高一数学必修2第三章测试题及答案解析
数学必修二第三章综合检测题 一、选择题 1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)则此直线的倾斜角是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( ) A．2 B．3 C．9 D．－9 3．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是( )
A．y＋2＝33(x＋1) B．y－2＝3(x－1) C.3x－3y＋6－3＝0 D.3x－y＋2－3＝0 4．直线3x－2y＋5＝0与直线x＋3y＋10＝0的位置关系是( ) A．相交 B．平行 C．重合 D．异面 5．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A．(－2,1) B．(2,1) C．(1，－2) D．(1,2) 6．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 7．点P(2,5)到直线y＝－3x的距离d等于( )
A．0 B.23＋52
C.－23＋52 D.－23－52 8．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是( )
A．y＝－2x＋4 B．y＝12x＋4
C．y＝－2x－83 D．y＝12x－83 9．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 10．已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x－y＋2＝0，直角顶点是C(3，－2)，则两条直角边AC，BC的方程是( ) A．3x－y＋5＝0，x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0，x－2y－7＝0 C．2x－y＋4＝0,2x＋y－7＝0 D．3x－2y－2＝0,2x－y＋2＝0 11．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥34或k≤－4 B．－4≤k≤34
C．－34≤k≤4 D．以上都不对 12．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、填空题 13．已知点A(－1,2)，B(－4,6)，则|AB|等于________． 14．平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：3x－3y＋1＝0的距离等于________． 15．若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为________或________． 16．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号) 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．求经过点A(－2,3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．
18．(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 19．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程．
20．过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程．
21．已知△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求 (1)AC边上的高BD所在直线方程； (2)BC边的垂直平分线EF所在直线方程； (3)AB边的中线的方程．
22．当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1. (1)倾斜角为45°；(2)在x轴上的截距为1. 数学必修二第三章综合检测题 1A 斜率k＝2＋3－24－1＝33，∴倾斜角为30°.
2 D 由条件知kBC＝kAC
，∴b－11－2－8＝11－18－3，∴b＝－9.
3C 由直线方程的点斜式得y－2＝tan30°(x－1)， 整理得3x－3y＋6－3＝0. 4A ∵A1B2－A2B1
＝3×3－1×(－2)＝11≠0，∴这两条直线相交．
5A 直线变形为m(x＋2)－(y－1)＝0，故无论m取何值，点(－2,1) 都在此直线上。
6A ∵ab<0，bc<0，∴a，b，c均不为零，在直线方程ax＋by＋c＝0中，令x＝0得，y＝－cb>0，令y＝0得x＝－ca，∵ab<0，bc<0，
∴ab2c>0，∴ac>0，∴－ca<0，∴直线通过第一、二、三象限。
7B 直线方程y＝－3x化为一般式3x＋y＝0， 则d＝23＋52.
8C 直线y＝－2x＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k＝－2，直线方程y＝3x＋4中，令y＝0，则x＝－43，即所求直线与x轴交点坐标为
(－43，0)．故所求直线方程为y＝－2(x＋43)，即y＝－2x－83. 9D∵两线互相垂直，∴a·(a＋2)＝－1，∴a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1. 10 B∵两条直角边互相垂直，∴其斜率k1，k2应满足k1k2
＝－1，排
除A、C、D，故选B.
11A kPA＝－4，kPB
＝34，画图观察可知k≥34或k≤－ 4. 12 B 由平面几何知，与A距离为1的点的轨迹是以A为圆心，以1为半径的⊙A，与B距离为2的点的轨迹是半径为2的⊙B，显然⊙A和⊙B相交，符合条件的直线为它们的公切线有2条．
13. 5 |AB|＝－1＋42＋2－62＝5.
14 23 直线l2的方程可化为x－y＋13＝0，则d＝|1－13|12＋－12＝23. 15 x＋y－5＝0 x－y＋1＝0 设直线l的方程为xa＋yb＝1，则 |a|＝|b|，2a＋3b＝1，解得a＝5，b＝5或a
＝－1，b＝1，即直线l的方程为x5＋y5＝1或x－1＋y1＝1，即x＋y－5＝0或x－y＋1＝0. 16 ①⑤ 两平行线间的距离为d＝|3－1|1＋1＝2，
由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°， 所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
17过AB两点的直线方程是y＋13＋1＝x－4－2－4. 点斜式为y＋1＝－23(x－4) 斜截式为y＝－23x＋53 截距式为x52＋y53＝1.
