2020年全国高考理科数学试题分类汇编18：坐标系与参数方程 Word版含答案
2020年全国高考理科数学试题分类汇编
18：坐标系与参数方程
一、选择题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试
题（纯WORD版））
在极坐标系中,圆=2cosp的垂直
于极轴的两条切线方程分别为 （ ）
A．=0()cos=2R和 B．
=()cos=2
2
R和
C．
=()cos=1
2
R和
D．=0()cos=1R和
【答案】
B
二、填空题
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试
题（含答案））
已知圆的极坐标方程为4cos, 圆心
为C, 点P的极坐标为4,3, 则|CP| = ______.
【答案】
23
3 ．（2013年高考上海卷（理））
在极坐标系中,曲线
cos1
与cos1的公共点到极点的距离为__________
【答案】
152
.
4 ．（2013年高考北京卷（理））
在极坐标系中,点(2,6)到
直线ρsinθ=2的距离等于_________.
【答案】
1
5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试
题（含答案））
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
cos4
的直线与曲线
2
3
xtyt
(t为参数)相交于,AB两
点,则______AB
【答案】
16
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）
卷（纯WORD版））
(坐标系与参数方程选讲选做题)
已知曲线C的参数方程为2cos2sinxtyt(t为参数),C在点
1,1
处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为
_____________.
【答案】
sin24
7 ．（2013年高考陕西卷（理））
C. (坐标系与参数方程选
做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数,
则圆
22
0yxx
的参数方程为______ .
θ
P
O
y
x
【答案】
Ryx,
sincos
cos
2
8 ．（2013年高考江西卷（理））
(坐标系与参数方程选做
题)设曲线C的参数方程为2xtyt(t为参数),若以直角
坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极
坐标系,则曲线c的极坐标方程为__________
【答案】
2
cossin0
9 ．（2013年高考湖南卷（理））
在平面直角坐标系xoy中,
若,3cos,:(t)C:2sinxtxlytay为参数过椭圆
()为参数的右顶点,则常数a的值为
________.
【答案】
3
10．（2013年高考湖北卷（理））
在直角坐标系xOy中,椭圆
C
的参数方程为
cossinxayb
0ab为参数，
.在极坐标系
(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点
O
为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极
坐标方程分别为
2
sin42m
m为非零常数
与b.
若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆
C
的离心率为___________.
【答案】
6
3
三、解答题
11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）
（纯WORD版含答案））
选修4—4;坐标系与参数方
程
已知动点,PQ都在曲线
2cos:2sinxCy
(为参数)
上,对应参
数分别为与)20(2,M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判
断M的轨迹是否过坐标原点.
【答案】
12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试
题（WORD版））
选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建
立坐标系.圆
1
C
,直线2C的极坐标方程分别为
4sin,cos22.4
.
(I)求
1
C
与2C交点的极坐标;
(II)设P为
1C的圆心,Q为1
C
与2C交点连线的中点.已知
直线PQ的参数方程为
3
3
12xtatRbyt
为参数
,求,ab的值.
【答案】
13．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试
题（纯WORD版））
坐标系与参数方程:在平面直角
坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极
轴建立坐标系.已知点A的极坐标为(2,)4,直线的
极坐标方程为
cos()
4
a
,且点A在直线上.
(1)求a的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c的参数方程为1cossinxy,(为参数),试判断直
线与圆的位置关系.
【答案】
解:(Ⅰ)由点(2,)4A在直线
cos()
4
a
上,可得
2a
所以直线的方程可化为cossin2
从而直线的直角坐标方程为20xy
(Ⅱ)由已知得圆C的直角坐标方程为
22
(1)1xy
所以圆心为(1,0),半径1r
以为圆心到直线的距离
2
12d
,所以直线与圆相交
14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数
学）（已校对纯WORD版含附加题））
C.[选修4-4:坐标
系与参数方程]本小题满分10分.
