离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答 4．1 A：⑤； B：③； C：①； D：⑧； E：⑩ 4．2 A：②； B：③； C：⑤； D：⑩； E：⑦ 4．3 A：②； B：⑦； C：⑤； D：⑧； E：④ 分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的
}2,2,1,2,2,1,1,1{},2,2,1,1{
ssEI
};2,2,2,1,1,1{sI
而题4.2中的 }.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{R为得到题4.3中的R须求解方程，最终得到 123yx
}.1,9,2,6,3,3{R求有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图RR
的主法。下面由题4.2的关系分别加以说明。 1°集合表达式法 将的元素列出来，如图4.3所示。然ranRrandomRdomR,,
后检查R的每个有序对，若，则从中的x到Ryx,domRranR
中的y画一个箭头。若中的x经过2步有向路径到达danRranR
中的y，则。由图4.3可知 RRyx,
}.1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{RR如果求，则将对应于G中的有序对的箭头画在左边，GF
而将对应于F中的有序对的箭头画在右边。对应的三个集合分别为，然后，同样地寻找到的2ranFdomFrandomG,,domGranF
步长的有向路径即可。 2° 矩阵方法 若M是R的关系矩阵，则的关系矩阵就是M·M，也RR
可记作M2，在计算乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得
1001000110011001000110000001100100011000
0001
10012M
中含有7个1，说明中含有7个有序对。 2MRR
图4.3 图4.4 3°关系图方法 设G是R的关系图。为求的关系图，无将G的结点nR'
G复制到中，然后依次检查G的每个结点。如果结点x到y'G
有一条n步长的路径，就在中从x到y加一条有向边。当'G
所有的结点检查完毕，就得到图。以题4.2为例。图4.4'G
（1）表示R的关系图G。依次检查结点1，2，3，4。从1出发，沿环走2步仍回到1，所以，中有过1的环。从1'G
出发，经<1,1>和<1,4>，2步可达4，所以，中有从1到4'G
的边。结点1检查完毕。类似地检查其他3个结点，2步长的路径还有2→1→1，2→1→4，3→4→1，4→1→1，4→1→4。将这些路径对应的边也加到中，最终得到的关系图。'G
2R
这个图给在图4.4(2). 4．4 A：④； B：⑧； C：⑨； D：⑤； E：⑩ 分析根据表4.1中关系图的特征来判定的性质，521,,RRR
如表4.2所示。 表4.2 自反 反自反 对称 反对称 传递
54321RRRRR√ √ √ √ √ √ √ √
√ √ 从表中可知和不是传递的，理上如下：在中有21,RR3R1R
边<3,1>和<1,2>，但缺少边<3,2>.在中有边<1,3>和<3,2>，2R但缺少边<1,2>。在中有边<1,2>和<2,1>，但缺少过1的环。 3R
4.5 A：①； B：③； C：⑧； D：⑨； E：⑤ 分析 等价关系和划分是两个不同的概念，有着不同的表示方法，等价关系是有序对的集合，而划分是子集的集合，切不可混淆起来，但是对于给定的集合A，A上的等价关系R和A的划分中一一对应的，这种对应的含义是
和y在的同一划分块里。 xRyx,
换句话说，等价说系R的等价类就是划分的划分块，
它们表示了对A中元素的同一种分类方式。 给定划分，求对应的等价关系R的方法和步骤说明如
下： 1°设中含有两个以上元素的划分块有块，记作l
。若，，则tBBB.,,21},,,{21jixxxB2j
求出。 .,,,2,1,,,tsjtsRxxits
tRRR,,,21
2° .21AtIRRRR
本题中的的划分块都是单元集，没有含有个以上元素1
的划分块，所以，含有两个划分块，故对应地等价关2,AIR
系含有两个等价类。中只有一个划分块包含了集合3ZZ.
