平行线分线段成比例及证明
D B
E C
l2
A B C
l2
l3
l3
a A B
b D E L1 L2 F
C 平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行线所 截，如果在一直线上所截 得的线段相等，那么在另 一直线上所截得的线段也 相等。
L3
AB BE = BC EF
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
A B D E
已知： 例1 已知：如图 EF=4。求BC。 。 。
A B C D E F
l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
l1 l2
l3
练习：已知：如图， 练习：已知：如图， l // l // l ，AB= a, BC= b, 1 2 3 EF=c. 求DE。 。
A B C
D E F
l1 l2 l3
F
AD AE D AD AC 在∆ADC中∴EF//CD, , = AF AE B AB AD = AD AF
A
E C
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
AB BC AC = = 已知：如图， 求证： 。 已知：如图，1 // l2 // l3 ， 求证： l DE EF DF 证明： 证明：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 A D = 比例定理）。 BC EF 比例定理）。 AB BC B E = DE EF F C BC EF （平行线分线段成 因为 = 比例定理）。 AC DF 比例定理）。 BC AC = EF DF 上 下 全
三 练习
∴ ∴
l1 l2 l3
∴
∴
AB BC AC = = DE EF DF
！
上 下 全
=
=
已知：如图， 已知：如图， l1 // l2 // l3 求AB。 。 A B C D E F
，AC=8，DE=2，EF=3， ， ， ， 方法一 解：因为 l1 // l2 // l3
l1
l2
∴ ∴
AB DE （平行线分线段 = 成比例定理）。 BC EF 成比例定理）。
2 CF 16 ∴ = , 即CF = 3 8 3
16 8 ∴ BF = 8 - = 3 3
例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论 证明 在∆ABC中∴DE//BC , AB = AC ,
a A B
b D E L1 L2 F
C
L3
AB BE = BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
b D （E） L1 L2
C
F
L3
AB BE = BC EF
基本图形：“x”字形
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
A D L1
“对应”是数学的基本概念，】 图1-1中， 在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推 出如下结论之一： （1）简称“上比下”等于“上 比下” （2）简称“上比全”等于“上 比全” （3 简称“下比下”等于“下比 下” 把这个定理运用于三角形中就得 到它的重要推论。
!
注意:应用平行线分线段成比例定理得到的 注意 应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关 四条线段与两直线的交点位置无关! 比例式中 四条线段与两直线的交点位置无关
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例. l l′ l′ l A D l E l
2、如图，在△ABC中，作平行于 的直线交 于D， 、如图， 的直线交AB于 ， 中 作平行于BC的直线交
相交于O， 和 相交于 相交于F， 交AC于E，如果 和CD相交于 ，AO和DE相交于 ， 于 ，如果BE和 相交于 AO的延长线和 交于 。 的延长线和BC交于 的延长线和 交于G。
B G D F 证明：（ ：（1） 证明：（ ） GC = FE （2）BG=GC ）
定理的证明过A点作AN ∥ DF，交l2于M，交l3
S ABM = MN S BMN
B
M
E
L2
C
N
F
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN BM CN AB AM ∴ BC = MN AB BE = 亦即 BC EF
L3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例
设AB=X，则BC=8—X ， l3 X 2 16 = ∴ X= 8- X 3 5 16 即：AB= 5 方法二 解：因为 l1 // l2 // l3 AB DE（平行线分线段成 ∴ = 比例定理）。 AC DF比例定理）。 16 AB 2 即： ∴ AB= = 5 8 2+3
作业
已知AB CD为梯形ABCD的底 对角线AC BD的 AB、 为梯形ABCD的底， AC、 1、已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的 交点为O AB=8，CD=6,BD=15， OB、OD的长 的长。 交点为O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的长。
B C D
AB BE = BC EF
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.
