含参数的一元二次不等式的解法
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含参数的一元二次不等式的解法
含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa;
例1 解不等式：0122xaax
分析：本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项
系数进行分类讨论。
解：∵044222aaa
解得方程 0122xaax两根,24221aaaxaaax24222
∴当0a时,解集为aaaxaaaxx242242|22或
当0a时，不等式为012x,解集为21|xx
当0a时, 解集为aaaxaaax242242|22
例2 解不等式00652aaaxax
分析 因为0a，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 032)65(2xxaxxa
当0a时，解集为32|xxx或；当0a时，解集为32|xx
变式：解关于x的不等式
1、0)2)(2(axx； 2、(1－ax)2<1.
}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(xaxxaxxaaxxxaxxaxaxa或时当
时当
或时当
时当
时当
【解】由(1－ax)2<1得a2x2－2ax＋1<1.
即ax(ax－2)<0.
(1)当a＝0时，不等式转化为0<0，故原不
等式无解．
(2)当a<0时，不等式转化为x(ax
－2)>0，
即x(x－2a)<0.
∵2a<0，∴不等式的解集为{x|
2
a
}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(xaxaaaxxaxxaxaxxa时，当
时，当
时，当
时，当
或时，当
3、ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)
二、按判别式的符号分类，即0,0,0；
例3 解不等式042axx
分析 本题中由于2x的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解：∵162a
∴当4,4a即0时，解集为R；
当4a即Δ＝0时，解集为2axRxx且；
当4a或4a即0,此时两根分别为21621aax，21622aax，显然21xx,
∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或
例4 解不等式Rmxxm014122
解 因,012m2223414)4(mm
所以当3m，即0时，解集为21|xx；
当33m，即0时，解集为1321322222mmxmmxx〈或；
当33mm或，即0时，解集为R。
(3)当a>0时，不等式转化为x(ax－2)<0，
又2a>0，
∴不等式的解集为{x|0
空集；
当a<0时，不等式解集为{x|2a 当a>0时，不等式解集为{x|0 变式：解关于x的不等式：012xax xxa 三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类，即212121,,xxxxxx； ∴当1a或10a时，aa1 ，故原不等式的解集为axax1|； 解 原不等式可化为：0)3(2axax，对应方程0)3(2axax的两根为 axax3,221，当0a时，即23aa，解集为axaxx23|或；当0a时，即23aa，解集为 变式：1、223()0xaaxa 2、0222aaxx 098.0222222aaaaaxx的判别式方程 .2,0)3(axaa则若 }.2|{,0)3(,0)2(}2|{,0)1(axaxaaaxaxa时当；时当 课后练习： }3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(axxxaxaxxaxaxxa或时，当 2、不等式11xax的解集为}21|{xxx，或，求a的值. （21a） (1)若A B(图甲)，应有a＞2. (2)若B A(图乙)，必有1≤a≤2. 4、已知}031|{xxxA，BBAaxaxxB且},0)1(|{2，求实数a的取值范围. （31a） 5、设全集RU，集合}3|12||{},01|{xxBxaxxA，若RBA，求实数a的取值范围. （12a） 6、已知全集RU，}034|{},082|{},06|{2222aaxxxCxxxBxxxA，若CBA)(，求实 7、若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围。（]1649925a ，解得0＜a＜4，故由①得axa2121，又212141a，所以解集中的 3个整数必为1,2,3，所以3＜a21≤4，解得925＜a≤1649
时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(a
aaxa
a
xa
aaxa
a
xxa
例5 解不等式)0( 01)1(2axaax
分析：此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。本题
只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：0)1(axax，令aa1，可得：1a
当1a或1a时，aa1,可得其解集为；
当01a或1a时, aa1,解集为axax1|。
例6 解不等式06522aaxx，0a
分析 此不等式0245222aaa，又不等式可分解为0)3(2axax，故只需比较两根
a2与a3
的大小.