中的全体元素，这说明因此，这个划分块,,,1ZyxRyx
对应的关系就上的全域关系，从而得到也是1RZAIRR1Z
上的全域关系。 4．6 A：③； B：⑩； C：⑤； D：⑩； E：⑤ 分析 画哈斯图的关键在于确定结点的层次和元素间的盖住关系，下面讨论一下画图的基本步骤和应该注意的问题。 画图的基本步骤是： 1° 确定偏序集中的极小元，并将这些极小元放在,A
哈斯图的最底层，记为第0层。 2° 若第n层的元素已确定完毕，从A中剩余的元素中选取至少能盖住第n层中一个元素的元素，将这些元素放在哈斯图的第n+1层。在排列第n+1层结点的位置时，注意把盖住较多元素的结点放在中间，将只盖住一个元素的结点放在两边，以减少连线的交叉。 3° 将相邻两层的结点根据盖住关系进行连线。 以本题的偏序集为例，1可以整除S中的全体整数，故1是最小元，也是唯一的极小元应该放在第0层。是1的倍数，即2，3，5，7，S中剩下的元素是4，6，8，9，10。哪些应该放在第2层呢？根据盖住关系，应该是4，6，9和10。因为4盖住，2，6盖住2和3，9盖住3，10盖住2和5. 8不盖住2，3，5，7中的任何一个元素，最后只剩下一个8放在第3层。图4.5给出了最终得到的哈斯图。在整除关系的哈斯图中，盖住关系体现为最小的倍数或最小的公倍数关系。 如果偏序集是，那么哈斯图的结构将呈现出十分),(AP
规则的形式。第0层是空集，第1层是所有的单元集，第
2层是所有的2元子集，…，直到最高层的集合A。这里的
盖住关系就体现为包含关系。 在画哈斯图时应该注意下面几个问题。 1°哈斯图中不应该出现三角形，如果出现三角形，一定是盖住关系没有找对。纠正的方法是重新考察这3个元素在偏序中的顺序中的顺序，然后将不满足盖住关系的那条边去掉。请看图 4.6(1)中的哈斯图。图中有两个三角形，即三角形abc和abd。根据结点位置可以看出满足如下的偏序关系： dbdacbcaba,,,,
从而得到和。这就说明c和d不盖住a，cbadba
应该把ac边和ad边从图中去掉，从而得到正确的哈斯图，如图4.6(2)所示。 2° 哈斯图中不应该出现水平线段。根据哈斯图的层次结构，处在同一水平位置的结点是同一层的，它们没有顺序上的“大小”关系，是不可比的。出现这种错误的原因在于没有将“较大”的元素放在“较小”元素的上方。纠正时只要根据“大小”顺序将“较大”的元素放到更高的一层，将水平线改为斜线就可以了。 3° 哈斯图中应尽量减少线的交叉，以使得图形清晰、易读，也便于检查错误，图形中线的交叉多少主要取决于同一层结点的排列顺序，如果出现交叉过多，可以适当调正结点的排列顺序，注意变动结点时要同时移动连线。 最后谈谈怎样确定哈斯图中的极大元、极小元、最大元、最小元、最小上界和最大下界，具体的方法是： 1° 如果图中有孤立结点，那么这个结点既是极小元，也是极大元，并且图中既无最小元，也无最大元（除了图中只有唯一孤立结点的特殊情况）。 2° 除了孤立结点以外，其他的极小元是图中所有向下通路的终点，其他的极大元是图中所有向上通路的终点。 3° 图中唯一的极小元是最小元，唯一的极大元是最大元；否则最小元和最大元不存在。 4° 设B为偏序集的子集，若B中存在最大元，它,A
就是B的最小上界；否则，从A-B中选择那些向下可达B中每一个元素的结点，它们都是B的上界，其中的最小元是B的最小上界。类似地可以确定B的最大下界。 观察图4.5,1是所有向下通路的终点，是极小元，也是最小元，向上通路的终点有9，6，8，10和7，这些是极大
《离散数学》课件_第4章
图4.1.1
函数区别于一般二元关系的两个特征如下： (1) 函数f的定义域 dom f=X。 (2) 对于每一个x∈X， 在Y中有且仅有唯一的一个元素y， 满足〈x, y〉∈f， 即对y1, y2∈Y，
函数f下的映像记为f(x1, x2, …, xn)。
4.1.2 递归定义的函数
当函数的前域是用归纳定义的集合时， 可以采用递归 定义(recursive definitions)的方法定义函数。 递归定义的规 则是: 用已经得到的元素函数值和给定的函数来计算新元素 的函数值。
4.2 特 殊 函 数 类
X上的n次置换常写成
P
f
x1 (x1 )
x2 ... f (x2 ) ...