AB BE = BC EF
上 下 全 = = 上 下 全
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的线段对应成比例. 直线 所得的线段对应成比例 上 下 全 M = = A D 上 下 全 A (D) B E 平移 C F 平移 B E C F A D A D 平移 B NE (E) B C F F C
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 = = = ∴ AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF ∴ = AB CB
l1 l2 l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例 如图 已知l1∥l2∥l3 AB DE 求证 = BC EF 或
或
AB DE = AC DF
BC EF = AC DF
B
A
D
l1
E
l2
C
F
l3
于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2） ∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF AB S = 在△ACN中，有
一、平行线分线段成比例定理： 平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的线段对应 三条平行线截两条直线，所得的线段对应 成比例. 关键要能熟练地找出对应线段 对应线段） 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理的几种基本图形
小结
A B C
D E F C
D B
A E F
B
M
E
L2
C
N
F
L3
因为 所以
l1∥l2∥l3
A B B C = B E E F
a A B
b D E L1 L2 F
C
L3
AB BE = BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
b D （E） L1 L2
C
F
L3
AB BE = BC EF
基本图形：“x”字形
b
a A E F G L3 L1 L2
AB =1 当 BC
F
A B
D E
C
AB ≠1 当 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形, 截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例. 的三边对应成比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E A AD AE DE 求证： = = AB AC BC E D AD AE = DE//BC AB AC C B F AE BF = EF//AB AD AE DE AC BC = = AB AC BC DE=BF
3、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在 AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平 行移动，
AE 1 (1)如果 = ， 求证 ：3 EF = BC + 2 AD EB 2 AE 2 ( 2 ) 如果 = ， 求证 ：5 EF = 2 BC + 3 AD EB 3 AE m (3)请你探究一般结论， 即如果 = ， 那么 EB n 可以得到什么结论。
平行线分线段成比例证明方法
平行线分线段成比例证明方法平行线分线段成比例是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一种基于平行线分线段成比例的证明方法。
一、问题描述假设有一条直线上的线段AB，平行于这条直线的另外两条直线分别与线段AB相交于点C和D。
我们需要证明线段AC与线段CB的比例等于线段AD与线段DB的比例，即AC/CB = AD/DB。
二、证明思路我们可以通过构造相似三角形来证明平行线分线段成比例的性质。
具体的证明方法如下：1. 过点C和D分别作线段AB的平行线，与直线上的另一条线段分别相交于点E和F。
2. 连接线段AE、AF、CF和CE，得到四边形AECF。
3. 由于平行线的性质，可以得知∠ACF = ∠CED，∠ACB = ∠CED。
4. 根据四边形内角和定理，四边形AECF的内角和为360度，因此∠ACF + ∠AFC + ∠CAF + ∠ACB = 360度。
5. 由于∠ACF = ∠ACB，可得∠AFC + ∠CAF = 180度。
6. 根据内角和为180度的三角形性质，可知三角形AFC和三角形CAF之间存在相似关系。
7. 由于相似三角形的对应边成比例，可以得知线段AC与线段CF 的比例等于线段AF与线段CA的比例，即AC/CF = AF/CA。
8. 同理，可以得知线段CB与线段CF的比例等于线段CE与线段CA的比例，即CB/CF = CE/CA。
9. 将上述两个等式相除，可得(AC/CF)/(CB/CF) = (AF/CA)/(CE/CA)，化简后得 AC/CB = AF/CE。
10. 由于线段AF与线段CE分别与线段AD和线段DB相等，可得AF/CE = AD/DB。
11. 综上所述，我们证明了线段AC与线段CB的比例等于线段AD 与线段DB的比例，即AC/CB = AD/DB。
三、实际应用平行线分线段成比例的性质在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，如果我们需要在一条直线上平分一段线段，可以通过构造平行线来实现这个目标。
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
4.平行线分线段成比例.详解
相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
衔接教材09 平行线分线段成比例定理(解析版)
衔接教材09 平行线分线段成比例定理知识点讲解在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有ABDE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.经典例题解析例1 如图， 123////l l l ，且2,3,4,ABBC DF 求,DE EF . 解 1232////,,3AB DE l l l BC EF 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DE AB AC BC ==. 证法（一）：//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴∽ABC ，.AD AE DE AB AC BC∴== 证法（二）： 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AE AB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴== .AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 例3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.