【数学】2012新题分类汇编：概率(高考真题+模拟新题)

概率(高考真题+模拟新题)

课标理数13.K1[2011·福建卷] 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．

课标理数13.K1[2011·福建卷] 【答案】 3

5

【解析】 从盒中随机取出2个球，有C 25种取法；所取出的2个球颜色不同，有C 13C 1

2种

取法，则所取出的2个球颜色不同的概率是p ＝C 13C 12

C 25＝610＝35

.

课标文数19.I2，K1[2011·福建卷] 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X,1,2,3,4,5f,a,0.2,0.45,b,c (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

课标文数19.I2、K1[2011·福建卷] 【解答】 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝3

20

＝0.15.

等级系数为5的恰有2件，所以c ＝2

20

＝0.1.

从而a ＝0.35－b －c ＝0.1.

所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.

(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：

{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．

设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：

{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个． 又基本事件的总数为10，

故所求的概率P (A )＝4

10

＝0.4.

课标数学5.K1[2011·江苏卷] 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．

课标数学5.K1[2011·江苏卷] 1

3

【解析】 一次随机抽取两个数共有1,2；1,3；1,4；2,3；

2,4；3,4，一个数是另一个数的2倍的有2种，故所求概率为1

3

.

课标文数9.K2[2011·安徽卷] 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )

A.110

B.18

C.16

D.15

课标文数9.K2[2011·安徽卷] D 【解析】 假设正六边形的六个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取4个共有15种基本结果，所取四个点构成矩形四个顶点的结果数

为3，所以概率为1

5

.

课标文数16.I2，K2[2011·北京卷] 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．

甲组 乙组

9 9 1 1?????

?01 X 8 9

(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．

(注：方差s 2＝1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均

数)

课标文数16.I2，K2[2011·北京卷] 【解答】 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，

所以平均数为

x ＝8＋8＋9＋104＝354

；

方差为

s 2＝14????????8－3542＋????8－3542＋????9－3542＋??

??10－3542 ＝1116

. (2)记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)．

用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它

们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)，故所求概率为P (C )＝416＝1

4

.

课标文数17.I2，K2[2011·广东卷]

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n,1,2,3,4,5成绩x n ,70,76,72,70,72(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 课标文数17.I2，K2[2011·广东卷] 【解答】

(1)∵x ＝1

6∑6 n ＝1x n

＝75，

∴x 6＝6x －∑5

n ＝1

x n ＝6×75－70－76－72－70－72＝90，

s 2＝16∑6

n ＝1 (x n －x )2＝16(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，

∴s ＝7.

(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：

{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}．

选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种： {1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，

故所求概率为2

5

.

课标理数4.K2[2011·课标全国卷] 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

A.13

B.12

C.23

D.34 课标理数4.K2[2011·课标全国卷] A 【解析】 甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，

参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为39＝1

3

.

课标文数19.K2，I2[2011·辽宁卷] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

(1)假设n ＝2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：

品种甲,403,397,390,404,388,400,412,406品种乙,419,403,412,418,408,423,400,413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1

n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其

中x 为样本平均数．

课标文数19.K2，I2[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4，令事件A ＝“第一大块地都种品种甲”．

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 而事件A 包含1个基本事件：(1,2)．

所以P (A )＝1

6

.

(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x 甲＝1

8(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，

s 2甲＝18

[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x 乙＝1

8(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，

S 2乙＝18

[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12

]＝56. 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．

课标文数6.K2[2011·课标全国卷] 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )

A.13

B.12

C.23

D.34

课标文数6.K2[2011·课标全国卷] A 【解析】 甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，

参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为39＝1

3

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课标文数18.K2[2011·山东卷] 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

课标文数18.K2[2011·山东卷] 【解答】 (1)甲校两名男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E 、F 表示．

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种． 从中选出两名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )共4种．

选出的两名教师性别相同的概率为P ＝4

9

.

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15种．

从中选出两名教师来自同一学校的结果有：

(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共6种，

选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝2

5

.

课标理数10.K2[2011·陕西卷] 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )

A.136

B.19

C.536

D.16 课标理数10.K2[2011·陕西卷] D 【解析】 对本题我们只看甲乙二人游览的最后一个景

点，最后一个景点的选法有C 16×C 1

6＝36(种)，若两个人最后选同一个景点共有C 16＝6(种)选法，

所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P ＝C 16C 16×C 16＝1

6

.

