高等数学课件：chap6_3三重积分计算法
2 : x 2 y 2 z 2 R2 , x 0, y 0, z 0 ，则（
1 2 1
C）
2
（A） xdv 4 xdv ； （B） ydv 4 ydv ； （C） zdv 4 zdv ； （D） xyzdv 4 xyzdv .
第 3节
三重积分的计算
一.直角坐标系下三重积分的计算
f ( x，y，z)dv f ( x，y，z)dxdydz
1.细棒法
设平行于Z轴且穿过区域 的直线与的 边界曲面S的交点不多于两个 (为xy型区域).
z
z z2 ( x, y )
z z1 ( x, y )
把投影到xy面上，得投影域 Dxy。
及平面x 2 y z 1 所围成的闭区域.
z
x 2y z 1
解
: 0 z 1 x 2 y.
0 x 1 1 x 0 y 2
1 x 2 0
o
xdv dx
0
1
dy
1 x 2 y
0
xdz
x
y
z0
y
1 48
x 2y 1
4
o
y
x
例5 计算：
x2 y2 z 2 z dxdydz ， ： 2 2 2 1 a b c
c c
解
z dxdydz
z dz dxdy
Dz
z2 ab (1 2 ) z dz c c 2 c z 2 ab (1 2 ) zdz 0 c 1 abc2 2
解
z x2 2 y2 2 2 x y 1. 由 得交线 2 z 2 x
2 2
z
z 2 x2
投影区域D : x y 1.
1 x 1, : 1 x 2 y 1 x 2 , x2 2 y2 z 2 x2 .
2. 若
f ( x , y ,z )
关于变量 x（或 z，或 y）是偶函数，
而 关 于yoz面 (或xoy面,或xoz面) 对称，则 三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍 .
即
f ( x , y, z )dv 2 f ( x , y, z )dv
1
对称性
例 6．求 I
z x2 2 y2
o
I
1
1
dx
1 x
2 2
1 x
dy
2 x
2
2 2
x
xydz .
2 2
D
x 2 y
1
1
dx
1 x 2
2
1 x
xy (2 2 x 2 y )dy .... 0.
具有对称性
例2 计算三重积分I xdv, 其中 是由三个坐标面
C2
z
设中，C1 z C 2 Dz：竖标为z的平面截所得的区域 则
x
z
Dz
C1
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
C2
C1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
例3.计算三重积分 z 2dv, 其中 : x 2 y 2 z 2 4, z 0
z ln (x 2 y 2 z 2 1) x y z 1
2 2 2
dv ，
其中 : x 2 y 2 z 2 1 .
解：∵积分区域 关于 xoy面 对称，
且被积函数关于变量 z 为奇函数，
∴ I 0 .
例 7．设有空间区域 1: x 2 y 2 z 2 R2 , z 0 ；
z
z z2 ( x, y )
f ( x，y，z )dxdydz
z z1 ( x, y )
Dxy
[
Dx y
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x，y，z ) dz ]dxdy
o
dxdy
b
z2 ( x , y )
Dxy
y
z1 ( x , y )
0
2
D(z)
64 15
x
O
y
2 计算： z ， 例4 dxdydz
由曲面z x 2 y 2 与平面z 1 围成
解
如图所示
2 z dxdydz dz z dxdy 2 0 Dz 1
z
1
z
0
1
2
zdz
Dz：x 2 y 2 z
以Dxy的边界为准线作母线平 行于Z 轴的 柱面，柱面与S 的交线把S 分成两部分： x S1：z z1 ( x，y)
o
Dxy
y
S 2：z z 2 ( x，y) , z1 ( x，y) z 2 ( x，y)
过D xy内任一点( x，y )作平行于z 轴的的直 线，此直线与 S 的交点的纵坐标为z1 ( x，y ) 与z 2 ( x，y )，则
1
x
注 1. 若平行于x轴( y轴)的直线与S的交点不多于两个
则同样可把 投影到yz面( xz面)而得先对x( y ) 的积分； 2. 若平行于坐标轴的直线 与的边界曲面S的交点多于 两个，则可把分成几块处理；
2.切片法
计算一个三重积分也可 化为先计算一个 二重积分，再计算一个定积分(切片法)：
c
x2 y2 z2 Dz： 2 2 1 2 a b c
z
c
o y
x
利用对称性简化三重积分的计算
1． 若被积函数 f ( x , y , z ) 关于变量 x（或 z，或 y）是奇函数， 而 关 于yoz面 (或xoy面,或xoz面) 对称，则
f ( x , y,z )dxdydz 0 ；
f ( x，y，z )dz
x
——先对 Z 积分（“先一后二”或“细棒法”）
a
dx
2 ( x )
1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x，y，z )dz
例1
计算三重积分I xydxdydz , 其中 为由
曲面 z x 2 2 y 2 及 z 2 x 2 所围的闭区域.