在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为tytx21
(t为参数),曲线C的参数方程为tan2tan22yx (为参数),
试求直线l与曲线C的普通方程,并求出它们的公共
点的坐标.
【答案】
C解:∵直线l的参数方程为tytx21 ∴消去参
数t后得直线的普通方程为022yx ①
同理得曲线C的普通方程为
xy2
2
②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,
)1,
2
1
(
15．（2013年高考新课标1（理））
选修4—4:坐标系与参数
方程 已知曲线C1的参数方程为45cos55sinxtyt(t为参
数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极
坐标系,曲线C2的极坐标方程为2sin.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案】
将45cos55sinxtyt消去参数t,化为普通方程
22
(4)(5)25xy
,
即1C:22810160xyxy,将cossinxy代入
22
810160xyxy
得,
2
8cos10sin160
,
∴
1
C
的极坐标方程为28cos10sin160;
(Ⅱ)
2
C
的普通方程为2220xyy,
由222281016020xyxyxyy解得11xy或02xy,∴
1C与2
C
的交
点的极坐标分别为(2,4),(2,)2.
近三年高考数学全国卷坐标系与参数方程真题
近三年高考数学真题坐标系与参数方程专练 2020全国理科一22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2020全国卷二.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2019全国理科一在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2019江苏在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.2018全国卷2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=在直角坐标系xOy 中，曲线C ₁的方程为y=k ∣x ∣+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ₂的极坐标方程为p ²+2p -3=0.（1） 求C ₂的直角坐标方程:（2） 若C ₁与C ₂有且仅有三个公共点，求C ₁的方程.2017全国卷在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2020全国理科一3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； （2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤， 曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 2019全国理科一解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=. 当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l. 2019江苏解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B，2π），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=， 则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析
【最新】数学复习题《坐标系与参数方程》专题解析一、131．直线122x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125BC．5D【答案】D 【解析】 【分析】先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．圆心()0,0O到直线的距离d =，∴直线被圆229x y +=截得的弦长5===.故选D ． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x ''，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为2(2)14x '=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．4．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.5．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
2020届全国各地高考试题分类汇编16 坐标系与参数方程
2020届全国各地高考试题分类汇编16 极坐标和参数方程1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=，12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44.2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 11cos 2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y+-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=， 5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π。
三年 (2020-2022 ) 高考数学真题汇编 专题19坐标系与参数方程
专题19坐标系与参数方程【2022年全国甲卷】1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．(1)写出1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【答案】(1)()2620y x y =-≥；(2)31,C C 的交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2，32,C C 的交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到1C 的普通方程；(2)将曲线23,C C 的方程化成普通方程，联立求解即解出． （1）因为26t x +=，y =226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．（2）因为2,6sx y +=-=262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤， 由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=． 联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【2022年全国乙卷】2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=．(1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】20++=y m (2)195,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）方法一：联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. （1）因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，所以1sin cos 02ρθθ⋅⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为102+=y m ，整理得l 20++=y m （2）[方法一]：【最优解】参数方程联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =20++=y m 中， 可得23cos 22sin 203(12sin )2sin 20t t m t t m ++=⇒-++=， 化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解， 令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上， ()(1)6235max f f a =-=+-=∴，min 11219(())36666==--=-f f a ，19256m ∴-≤≤，即m 的取值范围为195,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.