大纲文数12.K2[2011·四川卷] 在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝(a ，b )．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则m

n

＝( ) A.215 B.15 C.415 D.13

大纲文数12.K2[2011·四川卷] B 【解析】 因为当OP →＝(a 1，a 2)，OQ →＝(b 1，b 2)，则以OP →

，OQ →为邻边的平行四边形的面积S ＝|OP →||OQ →|sin ∠POQ ＝|OP →||OQ →

|·1－cos 2∠POQ ＝|OP →|2|OQ →|2－(OP →·OQ →)2＝(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)－(a 1b 1＋a 2b 2)2＝|a 1b 2－a 2b 1|.根据条件知平行四边形面积等于2可转化为|a 1b 2－a 2b 1|＝2(※)．由条件知，满足条件的向量有6个，即α1＝(2,1)，α2＝(2,3)，α3＝(2,5)，α4＝(4,1)，α5＝(4,3)，α6＝(4,5)，易知n ＝C 26＝15.而满足(※)式的有向量

α1和α4、α1和α5、α2和α6共3个，即m n ＝1

5

.

大纲理数12.K2[2011·四川卷] 在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝(a ，b )，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m

n

＝( ) A.415 B.13 C.25 D.23

大纲理数12.K2[2011·四川卷] B 【解析】 因为当OP →＝(a 1，a 2)，OQ →＝(b 1，b 2)，则以OP →

，OQ →为邻边的四边形的面积S ＝|OP →||OQ →|sin ∠POQ ＝|OP →||OQ →

|·1－cos 2∠POQ ＝|OP →|2|OQ →|2－(OP →·OQ →)2＝(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)－(a 1b 1＋a 2b 2)2＝|a 1b 2－a 2b 1|.根据条件知平行四边形面积不超过4可转化为|a 1b 2－a 2b 1|≤4(※)．由条件知，满足条件的向量有6个，即α1＝(2,1)，

α2＝(2,3)，α3＝(2,5)，α4＝(4,1)，α5＝(4,3)，α6＝(4,5)，易知n ＝C 2

6＝15.而满足(※)式的有向量

α1和α2、α1和α4、α1和α5、α2和α3、α2和α6共5个，即m n ＝1

3

.

课标理数16.K2，K6[2011·天津卷] 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球．这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)

(1)求在1次游戏中，

(i)摸出3个白球的概率； (ii)获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 课标理数16.K2，K6[2011·天津卷] 【解答】 (1)(i)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事

件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 1

2C 23＝1

5

.

(ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3，又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12

C 23＝12

，且

A 2，A 3互斥，所以P (

B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝7

10

.

(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝????1－7102＝9100

， P (X ＝1)＝C 1

2

710????1－710＝2150， P (X ＝2)＝????7102＝49

100. 所以X 的分布列是

X,0,1,2P ,9100,2150,49100X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝7

5

.

课标文数15.K2[2011·天津卷] 编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号,A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8得分,15,35,21,28,25,36,18,34 运动员编号,A 9,A 10,A 11,A 12,A 13,A 14,A 15,A 16

得分,17,26,25,33,22,12,31,38(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间,[10,20),[20,30),[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人， ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．

课标文数15.K2[2011·天津卷] 【解答】 (1)4,6,6.

(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}，共15种．

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2个得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}，共5种．

所以P (B )＝515＝1

3

.

课标理数9.K2[2011·浙江卷] 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )

A.15

B.25

C.35

D.45 课标理数9.K2[2011·浙江卷] B 【解析】 由古典概型的概率公式得P ＝1－2A 22A 22A 23＋A 33A 22A 2

2A 55＝2

5.

课标文数8.K2[2011·浙江卷] 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )

A.110

B.310

C.35

D.910

课标文数8.K2[2011·浙江卷] D 【解析】 由古典概型的概率公式得P ＝1－C 33

C 35＝910

.

大纲文数14.K2[2011·重庆卷] 从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为________．

大纲文数14.K2[2011·重庆卷] 730

【解析】 从10位同学中选3位的选法有C 3

10种，其中

有甲无乙的选法有C 2

8种，故所求的概率为C 28C 310＝730

.