18(1)直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2，因为l1∥l2
，
所以a2－2＝－1且2a≠2，解得：a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2
：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4，因为l1⊥l2
，所以
k1k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝38.所以当a＝38时，直线l1：y
＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
19(1)设C(x，y)，由AC的中点M在y轴上得，x＋52＝0，即x＝－5.
由BC中点N在x轴上，得3＋y2＝0，∴y＝－3，∴C(－5，－3) (2)由A、C两点坐标得M(0，－52)．由B、C两点坐标得N(1,0)． ∴直线MN的方程为x＋y－52＝1.即5x－2y－5＝0.
20设点A的坐标为(x1，y1)，因为点P是AB中点，则点B坐标为(6－x1，－y1)，因为点A、B分别在直线l1和l2上，有
2x
1－y1
－2＝0
6－x1－y1
＋3＝0
解得
x1
＝
11
3
y1
＝
16
3
由两点式求得直线方程为8x－y－24＝0.
21 (1)直线AC的斜率kAC
＝－6－44－－1＝－2
即：7x＋y＋3＝0(－1≤x≤0)． ∴直线BD的斜率kBD＝12， ∴直线BD的方程为y＝12(x＋4)，即x－2y＋4＝0
(2)直线BC的斜率kBC＝4－0－1－－4＝43 ∴EF的斜率kEF＝－34 线段BC的中点坐标为(－52，2) ∴EF的方程为y－2＝－34(x＋52)
即6x＋8y－1＝0.
(3)AB的中点M(0，－3)，∴直线CM的方程为：y＋34＋3＝x－1， 22(1)倾斜角为45°，则斜率为1 ∴－2m2＋m－3m2－m＝1，解得m＝
－1，m＝1(舍去) 直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，∴m＝－1 (2)当y＝0时，x＝4m－12m2＋m－3＝1，解得m＝－12，或m＝2
当m＝－12，m＝2时都符合题意，∴m＝－
1
2或2.
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷及答案解析
17．已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
18．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2 在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．
（Ⅰ）求m的值；
5．函数f（x） ，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数y 的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ]B．（0， ）C．[0， ]D．[0， ）
7．已知函数f（2x﹣1）＝4x+3（x∈R），若f（a）＝15，则实数a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．幂函数的图象经过点 ，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（ ）
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．函数 的定义域为（ ）
A．（﹣1，2]B．[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
【解答】解：函数 ，
令 0，得x﹣2≥0，
解得x≥2，
所以f（x）的定义域为[2，+∞）．
（2）求证：函数f（x）在区间（﹣1，x0]上单调递减．
21．已知函数f（x） ，求：
（1）f（1），f（﹣3）的值；
（2）求f（a+1）的值．
22．已知函数f（x）在定义域R内为偶函数，并且x≥0时解析式为f（x）＝2x2﹣4x+7．求：
（1）x＜0时的解析式；
人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数的概念与性质 综合测试(附答案与解析)
第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(56)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(2,λ)，且 a ⃗⊥b ⃗⃗，则实数 λ= ( ) A ． 3 B ． −3 C ． 7 D ． −12. 袋中共有完全相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4，现从中任取 2 只小球，则取出的 2 只球编号之和是偶数的概率为 ( ) A ． 25B ． 35C ． 13D ． 233. 下列命题正确的是 ( ) A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．圆心和圆上两点可确定一个平面D ．梯形可确定一个平面4. 复数 1+i 2= ( ) A ． 0B ． 2C ． 2iD ． 1−i5. 已知 ∣a ⃗∣=1，∣b ⃗⃗∣=2，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 π3，则 a ⃗⋅b ⃗⃗ 等于 ( ) A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46. 已知平面向量 a ⃗=(1,x )，b ⃗⃗=(y,1)，若 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x ，y 一定满足 ( ) A ．xy −1=0B ．xy +1=0C ．x −y =0D ．x +y =07. 在平行四边形 ABCD 中，A (1,2)，B (3,5)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A ． (−2,4)B ． (4,6)C ． (−6,−2)D ． (−1,9)8. 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,b )，则 a +b = ( ) A ． −1B ． 0C ． 1D ． 29. 已知直线 a 在平面 γ 外，则 ( ) A ． a ∥γ B ． a 与 γ 至少有一个公共点 C ． a ∩γ=AD ． a 与 γ 至多有一个公共点10. 下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是 ( )A．B．C．D．二、填空题（共6题）11.思考辨析判断正误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )12.复数加法与减法的运算法则设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则（1）z1+z2=；（2）z1−z2=．13.利用“斜二测”法作多面体直观图时，需考虑个方向上的尺度．14.若向量a⃗与b⃗⃗的夹角为120∘，且∣a⃗∣=1，∣∣b⃗⃗∣∣=1，则∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣=．15.当时，λa⃗=0⃗⃗．16.“直线a经过平面α外一点P”用集合符号表示为．三、解答题（共6题）=bsinA．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2(1) 求B；(2) 若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC面积的取值范围．18.画出如图水平放置的直角梯形的直观图．19.按图示的建系方法，画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图．20. 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点 P 与直线 AB ； (2) 点 C 与直线 AB ； (3) 点 M 与平面 AC ； (4) 点 A 1 与平面 AC ； (5) 直线 AB 与直线 BC ； (6) 直线 AB 与平面 AC ； (7) 平面 A 1B 与平面 AC ．21. 有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一个三棱锥．问 a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？22. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴 x ，y 的交点为 O ，与 x ，y 轴正方向同向的单位向量分别是 i ⃗，j ⃗，且 i ⃗ 与 j ⃗ 的夹角为 θ，其中 θ∈(0,π2)∪(π2,π)．由平面向量基本定理，对于平面内的向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，存在唯一有序实数对 (x,y )，使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xi ⃗+yj ⃗，把 (x,y ) 叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标，也叫做向量 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在斜坐标系 xOy 中的坐标．