[方法二]：直角坐标方程由曲线C的参数方程为22sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，t 为参数，消去参数t，可得22y =+，联立2202y m y ++=⎨=+⎪⎩，得232460(22)y y m y ---=-≤≤，即221194326333m y y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，即有194103m -≤≤，即195122-≤≤m ，m ∴的取值范围是195,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解； 方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视y 的范围限制而出错．【2021年甲卷文科】3．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y +=；（2）P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点. 【解析】 【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得； （2）方法一：设(),P x y ，设)Mθθ，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得. 【详解】（1）由曲线C的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y +=，即曲线C的直角坐标方程为(222x y +=；（2）[方法一]【最优解】 设(),P x y，设)Mθθ2AP AM =， ())()1,22cos x y θθθθ∴--=+，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C的圆心为)1C的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-3222-<∴两圆内含， 故曲线C 与1C 没有公共点. [方法二]：设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ， 所以(1,)AP x y =-，1(1AM x =-，1)y ， 由2AP AM=，即1111)x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得111)1x x y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1)1M x -+)，代入C的方程得221)1)2x y -++=， 化简得点P的轨迹方程是22(34x y -+=，表示圆心为1(3C 0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，θ为参数；计算1|||(332CC ==- 所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点． 【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出M 的参数坐标，再利用向量关系解出求解点P 的参数坐标，得到参数方程.方法二：利用代数方法，设出点P 的坐标，再利用向量关系将M 的坐标用点P 的坐标表示，代入曲线C 的直角坐标方程，得到点P 的轨迹方程，最后化为参数方程. 【2021年乙卷文科】4．在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1． （1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）5sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭和sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）[方法一]：直角坐标系方法①当直线的斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线的距离为2>r ，故舍去． ①当切线斜率存在时，设其方程为(4)1y k x =-+，即410kx y k --+=．1=，即22|2|1==+k k k ，解得k =．所以切线方程为4)1=-+y x 或4)1=-+y x ．两条切线的极坐标方程分别为sin cos 1ρθθ=-+和sin cos 1ρθθ=++．即5sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 26πρθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． [方法二]【最优解】：定义求斜率法如图所示，过点F 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．在ACF 中，tan ∠==AC AFC AF ∥CF x 轴，所以两条切线,FA FB故切线的方程为4)1=-+y x ，(4)1=-+y x ，这两条切线的极坐标方程为sin cos 1ρθθ=和sin cos 1ρθθ=+．即5sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 26πρθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． 【整体点评】 （2）方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解. 【2020年新课标1卷理科】5．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为 22cos (sin tt t ==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数），所以0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin tt t ==为参数），两式相加得曲线1C 1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤， 曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=， 曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=， 联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 【2020年新课标2卷理科】6．已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）()1:404C x y x +=≤≤；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【解析】 【分析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】(1)[方法一]：消元法由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．由参数方程可得22,+=-=x y t x y t， 两式相乘得普通方程为224x y -=． [方法二]【最优解】：代入消元法由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤， 由参数方程可得2+=x yt ， 代入1x t t=+中并化简得普通方程为224x y -=．(2)[方法一]：几何意义+极坐标将1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入4x y +=中解得2t =，故P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设P 点的极坐标为()00,P ρθ，由222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩得0ρ=03tan 5θ=，0cos θ=． 故所求圆的直径为172cos 5ρθ==r ， 所求圆的极坐标方程为2cos r ρθ=，即17cos 5ρθ=． [方法二]：由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为||=OP ． 设圆C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，所以5cos 2||θ==OP2=a 1725=a ．故所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． [方法三]：利用几何意义由224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为极坐标为α⎫⎪⎝⎭P，其中cos α= 如图，设所求圆与极轴交于E 点，则90OPE ∠=︒， 所以17cos 5α==OP OE ，所以所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．[方法四]【最优解】：由题意设所求圆的圆心直角坐标为(,0)a ，则圆的极坐标方程为2cos a ρθ=． 