课标理数4.K3[2011·福建卷] 如图1－1，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

图1－1

A.14

B.13

C.12

D.23

课标理数4.K3[2011·福建卷] C 【解析】 因为S △ABE ＝12

|AB |·|BC |，S 矩形＝|AB |·|BC |，

则点Q 取自△ABE 内部的概率p ＝S △ABE S 矩形＝1

2

，故选C.

课标文数7.K3[2011·福建卷] 如图1－2，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

图1－2

A.14

B.13

C.12

D.23

课标理数15.K3[2011·湖南卷] (1) 2π (2)14

【解析】 (1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何

概型的求法有：P (A )＝S 正方形S 圆

＝2

π；

(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝1

2，故P ( |B A )＝S △EOH S 正方形＝1

22＝14

.

课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；

(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．

课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] (1)5 (2)1

6

【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d ＝||

－2532＋4

2＝5;

图1－4

(2)当圆C 上的点到直线l 的距离是2时有两个点为点B 与点D ，设过这两点的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，同时可得到的圆心到直线4x ＋3y ＋c ＝0的距离为OC ＝3，

又圆的半径为r ＝23，可得∠BOD ＝60°，由图1－2可知点A 在弧BD 上移动，弧长l BD ＝16×c ＝c

6，圆周长c ，故P (A )＝l BD c ＝16.

课标理数12.K3[2011·江西卷] 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位

圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于1

2，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于

1

4，

则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

大纲理数18.K4，K6[2011·全国卷] 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为

0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望．

大纲理数18.K4，K6[2011·全国卷] 【解答】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．

(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，

P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.

(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，

X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，

所以期望EX＝100×0.2＝20.

大纲文数19.K4，K5[2011·全国卷] 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为

0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

大纲文数19.K4，K5[2011·全国卷] 【解答】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．

(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，

P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.

(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，

P(E)＝C13×0.2×0.82＝0.384.

课标理数18.K4，K6[2011·湖南卷] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件),0,1,2,3频数,1,5,9,5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进

货补充．．至3件，否则不进货．．．．．

将频率视为概率． (1)求当天商店不进货．．．

的概率； (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望． 课标理数18.K4，K6[2011·湖南卷] 【解答】 (1)P (“当天商店不进货”)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为1件”)

＝120＋520＝310

. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.

P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝1

4

；

P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品

销售量为3件”)＝120＋920＋520＝3

4

.

故X 的分布列为

X,2,3P ,14,34X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.

课标文数18.I2，K4[2011·湖南卷] 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加 5.已知近20年X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

(1)完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量,70,110,140,160,200,220频率,120,,420,,,2

20

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月

份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．

课标文数18.I2，K4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量,70,110,140,160,200,220频率,120,320,420,720,320,2

20

(2)P (“发电量低于490万千瓦时或超

过530万千瓦时”)

＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝120＋320＋220＝310

. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310

.

课标文数16.K4[2011·江西卷] 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．

(1)求此人被评为优秀的概率；

(2)求此人被评为良好及以上的概率． 课标文数16.K4[2011·江西卷] 【解答】 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见，共有10种．

令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好

及以上的事件，则

(1)P (D )＝1

10.

(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝7

10

.

课标理数20.K4，K6[2011·陕西卷]

图1－12

如图1－12，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间(分钟),10～20,20～30,30～40,40～50,50～60L 1的频率,0.1,0.2,0.3,0.2,0.2L 2的频率,0,0.1,0.4,0.4,0.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．

课标理数20.K4，K6[2011·陕西卷] 【解答】 (1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，

B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2. 用频率估计相应的概率可得

P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；

P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P (B 2)>P (B 1)，∴乙应选择L 2.

(2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立，

∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04， P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )

＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，

P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54. ∴X 的分布列为

X,0,1,2P ,0.04,0.42,0.54∴EX ＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.

课标文数20.K1[2011·陕西卷] 如图1－13，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分钟),10～20,20～30,30～40,40～50,50～60选择L 1的人数,6,12,18,12,12选择L 2

的人数,0,4,16,16,4

图1－13

(1)试估计40分钟内不能．．

赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

课标文数20.K1[2011·陕西卷] 【解答】 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，

用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为：

所用时间(分钟),10～20,20～30,30～40,40～50,50～60L 1的频率,0.1,0.2,0.3,0.2,0.2L 2的频率,0,0.1,0.4,0.4,0.1(3)A 1、A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；

B 1、B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， P (A 1)＞P (A 2)， ∴甲应选择L 1.

P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8. P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P (B 2)＞P (B 1)． ∴乙应选择L 2.