在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如 θ=45∘ 时，方程x−24=y−1−5表示斜坐标系内一条过点 (2,1)，且方向向量为(4,−5)的直线．)，a⃗=(2,1)，b⃗⃗=(m,6)，且a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，求实数m的取值(1) 若θ=arccos(−13范围；(2) 若θ=60∘，已知点A(2,1)和直线l:3x−y+2=0．①求l一个法向量；②求点A到直线l的距离．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】由a⃗⊥b⃗⃗，所以有a⃗⋅b⃗⃗=1×2+2×λ=0⇒λ=−1．【知识点】平面向量数量积的坐标运算2. 【答案】C【解析】在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有{1,3}，{2,4}，共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为26=13，故选：C．【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】由不共线的三点确定一个平面，故A错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确．故选：D．【知识点】平面向量的概念与表示4. 【答案】A【解析】因为i2=−1，所以1+i2=0．故选：A．【知识点】复数的乘除运算5. 【答案】A【解析】a⃗⋅b⃗⃗=∣a⃗∣∣b⃗⃗∣cosπ3=1×2×cosπ3=1．【知识点】平面向量的数量积与垂直6. 【答案】A【解析】因为a⃗∥b⃗⃗，所以1×1−xy=0，即xy−1=0．【知识点】平面向量数乘的坐标运算7. 【答案】A【解析】在平行四边形ABCD中，因为 A (1,2)，B (3,5)，所以 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)， 又 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,−1)， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,4)， 故选A ．【知识点】平面向量和与差的坐标运算8. 【答案】A【解析】 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)−(1,1)=(−1,0)， 故 a =−1，b =0， 所以 a +b =−1．【知识点】平面向量和与差的坐标运算9. 【答案】D【解析】直线在平面外，故直线与平面相交或直线与平面平行，直线 a 与平面 γ 平行时没有公共点，直线 a 与平面 γ 相交时有一个公共点，故选D ． 【知识点】直线与平面的位置关系10. 【答案】A【解析】根据题图中纸板的形状及特殊面的阴影部分可以判断B ，C ，D 不正确，故选A ． 【知识点】棱柱的结构特征二、填空题（共6题） 11. 【答案】 √【知识点】平面向量和与差的坐标运算12. 【答案】 (a +c)+(b +d)i ； (a −c)+(b −d)i【知识点】复数的加减运算13. 【答案】三【知识点】直观图14. 【答案】 √3【解析】因为向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，∣a ⃗∣=1，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，所以 a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣cos120∘=−12，因此 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√(a ⃗−b ⃗⃗)2=√∣a ⃗∣2+∣∣b ⃗⃗∣∣2−2a⃗⋅b ⃗⃗=√1+1+1=√3． 【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗【解析】若 λa ⃗=0⃗⃗，则 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义16. 【答案】 P ∈a ，P ∉α【知识点】平面的概念与基本性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) asinA+C 2=bsinA ，由正弦定理 sinAsinA+C 2=sinBsinA ．因为 A ，B ，C 是 △ABC 的内角，sinA ≠0， 所以 sin A+C 2=sinB =sin (π−B )=sin (A +C )， 所以 sinA+C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，因为 0<A +C <π， 所以 0<A+C 2<π2．所以 sinA+C 2≠0，cosA+C 2=12，A+C 2=π3，所以 A +C =2π3，B =π−(A +C )=π−2π3=π3(2) 由正弦定理得 asinA =bsinB =csinC =2sinA ， 所以 c =2sinC sinA，由三角形内角和知 A +C =120∘， 所以 C =120∘−A ， 所以 c =2sin (120∘−A )sinA=√3tanA+1，又 △ABC 为锐角三角形， 所以 120∘−A <90∘ 且 A <90∘， 即 30∘<A <90∘， 又 S △ABC =12acsinB =12ac ×√32=√32c =√32×(√3tanA +1)，30∘<A <90∘，因为30∘<A<90∘，所以tanA>√33，得√3tanA <3，即1<√3tanA+1<4，所以S△ABC=√32×(√3tanA+1)∈(√32,2√3)．【知识点】正弦定理18. 【答案】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的xʹ轴和yʹ轴，使∠xʹOʹyʹ=45∘，如图①②所示．（2）在xʹ轴上截取OʹBʹ=OB，在yʹ轴上截取OʹDʹ=12OD，过点Dʹ作xʹ轴的平行线l，在l上沿xʹ轴正方向取点Cʹ，使得DʹCʹ=DC．连接BʹCʹ，如图②所示．（3）所得四边形OʹBʹCʹDʹ就是直角梯形OBCD的直观图，如图③所示．【知识点】直观图19. 【答案】画法：（1）在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．（2）在图②中画相应的xʹ轴与yʹ轴，两轴相交于点Oʹ，使∠xʹOʹyʹ=45∘．（3）在图②中的xʹ轴上取OʹBʹ=OB，OʹGʹ=OG，OʹCʹ=OC，OʹHʹ=OH，yʹ轴上取OʹEʹ=1 2OE，分别过Gʹ和Hʹ作yʹ轴的平行线，并在相应的平行线上取GʹAʹ=12GA，HʹDʹ=12HD．（4）连接AʹBʹ，AʹEʹ，EʹDʹ，DʹCʹ，并擦去辅助线GʹAʹ，HʹDʹ，xʹ轴与yʹ轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图五边形AʹBʹCʹDʹEʹ（如图③）．【知识点】直观图20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】构成三棱锥，这6条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2条长为a的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2， 此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2． 取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ， 在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3，等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3， 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积22. 【答案】(1) 由已知 a ⃗=2i ⃗+j ⃗，b ⃗⃗=mi ⃗+6j ⃗，且 a ⃗⋅b ⃗⃗=2m +6+(12+m )(i ⃗⋅j ⃗)=53m +2>0，得 m >−65；若 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 同向，则存在正数 t ，使得 t (2i ⃗+j ⃗)=mi ⃗+6j ⃗， 由 i ⃗ 和 j ⃗ 不平行得，{2t =m t =6 得 m =12．故所求为 m >−65，m ≠12．(2) ①方程可变形为x−01=y−23，方向向量为 d⃗=(1,3)， 设法向量为 n ⃗⃗=(a,b )，由 n ⃗⃗⋅d ⃗=0 得 a +3b +12(3a +b )=52a +72b =0， 令 a =−7，b =−5，n ⃗⃗=(−7,5)；②取直线 l 上一点 B (0,2)，则 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1)，所求为 ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗∣∣∣n⃗⃗∣=∣√(⃗+5j ⃗)2=7√3926．【知识点】直线的点法向式方程（沪教版）、平面向量数量积的坐标运算。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数； （2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）； （3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ， 由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】 （1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。