联立2240,4x y x y +-=⎧⎨-=⎩得5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设Q 为圆与x 轴的交点，其直角坐标为(2,0)Q a ，O 为坐标原点． 又因为点,(0,0),(2,0)P O Q a 都在所求圆上且OQ 为圆的直径， 所以0OP PQ ⋅=，解得1710a =． 所以所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． [方法五]利用几何意义求圆心由题意设所求圆的圆心直角坐标为(,0)a ， 则圆的极坐标方程为2cos a ρθ=．联立22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩得5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即P 点的直角坐标为53,22P ⎛⎫⎪⎝⎭．所以弦OP 的中垂线所在的直线方程为106170+-=x y ，将圆心坐标代入得1060170+⨯-=a ，解得1710a =． 所以所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 【整体点评】 (1)[方法一]利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有的问题都可以这样解决；[方法二]代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程之间的联系.(2)[方法一]利用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思维的 ；[方法二]首先确定交点坐标，然后抓住问题的本质，求得2a 的值即可确定极坐标方程；[方法三]首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；[方法四]直径所对的圆周角为2π是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要条件想联系进行解题时一种常见的方法；[方法五]圆心和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的方程.【2020年新课标3卷理科】7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【答案】（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴=（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.。
2020年高考数学精选专题(含答案详解)16 坐标系与参数方程
2020年高考数学精选专题（含答案详解）一、填空题（共6题；共6分）1.若曲线 ρ=2√2 上有 m 个点到曲线 ρsin(θ−π4)=√2 的距离为 √2 ，则 m 的值为________. 2.在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的方程为 x 2+y 2=1 ，将其横坐标伸长为原来的 √2 倍，纵坐标不变，得到曲线 C ，则曲线 C 的普通方程为________．3.若曲线 {x =2sinθy =sin 2θ (θ 为参数),与直线 y =a 有两个公共点则实数 a 的取值范围是________.4.在极坐标系 (ρ,θ) (0≤θ<2π) 中，曲线 ρ(sin θ+cos θ)+2=0 与 ρ(sin θ−cos θ)+2=0 的交点的极坐标为________；5.已知直线 l 的参数方程为 {x =4−3t y =√3t （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为 {x =2+cosθy =sinθ （ θ 为参数） 则它们公共点的坐标为________．6.已知直线 l:{x =−35t +2y =45t ( t 为参数)与 x 轴交于点 M ，点 N 是圆 x 2+y 2−4y =0 上的任一点，则 |MN| 的最大值为________．二、解答题（共9题；共85分）7.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 {x =−1+tcosαy =2+tsinα( t 为参数),其中 α≠kπ+π2,(k ∈Z) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0 .（1）求曲线 C 2 的直角坐标方程;（2）已知曲线 C 1 与曲线 C 2 交于 A,B 两点,点 P(−1,2) ,求 |PA|+|PB| 的取值范围.8.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=π3 (ρ∈R) ．以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 {x =2sinαy =1−cos2α ,（ α 为参数）． （1）请写出直线 l 的参数方程;（2）求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标．9.以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ+8sinθ ，P 是 C 1 上一动点， OP⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，Q 的轨迹为 C 2 . （1）求曲线 C 2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点 M(0,1) ，直线l 的参数方程为 {x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数），直线l 与曲线 C 2 的交点为A ，B ，当 |MA|+|MB| 取最小值时，求直线l 的普通方程.10.在同一平面直角坐标系 xOy 中，经过伸缩变换 {x ′=2x,y ′=y 后，曲线 C 1:x 2+y 2=1 变为曲线 C 2 .（1）求 C 2 的参数方程；（2）设 A(2,1) ，点 P 是 C 2 上的动点，求 △OAP 面积的最大值，及此时 P 的坐标． 11.设 A 为椭圆 C 1 ：x 24+y 224=1 上任意一点，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2−10ρcosθ+24=0 ， B 为 C 2 上任意一点. （Ⅰ）写出 C 1 参数方程和 C 2 普通方程； （Ⅱ）求 |AB| 最大值和最小值.12.曲线C 的参数方程为 {x =mt +mty =t −1t （ t 为参数， m >0 ），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 θ=α 与直线 ρsin θ=2 交于点P ， 动点Q 在射线OP 上，且满足|OQ ||OP |=8. （1）求曲线C 的普通方程及动点Q 的轨迹E 的极坐标方程；（2）曲线E 与曲线C 的一条渐近线交于P 1 ， P 2两点，且|P 1P 2|=2，求m 的值.13.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =√6sinαy =√6cosα （ α 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+π3)=2 . （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程；（2）直线 l 与 x 轴的交点为 P ，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点，若 |PA|+|PB|=4√3 ，求直线 m 的倾斜角.14.在极坐标系中，已知圆的圆心 C(6,π3) ，半径 r =3 ， Q 点在圆 C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆 C 的参数方程；（2）若 P 点在线段 OQ 上，且 |OP|:|PQ|=2:3 ，求动点 P 轨迹的极坐标方程.15.在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
2020年高考理科数学二轮专题复习十一：坐标系与参数方程(附解析)