大纲文数19.K4，K5[2011·全国卷] 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 大纲文数19.K4，K5[2011·全国卷] 【解答】 记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ， P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.

(2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，

P (E )＝C 13×0.2×0.82

＝0.384.

课标理数12.K5[2011·湖北卷] 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)

课标理数12.K5[2011·湖北卷] 28145 【解析】 所取2瓶全没有过保质期的概率为C 227

C 230＝117145

，

所以至少取到1瓶已过保质期的概率为1－117145＝28

145

.

课标文数13.K5[2011·湖北卷] 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)

课标文数13.K5[2011·湖北卷] 28145 【解析】 所取2瓶全没有过保质期的概率为C 227

C 230＝117145

，

所以至少取到1瓶已过保质期的概率为1－117145＝28

145

.

大纲理数18.K5、K6[2011·四川卷] 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车

骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1

2

；两小时以上且不超过三

小时还车的概率分别为12，1

4

；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 大纲理数18.K5、K6[2011·四川卷] 【解答】 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超

过四小时还车的概率分别为14，1

4

.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则

P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516

.

答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5

16

.

(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8，

P (ξ＝0)＝14×12＝1

8

；

P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝5

16

；

P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝5

16；

P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝3

16；

P (ξ＝8)＝14×14＝1

16

.

甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为

ξ,0,2,4,6,8P ,18,516,516,316,116所以Eξ＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝7

2

.

大纲理数13.K5[2011·重庆卷] 将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．

大纲理数13.K5[2011·重庆卷] 11

32

【解析】 将一枚均匀的硬币投掷6次，可视作6次独

立重复试验．

正面出现的次数比反面出现的次数多的情况就是出现了4次、5次、6次正面，所以所求

概率为C 46????124????122＋C 56????125????12＋C 66????126＝1132.

课标理数20.K6，K7[2011·安徽卷]

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p 1，p 2，p 3，假设p 1，p 2，p 3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

(1)如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q 1，q 2，q 3，其中q 1，q 2，q 3是p 1，p 2，p 3的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值(数学期望)EX ；

(3)假定1>p 1>p 2>p 3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小．

课标理数20.K6，K7[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识．

【解答】 (1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于

1－(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3)＝p 1＋p 2＋p 3－p 1p 2－p 2p 3－p 3p 1＋p 1p 2p 3.

(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q 1，q 2，q 3时，随机变量X 的分布列为

X,1,2,3P ,q 1,(1－q 1)q 2,(1－q 1)(1－q 2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX 是 EX ＝q 1＋2(1－q 1)q 2＋3(1－q 1)(1－q 2) ＝3－2q 1－q 2＋q 1q 2.

(3)(方法一)由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， EX ＝3－2p 1－p 2＋p 1p 2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 下面证明：对于p 1，p 2，p 3的任意排列q 1，q 2，q 3，都有 3－2q 1－q 2＋q 1q 2≥3－2p 1－p 2＋p 1p 2，(*) 事实上，

Δ＝(3－2q 1－q 2＋q 1q 2)－(3－2p 1－p 2＋p 1p 2) ＝2(p 1－q 1)＋(p 2－q 2)－p 1p 2＋q 1q 2

＝2(p 1－q 1)＋(p 2－q 2)－(p 1－q 1)p 2－q 1(p 2－q 2) ＝(2－p 2)(p 1－q 1)＋(1－q 1)(p 2－q 2) ≥(1－q 1) [(p 1＋p 2)－(q 1＋q 2)] ≥0.

即(*)成立．

(方法二)(i)可将(2)中所求的EX 改写为3－(q 1＋q 2)＋q 1q 2－q 1，若交换前两人的派出顺序，则变为3－(q 1＋q 2)＋q 1q 2－q 2，由此可见，当q 2＞q 1时，交换前两人的派出顺序可减小均值．

(ii)也可将(2)中所求的EX 改写为3－2q 1－(1－q 1)q 2，若交换后两人的派出顺序，则变为3－2q 1－(1－q 1)q 3，由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q 3>q 2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值．

综合(i)(ii)可知，当(q 1，q 2，q 3)＝(p 1，p 2，p 3)时，EX 达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的．

课标理数17.I2，K6，K8[2011·北京卷] 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．

甲组,,乙组9,9,0,X,8,9

1,1,1,0图1－8

(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果X ＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．

(注：方差s 2＝1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均

数)

课标理数17.I2，K6，K8[2011·北京卷] 【解答】 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同

学的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为x ＝8＋8＋9＋104＝35

4

；

方差为s 2＝14??

