不等式的基本性质(第1课时)
故a2＋b2－ab＋1－(a＋b)≥0， ∴a2＋b2－ab＋1≥a＋b.
法二：a2＋b2－ab＋1－a－b＝a2＋(－b－1)a ＋ b 2－ b ＋ 1 ， 令f(a)＝a2＋(－b－1)a＋b2－b＋1 Δ＝(－b－1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0. ∴f(a)≥0恒成立，即a2＋b2－ab＋1≥a＋b. 【名师点评】 比较法的关键在于变形，变形的常用 方法是因式分解和配方，变形的目的是有利于判断符 号．而法二则是从二次三项式的符号与二次函数关系 出发，构造二次函数，用函数处理不等式问题，思路 新颖灵活．
公理5：两个正(负)数的和仍是正(负)数. 公理6：同号(或异号)两数相乘或相除，其积或其商为正数 (或负数). 公理7：两正数之商大于1，则被除数大于除数；两正数之商 等于1，则被除数等于除数；两正数之商小于 1，则被除数小 于除数. 公理8：任何一个实数的平方都不小于零.
类型 一 作差法比较大小 【典型例题】 1.当p,q为正数且p+q=1时,比较(px+qy)2与px2+qy2的大小. 2.a,b∈R+,且a≠b时,比较a3b2+a2b3与a5+b5的大小. 【解题探究】 1.(px+qy)2的展开式是什么? 2.比较多项式的大小常用的方法是什么?
所以a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
【拓展提升】利用不等式性质证明简单不等式
利用不等式性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等 式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.若不能直接由不 等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等 式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.
【变式训练】1.已知a＞b＞0,c>d>0.求证： ac ＞ bd . 2.已知c>a>b>0,求证： a b .
a b a b a b
是不等价关系.
3.实数的基本性质 在研究不等式的性质，解不等式和证明不等式时，经常要用 到实数的一些基本性质，这些性质可概括为8条公理： 公理1：正数大于零，负数小于零，正数大于负数 . 公理2：正(负)数中，绝对值较大的数其数值较大 (小). 公理3：正(负)数的相反数是负(正)数. 公理4：两数之差大于零，则被减数大于减数；两数之差等于 零，则两数相等；两数之差小于零，则被减数小于减数 .
a b
中，正确的不等式有( A.1个 B.2个
) C.3个 D.0个
2.若a<b<0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由. (1)
1 1 . ab a
(2) 1 1 .
ab b
【解题探究】 1.由 1 1 0， 能否比较a,b,0的大小关系？
a b
2.比较大小的依据是什么？ 探究提示： 1.由 1 1 0， 可知b<a<0.
(4)
(5) (6)
可乘性
乘方 开方
ac<bc 如果a>b,c<0,那么______.
如果a>b>0,那an__b > n(n∈N,n≥2). > n b (n∈N,n≥2). 如果a>b>0,那么 n a __
1.若a<b，一定有 1 1 吗？
a b
提示：不一定.如a=-1,b=2.事实上，
d 所以 3 a 3 b . 即 3 a 3 b . d c d c 两边同乘以-1，得 3 a 3 b . d c c d c
2.因为(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)
1 ＝ (2a 2＋2b 2－2ab－2a－2b＋2) 2 1 ＝ [(a 2－2ab＋b 2 ) ＋ (a 2－2a＋ 1) ＋ (b 2－2b＋ 1)] 2 1 ＝ [(a－b)2 ＋ (a－ 1)2 ＋ ( b－ 1)2 ] 0， 2
a b
2.不等式的基本性质.
1 1 【解析】1.选A． 0 b a 0, 所以a+b<0<ab， a b
|a|<|b|，即①正确，②③错误．
1 0, 2．(1)成立.由a<b<0得a<a-b<0，所以 a(a b) 则 1 1. ab a 1 (2)成立.因为a<b<0,所以a+b<b<0,则 0, (a b)b 所以 1 1 . ab b
变式训练 设a，b∈R.试比较a2＋b2－ab＋1与a＋b的大小． 【思路点拨】 从最高次数为二次考虑，可比较两边差的正负， 故可考虑二次三项的配方．
【解】 法一：a2＋b2－ab＋1－(a＋b) 1 ＝ (2a2＋2b2－2ab＋2－2a－2b) 2 1 2 ＝ [(a －2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)] 2 1 ＝ [(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]， 2 显然 a－b，a－1，b－1 在 a＝b＝1 时同时等于 0，
【互动探究】若题1中条件不变，判断不等式 1 1 1 是否成
ab a b
立？ 【解析】因为 1 1 0， 所以 1 0, 1 1 0, 所以不等式
1 1 1 不成立. ab a b a b ab a b
【拓展提升】利用不等式的性质判断命题真假的两点说明
(1)在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条 件，正确恰当地使用不等式的性质. (2)不等式的性质是不等式变形的依据，使用时，一定要注意 它成立的前提条件，如在乘法法则中，要特别注意“乘数c的 符号”，当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2;当没有“c≠0”这个条 件时， b 1 1 时，还必须
探究提示: 1.(px+qy)2=p2x2+2pqxy+q2y2. 2.常用作差比较法. 【解析】1.(px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+2pqxy+q2y2-px2-qy2 =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,
所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy) =-pq(x-y)2. 因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0, 所以(px+qy)2≤px2+qy2, 当且仅当x=y时,不等式中等号成立.