|23xxaxa或
解：∵x2－（a+a2）x+a3＝（x－a）（x－a2）
∴当a>1，或a<0时，不等式的解为a
.,221axax得方程的两根为
axaa2,0)1(则若
；时当解集为：综上所述，原不等式的
此时解为则原不等式为若,0,0)2(2xa
4
1、)23(0)3)(2(aaxxax，且（分3;32;2aaa讨论）
或时，当
或时，当
3、已知}0)1(|{},023|{22axaxxBxxxA，
①若AB，求实数a的取值范围.；（2a）②若AB，求实数a的取值范围.；（21a）
③若BA为仅含有一个元素的集合，求a的值.（1a）
解：A=｛x｜1≤x≤2｝，B=｛x｜(x-1)(x-a)≤0｝
(3)若A∩B为仅含一个元素的集合(图丙)，必有a≤1.
数a的取值范围.（ 21a）
【解析】 不等式可化为(4－a)x2－4x＋1＜0 ①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以
0)4(41604a
a
含参一元二次不等式的解法
一元二次不等式是指形如$ax^2 + bx + c > 0$ 或$ax^2 + bx + c < 0$ 的不等式，其中$a,b,c$ 是常数。
解决这种不等式的方法与解决一元二次方程的方法类似，需要先求出方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
首先，将不等式中的常数移到右边，得到$ax^2 + bx = -c$。
然后，将左边因式分解，得到$a(x - r_1)(x - r_2) = -c$，其中$r_1$ 和$r_2$ 是方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根。
根据分解因式的性质，可以得到以下三种情况：
当$a > 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$。
当$a < 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$。
注意，当$a = 0$ 时，不等式变成一元一次不等式，应使用相应的解法。
一元二次不等式的解法(含参不等式 恒成立问题及根的分布)
②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
③当a<2时，则a的值不存在；
综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.
A
5
题型与解法
（二）不等式的恒成立
a x2b xc0 恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
A
25
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
A
26
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
(C) 4ax3a (D) 3ax4a
A
23
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=. -2)
（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} .
A
11
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (3)两根都小于1;
解： (3) ∵两根都小于1,
0
m
2
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
含参数的一元二次不等式的解法
2、上述不等式所对应的一元二次方程的特征是什么？ 二次项前面没有参数、可因式分解
3、若将条件a>1去掉，该不等式如何求解？
分类讨论，比较两根a与1的大小关系
引导探究 变式训练：
1、解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0
2、解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0
数学思想：分类讨论思想
当堂练习（10分钟）
基础题1.解关于x的不等式：x2 + 5ax + 6a2 > 0
2.解关于x的不等式：ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
探究题： 已知常数 a R, 解关于x的不等式： ax2 2x a 0
当堂诊学（10分钟）
请同学们根据下面提供的答案自我订正：
思考：
{x x 5 或x 6}
2
R
{x 2 x 1}
3
2
1、解一元二次不等式时要考虑哪些要素？
2、若对于一个一元二次不等式中项的系数含有参数，
该如何解决呢？
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
引导探究 解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
探究： 1、解一元二次不等式应考虑它的哪些要素？
当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a};
1：
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
1.当a
0时，解集为x
6
含参数的一元二次不等式的解法(专题)教学文案
一、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：练 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x练 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x练 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a四、（1）解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x（2）解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax（3）解关于x 的不等式：.012<-+ax ax（1）解：0)2(2>+-+a x a x )(* ()3243240422+≥-≤⇔≥--=∆a a a a 或， 此时两根为()242)2(21aa a x --+-=，()242)2(22a a a x ----=.