九年级数学下册第二十七章相似专题训练三相似三角形的基本模型同步练习新版新人教版
泰山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深。
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人生恰恰像马拉松赛跑一样……只有坚持到最后的人，才能称为胜利者
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九年级数学下册第二十七章相似专题
专题训练(三) 相似三角形的基本模型
► 模型一 “A”字型
(1)如图3－ZT－1①，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图3－ZT－1②，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△AED∽△ABC；
(3)如图3－ZT－1③，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，
则△ACD∽△ABC.(又称母子图)
图3－ZT－1
1．如图3－ZT－2所示，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD
＝∠B，则AC的长为________．
图3－ZT－2
2．如图3－ZT－3所示，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，EF∥BC，EF分别与AB，
AC，AD交于点E，F，G.求证：EGGF＝BDDC.
图3－ZT－3
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3．如图3－ZT－4所示，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行．
(1)补充一个条件，使△ADE∽△ACB；
(2)在(1)的条件下，求证：△ADE∽△ACB.
图3－ZT－4
► 模型二 “X”字型
(1)如图3－ZT－5①，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图3－ZT－5②，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.
图3－ZT－5
4．如图3－ZT－6所示，已知AC和BD相交于点E，CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE.
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图3－ZT－6
5．如图3－ZT－7所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，BE∥CD
交CA的延长线于点E.求证：OC2＝OA·OE.
图3－ZT－7
► 模型三 旋转型
如图3－ZT－8，∠1＝∠2，∠B＝∠D，则△ADE∽△ABC.
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图3－ZT－8
6．如图3－ZT－9所示，ABAD＝BCDE＝ACAE，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似
三角形，并说明理由．
图3－ZT－9
► 模型四 垂直型
(1)如图3－ZT－10，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD
∽△ABC∽△CBD.(双垂直图)
图3－ZT－10
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(2)如图3－ZT－11，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，且点A，B，C共线，则有△ABD∽
△CEB.(M型，也可归入模型五)
图3－ZT－11
7．已知：如图3－ZT－12，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，
BD＝4，则AB的长为________．
图3－ZT－12
► 模型五 一线三等角型
如图3－ZT－13，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE，则△ABC∽△CDE，称为“一线三等角型”的相似三
角形．
图3－ZT－13
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8．如图3－ZT－14，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是边BC上一动点(不与点B，C
重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E.给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE长
的最大值为6.4；③当AD＝DC时，BD的长为394.其中正确的结论是( )
图3－ZT－14
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
9．如图3－ZT－15所示，△ABC，△DEF均为正三角形，点D，E分别在边AB，BC上，请找
出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明．
图3－ZT－15
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详解详析
1．[答案] 2 3
[解析] 在△ABC和△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴ACAD＝ABAC，即AC
2
＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝2 3.故填2 3.
2．证明：∵EF∥BC，∴EGBD＝AGAD，GFDC＝AGAD，
∴EGBD＝GFDC，即EGGF＝BDDC.
3．解：(1)∵∠A是公共角，且DE与BC不平行，
∴当补充条件①∠ADE＝∠C或②∠AED＝∠B或③ADAC＝AEAB或④AD·AB＝AE·AC时，△ADE∽△
ACB.(答案不唯一)
(2)证明：①∵∠A是公共角，∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACB.
②∵∠A是公共角，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB.
③∵∠A是公共角，ADAC＝AEAB，
∴△ADE∽△ACB.
④∵AD·AB＝AE·AC，
∴ADAC＝AEAB.
又∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB.
4．证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴CEBE＝DEAE.
又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.
5．证明：∵AD∥BC，∴△COB∽△AOD，
∴OCOA＝OBOD.
又∵BE∥CD，∴△EOB∽△COD，
∴OEOC＝OBOD，
∴OCOA＝OEOC，
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即OC2＝OA·OE.
6．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△ABF∽△ECF，△AEF∽△BCF.
理由：∵ABAD＝BCDE＝ACAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
又∵ABAD＝ACAE，即ABAC＝ADAE，
∴△BAD∽△CAE，∴∠ABF＝∠FCE.
又∵∠AFB＝∠EFC，∴△ABF∽△ECF.