解 假设能找到，如图，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .//,EG AC EF FC =，∴EGF CDF ≅，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：AB BD AC DC. 证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ， //,.BABD AD CE AE DCAD 平分,,BAC BAD DAC由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE,,E ACE AEAC 即 ABBD AC DC. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 实时训练一、单选题1．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ）A ．AD CE BC DF =B ．AD BC BE AF = C ．AB CD CD EF = D ．AD DF BC CE= 【答案】D【分析】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．【详解】解：∵l 1∵l 2∵l 3，∵ADDF=BCCE，即ADBC=DFCE，所以A选项错误，D选项正确；AD AF =BCBE，所以B选项错误；同理C选项也错误．故选D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．2．关于某一点成中心对称的两个图形，下列说法中，正确的个数有（）①这两个图形完全重合；②对称点的连线互相平行③对称点所连的线段相等；④对称点的连线相交于一点；⑤对称点所连的线段被同一点平分⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】【分析】根据对称中心图形的性质分别判断得出即可．【详解】①这两个图形能够完全重合，此选项错误；②对称点的连线应相交于一点，故此选项错误；③对称点所连的线段不一定相等，此选项错误；④对称点的连线相交于一点，此选项正确；⑤对称点所连的线段被同一点平分，此选项正确；⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等，此选项正确．故正确的有3个．故选：A．【点睛】此题主要考查了对称图形的性质，根据其定义得出是解题关键．二、填空题3．在ABCD中, ∥A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为_____.【答案】20cm或22cm；【分析】∵A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∵A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明∵ABE 是等腰三角形，分别求周长．【详解】解：设∵A的平分线交BC于E点，∵AD∵BC，∵∵BEA=∵DAE，又∵BAE=∵DAE，∵∵BEA=∵BAE∵AB=BE．而BC=3+4=7．①当BE=4时，AB=BE=4，∵ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22；②当BE=3时，AB=BE=3，∵ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20．所以∵ABCD的周长为22cm或20cm．故答案为22cm或20cm．【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三、解答题4．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.已知（如图）1l∥2l∥3l，求证：AB DE BC EF.【答案】见解析.【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证．【详解】证明：如图，过点E 作直线MN∵AC ，交1l 、3l 于点G 、H ，∵1l ∵2l ∵3l ，MN∵AC ，∵四边形ABEG 、BCHE 是平行四边形∵AB=GE,BC=EH,且DGH ,GHF GDF DFH ∠=∠∠=∠∵∵DGE∵∵FHE ， ∵DE GE AB EF HE BC== 即AB DE BC EF = 原题得证．【点睛】本题考察了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定．通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键．5．为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC 、CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50B ∠=︒，85C ∠=︒，35D ∠=︒，判断AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若35C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD 求出此时B 的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85C ∠=︒，35D ∠=︒，//AB DE ，请直接写出此时B 的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）35°或145°，画图、过程见解析；（3）50°或130°或60°或120°【分析】（1）过点C 作CF ∵AB ，根据∵B =50°，∵C =85°，∵D =35°，即可得CF ∵ED ，进而可以判断AB 平行于ED ； （2）根据题意作AB ∵CD ，即可∵B =∵C =35°；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∵B 的度数．【详解】解：（1）AB 平行于ED ，理由如下：如图2，过点C 作CF ∵AB ，∵∵BCF =∵B =50°，∵∵BCD =85°，∵∵FCD =85°-50°=35°，∵∵D =35°，∵∵FCD =∵D ，∵CF ∵ED ，∵CF ∵AB ，∵AB ∵ED ；（2）如图，即为所求作的图形．∵AB∵CD，∵∵ABC=∵C=35°，∵∵B的度数为：35°；∵A′B∵CD，∵∵ABC+∵C=180°，∵∵B的度数为：145°；∵∵B的度数为：35°或145°；（3）如图2，过点C作CF∵AB，∵AB∵DE，∵CF∵DE，∵∵FCD=∵D=35°，∵∵BCD=85°，∵∵BCF=85°-35°=50°，∵∵B=∵BCF=50°．答：∵B的度数为50°．