2020年高考理科数学二轮专题复习十一：坐标系与参数方程（附解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标的问题，又有参数方程的问题．考查的重点有：极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化；已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求点的坐标、两点间的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程等．往往涉及直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x xy yλλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP'''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM∠叫做点M的极角，记为θ．有序数对),(θρ叫做点M的极坐标，记为),(θρM．注：极坐标),(θρ与(,2)()k k ρθπ+∈Z 表示同一个点．极点O 的坐标为(0,)()θθ∈R ． 若0<ρ，则0>-ρ，规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点．如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应唯一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ，θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定0ρ>，0≤θ<π2或0ρ<，π-<θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的． 即一个点的极坐标是不唯一的．3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出：()222cos ,sin ,,tan 0yx y x y x xρθρθρθ===+=≠．4．常见曲线的极坐标方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．常见曲线的参数方程（1）经过定点),(00y x P ，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．设P 是直线上的任意一点，则t 表示有向线段0P P u u u r的数量．参数的几何意义是有向线段0P P u u u r的数量．（2）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的参数方程为cos sin x b y a ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（4）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的参数方程sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；双曲线22221(0)y x a b a b -=>>的参数方程cot csc x b y a ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（5）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数，1tan t α=）；参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．7．参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致．参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过．根据t 的取值范围导出的取值范围．)(),(t g y t f x ==y x ,1．(2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=经典常规题（45分钟）2．(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．3．(2019·全国Ⅲ卷)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．1．(2019·河南省八市重点高中联盟“领军考试”)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值．高频易错题2．(2019·重庆西南大学附属中学高三第十次月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．3．(2019·广西壮族自治区南宁、梧州等八市高三四月联合调研考试)已知曲线l 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4ρθπ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设()2,1P ．直线l 与曲线C 交于点A B ，．求·PA PB 的值．1．(2019·江西省南昌市江西师范大学附属中学高三三模)在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C经过点π6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos26ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1π,6A ρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，2π,3B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值．精准预测题2．(2019·黑龙江省大庆市第一中学高三下学期第四次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．3．(2019·广西南宁市高三毕业班第一次适应性测试数学)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106ρθπ++=，若直线l 与曲线C 相切．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON △，且满足6MON π∠=，求MON △面积的最大值．2020年高考理科数学二轮专题复习十一：坐标系与参数方程（解析）从近五年的高考试题来看，该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标的问题，又有参数方程的问题．考查的重点有：极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化；已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程，求点的坐标、两点间的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程等．往往涉及直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系．1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ． 有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM ．注：极坐标),(θρ与(,2)()k k ρθπ+∈Z 表示同一个点．极点O 的坐标为(0,)()θθ∈R ． 若0<ρ，则0>-ρ，规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点．如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应唯一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不唯一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ，θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就唯一了，如限定0ρ>，0≤θ<π2或0ρ<，π-<θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的． 即一个点的极坐标是不唯一的．3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出：()222cos ,sin ,,tan 0yx y x y x xρθρθρθ===+=≠． 4．常见曲线的极坐标方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6．常见曲线的参数方程（1）经过定点),(00y x P ，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．设P 是直线上的任意一点，则t 表示有向线段0P P u u u r的数量．参数的几何意义是有向线段0P P u u u r的数量．（2）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的参数方程为cos sin x b y a ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（4）双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的参数方程sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；双曲线22221(0)y x a b a b -=>>的参数方程cot csc x b y a ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（5）抛物线22y px =参数方程222x pt y pt⎧=⎨=⎩(t 为参数，1tan t α=）；参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．