?

???8－3542＋????8－3542＋????9－3542

＋

???

???10－3542＝1116.

(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10.

分别从甲、乙两组中随机选取1名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.

事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该

事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝1

8

，

同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝1

4

；

P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝1

8

.

所以随机变量Y 的分布列为：

Y,17,18,19,20,21P ,18,14,14,14,1

8

EY ＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝

20)＋21×P (Y ＝21)

＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18

＝19.

大纲理数18.K4，K6[2011·全国卷] 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望． 大纲理数18.K4，K6[2011·全国卷] 【解答】 记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ， P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.

(2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，

X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布， 所以期望EX ＝100×0.2＝20.

课标理数19.K6，K8[2011·福建卷] 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B.已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．

(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：X 1,5,6,7,8P ,0.4,a,b,0.1且X 1的数学期望EX 1＝6，求a ，b 的值；

(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3

4 6 3 4 7

5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5

6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望

产品的零售价

；

(2)“性价比”大的产品更具可购买性． 课标理数19.K6，K8[2011·福建卷] 【解答】 (1)因为EX 1＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2.

又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5. 由????? 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5解得?

????

a ＝0.3，

b ＝0.2. (2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2,3,4,5,6,7,8f,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：X 2,3,4,5,6,7,8P ,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1所以EX 2＝3P (X 2＝3)＋4P (X 2＝4)＋5P (X 2＝5)＋6P (X 2＝6)

＋7P (X 2＝7)＋8P (X 2＝8)

＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1 ＝4.8.

即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 6

6＝1.

因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8

4

＝1.2.

据此，乙厂的产品更具可购买性．

课标理数18.K4，K6[2011·湖南卷] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件),0,1,2,3频数,1,5,9,5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．．．

将频率视为概率． (1)求当天商店不进货．．．

的概率； (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．

课标理数18.K4，K6[2011·湖南卷] 【解答】 (1)P (“当天商店不进货”)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为1件”)

＝120＋520＝310

. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.

P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝1

4

；

P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品

销售量为3件”)＝120＋920＋520＝3

4

.

故X 的分布列为

X,2,3P ,14,34X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.

课标理数16.K6[2011·江西卷] 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料．公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．

(1)求X 的分布列；

(2)求此员工月工资的期望． 课标理数16.K6[2011·江西卷] 【解答】 (1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，

P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4

C 48

(i ＝0,1,2,3,4)，

即X 的分布列为

X,0,1,2,3,4P ,170,1670,3670,1670,1

70

(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为

2100,2800,3500，

则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝1

70，

P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝8

35，

P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝53

70

，

EY ＝3500×170＋2800×1670＋2100×53

70

＝2280.

所以新录用员工月工资的期望为2280元．

课标理数19.I2，K6[2011·课标全国卷] 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A 配方的频数分布表

指标值

分组,[90,94),[94,98),[98,102),[102,106),[106,110]频数,8,20,42,22,8B 配方的频数分布表 指标值

分组,[90,94),[94,98),[98,102),[102,106),[106,110]频数,4,12,42,32,10(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为

y ＝????

?

－2，t ＜94，2，94≤t ＜102，4，t ≥102.

从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期

望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

课标理数19.I2，K6[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品

中优质品的频率为22＋8

100

＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10

100

＝0.42，所以用B 配方生

产的产品的优质品率的估计值为0.42.

(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此

P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为

X,－2,2,4P ,0.04,0.54,0.42X 的数学期望EX ＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.

课标理数20.H2，H9[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B

点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →

，M 点的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．

课标理数19.K8，K6[2011·辽宁卷]

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；

(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：

品种甲,403,397,390,404,388,400,412,406品种乙,419,403,412,418,408,423,400,413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x －

)2]，其

中x 为样本平均数．

课标理数19.K8，K6[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)X 可能的取值为0,1,2,3,4，且

P (X ＝0)＝1C 48＝1

70

，

P (X ＝1)＝C 14C 34

C 48＝835，

P (X ＝2)＝C 24C 24

C 48＝1835，

P (X ＝3)＝C 34C 14

C 48＝835，

P (X ＝4)＝1C 48＝1

70

.