由△ABC∽△ADE，得∠ACB＝∠AEF.
又∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF.
7．[答案] 4
[解析] ∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.
∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，∴ABCD＝BCED.
又∵C是线段BD的中点，BD＝4，
∴BC＝CD＝2，∴AB2＝21，∴AB＝4.
8．证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，
∴DE＝CE＝AE＝12AC，∴∠EDA＝∠A.
∵∠EDA＝∠FDB，
∴∠A＝∠FDB.
∵∠ACB＝∠CDA＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠FCD，∴∠FDB＝∠FCD.
又∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD，
∴BDCD＝DFCF，
∴BD·CF＝CD·DF.
9．[解析] D 由∠ADE＝∠B＝∠C＝α，得∠BAD＋∠ADB＝180°－α＝∠ADB＋∠CDE，得∠BAD
＝∠CDE，于是△ABD∽△DCE，又易证△ADE∽△ACD，故①正确；设BD＝x，由△ABD∽△DCE得
AB
CD
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＝BDCE，∴CE＝BD·CDAB＝x（16－x）10＝－110(x－8)2＋6.4，故CE长的最大值为6.4，②正确；当AD
＝DC时，∠DAC＝∠C＝∠B，易证△ABC∽△DAC，得ACCD＝BCAC，即1016－BD＝1610，解得BD＝394，③
正确．
10．解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似．
如选△DBE∽△GAD证明如下：
∵△ABC与△DEF均为等边三角形，
∴∠A＝∠EDF＝60°.
又∵∠BDG＝∠BDE＋∠EDF，∠BDG＝∠A＋∠AGD，
即∠BDE＋60°＝∠AGD＋60°，
∴∠BDE＝∠AGD.
又∵∠B＝∠A＝60°，
∴△DBE∽△GAD.
人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习
人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习一、单选题（共9题；共18分）1.如图，在 △ABC 中， ∠B =70° ， AB =4 ， BC =6 ，将 △ABC 沿图示中的虚线 DE 剪开，剪下的三角形与原三角形不．相似的是（ ）A. B. C. D.2.下列各组长度的线段（单位： cm ）中，成比例线段的是（ ）A. 1，2，3，4B. 1，2，3，5C. 2，3，4，5D. 2，3，4，6 3.已知四条线段a,b,c,d 是成比例线段，即 ab ＝ cd ，下列说法错误的是（ ） A. ad=bc B. a+cb+d ＝ ab C. a−b b＝c−b dD. a 2b2 ＝c 2d 24.下列判断中，错误的有（ ）A. 三边对应成比例的两个三角形相似B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 6.下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A. ∠A =∠D ， ∠B =∠F B. BCEF =ACDF 且∠B =∠D C. ABDE =BCEF =ACDF D. ABDE =ACDF 且∠A =∠D7.如图所示，在▱ABCD.BE 交AC ，CD 于G ，F ，交AD 的延长线于E ，则图中的相似三角形有（ ）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对8.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A. ∠ADC＝∠ACBB. ABBC =ACCDC. ∠ACD＝∠BD. AC2＝AD•AB9.如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC 的值是（）A. 3：2B. 4：3C. 6：5D. 8：5二、填空题（共4题；共4分）10.如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果ADDB =32，AC＝10，那么EC＝________．11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝________时，△CPQ与△CBA相似．12.ΔABC的边长分别为a,b,c,ΔA1B1C1的边长分别√a,√b,√c，则ΔABC与ΔA1B1C1________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似13.如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则ABAP +2ACAQ＝________．三、解答题（共4题；共20分）14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.证明：△BCD∽△BDE.15.如图，直线a//b//c，直线m,n相交于点O，且分别与直线a,b,c相交于点A,B,C和点D,E,F，已知OA=3，OB=4，BC=6，EF=5，求DO的长度．16.已知：如图，ΔABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC,BE与CD交于点S,AS与BC交于点M．求证：点M是线段BC的中点．17.如图，把一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q，请写出一对相似三角形，并加以证明（图中不添加字幕和线段）四、综合题（共1题；共7分）18.