+ （C ） 7132+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212444311384x ++⨯⨯+==， 2114311322y -++⨯-+==， 所以444y x +=22233y x++- 2226y x=-+=7． 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12（第3题）【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条 【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A ）52a （B ）1 （C ）32（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒- 120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．（第4题）5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=， 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s y x =-66． ①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的（第8题）（第8题答案）高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++ ()a b c a b c +=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，（第9题答案）其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；， 因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数b kx y +=0k ≠（）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．（1） 用b 表示k ；（2） 求△OAB 面积的最小值．解：（1）令0=x ，得0y b b =>，；令0=y ，得00bx k k=-><，． 所以A ，B 两点的坐标分别为0)(0)b AB b k -（，，，，于是，△OAB 的面积为 )(21kbb S -⋅=．由题意，有3)(21++-=-⋅b kbk b b ， 解得 )3(222+-=b b b k ，2b >．……………… 5分（2）由（1）知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--2101027(2)721022b b b b =-++=--++-- ≥1027+，当且仅当1022b b -=-时，有7+210S =，即当102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△OAB 面积的最小值为1027+． ……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=．……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，， 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，， 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩， 消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+， ， ， ， ．……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为12122x x ==，，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数． ……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长B C aC Ab A ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，与边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由PQC GPC GQC S S S =+△△△，可得 ()123a b r GE GF h h =+=+， 即 222123ABC ABC ABCS S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+⎪++⎝⎭△△△， 从而可得 6aba b c a b++=+． ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合，所以，△ABC 不是正三角形，且b a ≠，否则，2a b ==，可得2c =，矛盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有1111126a b ab a b a b =++为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +． 于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满足条件． 因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分（第13题）（第13题答案）14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除． ……………… 5分 当n ＝5时，设125a a a ，，，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则125a a a ，，，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是125a a a ，，，中必定有一个数是5．若125a a a ，，，中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．若125a a a ，，，中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n 的最小值为5．……………… 15分。
2013年全国初中数学初三决赛详细解答[1]
2013年全国初中数学联赛（四川决赛）解答一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若反比例函数xk y =的图像与直线14-=x y 的一个交点P 的横坐标为1，则=k （ ）A 、3-B 、1-C 、1D 、3解：由条件知)3,1(P ，于是13k =，即3=k ．故答案选D ．2、方程22012||20130x x -+=的所有实数解之和是（ ）A 、2012-B 、0C 、2012D 、2013 解：若0x 是方程22012||20130x x -+=的实数解，则0x -也是该方程的实数解． 所以，该方程的所有实数解之和是0．故答案选B3、已知正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为B C 、C D 上的点，且满足CF BE =． 则AEF ∆面积的最小值是（ ）A 、8B 8C 、14D 、38解：设x BE =，则x DF CE -==1，x CF =，)1(21)1(21211x x x x S AEF -----=∆=83]43)21[(212≥+-x ，当21=x 时等号成立。