f
xn (xn
)
的形式。
*4.3 鸽 巢 原 理
定理4.3.1 如果让m只鸽子飞入n(n＜m)个鸽巢内， 那 么至少有一个鸽巢飞入两只或更多的鸽子。
证明 假设没有一个鸽巢中飞入两只或更多的鸽子， 那 么每个鸽巢中至多飞入一只鸽子， 因此鸽子总数至多为n只， 这与鸽子总数m大于n矛盾。 因此， 至少有一个鸽巢中飞入 两只或更多的鸽子。
充分性。 若f是满射函数， 假设f不是单射函数， 则存 在a, b∈X， a≠b且f(a)=f(b)。 所以有|X|＞|f(X)|， 而|X|=|Y|， 因此有|Y|＞|f(X)|。 因为|Y|是有限的， 故f(X) ⊂ Y。 这与f是 满射函数矛盾。
定义4.2.2 对于函数f: X→Y， 若存在元素c∈Y， 对于任 意x∈X都有f(x)=c， 则称f为常函数(constant function)。
离散数学课后习题答案
1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。
由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
离散数学第四版课后答案(第2章)
离散数学课后答案第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x(是鸟F:)x(会飞翔.G:)xx命题符号化为xFx→∀.))G((x)((2)令x(为人.xF:)(爱吃糖G:)xx命题符号化为GxFx→⌝∀(x))()(或者xFx⌝∧∃(xG))(()(3)令xF:)(为人.xG:)(爱看小说.xx命题符号化为xF∃.Gx∧(x()))((4) x(为人.xF:)G:)(爱看电视.xx命题符号化为Fx⌝⌝∃.x∧(x))()G(分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。
（1）-（4）中的)(x F 都是特性谓词。
2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为))()((x G x F x ∧∀即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为)(x xF ∀其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。
（2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xG ∃其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在)(),(),(c b a 中均符号化为)xH∃(x其中.1(ba中均为假命题，在(c)中为真H此命题在)(),xx5:)(=命题。
分析 1°命题的真值与个体域有关。
离散数学第四版答案
浅谈高中数学新教材中课本例题的教学无锡市辅仁高级中学王文俊文章提要：搞好课本例题的多种形式教学，能使学生的数学思维能力得到进一步提高。
本文从以下几个方面进行说明。
首先，课本例题是解题规范参照的最佳样本；其次，课本例题是将设问引申的最理想起点；第三、课本例题是一题多解的最佳展示台；第四、课本例题是变式教学的最丰富源泉。
关键词：课本例题规范引申一题多解变式《普通高中数学课程标准》指出：教师不仅是新课程的实施者,而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。
《普通高中课程标准实验教科书—数学》，即通常所说的教材，具有完备的知识体系，又具有权威性，是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要依据。
而课本例题更是经过编者反复论证精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。
新教材中例题的选择更是力求与生活实际接近，许多情景甚至完全可以通过实际活动来表现。
在高中数学教学中，搞好例题教学，特别是搞好课本例题的多种形式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生能力等方面，能发挥其独特的功效。
但是对课本例题的教学，很多老师有时会照本宣科，或认为课本例题太过一般，不值得花费时间讲解，一带而过，而改用自己在其他参考书上找来的例题。
事实上，这正是教师对课程、教材研究不深入的表现。
只要教师认真钻研教材，深刻理解例题的用意，充分挖掘例题的价值，结合学生的实际情况和教学的实际需要，进行适当的引申和拓展，就可以满足不同层次教学的要求。
下面就新教材中课本例题的教学，谈一下笔者几点简单的想法。
一、课本例题是解题规范参照的最佳样本解题是深化知识、发展智力、提高数学能力的重要手段。
规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平。
语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节。
因此，语言叙述必须规范。
规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。
离散数学课后习题答案二
习题1. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表所有的主键码。
解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir航空公司＝σ到二维表以后得到的表。
解5,3,2πNadir 航空公司＝6. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表和二维表所得到的二维表。
解 零件供应商二维表与零件数量和颜色代码二维表连接运算2结果第4章：群、环、域习题1. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通加法和普通乘法运算，其中n 是正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通加法和普通乘法运算。
（3）集合}10{，=S 关于普通加法和普通乘法运算。
离散数学(第四章)解读.