如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，过点C作CG∥EF交BA（或其延长线）于点G，连接DF，FG.（1）FG与CE的数量关系是________，位置关系是________.（2）如图2，若点E是CB延长线上的点，其它条件不变.①（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断，并给予证明；.②DE，DF分别交BG于点M，N，若BC＝2BE，求MNBC答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：A.∵∠B=∠EDC, ∠C=∠C,∴△ABC∽△EDC;B.∵∠B=∠DEC, ∠C=∠C,∴△ABC∽△DEC;D.∵A、B、C、D在同一个圆上，∴∠A+∠DEC=180°,又∵∠DEB+∠DEC=180°,∴∠A=∠DEB, ∠B=∠B,∴△ABC∽△EBD;故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.故答案为：C.【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可求解.2.【答案】D【解析】【解答】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；B. 1：2≠3：5，故四条线段不成比例，不合题意；C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；D. 2：3=4：6，故四条线段成比例，符合题意；故答案为：D．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．3.【答案】C【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，即ab ＝cd，∴A．利用内项之积等于外项之积，ad=bc，不符合题意，B．利用内项之积等于外项之积，a（b+d）=b（a+c），ab+ad=ab+bc，即ad=bc，不符合题意，C．∵a−bb = c−dd，∴a−bb＝c−bd，符合题意，D．∵ab ＝cd，∴a2b2＝c2d2，不符合题意．故答案为：C．【分析】根据比例的性质分别将原式变形，然后判断即可.4.【答案】B【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；故答案为：B．【分析】三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.5.【答案】C【解析】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB∴四边形BFED是平行四边形∴DE=BF∵ DE∥BC AD：BD=5：3∴ADDB =AEEC=53∴CECA =38又EF∥AB∴CECA =CFCB=38又∵CF=6∴CB=16∴BF=BC−FC=10即DE=10故答案为：C【分析】根据DE∥BC，EF∥AB，判断出DE=BF，在根据DE∥BC，EF∥AB，便可以找到分的线段成比例。
新人教版 九年级数学下册 第27章 相似 课时同步练习习题 单元合集(含答案解析)
四、强化训练
3、有如下各组图形：①两个平行 四边形；②两个圆；③两个矩形； ④均有一个内角是80°的两个等 腰三角形；⑤两个正五边形；⑥ 均有一个内角是100°的两个等腰 三角形.其中一定是相似图形的 是 ②, ⑤, ⑥.（填序号）
五、布置作业
预习课本P26~27
本课结束
九年级数学人教版·下册
27.1 图形的相似（2） 授课人：XXXX
一、新课引入
上节课我们介绍了什么样的图 形是相似图形.
这节课我们将介绍两个相似图 形都有哪些主要特征.
Hale Waihona Puke 二、新课讲解相似多边形与相似比
二、新课讲解
二、新课讲解
二、新课讲解
例 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角 ,
的大小和EH的长度 ．
x
二、新课讲解
一、新课引入
1.什么叫相似多边形？ 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等, 边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形
2.相似多边形有什么性质？ 对应角相等，对应边的比相等
3. 在相似多边形中最简单的是 相似三角形 你能 给它下一个定义吗？
二、新课讲解
相似三角形
对应角相等、对应边成比例的三角形
四、强化训练
解：设四边形A1B1C1D1中最长的边长是 xcm. 四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似， 由此可得： 10 4 x6 解得 x 15
答：四边形A1B1C1D1中最长的边长是15cm。
五、布置作业
课本P27练习、习题27.1
本课结束
九年级数学人教版·下册
27.2.1 相似三角形的判定（1） 授课人：XXXX
二、新课讲解
二、新课讲解
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。
人教版数学九年级下册第27章相似相似三角形相似三角形的判定同步训练含答案
人教版数学九年级下册第27章相似相似三角形相似三角形的判定同步训练含答案1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，那么图中相似三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延伸线于点E ，那么图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对3．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，那么以上等式成立的是( ) A.DE BC ＝AD DB B ．AE BC ＝AD BD C.DE CB ＝AE AB D ．AD AB ＝AE AC4. 以下各组图形中有能够不相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形5. 