即X 的分布列为

X,0,1,2,3,4P ,170,835,1835,835,1

70X 的数学期望为

E (X )＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×1

70

＝2.

(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x 甲＝1

8(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400.

s 2甲＝18

[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x 乙＝1

8(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，

s 2乙＝18

[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56. 由以上结果可以看出， 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．

课标理数19.K8，K6[2011·辽宁卷]

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；

(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm 2)如下表：

品种甲,403,397,390,404,388,400,412,406品种乙,419,403,412,418,408,423,400,413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x －

)2]，其

中x 为样本平均数．

课标理数19.K8，K6[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)X 可能的取值为0,1,2,3,4，且

P (X ＝0)＝1C 48＝1

70

，

P (X ＝1)＝C 14C 34

C 48＝835

，

P (X ＝2)＝C 24C 24

C 48＝1835，

P (X ＝3)＝C 34C 14

C 48＝835，

P (X ＝4)＝1C 48＝1

70

.

即X 的分布列为

X,0,1,2,3,4P ,170,835,1835,835,1

70X 的数学期望为

E (X )＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×1

70

＝2.

(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x 甲＝1

8(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400.

s 2甲＝18

[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x 乙＝1

8(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，

s 2乙＝18

[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56. 由以上结果可以看出， 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．

课标理数20.K4，K6[2011·陕西卷]

图1－12

如图1－12，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间(分钟),10～20,20～30,30～40,40～50,50～60L 1的频率,0.1,0.2,0.3,0.2,0.2L 2的频率,0,0.1,0.4,0.4,0.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．

课标理数20.K4，K6[2011·陕西卷] 【解答】 (1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，

B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2. 用频率估计相应的概率可得

P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；

P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P (B 2)>P (B 1)，∴乙应选择L 2.

(2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立，

∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04， P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )

＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，

P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54. ∴X 的分布列为

X,0,1,2P ,0.04,0.42,0.54∴EX ＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.

大纲理数18.K5、K6[2011·四川卷] 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车

骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1

2

；两小时以上且不超过三

小时还车的概率分别为12，1

4

；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 大纲理数18.K5、K6[2011·四川卷] 【解答】 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超

过四小时还车的概率分别为14，1

4

.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则

P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516

.

答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为5

16

.

(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8，

P (ξ＝0)＝14×12＝1

8

；

P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝5

16

；

P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝5

16；

P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝3

16；

P (ξ＝8)＝14×14＝1

16

.

甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为

ξ,0,2,4,6,8P ,18,516,516,316,116所以Eξ＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝7

2

.

课标理数16.K2，K6[2011·天津卷] 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球．这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)

(1)求在1次游戏中，

(i)摸出3个白球的概率； (ii)获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 课标理数16.K2，K6[2011·天津卷] 【解答】 (1)(i)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事

件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 1

2C 23＝1

5

.

(ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3，又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12

C 23＝12

，且

A 2，A 3互斥，所以P (

B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝7

10

.

(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝????1－7102＝9100

，

P (X ＝1)＝C 12

710????1－710＝2150， P (X ＝2)＝????7102＝49

100. 所以X 的分布列是

X,0,1,2P ,9100,2150,49100X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝7

5

.

课标理数15.K6[2011·浙江卷] 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投

递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2

3

，得到乙、丙两公司面试的概率均为

p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝

0)＝1

12

，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.

课标理数15.K6[2011·浙江卷] 5

3

【解析】 ∵P ()X ＝0＝????1－23(1－p )2＝112，∴p ＝12

. ∴P ()X ＝1＝23×????122＋13×????122×2＝1

3，

P ()X ＝2＝23×????122×2＋13×????122＝5

12，

P ()X ＝3＝23×????122＝1

6，

∴E ()X ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝5

3

.

大纲理数17.K6[2011·重庆卷] 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；

(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望． 大纲理数17.K6[2011·重庆卷] 【解答】 这是等可能性事件的概率计算问题．

(1)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·

22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·

2234＝827

.

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A 片区

房源”为事件A ，则P (A )＝1

3

.

从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房

源的概率为P 4(2)＝C 24????132????232＝827

. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝1

27

，

P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 2

2)34＝14

27

?

???或P (ξ＝2)＝C 23(24

－2)34

＝1427， P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1

234

＝49

????或P (ξ＝3)＝C 24A 33

34＝49. 综上知，ξ有分布列