解： 利用切片法.
2
当0 z 2时 (是由球面方程改变而来)
切片D( z ) : x 2 y 2 4 z 2
2 z dxdydz dz z dxdy 2 0 D( z )
z 2 ( 4 z 2 )dz
0
2
z
2
(4z 2 z 4 )dz
计算三重积分详细方法ppt
广州大学数学与信息科学学院
1
工科高等数学
广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东
2
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M ， 在x并 o面 y设上 点
的投P影 的极坐r标 , ， 为则这样的r,三 ,z个数
zdxdydz zrdrddz
0 2d0 2drr42rzdz
02d02r z224r2dr 1 20 2d0 2(1r 6r5)dr
1 2028r21 6r60 2d
1228r216r602
64 3
.
9
例 2求 Izdx， d其 y中 d z是 球 面x2y2z24
与 抛 物 面x2y23z 所 围 的 立 体 .
射线，得 0r1 .
18
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
射线，得 0r1 .
z
0 2 , 即 : 0 ,
0 r 1.
o
y
x
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
0 2 d0 d0 1 r4 c2 ossid nrzxy
r sin cos , r sin sin , r cos.
样的三个数 r，， 就叫做点M的球面坐标．
规定： 0r ,
0,
0 2 .
z
r•M (x,y,z)
o
y
•P
15
x
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
球 面； 圆锥面；
r
o
y
为常数 半平
面．
x
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法
三重积分可以通过以下步骤进行计算：
1. 确定积分区域：首先确定三重积分的积分区域，即确定积分的上下限。
2. 写出积分表达式：根据积分区域确定积分的表达式。
3. 求解内层积分：将内层积分作为常数处理，对剩下的变量进行积分。
4. 求解中层积分：将中层积分作为常数处理，对剩下的变量进行积分。
5. 求解外层积分：将外层积分作为常数处理，对剩下的变量进行积分。
6. 整合结果：将求解得到的结果进行整合，即得到最终的三重积分结果。
【优】高等数学三重积分PPT资料
就称为点M 的柱面坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
0 0 2π
z
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
O
y
x
1
xdx
1 2
(1
x
)
d
y
1 x2 y
dz
0
0
0
z 1
1
O
2
y
x1
1
xdx
1 2
(1
x
)
(1
x
2
y
)d
y
0
0
1
1
(x
2x2
x3
)dx
1
40
48
例2. 计算三重积分 z2 d x d y d z ,
其中
:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1.
c zc
c z Dz
z
O a
by
解: :
Dz
(x,
y,0)
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 z
d v d dd z
z
因此 f (x, y, z)dxdydz
dz
O
F(, , z) d d dz
其中
F(, , z) f ( cos , sin , z )
x d
d
y
d d d
适用范围:
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
高等数学三重积分
一、三重积分的概念
三重积分计算
三重积分计算
核⼼思想：化成定积分或⼆重积分
注意应⽤三重积分的性质：
奇偶性：看积分函数。
若积分函数是关于x的奇函数，且积分空间关于zoy对称，那么该积分等于0；若积分函数是关于x的偶函数，且积分空间关于zoy对称，那么该积分就等于2倍的积分空间（x>0）上的积分；
轮换性：看积分空间，若x和y和z可以任意交换次序，积分函数可以更换成易于积分的形式。
⼀、直⾓法
（⼀）先⼀后⼆
先单积分，后重积分。
Dxy：积分空间对xoy平⾯的投影
Z(x,y)：积分曲⾯上下界
（⼆）先⼆后⼀
先重积分，后单积分。
Dz：⽤z=z去截积分空间得到的平⾯
何时⽤？
若被积函数是关于z的⼀元函数，⾸选该⽅法。
或者⽤z去截得到的⾯积好求，也采⽤该⽅法。
⼆、柱坐标法
何时⽤？
从被积函数看：
被积函数是的形式。
从积分空间看：
柱体、锥体
三、球⾯坐标法
何时⽤？
从积分函数看，含有
从积分区域看，含有球、部分球、锥体、部分锥体
四、例题
（⼀）
解法如下：
因为x是关于x的奇函数，⽽且积分空间关于yoz对称，故关于x的积分等于0；只需要计算对z的积分。
下⾯列举⼏个⽅法：
（⼆）
因为积分区间为球体，故选择球坐标进⾏计算。
《重积分三重积分》课件
三重积分的性质
线性性质
三重积分满足线性性质，即对于 可分离变量的三重积分，可以将 积分拆分成几个部分分别进行计 算。
区间可加性
三重积分具有区间可加性，即对 于分割的三重积分，其值等于各 个子区间上三重积分的和。
积分中值定理
对于有界闭区域上的连续函数， 存在至少一个点使得三重积分在 该点的值等于被积函数在区域上 的平均值乘以区域的体积。
重积分三重积分
目录 CONTENTS
• 重积分的概念 • 三重积分的概念 • 三重积分的计算方法 • 三重积分的应用 • 三重积分的扩展知识
01
重积分的概念
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y, z)$ 是三维空间上的可积函 数，$D$ 是三维区域，则 $f(x, y, z)$ 在 $D$ 上的三重积分用 $intintint_{D}f(x, y, z)dxdydz$ 表示 。
计算流体动力学
在流体力学中，三重积分常用于计算流体在三维空间 中的流动情况，例如流体速度、压力等。