如图5，过C作CF∵AB，则AB∵CF∵CD，∵∵FCD=∵D=35°，∵∵BCD=85°，∵∵BCF=85°-35°=50°，∵AB∵CF，∵∵B+∵BCF=180°，∵∵B=130°；如图6，∵∵C=85°，∵D=35°，∵∵CFD=180°-85°-35°=60°，∵AB∵DE，∵∵B=∵CFD=60°，如图7，同理得：∵B=35°+85°=120°，综上所述，∵B 的度数为50°或130°或60°或120°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 6．如图，已知点()A 4,0，()B 0,3，点C 是直线AB 上异于点B 的任一点，现以BC 为一边在AB 右侧作正方形BCDE ，射线OC 与直线DE 交于点P ，若点C 的横坐标为m ．()1求直线AB 的函数表达式．()2若点C 在第一象限，且点C 为OP 的中点，求m 的值．()3若点C 为OP 的三等分点(即点C 分OP 成1：2的两条线段)，请直接写出点C 的坐标．【答案】（1）3y x 34=-+；（2）48m 25=；（3）2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，作OG∵BC 于G ，OH∵OB 于H ．只要证明∵OCG∵∵CPD ，利用全等三角形的性质可得OG=CD ，由此构建方程即可解决问题；（3）在第一象限和第二象限分两种情形，分别构建方程求出m 即可解决问题；【详解】解：()1设直线AB 的解析式为()y kx b k 0=+≠，把()A 4,0，()B 0,3代入得到{4k b 0b 3+==，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为3y x 34=-+． ()2如图，作OG BC ⊥于G ，OH OB ⊥于H ．四边形BCDE 是正方形，BC//ED ∴，OCG CPD ∠∠∴=，CO CP =，OGC CDP 90∠∠==， OCG ∴∵CPD ，OG CD ∴=，AB 5∴=，OA OB 12OG AB 5⋅∴==， CH m =， 4cos BCH cos BAO 5∠∠==， 5BC m 4∴=， 5CD m 4∴=， 512m 45∴=， 48m 25∴=． ()3①当点C 中第一象限，OC 2PC =时， OCG ∵CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m4=，56m45∴=，24m25∴=，∵C（2425，5725）②当点C中第一象限，PC2OC=时，．OCG∵CPD，OG∴：CD1=：2，24CD5∴=，5BC m4=，524m45∴=，96m25∴=，∵C（9625，325）③当点C中第二象限，PC2OC=时，．OCG∵CPD，OG∴：CD1=：2，24CD5∴=，5BC m4=-，524m45∴-=，96m25∴=-，∵C（9625-，14725）.④当点C中第二象限，OC2PC=时，OCG∵CPD，OG∴：CD2=：1，55BC m4=-，56m45∴-=，24m25∴=-，∵C（2425-，9325）综上所述，满足条件的点C坐标为2457,2525⎛⎫⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫-⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．如图在∥ABC中，∥C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是边BC上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是1cm/s，设点P的运动时间为t，过P点作AC的平行线交AB与点N，连接AP，（1）请用含有t的代数式表示线段AN和线段PN的长，（2）当t为何值时，∥APN的面积等于∥ACP面积的三分之一？（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得∥APN的面积有最大值，若存在请求出t的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）PN=34t，AN =5﹣54t；（2）当t为43s时，∵APN的面积等于∵ACP面积的三分之一；（3）t=2时，∵PAN的面积最大，最大值为32．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再利用平行线分线段成比例定理，求出PN、BN即可解决问题；（2）由题意：12•PN•PC ＝13×12•PC•AC ，推出AC ＝3PN ，由此构建方程即可解决问题； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】（1）在Rt∵ABC 中，∵∵C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，（cm ），∵PN∵AC ，PB=t ， ∵PB BC =BN BA =PN AC， ∵4t =5BN =3PN ， ∵BN=54t ，PN=34t ， ∵AN=AB ﹣BN=5﹣54t ． （2）由题意：12•PN•PC=13×12•PC•AC ， ∵AC=3PN ， ∵3=334⨯t ， ∵t=43， ∵当t 为2s 时，∵APN 的面积等于∵ACP 面积的三分之一．（3）由题意：S ∵APN =12•PN•PC=12•34t （4﹣t ）=﹣38（t ﹣2）2+32， ∵﹣38＜0， ∵t=2时，∵PAN 的面积最大，最大值为32． 【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．8．西成高铁的开通，使得以前的“蜀道难”变的不再难了，从西安出发的列车，经过4小时左右即可到达成都．周末小华和小亮计划去成都游玩，准备一起去北客站乘车．为了赶时间，他们通过 “滴滴打车”叫了一辆快车前往北客站．如图，是小华和小亮一起去北客站乘坐快车的费用y （元）与行驶路程x （千米）之间的函数图象．请你根据以上信息，解答下列问题：（1）求线段AB 所在直线的函数关系式；（2）已知该滴滴打车在高峰时期低速行驶时，每分钟加收0.6元，小华和小亮到达北客站时，共付费43.2元，其中低速行驶8分钟，求小华他们的出发地离北客站有多少千米？【答案】（1） 2.2 3.2y x =+；（2）16千米【详解】解：（1）设线段AB 所在直线的函数关系式为y kx b =+，根据题意，将点()()4,12,9,23A B 代入得412923k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 2.23.2k b =⎧⎨=⎩， ∵线段AB 所在直线的函数关系式为 2.2 3.2y x =+；（2）根据题意得2.2 3.20.6843.2x ++⨯=，解得16x =，答：小华他们的出发地到北客站的路程有16千米．。
平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
∵DE∥BC.
∴
AD AB
AE . AC
AD AF .