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高中数学必修二测试题及答案人教版
第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 （第1题） A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ）．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( ）． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中,AB ＝2，BC ＝1。
5，∠ABC ＝120°,若使△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ）．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ）．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是（ )．(第8题)（第10题）二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中,O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a,则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．［提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中,∠DAB＝90°，∠ADC＝135°,AB＝5，CD＝22,AD ＝2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．（第20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐,现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;（3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析:从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样,可以判断可能是棱台． 2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21（1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52,R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析:V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1。
(必考题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C ．21y x =-与1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()()3,<1log ,1a a x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞D ．()5,1[1,)3-∞-6．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）. A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)8．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．129．函数1()1x f x a +=-恒过定点（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--10．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c11．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦12．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 15．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____.16．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________. 17．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 18．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．如果()231log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，（0a >且1a ≠） （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并予以证明； （3）求使()0f x >的x 取值范围. 22．已知函数122()log 2xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 23．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈. （1）当1a =时，求()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值. 24．已知函数35()log 5xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论.25．已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+. （1）若2m =-，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.26．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()121xaf x =++. （1）求实数a 的值及()f x 的解析式； （2）求方程4|(1)|5f x -=的解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数； C．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．A解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤，由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 5．A解析：A 【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A 【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.6．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<， 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.7．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.8．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3xf x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31xf x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx =时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.9．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.11．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题12．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确；④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--， 又1()ln 2ln 2xx g x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数， ∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确． 故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)；（2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)，解题时注意整体思想的应用．14．