计算热传导
在热力学中，三重积分可以用来计算三维物体中的温 度分布以及热传导情况。
计算结构力学
在结构力学中，三重积分可以用来计算三维结构在不 同载荷下的应力和应变分布。
05
三重积分的扩展知识
重积分与线积分、面积分的关系
质量分布
当 $f(x, y, z)$ 表示物体的密度时，三重积分表 示该物体在区域 $D$ 上的总质量。
3
重心位置
三重积分可以用来计算物体在区域 $D$ 上的重 心位置。
02
三重积分的概念
三重积分的定义
三重积分计算(高等数学)
1 r 2
zdz
zdz
Dxy
1
x
I = 0 dθ 0 rdr 0
. .
0
4
1
y
河南理工大学万方科技学院
例2、 计算 I
2 2 2
zdxdydz，其中 是球面
x y z 4与抛物面 x y 3 z
所围的立体.
x cos y sin 解 由 zz ,
4 2
13 zdz . 4
一般地，先对z，后对p，最后对 积分
河南理工大学万方科技学院
二、利用球面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z ) 为空间内一点， 则点 M 可用三个有次序的数，
A
x
r
M ( x, y, z )
z
o
P ， 来确定，其中 为原点 O 与 x 点 M 间的距离， 为有向线段 OM 与 z轴正向所夹的 角， 为从正 z 轴往下看自 x 轴按逆时针方向转到有
且 关于zox 面对称,
( xy yz )dv 0 ,
河南理工大学万方科技学院
同理
zx 是关于 x 的奇函数,
且 关于 yoz 面对称,
由区域对称性知
2
xzdv 0,
2
x dv y dv ,
2
则I
( x y z ) dxdydz
x = 0, y = 0, x+2y =1 围成
1 2
y
x =0
y=0
0
Dxy z =0
1 2
1 x 2 y
高等数学三重积分
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
z
z 的函数 F ( z ) ； 其结果为
(4)最后计算单积分 F ( z )dz 即得三重积分值.
c1 c2
实质：先二重积分后定积分的方法 一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算 一个定积分 设积分区域为 {(x y z)|(x y)Dz azb} 其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平 面闭区域 则
f(x y z)dv—被积表达式
————积分区域
f(x y z)——被积函数
dv ————体积元素
x y z———积分变量
二、三重积分的计算
定理1
f ( x , y , z ) dv lim f ( i ,i , i ) vi 0 i 1
1 2
z
dy
0
1 2y
0
1 x 2y x dz dx 0 y x 2y 1
x 2y z 1
o x
y
0
x
例1 求 xdv
: x 2 y z 1, x 0,
解
y 0, z 0
1 2y z xdv dydz xdx 0 D yz
f x, y, z dv a dz f x, y, z dxdy.
b
Dz
例 6 计算三重积分 y 1 x 2 dxdydz ，其中
2 2 由曲面 y 1 x z ， x 2 z 2 1 ，y 1 所 围成.
解 如图,
将
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
三重积分及其计算法
三重积分及其计算法二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。
三重积分的概念设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n 个子域(△V 1),(△V 2),(△V 3),…,(△V n ),它们的体积分别记作△V k (k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点，并作和数如果不论△V k 怎样划分，点怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数在域(V)上的三重积分,记作：即：如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。
对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。
直角坐标系中三重积分的计算方法这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。
直角坐标系中三重积分的计算公式为：此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。
例题：求，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域.解答：把I 化为先对z 积分，再对y 和x 积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy 平面上,求出投影域(σ),它就是平面x+y+z=1与xOy 平面的交线和x 轴、y 轴所围成的三角区域.我们为了确定出对z 积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z 的直线,它与(V)上下边界的交点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示：再把(σ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：柱面坐标系中三重积分的计算法我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。
平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，θ=常数：通过z轴的半平面族，z=常数：与z轴垂直的平面族.因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。