7．参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致．参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过．根据t 的取值范围导出的取值范围．)(),(t g y t f x ==y x ,1．(2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-，l的直角坐标方程为2110x+=；（2．【解析】（1）因为221111tt--<≤+，且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-，l的直角坐标方程为2110x+=．（2）由（1）可设C的参数方程为cos2sinxyαα=⎧⎨=⎩，（α为参数，ππα-<<）．C上的点到lπ4cos11α⎛⎫-+⎪=．当2π3α=-时，π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7，2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin110ρθθ+=经典常规题（45分钟）故C 上的点到l ．2．(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=；（2）4cos ,[,]42ρθθππ=∈．【解析】（1）因为000(,)(0)M ρθρ>在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==||||cos 23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点，在Rt OPQ △中，cos()||23OP ρθπ-==，经检验，点(2,)3P π在曲线cos()23ρθπ-=上，所以，l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos OP OA θθ==，即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是[,]42ππ．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,[,]42ρθθππ=∈．3．(2019·全国Ⅲ卷)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）2cos ([0,])4ρθθπ=∈，32sin ([,])44ρθθππ=∈，32cos ([,])4ρθθπ=-∈π，（2）)6π，)3π，2)3π，5)6π． 【解析】（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， 3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．1．(2019·河南省八市重点高中联盟“领军考试”)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，l的直角坐标方程为40y --=；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意，可得()()2222cos sin 4x y αααα+=++=，则曲线C 的直角坐标方程为224x y +=．直线l的极坐标方程展开为1cos sin 222ρθρθ-=， 故直线l40y --=．（2）显然P 的坐标为()0,4-，不妨设过点P 的直线方程为cos 4sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），高频易错题代入C ：224x y +=，得28sin 120t t α-+=， 所以1212PA PB t t ⋅==，为定值．2．(2019·重庆西南大学附属中学高三第十次月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2）． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=， 曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线1C ：22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点对应的参数为1t ，2t，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号，所以1212MA MB t t t t +=+=+=．3．(2019·广西壮族自治区南宁、梧州等八市高三四月联合调研考试)已知曲线l 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4ρθπ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设()2,1P ．直线l 与曲线C 交于点A B ，．求·PA PB 的值． 【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=；（2）7．【解析】（1）由4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4cos 4sin ρθθ=+， ∴24cos 4sin ρρθρθ=+，又cos sin x y ρθρθ==，，∴2244x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=．（2）将325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入C 的直角坐标方程，得229418255t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴28705t t +-＝，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，∴127t t =-，则12·7PA PB t t ==．1．(2019·江西省南昌市江西师范大学附属中学高三三模)在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C经过点π6P ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos26ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1π,6A ρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，2π,3B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值． 【答案】（1）4cos ρθ=；（2）23． 【解析】（1）将1C 的参数方程化为普通方程得：()2222x y r -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=得1C 的极坐标方程为：224cos 40r ρρθ-+-=，将点π6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入1C中得：2π12406r -+-=，解得24r =， 代入1C 的极坐标方程整理可得：4cos ρθ=，1C ∴的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）将点1π,6A ρα⎛⎫-⎪⎝⎭，2π,3B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程， 得21π2cos 263ρα⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22222ππ2cos 22cos 2633ραρα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 222212ππ2cos 22cos 2111123363OA OBααρρ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+=+==． 精准预测题2．(2019·黑龙江省大庆市第一中学高三下学期第四次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10．【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =， 所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点11(,)M x y ，点22(,)N x y ， 直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线参数方程为22x t y t=⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==-所以MN ====10=．3．