（1）当324-<a 时，0>∆，)(*解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )； （2）当324-=a 时，0=∆，)(*解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)；（3）当324324+<<-a 时，0<∆，)(*解集为R ；（4）当324+=a 时，0=∆，)(*解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （5）当324+>a 时，0>∆，)(*解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a ). （2）解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a x )(*其解的情况应由a1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a ；（3）当10<<a 时，式)(*ax 11<<⇔. 综上所述，当0<a 时，解集为{11><x ax x 或}；当0=a 时，解集为{1>x x }；当10<<a 时，解集为{a x x 11<<}；当1=a 时，解集为φ；当1>a 时，解集为{11<<x ax }. （3） 解：.012<-+ax ax )(*（1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ，此时两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242aa a a 242++-；②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(；③当4-=a 时，0=∆，21)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->a a a a x 242+--<.综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ；当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21);当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a a a a ).。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中一个非常重要的知识点，而含参的一元二次不等式更是需要同学们格外注重。
因为含参的一元二次不等式在现实中有着广泛应用，例如通过解决含参的一元二次不等式，可以优化设计制造成本、确定工艺参数、调节运动规律等等问题。
所以，解决含参的一元二次不等式，对提高数学水平和现实生活都是非常有益的。
解决含参的一元二次不等式，可以从以下四个方面入手。
1. 方程法含参的一元二次不等式可以理解为是变量 $x$ 的一元二次函数，而求解含参一元二次不等式，就是为了知道这个函数图像 $y=ax^{2}+bx+c\left( a,b,c\in R \right)$ 在数轴上的位置关系，因此，使用方程法求解含参一元二次不等式是非常直接和简单的。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式的两边同时移项，将不等式转换为相等式，得到一个含参二次方程；2）解出方程，得到二次函数图像的根；3）分别把这些根代入原不等式中，求出参数的取值范围。
例如要求 $\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+qx \right)<0$ (其中 $q>0$)，我们可以按以下步骤来解决：3）分别将这些解代回原不等式中，得出 $x>1/q^2$ 或 $x<0$。
因为 $q>0$，所以$x>1/q^2$，也就是说，当 $x\in \left( 0,\frac{1}{q^2}\right)$ 时，原不等式成立。
2. 图像法尽管用方程法可以得到含参一元二次不等式的解，但这种方法需要解出二次方程，不太方便。
另一种方法是通过函数图像，观察函数的零点和拐点，直接得出不等式的解。
这种方法叫做图像法。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式写成一元二次函数的形式，并确定函数的最高次幂系数 $a$，括号里的内容作为变量 $x$，同时限制 $x$ 的取值范围，画出函数的图像。
含参数的一元二次不等式的解法
2 ax 例1 解关于 x 不等式： a 2 x 1 0
分析：
2 a 2 4 a a 40 本题二次项系数含有参数， ， 2
故只需对二次项系数进行分类讨论。
综上所述 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 或x 1 当a 0时，解集为 x | x 2a 2a 1 2 当a 0时，不等式的解集为 x | x ； 2 2 a 2 a 2 4 a 2 a 4 x 3 当a 0时，解集为 x | 2 a 2 a
2
分析：
本题中由于的x 系数大于0, 故只需考虑 与 根 的情况。 解：
2
a 2 16
当 0即a 4,4 时，解集为R
当＝0即a 4时，解集为 x x R且x a ； 2
二、对判别式的符号讨论，即 0, 0, 0; 例2、解不等式x ax 4 0
含参一元二次不等式的讨论级别如下框架进行 当a=0时，不等式就成为一次不 0 结论 等式或更低次数的不等式，解集 结论 很显然的，但是这种情况容易丢 a 0 0
x1 x2 结论 0 失，所以在解题时 x1 x2 结论
a 0
优先考虑
结论
0 结论 0 结论 x1 x2 结论 0 x1 x2 结论
1 当a 1或0 a 1时，原不等式的解集为 x | a x a 当a 1或a -1时，原不等式的解集为 1 当 1 a 0或a 1时，原不等式的解集为 x | x a a
变式训练3：
解不等式x 5ax 6a 0，a 0
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)精编版
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
专题-《含参数的一元二次不等式的解法》
专题 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。