如图，∠1＝∠2＝∠3，那么图中共有相似三角形( )A ．1对B ．2对 C.3对 D ．4对6. 如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延伸线于点E ，假定AB ＝12，BM ＝5，那么DE 的长为( )A ．18B ．1095 C.965 D ．2537. 如图，有三个三角形，其中相似的是 .8. 如图，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，△ABC 与△AED 相似吗？为什么？9. 如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 区分在AB 、BC 、CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EFB ∽△FCG.10. 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，BE 交CD 于点O.求证：△ABE ∽△OCE.11．如图，在▱ABCD 中，AD ＝10cm ，CD ＝5cm ，E 为AD 上一点，且BE ＝BC ，CE ＝CD ，那么DE ＝ cm.12．如图，正方形ABCD 中，BC ＝2，点M 是边AB 的中点，衔接DM ，DM 与AC 交于点P ，点E 在DC 上，点F 在DP 上，且∠DFE ＝45°，假定PF ＝56，那么CE ＝ .13. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，E 为边AD 上一点．假定∠1＝∠B ，CD ＝CE ，试说明△ACE ∽△BAD.14. 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，AC 平分∠BAD ，点P 是AC 延伸线上一点，且PD ⊥AD.(1)证明：∠BDC ＝∠PDC ；(2)假定AC 与BD 相交于点E ，AB ＝1，CE ∶CP ＝2∶3，求AE 的长．参考答案：1---6 CDCAD B7. ①与②8. 解：△ABC ∽△AED ，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∴∠BAC ＝∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∵∠B ＝∠E ，∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED.9. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴BEF ＋∠BFE ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFG ，∴△EFB ∽△FCG.10. 证明：由于CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°.又∠A ＝∠A ，所以∠ABE ＝∠OCE.又由于∠AEB ＝∠OEC ，所以△ABE ∽△OCE.11. 2.5 12. 7613. 证明：∵CD ＝CE ，∴∠CED ＝∠CDE ，即∠B ＋∠3＝∠1＋∠2，又∠1＝∠B ，∴∠2＝∠3，∴△ACE ∽△BAD.14. (1)证明：∵AB ＝AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD ＋∠BDC ＝90°，∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠ADC ＋∠BDC ＝90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC ＋∠PDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC ；(2)解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，∵∠BDC ＝∠PDC ，∴CE ＝CM ，∵∠CMP ＝∠ADP＝90°，∠P ＝∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴ CM AD ＝PC PA，设CM ＝CE ＝x ，∵CE ∶CP ＝2∶3，∴PC ＝32x ，∵AB ＝AD ＝AC ＝1，∴x 1＝32x32x ＋1，解得：x ＝13，故AE ＝1－13＝23.。
九年级数学下册第二十七章相似小利用相似三角形的性质解决几何问题作业新版新人教版
小专题(二)利用相似三角形的性质解决几何问题相似三角形是一种最简单的相似图形,相似三角形有以下几个重要性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应线段的比等于它们的相似比,即相似三角形对应边、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比;(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.类型1利用相似三角形求线段的长度1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.(1)求证:△ABD∽△CBE;(2)若BD=3,BE=2,求AC的值.解:(1)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°.∵∠B是公共角,∴△ABD∽△CBE.(2)AC=9.2.如图,在△ABC中,AC=4,D为BC边上的一点,CD=2,且△ADC与△ABD的面积比为1∶3.(1)求证:△ADC∽△BAC;(2)当AB=8时,求AD的长度.解:(1)易知BD=3CD=6,∴BC=BD+CD=8,在△ADC与△BAC中,∠ACD=∠BCA,AAAA =AAAA=12,∴△ADC∽△BAC.(2)∵△ADC∽△BAC,∴AAAA =AAAA.又∵AB=8,AC=4,CD=2,∴AD=2×84=4.3.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,∴∠AMB=∠EAF.