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属 解析：8【分析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为 解析：1(1,)3- 【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数，()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-.故答案为: 1(1,)3-【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 16．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈ 【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >， 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈， 故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间.【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞. 故答案为：(),2-∞.【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．18．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可.【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-，故()f x 关于1x =对称；又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-，故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，故函数()f x 是周期为4的函数.则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1x f x e =-，故()()201911f f e =-=-， 则()()()()()320191131e f f f e f e f e e -=-=--=--=-.故答案为：31e e --.【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期. 19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集.【详解】当1x ≤时，1()2x f x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞.【点睛】 本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．【分析】可结合对数化简式将化简为再解对数不等式即可【详解】由由得即当时故；当时无解综上所述故答案为：【点睛】本题考查对数化简公式的应用分类讨论求解对数型不等式属于中档题 解析：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】可结合对数化简式将()f x 化简为()1log 2log 3log 4x x x f x =-+-，再解对数不等式即可【详解】由()2323231log 2log 9log 641log 2log 3log 4x x x x x x f x =-+-=-+- 31log 2log 3log 41log 8x x x x =-+-=+，由()0f x <得81log 03x -<， 即8log log 3x x x >， 当1x >时，83x <，故81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当()0,1x ∈时，83x >，无解 综上所述，81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 故答案为：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数化简公式的应用，分类讨论求解对数型不等式，属于中档题三、解答题21．（1）{|11}x x -<<；（2）函数()f x 是奇函数，证明见解析；（3）当1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；（2）函数()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（3）不等式化为log (1)log (1)a a x x +>-后，分类讨论底数a ，根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】（1）要使函数数()f x 有意义，则必有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 所以函数()f x 的定义域是{|11}x x -<< .（2）函数()f x 是奇函数，证明如下：∵(1,1)x ∈-，(1,1)x -∈-，()log (1)log (1)a a f x x x -=--+[]log (1)log (1)a a x x =-+--()f x =-，∴函数()f x 是奇函数（3）使()0f x >，即log (1)log (1)a a x x +>-当1a >时，有111010x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩，解得01x <<，当01a <<时，有111010x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩，解得10x -<<.综上所述：当1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<.【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.22．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数.【详解】（1）由函数有意义得202x x->+，解得22x -<<， 所以函数的定义域为(2,2)-， 因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭， 所以函数为奇函数.（2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 证明：设1222x x -<<<，则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++， 因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路：①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.23．（1）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）a =【分析】（1）令()20,xt =∈+∞，可得21y t t =-+-，利用二次函数的性质可求出； （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得21y t at =-+-，讨论对称轴2a t =的取值范围结合二次函数的性质即可求出.【详解】（1）()2()421221x x x x f x a a =-+⋅-=-+⋅-.令()20,xt =∈+∞，21y t at =-+-，1a =时，2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴当12t =时，max 34y =-，∴3,4y ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 所以()f x 的值域为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22211124a y t at t a ⎛⎫=-+-=---+ ⎪⎝⎭， 其图象的对称轴为2a t =. ①当122a ≤，即1a ≤时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当12t =时，max 1111424y a =-+-=-，解得2a =，与1a ≤矛盾； ②当12a ≥，即2a ≥时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当1t =时，max 1114y a =-+-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾， ③当1122a <<，即12a <<时，函数y 在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.当2a t =时，2max 11144y a =-=-，解得a =，舍去a =综上，a =【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路；（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b +的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.24．（1）(5,5)- （2）奇函数，见解析【分析】（1）若()f x 有意义,则需满足505x x->+,进而求解即可； （2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可.