§2.1 一阶逻辑命题符号化
例如，下列推理： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。 众所周知,这是真命题。但在命题逻辑中,如 果用P,Q,R表示以上三个命题，则上述推理过 程为：（P∧Q）R。借助命题演算的推理理 论不能证明其为重言式。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
原因：命题逻辑不能将命题之间的内在联系 和数量关系反映出来。 解决办法：将命题进行分解。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
设谓词H表示“是劳动模范”, a表示个体名称 张明, b表示个体名称李华,c表示个体名称这只老 虎，那么H(a) 、 H(b)、 H(c)表示三个不同的命 题,但它们有一个共同的形式,即H(x).一般地， H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或 泛指的客体，称为个体变元，常用小写英文字 母x, y, z, …表示。相应地，表示具体或特定的客 体的词称为个体常项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
§2.1 一阶逻辑命题符号化
刻划一个个体性质的词称之为一元谓词 ,刻划 n 个个 体之间关系的词称之为n元谓词. 一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英文字 母表示客体名称，例如，将上述谓词分别记作大写 字母F、G、H、R，S则上述命题可表示为： (1) F(a) a：张明 (2) F(b) b：李华 (3) G(c) c：王红 (4) H(s,t) s：小李 t：小赵 (5) R(a,b,c) (6) S(a,b) a:阿杜 b:阿寺 其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词 ， (5)为三元谓词。
2.5谓词演算的推理理论(Inference theory of
predicate calculus)
§2.1 一阶逻辑命题符号化
离散数学形考任务4各章综合练习答案
离散数学形成性考核作业4离散数学综合练习书面作业要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．2. 在线提交word文档．3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．一、公式翻译题1．请将语句“小王去上课，小李也去上课．”翻译成命题公式．答：设P :小王去上课。
Q :小李去上课。
则命题公式P ∧Q2．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．答：设P:他去旅游。
Q:他有时间。
则命题公式P→Q3．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．答：设A(x):x是人B(x):去工作则谓词公式∃x(A(x) ∧ B(x))4．请将语句“所有人都努力学习．”翻译成谓词公式．ο οο ο a b c d ο ο ο g e f h ο 答：设A(x):x 是人B(x):努力学习则谓词公式∀x(A(x) ∧B(x))二、计算题1．设A ={{1},{2},1,2}，B ={1,2,{1,2}}，试计算（1）(A -B )； （2）(A ∩B )； （3）A ×B ．解:(1)A -B ={{1},{2}}(2)A ∩B ={1,2}(3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1, {1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2, {1,2}>}2．设A ={1，2，3，4，5}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，试求R ，S ，R •S ，S •R ，R -1，S -1，r (S )，s (R )．解:R ={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}S =空集R •S =空集S •R =空集R -1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}S -1=空集r (S )={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}s (R )={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}3．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．(1) 写出关系R 的表示式； (2) 画出关系R 的哈斯图；答： (1)R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}(2)R 的哈斯图为(3)集合B 没有最大元,最小元是24．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．解：(1)(2) 邻接矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110010110110110110000100 (3) v 1结点度数为1，v 2结点度数为2，v 3结点度数为3，v 4结点度数为2，v 5结点度数为2(4) 补图图形为ο ο ο ο v 1 ο v 5v 2 v 3 v 4 ο ο ο ο v 1 οv 5 v 2 v 3 v 45．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．解：（1）G的图形如下：（2）写出G的邻接矩阵（3）G权最小的生成树及其权值6．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=1317． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式． 答：P →Q ∨R ⌝ P ∨Q ∨R析取范式、合取范式、主合取范式都为⌝ P ∨Q ∨R主析取范式为（⌝ P ∧⌝ Q ∧⌝ R ）∨（⌝ P ∧⌝ Q ∧ R ）∨（⌝ P ∧Q ∧⌝ R ）∨ （⌝ P ∧ Q ∧ R ）∨（P ∧⌝ Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧⌝ R ）∨（ P ∧Q ∧ R ）8．