又∵∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA.(2)AM=√122+52=13,AD=12.∵F是AM的中点,∴AF=12AM=6.5.∵△ABM∽△EFA,∴AAAA =AAAA,即56.5=13AA,∴AE=16.9,∴DE=AE-AD=4.9.类型2利用相似三角形证明线段成比例4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,BE⊥DC,垂足为E,交AC于点F.求证: (1)△ABF∽△BED;(2)AAAA =AAAA.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AB∥CD,∴△ABF∽△CEF.∵BE⊥DC,∴∠FEC=∠BED.∵∠DBE+∠BDE=∠FCE+∠BDE=90°,∴∠DBE=∠FCE,∴△BED∽△CEF, ∴△ABF∽△BED.(2)∵AB∥CD,∴AAAA =AAAA,∴AAAA=AAAA.∵△ABF∽△BED,∴AAAA =AAAA,∴AAAA=AAAA.5.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB.求证:(1)直线DC是☉O的切线;(2)AC2=2AD·AO.解:(1)连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD.又∵AD⊥CD,∴OC⊥DC,∴DC是☉O的切线.(2)连接BC.∵AB为☉O的直径,∴AB=2AO,∠ACB=90°.∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°.又∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴AAAA =AAAA,即AC2=AB·AD.∵AB=2AO,∴AC2=2AD·AO.6.如图,在△ABC中,点D,G分别在边AB,BC上,∠ACD=∠B,AG与CD相交于点F.(1)求证:AC2=AD·AB;(2)若AAAA =AAAA,求证:CG2=DF·BG.证明:(1)∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AAAA =AAAA,∴AC2=AD·AB.(2)∵△ACD∽△ABC,∴∠ADF=∠ACG.∵AAAA =AAAA,∴△ADF∽△ACG,∴∠DAF=∠CAF,过点C作CH∥AB,交AG的延长线于点H, ∴∠DAF=∠H,∴∠CAF=∠H,∴AC=CH.由CH∥AB得△CHG∽△BAG,∴AAAA =AAAA,∴AAAA=AAAA,∴AAAA=AAAA,∴CG2=DF·BG.类型3利用相似三角形求图形的面积7.如图,已知AC∥BD,AB和CD相交于点E,AC=6,BD=4,F是BC上一点,S△BEF∶S△CEF=2∶3.(1)求EF的长;(2)如果△BEF的面积为4,求△ABC的面积.解:(1)∵AC∥BD,∴△ACE∽△BDE,∴AAAA =AAAA.∵AC=6,BD=4,∴AAAA =64=32.∵△BEF和△CEF同底,且S△BEF∶S△CEF=2∶3,∴AAAA =32,∴AAAA=AAAA,∴AAAA=AAAA.又∵∠ECF=∠DCB,∴△ECF∽△DCB,∴∠CEF=∠D,∴EF∥BD,∴AAAA =AAAA,∴AA4=35,∴EF=125.(2)∵AC∥BD,EF∥BD,∴EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴A△AAAA△AAA =(AAAA)2=(25)2.∵S△BEF=4,∴S△ABC=25.类型4利用相似三角形解决实际问题8.某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花,当△AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在△BMC地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由.解:资金不够用.理由:∵梯形ABCD中,AD∥BC, ∴△AMD∽△CMB.∵AD=10,BC=20,∴A△AAAA△AAA =(1020)2=14.∵S△AMD=500÷10=50(m2),∴S△BMC=200 m2,还需要资金200×10=2000(元).又∵剩余资金为2000-500=1500<2000,∴资金不够用.9.如图,小亮在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点P时,发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部;当他向前再步行12米到达点Q时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小亮的身高是1.6米,两个路灯的高度都是9.6米,求两个路灯之间的距离.解:在△APM和△ABD中,∵∠DAB是公共角,∠APM=∠ABD=90°,∴△AMP∽△ADB,∴AAAA =AAAA,AA-1221.6=AA9.6,解得AB=18.即两个路灯之间的距离为18米.10.为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度,小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆,然后小明前后调整自己的位置,当小明与标杆相距1米时,小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上,已知小明的眼睛距地面1.5米,求树的高度.解:如图,过点A作AH⊥ED,垂足为H,交线段FC于点G.由题知FG∥EH,∴△AFG∽△AEH,∴AA AA =AAAA.又∵AG=BC=1,HG=CD=5,GC=HD=AB=1.5,∴16= 1.5AA,解得HE=9,则ED=DH+HE=1.5+9=10.5.答:树ED的高为10.5米.。
人教版数学九年级下册习题课件第二十七章专题训练 相似三角形中五种常见的基本模型
又∵∠点B＝P∠在C，边∴△ABDBE上∽△(C点FDP不与点A，B重合)，∠A＝∠B＝∠DPC.