类型 三
利用不等式的性质证明简单不等式
【典型例题】
1.已知a>b>0,c<d<0,求证：3 a 3 b .
d c
2.已知a，b∈R，求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1. 【解题探究】1.对于正数，有同向不等式可乘，但能不能可 除？ 2.证明不等式的实质是什么？
探究提示： 1.对于正数，同向不等式可乘，但不可除 .不等式的 “除法” 可以通过“乘倒数”转化为“乘法”. 2.实质是比较两个代数式的大小. 【证明】1.因为c<d<0,所以-c>-d>0. 所以 0 1 1 , 又a b 0, 所以 a b 0.
点评:要用作商法，必须两 边都为正值,而且一般针对 指数形式的大小比较。
a b
a 当a b时， ( ) 2 1 a a b b ( a b) 2 b a b a a b a 2 a 当a b时， 1, 0( ) ( )0 1 b 2 b b a b ( a b)
a b
添加条件ab>0.
【变式训练】已知三个不等式：①ab>0,②bc-ad>0,③ c d 0
a b
(其中a,b,c,d均为实数).用其中两个作为条件，余下一个作 为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( A.0个 B.1个
a
)
C.2个
b ab
D.3个
【解析】选D.因为 c d bc ad , 所以①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②均成立.
ca cb ac bd
【解题指南】先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条 件的关系，然后结合不等式的性质证明.
【证明】1.因为a＞b＞0,所以 0＜1 ＜1 , 因为c＞d＞0,所以 0＜1 ＜1 , 所以 1 1 ＜0, 1 1 ＞0,
c d a b
a b d c 所以 1 1 ＜1 1 , a b d c 所以 1 1 ＜1 1 , a c b d ac bd 即 ＜ , 又a,c,b,d均大于0， ac bd 所以 a c ＞0, b d ＞0, 所以 ac ＞ bd . ac bd ac bd
已知a 0, b 0, 比较a a bb与（a b ） 的大小。
解： a 0.b 0 a b 0, ( a b)
a b a b 2 ba 2
a b 2
0 a ( ) b
a b 2
a a bb ( a b)
a b 2
a
a b 2
b
1.实数大小的比较
2.不等式性质中的“⇒”和“⇔”表示的意思 在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种： “⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关 系”与“可逆关系”，这要求必须熟记和区别不同性质的条 件，如 a＞b,ab＞0 1 ＜1 , 而反之则包含几类情况，即若 1 ＜1 , 则可能有a＞b,ab＞0,也可能有a＜0＜b.即a＞b,ab＞0与 1 ＜1 ,
当ab>0时，若a<b，则有 1 1 ;
当ab<0时，若a<b,则有 1 1 ;
a a b b 1 当ab=0时，若a<b，则 与 1 中有一个式子无意义. a b
2.a>b是ac2>bc2的什么条件？ 提示：必要而不充分条件.当a>b时，不能推得ac2>bc2，因为
1 当c=0时，有ac2=bc2；若ac2>bc2，则 c 0， 0. 所以 2 ac 2 1 2 1 即a>b. bc ， 2 2 c c c
第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
12345
解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
3.1 不等式的基本性质(课件)高一数学(苏教版2019必修一)
不能
解：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，∴当c＝0时，不能得到 ac2＞bc2.
当c≠0时，c2＞0，∴ ac2＞bc2，
∴ c≠0 时，能得到 ac2＞bc2，
故 c＝0时，不能得到ac2＞bc2；
c≠0 时，能得到 ac2＞bc2 .
课本练习
1. 回答下列问题，并说明理由.
(2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d ?
则 2≤μ≤4,1≤v≤2.
=
+ = ,
由
解得
- = ,
=
则
+
,
2
-
.
2
+ -
4a-2b=4· 2 -2·2 =2μ+2v-μ+v=μ+3v.
而 2≤μ≤4,3≤3v≤6,则 5≤μ+3v≤10.
故 5≤4a-2b≤10.
归纳总结
防范措施
1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利用不等式的性
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1，
∵ x3＋1＞x3－1
∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)，
综上所述，结论为：
(x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)
提示:以上错解中忽视了配方法的应用,事实上,本题中 a2+b2-ab
可继续化为
2
2
3 2
+ b.
4
2
3 2
2
2
2
2
正解:因为 A-B=a +3ab-4ab+b =a +b -ab= + b ≥0,
北师大版八年级数学下册第一讲 不等式的基本性质(基础讲解)(含解析)
第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
＞b得1
> ，
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0＞,所c 1以b
,正确.
a＞b ca cb
(3)由 a ＞,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb＞c0且，c所d以>0ac或dd＞a0bd，c＞<0b，或c且accddd＜<0b.c0＜, 0，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的 正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法.