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元． 答： （1） 量词 x 的辖域为量词 z 的辖域为Q(y,x,z) 3 5 2 5171731136量词 y 的辖域为R(y,z)（2）P(x,y)中的x 是约束变元，y 是自由变元Q(y,x,z)中的x 和z 是约束变元，y 是自由变元 R(y,z)中的z 是自由变元，y 是约束变元9．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式(∀y )(∃x )P (x ,y )消去量词后的等值式； 答：(∀y )(∃x )P (x ,y ) = ∃xP(x, a1) ∧∃ xP(x, a2)=( P(a1, a1) ∨P(a2, a1)) ∧( P(a1, a2) ∨ P(a1, a2))三、证明题1．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠∅，则B = C ．答：(1)对于任意<a,b>∈A×B,其中a ∈A,b ∈B,因为A×B= A×C,必有<a,b>∈A×C,其中b ∈C 因此B ⊆C(2)同理,对于任意<a,c>∈A×C,其中,a ∈A,c ∈C,因为A×B= A×C必有<a,c>∈A×B,其中c ∈B,因此C ⊆B有(1)(2)得B=C2．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．答：若R 与S 是集合A 上的自反关系,则任意x ∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S, 从而<x,x>∈R∩S,注意x 是A 的任意元素,所以R∩S 也是集合A 上的自反关系.3．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．4．试证明 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝ (P ∨⌝Q )等价．证明：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q(⌝P ∨ (Q ∨⌝R )) ∧⌝P ∧Q(⌝P ∨ Q ∨⌝R ) ∧⌝P ∧Q(⌝P ∧⌝P ∧ Q) ∨( Q ∧⌝P ∧Q) ∨(⌝R ∧⌝P ∧Q)(⌝P ∧Q) ∨(⌝P ∧Q) ∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )⌝P ∧Q (吸收律) ⌝ (P ∨⌝Q ) （摩根律）5．试证明：⌝(A ∧⌝B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C ⇒⌝A ．证明：⌝(A ∧⌝B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C ⇒⌝A(⌝A ∨B )∧(⌝B ∨C )∧⌝C(⌝A ∨B )∧（(⌝B ∧⌝C)∨（C ∧⌝C )）(⌝A ∨B )∧（(⌝B ∧⌝C)∨0）(⌝A ∨B )∧(⌝B ∧⌝C)（⌝A ∧（⌝B ∧⌝C) ）∨（B ∧（⌝B ∧⌝C ））(⌝A ∧⌝B ∧⌝C) ∨0⌝A ∧⌝B ∧⌝C ⌝ （A ∨B ∨C ）故由左边不可推出右边 ┐A。
大学离散数学课后习题答案
大学离散数学课后习题答案大学离散数学课后习题答案离散数学是大学数学中的一门重要课程，它主要研究离散结构及其运算规则，是计算机科学、信息技术等领域的基础。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
然而，由于离散数学的题目种类繁多、难度不一，学生在解题过程中常常会遇到困难。
为了帮助同学们更好地学习离散数学，我整理了一些常见习题的答案，并将其按照不同章节进行分类。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学中的基础内容，它研究命题的真假和推理的规则。
在命题逻辑中，常见的习题类型包括真值表、命题公式的等值变换等。
下面是一道典型的命题逻辑习题及其答案：习题：给定命题P: "如果我明天考试及格，那么我会去图书馆。
" 命题Q: "我没有去图书馆。
" 请判断以下命题的真假：(1) 如果我明天考试及格，那么我没有去图书馆。
(2) 如果我没有去图书馆，那么我明天考试不及格。
答案：根据题意可知，P是一个条件命题，Q是其否定。
根据条件命题的真值定义可知，当P为真，Q为假时，命题(1)为假；当P为假，Q为真时，命题(2)为真。
因此，命题(1)为假，命题(2)为真。
2. 集合论集合论是离散数学中的另一个重要内容，它研究集合的性质和运算规则。
在集合论中，常见的习题类型包括集合的运算、集合关系的判断等。
下面是一道典型的集合论习题及其答案：习题：设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={4,5,6,7,8}，求(A∪B)∩C的元素。
答案：首先，求A和B的并集，得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7}；然后，求A∪B和C 的交集，得到(A∪B)∩C={4,5}。
因此，(A∪B)∩C的元素为4和5。
3. 关系与函数关系与函数是离散数学中的另一个重要内容，它研究元素之间的关系和映射规则。
在关系与函数中，常见的习题类型包括关系的性质判断、函数的图像和原像等。
下面是一道典型的关系与函数习题及其答案：习题：设关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，请判断以下命题的真假：(1) R是自反关系。
知道网课《离散数学(武汉科技大学)》课后章节测试答案
{《史记》,《资治通鉴》}
C.
{《春秋》,《资治通鉴》}
D.
{《资治通鉴》}
4
【单选题】(10分)
设R,S是A上的等价关系，则下列为等价关系的是()
A.
B.
C.
D.
5
【单选题】(10分)
A上的等价关系 ，则 是（）
A.
{{a,b},{c,d}}
B.
{{a},{b,c},{d}}
C.
{{a,b},{c},{d}}
A.
P∧¬Q
B.
¬P∧Q
C.
P∨¬Q
D.
¬P∨¬Q
E.
P∧Q
F.
无
G.
¬P∨Q
H.
¬P∧¬Q
I.
P∨Q
8
【多选题】(10分)
(P→Q)∧Q的主析取范式中所含的极大极小项有（）。
A.
¬P∨Q
B.
P∧Q
C.
P∧¬Q
D.
¬P∧Q
E.
P∨Q
F.
无
G.
¬P∨¬Q
H.