∴ AB AD
技巧4 平行法证比例式 4．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，
△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD 交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接GF. 求证GA：CG(1)△FAEFAC. E≌△BCD； (2)
∵点D为AB的中点A，D 1.
DB
∴AD＝DB，即
∵CDEFFE∥BAEA，CE
AD DB
1.
∴
∴DE＝EF.
类型 3 证两个比的值的和为1
技巧6 同分母的中间比代换法
6.
如图，已知AC∥FE∥BD，求证：
AE AD
BE BC
1.
∵AC∥EF，
证明：∴
BE BF
①.
BC BA
又∵FE∥BD，
∴
AE AF AD AB
②.
BE AE BF AF AB 1.
①＋②，得 BC AD BA AB AB
AE BE 1. AD BC
即
GC FE
∴∠CFG＝∠DCE＝60°.
类型 2 证线段相等
技巧5 等比例后项证线段相等(等比例过渡法) 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A， 点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E， CF∥BA交DE的延长线于点F. 求证：DE＝EF.
证明：∵DE∥BC，∴
AD AE . DB EC
类型 1 证比例式
技巧1 中间比代换法证比例式
1. 如图，▱ABCD中，点E是AB的中点，在AD上截 取2AF＝FD，EF交AC于点G，延长EF与CD的 延长线交于点H，
平行线分线段成比例的应用
5
技巧2 等积代换法证比例式
2. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过 D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，连接BF，求证： PE PA . PF PB
6
证明：∵DE∥BC，∴ ∴PD·PC＝PE·PB. ∵DF∥AC，∴ ∴PD·PC＝PF·PA. ∴PE·PB＝PF·PA. ∴
PD PE . PB PC PF PD . PC PA
PE PA . PF PB
7
技巧3 等比代换法证比例中项
3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
求证：
AD AF . AB AD
证明：∵EF∥CD，
∴ AF AE . AD AC
∵DE∥BC. ∴
∴
AD AF .
AB AD
∵DE∥BC， ∴ ∵EF∥AB，∴ 又∵DE＝BF， ∴ ∴ AD DE .
AB BC
AD
AE .Biblioteka AB ACAE BF . AC BC
AE DE . AC BC
4
(2)解：
∵AD∶DB＝3∶5， ∴BD∶AB＝5∶8. ∵DE∥BC， ∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8. ∵EF∥AB， ∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
又∵FE∥BD，
∴ AE AF② . AD AB
①＋②，得
BE AE BF AF AB 1.
BC AD BA AB AB
即 AE BE 1. AD BC
15
第二十五章 图形的相似
第2课时 平行线分线段 成比例的应用
习题课
1
名师点金
利用平行线证比例式或等积式的方法： 当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行线为一组(两条以上)时，可直接
平行线分线段成比例定理证明方法
平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
本文将通过证明该定理，来展示其严谨的数学推导过程。
我们先来描述一下该定理的内容：设有两条平行线l和m，它们被一条横切线n相交于A、B、C三点。
如果在l上任取一点D，并且连接BD和AC，那么我们有以下结论：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)接下来，我们将通过严格的证明来验证这一结论。
证明过程如下：假设在平行线l上任取一点D，并连接BD和AC。
根据平行线的性质，我们可以得到以下两个对应角相等的等角关系：∠ACB = ∠DBC （对应角相等）∠ADC = ∠BCD （对应角相等）由于三角形ABC和三角形DBC中有两个角相等，根据三角形的基本性质，我们可以得到这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的比例关系：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)从上述推导过程可以看出，平行线分线段成比例定理是由两个等角关系推导得到的，而等角关系是由平行线的性质所决定的。
因此，该定理的证明是严谨而准确的。
值得注意的是，平行线分线段成比例定理的证明过程中没有使用到具体的数值，而仅仅是通过等角关系和相似三角形的性质进行了推导。
因此，该定理具有普适性，适用于任意情况下的平行线。
通过平行线分线段成比例定理，我们可以解决很多实际问题。
例如，在建筑工程中，我们可以利用该定理来计算建筑物的高度。
通过测量建筑物的影子长度和测量仪的高度，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算建筑物的实际高度。
在几何学的研究中，平行线分线段成比例定理也是解决一些复杂问题的重要工具。
通过应用该定理，我们可以得到一些关于平行线和三角形的性质，进而推导出更多的几何定理。
总结起来，平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
平行线分线段成比例定理
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
平行线分线段成比例定理及证明
平行线分线段成比例定理证明简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。
也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。
说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。