易证△DAP∽△PBC.
则 又O∵E∠的(A长1D)是E求＝__∠_证_A_B_：_C_，_．△∴△DAADEP∽∽△A△BC PBC；
则OE的长是_________． 13．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，∠A＝∠B＝∠DPC＝90°. 求证：(1)△ADE∽△ABC； 【探究】如图②，在四边形ABCD中， 若设运动时间为t(s)(0＜t＜2)，则当t＝_________时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 求证：OC2＝OA·OE. 证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE， 则OE的长是_________． 则OE的长是_________． ∴∠FDC＋∠EDB＝120°，∴∠BED＝∠FDC. 即∠DAE＝∠BAC.
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，
DEB交重AC于合点)F，，FG∠∥AAB＝交A∠D于B点＝G，∠求线D段PFGC的＝长.90°.易证△DAP∽△PBC.(不要求证明)
又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD
若(2)设△运AD【动B时∽探间△为A究Et(Cs】).(0＜如t＜图2)，②则当，t＝在___四____边__时形，以AAB，CP，DQ中为顶，点的三角形与△ABC相似．
3．如图，在▱ABCD中，AB＝6，E为AB的中点， DE交AC于点F，FG∥AB交AD于点G，求线段，∴CD＝AB＝6，AB∥CD. 又∵FG∥AB，∴FG∥AB∥CD，∴△DFG∽△DEA，
九年级数学下册 第二十七章 相似章节复习同步练习课件 新人教版
例2 如图27- Z - 3 所示, CD 是Rt△ABC斜边上的高, E是 AC的中 点, ED, CB的延长线交于点F. 求证：△FDB∽△FCD.
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证明 ∵CD是Rt△ABC斜边上的高, E是AC的中点,
∴∠EDA=∠A, ∠EDC=∠ECD. ∵∠EDC+∠EDA=90° , ∠EDA=∠BDF, ∴∠EDC+∠BDF=90° , ∴∠ECD+∠BDF=90° . ∵∠ECD+∠DCF=90° , ∴∠BDF=∠DCF. 又∵∠F=∠F, ∴△FDB∽△FCD.
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相关题2
如图27- Z - 4所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD 相交于点O, 分 别过点D, C 作DE∥OC, CE∥OD． (1)图中有若干对相似三角 形, 请至少写出三对相似 (不全等的) 三角形, 并选择 其中一对加以证明； (2)求证：DM= OB.
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解 (1)相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， △DNE∽△CNA等． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△ABM∽△NDM. ∵CE∥OD，∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE， ∴△ABM∽△NDM∽△NCE. ∵DE∥OC， ∴△DNE∽△CAN.
【要点指导】(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角 平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等 于相似比；(3)相 似三角形面积的比等于相似比的平方．
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例3 若△ABC∽△A′B′C′, 且A′C′=3 cm, BC=5 cm, AC=4 cm,
角分别相等的 两个三角形相似
两边成比例且夹角相等的 两个三角形 相似
三边成比例的两个三角形相似
新人教版初中数学九年级下册 第二十七章相似 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 同步测试A卷
第 1 页 共 13 页 新人教版初中数学九年级下册 第二十七章相似 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 同步测试A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 单选题 (共15题；共30分) 1. （2分） 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2 ． 已知y与t的函数关
系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；② ；③当0＜t≤5时， ；④当 秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A . ①②③ B . ②③ C . ①③④ D . ②④ 2. （2分） 如果点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（ ）
A . AD：DB=AE：EC B . BD：AB=CE：AC C . DE：BC=AD：AB 第 2 页 共 13 页
D . AB：AC=AD：AE 3. （2分） (2020九上·宽城期末) 已知△ABC如图所示，则下面四个三角形中与△ABC相似的是（ ）
A . B . C . D . 4. （2分） 在小正方形的网格中，下列四个选项中的三角形，与如图所示的三角形相似的是（ ） 第 3 页 共 13 页
A . B . C . D . 5. （2分） (2018九上·硚口月考) 如图，下列条件使△ACD∽△ABC成立的是（ ） 第 4 页 共 13 页
A . B . C . AC2＝AD·AB D . CD2＝AD·BD 6. （2分） 如图，矩形ABCD中，AE=BF，EF与BD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ）
A . 2对 B . 4对 C . 6对 D . 8对 7. （2分） 下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（ ） A . ∠A=∠A′，∠B=∠B′ B . ∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78° C . ∠A=∠B，∠B′=∠A′ D . ∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′ 8. （2分） 如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（ ） 第 5 页 共 13 页
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 同步训练(含答案)
人教版 九年级数学 第27章 相似 同步训练一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A ′B ′O .若点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是( )A ．(2,4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2. （2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm3. (2019•沈阳)已知△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应中线，若AD =10，A'D'=6，则△ABC 与△A'B'C'的周长比是 A ．3∶5 B ．9∶25 C ．5∶3 D ．25∶94. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 205. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CDEF ECAE = B ．ABEG CDEF = C ．GCBG FDAF = D ．AD AF BCCG =6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．307. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ） 个 D.7个AB二、填空题8. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ． ABCDEF10. (2019•郴州)若32x y x +=，则yx=__________．11. (2019•永州)如图，已知点F 是△ABC 的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作FG ∥BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1：S 2=__________．12.如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4， CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为_________．FE DB CA13. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.14. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知R t△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是．三、解答题15. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．图①图②图③16. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BC AB AB AC=，那么称点B为线段AC的黄金分割点.51-.（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E （AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.A CBHGB CA DPEFDA图①图②图③17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD 与△BCE相似时，求点E的坐标．人教版九年级数学第27章相似同步训练-答案一、选择题1. 【答案】C解析：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20 cm．因此本题选A．3. 【答案】C【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD=10，A'D'=6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3．故选C．4. 【答案】D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．5. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF ∥BC ，∴EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC的高，∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：C因此本题选A．二、填空题 8. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．9. 【答案】2【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:1:2．10. 【答案】12【解析】∵32x y x +=，∴223x y x +=， 故2y =x ，则12y x =，故答案为：12．11. 【答案】18【解析】∵点F 是△ABC 的重心，∴BF =2EF ，∴BE =3EF ， ∵FG ∥BC ，∴△EFG ∽△EBC ，∴13EF BE =，1EBC S S =△(13)219=， ∴S 1∶S 2，故答案为：18．12. 【答案】5485【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5．CD ⊥AB ，由三角形的面积，得CD ＝AC BC AB ⋅＝125．易得△ABC ∽△ACD ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例，得AD ＝AC AC AB ⋅＝95，BD ＝BC BC AB ⋅＝165．过点E 作EG ∥AB 交CD于点G ，由平行线分线段成比例，得DG ＝12CD ＝65，EG ＝85，所以DF ADGF EG=，即956855DFDF =-，所以DF ＝，故答案为5485． GF E DB CA13. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.14. 【答案】解：∵在R t △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ，AC ：BC ＝1：2，∴与R t △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE ，EF ＝2，DF ＝5的三角形， ∵，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为：22＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．三、解答题15. 【答案】(1)证：∵AB ∥CB ′，∴∠BCB ′＝∠ABC ＝30°， ∴∠ACA ′＝30°；又∵∠ACB ＝90°，∴A ′CD ＝60°，又∠CA ′B ′＝∠CAB ＝60°. ∴△A ′CD 是等边三角形．(2)证：∵AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ，∴AC BC ＝A ′CB ′C.又∠ACA ′＝∠BCB ′，∴△ACA ′∽△BCB ′. ∵AC BC ＝tan30°＝33，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝1∶3.(3)120，3a2.16. 【答案】解： （1）10.解：∵ABAC=，AC=20，∴AB=10.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：==∴EJ=AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ==,∴G 是AB 的黄金分割点.J（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴ a.∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴a.∴AF BF BF AB==,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.17. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12，解图∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分)(2)直线AD 的解析式为 y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2， ∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3， ∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)，①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ， ∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得：y ＝52，∴E 1(3，52)．(6分)②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. ∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°， ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CFE 2F ，即E 2F 2＝CF·BF ， (12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x1＝2，x2＝－2(舍去)，∴E2(2，2)；(9分)③当∠EBC＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E的坐标为E1(3，52)或E2(2，2)．(10分)。