¬P∧¬Q
I.
P∨¬Q
9
【多选题】(10分)
以下为全关系的是（）
A.
集合{杨铁心，郭啸天，欧阳锋}上的朋友关系
B.
集合{梅超风，陈玄风}上的同门关系
C.
集合{郭靖，黄蓉，郭芙}上的血缘关系
D.
集合{郭靖，洪七公}上的师徒关系
6
【多选题】(10分)
设A={1,2,3},R为A上的关系，其关系图为 ，则R具有（）的性质。
A.
反对称
B.
此项必选
C.
传递
国开电大《离散数学》形考任务四参考答案 -
离散数学下载作业教师沟通后选择：1.将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅.2.在线提交word文档.3.自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传.一、公式翻译题(每小题4分，共16分)1.将语句“我会英语，并且会徳语.”翻译成命题公式.答：设P：我会英语Q：我会徳语则命题公式为PAQ2.将语句“如果今天是周二，则昨天是周二.”翻译成命题公式. 答：设P:今天是周三Q：昨天是周二则命题公式为：PQ3.将语句“C3次列车每天上午9点发车或者10点发车”翻译成命题公式.答：设P： C3次列车每天上午9点发车Q： C3次列车每天上午10点发车则命题公式为：「(P—Q)4.将语句“小王是个学生，小李是个职员，而小张是个军人.”翻译成命题公式. 答：设：P：小王是个学生Q：小李是个职员R：小张是个军人则命题公式为：PAQAR二、计算题(每小题12分，共84分)1.设集合A={{a],a,h ). B={a, {Z?}),试计算(1)ACB：(2)AUB；(3) A-(AC8)答：(l)Ac8 ={a}(2)AuB=({a).a.b{b)|<3) A-(Anfi)=({a),a,b)-(a)=(a,b|2.设集合 A={2, 3, 6, 12,24,36}, B 为A的子集，其中 B={6, 12), R 是 A 上的整除关系，试(1)写出R的关系表达式：(2)画出关系R的哈斯图；(3)求出8的最大元、极大元、最小上界.答：（1） R= （<2,2>, <2,6>, <2, 12>, <2, 24>, <3,3>, <3,6>, <3, 12>, <3,24>, <6,6>, <6, 12>, <6, 24>, <12, 12>, <12,24>, <24, 24>}（2）关系R的哈斯图<3) B的最大元素：12极大元素：12最小上届：123.设 G=v/, E>, r=(v b %, %, E=((vi,%), , (Vi,%), (%,%), (%,%)}»试(】)给出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数：(4)画出其补图的图形.答：(1) G的图形表示匸v2 v3<2)邻接矩阵0 11110 10110 110 10(3)每个结点的度数Deg(v1)=3Deg(v2)=2Deg(v3)=3Deg(v4)=2(4)其补图的图形v1 ,4v2 v34.求的合取范式与主析取范式.答：P-(QAR)=1 PV(QAR)=(1 PVQ) A (-1 PVR)合取范式=(-1 PVQ) V (RAn R) A (-1 PVR)=(-1 PVQ) V (RA-i R) A <-i PVR) V (QAq Q)=(-1 PVQVR) A (-1 PVQVn R) A(i PVn QVR)主合取范式=<-i PA-i QAn R) V (-1 PA-i QAR) V(i PAn QAq R)(i PAQAR) V (PAnQAR) V (PAQA-i R) V (PAQAR)主析取范式5.试画一棵带权为1,2, 3, 3,4的最优二叉树，并计算该最优二叉树的权.最优二义树的权为 1 X 3+2 X 3+3 X 2+3 X 2+4 X 2=296.试利用Kruskal算法求出如下所示賦权图中的最小生成树(要求写出求解步骤)，并求此最小生成树的权.答：W(v2, v6)=l,选(v2,v6)W(v4, v5)=l,选(v4, v5)W(vl, v6)=2,选(vl,v6)W(v3, v5)=2,选(v3, v5)W(v2, v3)=4,选(v2, v3) 最小生成树，如图生成树的权 W(T) =1+1+2+2+4=107.设谓词公式(女)胎,y)一(Vz)2U, y, z),试(1)写出量词的辖域； (2)指出该公式的自由变元和约束变元. 答：(1) 3x 的辖域为P(x,y)f VzQ(x, y, z)▼z的辖域为Q(x, y, z)<2)自由变元P(x, y)-VzQ(x, y, z)中的 y 约束变元P(x,y)-VzQ(x, y, z)中的 x。