(2019·广西南宁市高三毕业班第一次适应性测试数学)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106ρθπ++=，若直线l 与曲线C 相切．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON △，且满足6MON π∠=，求MON △面积的最大值．【答案】（1）4sin()3ρθπ=+；（2）2．【解析】（1）由题意可知，直线l 20y -+=．曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得2r ==．可知曲线C 的直角坐标方程为(()2214x y -+-=．所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3ρθπ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N ρθπ⎛⎫+⎪⎝⎭（10ρ>，20ρ>，233θππ-<<）． 1211sin 264MON S OM ON ρρπ==△24sin sin 2sin cos32θθθθθππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2θθ=2sin 23θπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当12θπ=时，MON △面积的最大值为2．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国 I 卷)word版试题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若1z i =+,则22z z -= A.0 B.1 C.2 D.22.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = A.-4 B.-2 C.2 D.43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.51- B.51- C.51+ D.51+4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+ C ．x y a be =+ D ．ln y a b x =+6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+7.设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB. 76πC. 43πD. 32π8. 25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A. 5B. 10C. 15D. 209. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A.5 B. 23C. 13D. 510. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为ABC 的外接圆，若1O 的面积为14,AB BC AC OO π===,则球O 的表面积为 A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π11. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:20,l x y p +=为l 上的动点.过点p作M 的切线PA ，PB ,切点为,A B ,当PM AB 最小时，直线AB 的方程为 A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=12.若a 242log 42log b a b +=+则 A.a>2b B.a<2b C.a>2b D.a<2b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编附答案解析
新《坐标系与参数方程》专题解析一、131．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ）A ．2sin ,cos x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）B ．2tan ,1tan x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数） C．x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）D ．2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） 【答案】B 【解析】A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围.2．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ） A ．23x xy y''=⎧⎨=⎩B ．32x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，代入直线1x y -=的方程，变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解． 【详解】由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x ay y b ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩代入直线1x y -=的方程，可得111x y a b''-=， 要使得直线111x y a b''-=和直线326x y -=的方程一致， 则112a =且113b =，解得2,3a b ==， 所以伸缩变换的公式为23x xy y ''=⎧⎨=⎩，故选A ．【点睛】本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=，∴椭圆的焦距为=A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．4．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A．BC．D．2【答案】B 【解析】 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴()271114302BC =+-⋅+⨯=，故选B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．5．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。
2020年福建省高考理科数学试题及答案(word版)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题）.1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．8．（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线1：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M 的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0 12．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(通用版)五年高考(-)高考数学真题专题归纳 专题20 坐标系与参数方程(含解析)理-人教版高三全册
所在圆的圆心分别是
(1,
0)
，(1,
2
)
，(1,
)
，曲线
M1
是弧
AB
，
曲线 M 2 是弧 BC ，曲线 M3 是弧 CD ．
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M3 构成，若点 P 在 M 上，且| OP | 3 ，求 P 的极坐标．
x cos4 t
（2）当
k
4时，曲线 C1
的参数方程为
y
sin4
t
(t
为参数），
所以
x
0,
y
0
，曲线
C1
的参数方程化为
x cos2 t (t 为参数），
y sin2 t
两式相加得曲线 C1 方程为 x y 1，
得 y 1 x ，平方得 y x 2 x 1,0 x 1,0 y 1 ，
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因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值X围是
4
,
2
．
所以，P点轨迹的极坐标方程为 4 cos ,
4
,
2
．
4．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系 Ox 中，A(2, 0) ，B( 2, ) ，C( 2, ) ，
4
4
D(2,
)
，弧
AB
，BC
，C
D
t
2
（t
为参
数且 t≠1），C 与坐标轴交于 A、B 两点． （1）求| AB | ； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．