新人教版初中数学九年级下册 第二十七章相似 27.2相似三角形 27.2.2相似三角形的性质 同步测试新版
新人教版初中数学九年级下册第二十七章相似 27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质同步测试新版姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2019九上·梁子湖期末) 如图，两个反比例函数y1＝（其中k1＞0）和y2＝在第一象限内的图象依次是C1和C2 ，点P在C1上.矩形PCOD交C2于A、B 两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A . ：1B . 2：C . 2：1D . 29：142. （2分）(2018·越秀模拟) 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A . 1：4B . 1：2C . 2：1D . 1：3. （2分）(2018·红桥模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD 的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A . 5B . 8.2C . 6.4D . 1.84. （2分）已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为（）。
A . 4:3B . 16:9C .D .5. （2分）如图，点D、E分别在线段AB、AC上且∠ABC=∠AED ，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为（）A .B . 10C .D .6. （2分） (2018九上·北仑期末) 如图，线段AB、CD相交于点E，且AD∥BC，若AB＝4AE，则（）A . ＝B . ＝C . ＝D . ＝7. （2分） (2015九上·崇州期末) 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A . 2：3B . ：C . 4：9D . 8：278. （2分） (2019九上·长春月考) 已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A . 1：1B . 1：3C . 1：6D . 1：99. （2分）已知△ABC∽△A′B′C′且，则为（）A . 1：2B . 2：1C . 1：4D . 4：110. （2分）(2017·徐州模拟) 已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4．若BC=1，则EF的长为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分）(2018·长宁模拟) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A . △AOD∽△BOCB . △AOB∽△DOCC . CD=BCD . BC•CD=AC•OA12. （2分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B 出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2 ．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A . AB：AD=3：4B . 当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C . 当△ABE∽△QBP时，t=7秒D . 当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是或秒13. （2分） (2019九上·江阴期中) 给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程x2-3x+5=0的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补.其中，真命题为（）A . ①②④B . ①③④C . ①④D . ①②③④14. （2分） (2019九上·莲池期中) 若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C' ，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（）A . 增加了10%B . 减少了10%C . 增加了（1+10%）D . 没有变化15. （2分）(2017·中山模拟) △ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF 的周长比为（）A . 1：2B . 1：3C . 1：4D . 1：16二、填空题 (共5题；共6分)16. （1分） (2018九上·灌阳期中) 已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2 ，则S△DEF=________17. （1分） (2019九上·房山期中) 如图，在直角坐标系中，有两个点A（4，0）、B （0，2），如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C坐标为________时，使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似．18. （1分） (2019九上·定安期末) 两个相似三角形的面积之比为4：25，则这两个三角形的周长比为________.19. （2分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是________．（填序号）①AC⊥DE；② = ；③CD=2DH；④ = ．20. （1分）(2018·柳州模拟) 在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=________．（结果保留根号）三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）一个三角形三边长分别为5cm，8cm，12cm，另一个与它相似的三角形的最长边为4.8cm，求另外两边长．22. （5分） (2016九上·九台期末) 如图，△ABC的边BC在直线l上，AD是△ABC 的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2 cm．点P从点B出发沿BC方向以1cm/s速度向点C 运动，当点P到点C时，停止运动．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s）．回答下列问题：（1） AD=________cm；（2）当点R在边AC上时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式．23. （5分）(2019·梁平模拟) 如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P 从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B 以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？24. （5分）如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=11，BC=6，AB⊥BC，动点P在线段AB上运动，如果满足△ADP和△BCP相似，计算此时线段AP的长度．25. （5分）如图，矩形ABCD的花坛宽AB=20米，长AD=30米．现计划在该花坛四周修筑小路，使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似，并且相对两条小路的宽相等，试问小路的宽x与y的比值是多少，说出你的理由．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1、答案：略2、答案：略3、答案：略4、答案：略5、答案：略6、答案：略7、答案：略8、答案：略9、答案：略10、答案：略11、答案：略12、答案：略13、答案：略14、答案：略15、答案：略二、填空题 (共5题；共6分)16、答案：略17、答案：略18、答案：略19、答案：略20、答案：略三、解答题 (共5题；共25分)21、答案：略22、答案：略23、答案：略24、答案：略25、答案：略第11 页共11 页。