所以，AEF ∆面积的最小值是83．故答案选D ．4、已知实数,a b 满足2|1||1|a b a -+=，则ba 的值为（ ）A 、14B 、12C 、1D 、2解：若2b =，则|1|5a a -+=，没有符合条件的实数a ；若2b ≠，则2(2)0b ->，则20a -≥，于是2|1||1|a b -+101a a ≥-++=，等号成立220,11a b -=+=，即2,0a b ==．所以1ba =．故答案选C ．5、在四边形A B C D 中，1A B B C ==，100A B C ∠=，130C D A ∠=，则B D 的长为（ ）A 2B 、1C D解：如图，延长A B 至E ，使得B E B C =， 则1502A E CBC E A B C ∠=∠=∠=，于是180A E C A D C ∠+∠=，故,,,A E C D 四点共圆，且圆心为B ．所以，1B D B A ==．故答案选B ．6、对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们称||||2121y y x x -+-叫做21,P P 两点的直角距离，记作),(21P P d ．若),(000y x P 是一定点，),(y x Q 是直线b kx y +=上的动点，我们把),(0Q P d 的最小值叫做点0P 到直线bkx y +=的直角距离．则)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是（ ）A 、3B 、72C 、4D 、92解：由条件知，设)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是d ，则d 为|1||251|S x x =-++-的最小值．又|(2)||1||(2)|S x x x =--+-+-- 3|(2)|303x ≥+--≥+=，等号当且仅当2x =-处取得．所以S 的最小值为3. 即3d =．故答案选A ．二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1、若x 是整数，且满足不等式组10214x x ->⎧⎨-<⎩，则x = ．解：解不等式组10214x x ->⎧⎨-<⎩得512x <<．因此符合条件的整数2x =．故答案填2．2、在等边A B C ∆中，D 、E 分别是边A B 、A C 上的点，且满足A D C E =，B E 与C D 相交于点F ，则B F C ∠的大小是 ．解：由条件知A D C ∆≌C E B ∆(S A S ),故A C D C B E ∠=∠, 于是60E F C F B C F C B E C F F C B ∠=∠+∠=∠+∠=所以120B F C = .故答案填120．3、实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则||y z -的最大值是 ． 解：法一：视原方程为关于x 的一元二次方程222()270x y z x y z yz -+++--=，其判别式222()4(27)0y z y z yz ∆=+-+--≥，即2()36y z -≤，故||6y z -≤． 当||6y z -=，且2y z x +=时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6．法二：因为22222327[()]()24y z x y z xy yz zx x y z +=++---=-+-23()4y z ≥-，从而||6y z -≤．当||6y z -=，且2y zx +=时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6．4、已知1231415,,,,,x x x x x 取值为1或者为1-． 记1223341415151S x x x x x x x x x x =+++++ ， 则S 能取到的最小正整数是 ．解：令1(1,2,,15)i i i y x x i +== ，约定161x x =．则1i y =或者1-． 在1215,,,y y y 中，设有a 个取1，b 个取1-．则15a b +=． 又因为2121512151(1)()1a b y y y x x x ⨯-=== ，所以b 为偶数． 又由S 为正整数，则1523S a b b =-=-≥，此时6b =．另一方面，在1215,,,x x x 中，2581x x x ===-，其余全取1有3S =． 所以，S 能取到的最小正整数是3．故答案填3．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、抛物线22y x x m =++与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，其中12x x >， 且221210x x +=． （1）求实数m 的值；（2）设0(2,)M y 抛物线22y x x m =++上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点P ，使得P A P M +的值最小，并求出P 的坐标． 解：（1）由条件知122x x +=-，12x x m =．于是22212121210()242x x x x x x m =+=+-=-，解得3m =-．经验证3m =-满足条件．所以所求实数m 的值是3-． ……5分 （2）由（1）知抛物线的方程为223y x x =+-，则对称轴l 的方程为1x =-，(1,0),(3,0)A B -． ……10分 显然A 关于对称轴l 的对称点为B ，所以当P A P M +的值最小时，P 为直线M B 与对称轴l 的交点．又2022235y =+⨯-=，即(2,5)M ． 设直线M B 的方程为y kx b =+，由条件知5203k b k b=+⎧⎨=-+⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，即直线M B 的方程为3y x =+． ……15分 令1x =-，得2y =，即(1,2)P -．所以，使得P A P M +的值最小的点P 的坐标为(1,2)-． ……20分2、如图，已知E 是正方形A B C D 的边A B 上一点，点A 关于D E 的对称点为F ，90B F C ∠=，求A B的值．解：延长E F 交B C 于M ，连D M 交C F 于G ，则R t D F M ∆≌R t D C M ∆(HL)． ……5分 于是F D M M D C ∠=∠,F M C M =，从而M 为B C 的中点． ……10分 又114522E D M E DF F D M A D F F D C ∠=∠+∠=∠+∠=……15分将M D C ∆以D 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，得到 H D A ∆，则M D E ∆≌H D A ∆,于是EM H E AE M C ==+. 设正方形边长为1，A E x=，则由222E B B ME M+=知22211(1)()()22x x -+=+……20分解得13x=．所以3A B A E=． ……25分3、在一个圆周上按顺时针方向放有n 个不同的正整数12,,,n a a a ，如果对于1,2,3,,10 这10个正整数中的任意一个数b ，都能找到一个正整数i ，使得i a b =，或者1i i a a b ++=．约定11n a a +=． 求正整数n 的最小值．解：由条件知，1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++ 这2n 个数应该包含1,2,3,,10 这10个正整数．所以210n ≥，即5n ≥． ……5分 当5n =时，则1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++ 这10个数互不相等，取值于1~10． 不妨设11a =．显然2345,,,a a a a 中也包含2．下面按照从1~10这10个数从小到大的方式来表示：（1）当2345,,,a a a a 中不包含3，则不妨设22a =．若54a =，则436,7a a ==；或者346,7a a ==，矛盾． 若44a =，则535,6a a ==；或者355,6a a ==，矛盾． 若34a =，则45a =，57a =，矛盾． （2）当2345,,,a a a a 中包含3，则不妨设32a =．若23a =，则546,8a a ==；或者456,7a a ==，矛盾． 若43a =，则24a =或者54a =，矛盾．若53a =，则245,8a a ==；或者435,6a a ==，矛盾．所以当5n =时，不存在符合条件的5个正整数125,,,a a a ． ……15分 当6n =时，构造：1234561,10,2,6,3,4a a a a a a ======，易验证这6个数符合条件． ……20分 综上所述，正整数n 的最小值为6． ……25分。