【详解】（1）由题,则505x x->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5-（2）奇函数,证明:由（1）,()f x 的定义域关于原点对称,因为()()33355log log log 1055x x f x f x x x +--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明.25．（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞ 【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案.（2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案.【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤， 故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆， 当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥；当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤. 综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 26．(1) 2a =-,()2121x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =- 【分析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可. 【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121x a f x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121x x x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x x x f x f x -----=--=-=-=+++.故()2121x x f x -=+ (2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+. 当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==. 因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-. 故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =-【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.。
高一数学必修1,2,3,4,5试题及答案
高二数学必修部分测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题５分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．0sin 390=()A ．21B ．21-C ．23 D ．23- 2．已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,则tan()4πα+的值为() A 1223133A 4.，b 满足：|3a =，|2b =，||a b +=||a b -=()A 3D ．105.下面结论正确的是（）C.6A C 789、函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈-=--),2(,22]2,(,2211x x y x x 的值域为______________。
A 、),23(+∞- B 、]0,(-∞ C 、23,(--∞ D 、]0,2(- 10.当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]11．已知a,b,c 成等比数列，且x,y 分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则y c x a +的值为（） （A ）21（B ）-2（C ）2（D ）不确定 12．已知数列{a n }的通项公式为a n =n n ++11且S n =1101-,则n 的值为（）（A ）98（B ）99（C ）100（D ）101二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13141516。
17得到y 1819（本小题满分12分）已知向量a ,b 的夹角为60,且||2a =,||1b =,(1)求a b ;(2)求||a b +.20.已知数列{a n }，前n 项和S n =2n-n 2,a n =log 5bn ，其中bn>0，求数列{bn}的前n 项和。
21（本小题满分14分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+,且()f x a b =(1)求函数()f x 的解析式;(2)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 的最小值是－4,求此时函数()f x 的最大值,并求出相应的x 的值. 22如图如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD ，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=1/2.ACAD 13.3π171)2-+x ，∴18.19.解：(1)1||||cos602112a b a b ==⨯⨯= (2)22||()a b a b +=+所以||3a b +=20.当n=1时，a 1=S 1=1当n ≥2时，a 1=S n -S n-1=3-2n ∴a n =3-2nb n =53-2n∵25155123)1(23==+-+-n n bn bn b 1=5∴{b n }是以5为首项，251为公比的等比数列。
高一数学周周练第2周必修四第三章测试题(含答案)
三角恒等变换测试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知，则（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若均为锐角，（ ） A ．B ．C ．D ．3、（ ） A ． B ． C ． D ．4、（ ）A． B ．C ．D ． 5、（ ）A ．B ．C ．1D ．6、已知x 为第三象限角，化简（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（ ） A ． B ． C ． D ．)2,23(,1312cos ππαα∈==+)4(cos πα13251327262172627βα,==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则55225522552552或552-ππππ(cossin )(cos sin )12121212-+=23-21-2123tan70tan50tan50︒+︒︒=33333-3-=⋅+ααααcos2cos cos212sin22αtan αtan221=-x 2cos 1x sin 2x sin 2-x cos 2x cos 2-5410101010-1010310103-图像的一个对称中心为的图像，则函数个单位长度，得到函数的图像向右平移、把函数)()(6sin 2sin 23)(82x g x g x x x f π+=)1,2.(A π)0,2.(B π)0,4.(C π )21,4.(D π==+a a a 2sin ,31cos sin 9则、已知（ ）98.A -21.B - 21.C 98.D10．x x x x y cos sin 2sin cos 22+-=的最小值是 （ ）A. 2B ．－ 2C ．2D ．－2则、已知函数,2sin cos 2)(1122+-=x x x f （ ）3)(.，最大值为的最小正周期为πx f A 4)(.B ，最大值为的最小正周期为πx f32)(.C ，最大值为的最小正周期为πx f 42)(.D ，最大值为的最小正周期为πx f12、 函数的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分．） 13、已知为锐角， ．14、在中，已知tan A ，tan B 是方程的两个实根，则． 15、若，则角的终边在 象限． =+0000105sin 15cos 75cos 15sin 16、．选择题答案填写在下表sin22x xy =+11π3x =5π3x =5π3x =-π3x =-βα,的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ABC ∆23720x x -+=tan C =542cos ,532sin-==ααα过程或演算过程．）17、(10分)△ABC 中，已知，求sin C 的值．.)4(tan )6(sin 2,1312cos )10(18的值以及），求，（已知分、πθπθππθθ+-∈=αβαβαπαβπ2tan ,53)sin(,1312)cos(,432)12(19求已知分、-=+=-<<<.35cos π,cos π513A B ==20.(12分)已知，，且，求的值及角．)(cos sin 32cos sin )()14(2122R x x x x x x f ∈--=已知函数分、。