1.1.1不等式的基本性质课件人教新课标4
堂 双
主
基
导 学
所以xx－2yx2＋x＋1y＞0.
达 标
所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
不等式的基本性质
新课标 ·数学 选修4-5
判断下列命题是否正确，并说明理由．
课
当
前 自
(1)若a>b，则ac2>bc2；
堂 双
主
基
导 学
(2)若ca2>cb2，则a>b；
自 主
A．3a>2a
B．a2<2a
双 基
导
达
学
1
C.a<a
标
D．3－2a>1－2a
课
堂 互
【答案】 D
动
探
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
2．已知m，n∈R，则m1 ＞1n成立的一个充要条件是
课 前
A．m＞0＞n
自
主 导
C．m＜n＜0
学
B．n＞m＞0 D．mn(m－n)＜0
()
当 堂 双 基 达 标
课
堂 方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答
互 动
探 此类问题的基础．
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自
已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，ab的取值范围．
当 堂 双
主
基
导
达
学
【解】 ∵－6<a<8,2<b<3.
标
∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，
高中数学——不等式的基本性质
(第一课时)
观察以下四个不等式：
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) = (x－1) [2x3 - (x +1) ] = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] 技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
例2、比较
练习题
1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的 大小. 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
7.1不等式及其基本性质(第1课时)沪科版七年级数学下册优秀教学案例
（五）作业小结
1.布置具有针对性的课后作业，让学生巩固所学知识，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
2.要求学生认真完成作业，并进行批改和反馈，及时了解学生的学习情况，为下一步教学做好准备。
3.鼓励学生进行作业总结，让他们在总结中提高自己的学习方法和策略。
7.1不等式及其基本性质（第1课时）沪科版七年级数学下册优秀教学案例
一、案例背景
本节课的教学内容是沪科版七年级数学下册的“7.1不等式及其基本性质（第1课时）”。不等式是初中数学中的重要概念，也是学生容易混淆的知识点。在实际教学中，我发现很多学生在理解不等式时存在困难，主要是因为他们没有真正掌握不等式的基本性质。因此，我制定了本节优秀教学案例，旨在通过生动的教学方式和实用的教学内容，帮助学生深入理解不等式的基本性质，提高他们的数学素养。
2.引导学生运用不等式的基本性质，共同解决小组内的数学问题，提高他们的团队协作能力。
3.选取小组的优秀解题方法进行全班分享，促进学生之间的相互学习和借鉴。
（四）总结归纳
1.让学生自主总结不等式的基本性质和解题方法，培养他们的自主学习能力和总结归纳能力。
2.教师对学生的学习情况进行评价，关注他们的学习进步和个体差异，给予及时的反馈和指导。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过生活实例引入不等式概念，使学生能够直观地感受到不等式在实际生活中的应用，提高了学生的学习兴趣和积极性。
2.问题导向：教师引导学生提出问题，激发学生的思考，使学生在解决问题的过程中深入理解不等式的基本性质，提高了学生的思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作：组织学生进行小组讨论和合作，培养了学生的团队协作能力和自主学习能力，使学生在交流和讨论中更好地理解和掌握不等式的基本性质。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
人教新课标A版选修4-5第一讲1.1.1不等式的基本性质
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
20
即
11
33
< <3.
答案:(27,56)
20
11
,3
<
<
84
28
,
典型例题领会
-21-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
题型四
反思本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严
格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
(6)如果 a>b>0,那么 > (n∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论根据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:① 作差;② 变形;③ 判断符号;④ 下结论.
典型例题领会
-5-
学习目标导引
-17-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
-18-
题型四
用作差法比较大小
【例 2】当 a≠0 时,比较(a2+ 2a+1)(a2- 2a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)
的大小.
分析:比较两个数(式)的大小,将两数(式)作差,若差值为正,则前者
大;若差值为负,则后者大.
1
1
1
七年级数学下册 第九章《不等式的性质(第1课时)》课件 人教版
当堂练习
1. 已知a < b，用“>”或“<”填空： （1）a +12 < b +12 ； （2）b-10 > a -10 .
2. 把下列不等式化为x>a或x<a的形式： （1）5＞3+x； 解：x < 2 （2）2x＜x+6. 解：x < 6
3.利用不等式的性质解下列不等式,并再数轴上表示．
(1)x-5 > -1
01
(3)为了使不等式 2 x﹥50中不等号的一边变为x，根据
3
不等式的性质2，不等式的两边都除以 2 不等号的 3
方向不变，得 x﹥75.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
0
75
(4)为了使不等式-4x﹥3中的不等号的一边变为x，
根据__不_等__式__的__性_质__3__，不等式两边都除以_-_4__，
八达岭长城 11月06天气： 小雪 -2～0℃
讲授新课
含“≤”“≥”的不等式
问题 一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且
不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来
解 (1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x， 根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不 等号的方向不变,得 x-7+7﹥26+7，即x﹥33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
(2)为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根 据__不_等__式__性__质_1___，不等式两边都减去__2x__，不等 号的方向_不__变__，得 3x-2x﹤2x+1-2x ，即 x﹤1 . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：