第六讲马氏链模型
马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。
N i ⋅⋅⋅=,2,1。
称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。
定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。
定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。
（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。
马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
马氏链
Markov 链}0:{≥n n ξ称为有限状态Markov 链,若n ξ只有有限个取值且 =====--+),,,|(0011i i i j P n n n k n ξξξξ )|(i j P n k n ==+ξξ. 将其记为 ),(k n n p ij +.转移概率矩阵记 )),((),(k n n p k n n P ij +=+,P ),(k n n +就称为从n 出发的k 步转移矩阵.显然P =),(n n I , P ),(m n 1T =1T , 而且P =),(l n P ),(m n P ),(l m (C-K 方程)时齐性: P =+),(m n n P m记成 )(m P , ()()()(m ij m p =P设初始分布为)(0)0(i P i ==ξμ，转移为P=)(ij p ，则nn i i i i i i i n n p p p i i i P 121100)0(1100),,,(-==== μξξξ绝对概率设)()(i P n n i ==ξμ，行向量)(n μ=):()(S i n i ∈μ，则 )(n m +μ=)(m μ)(n P .例1.DNA序列中的删除、插入、错读、及正确阅读由于DNA序列中每次错误的发生是独立的，而且可以近似地认为某一个bp是删除（插入）的可能只依赖其前一个bp 是否是删除（插入），所以它近似地可以看作一个Markov链。
这个数学模型在multiple alignment(MA) 时,是一个很好的模型。
2.在基因(编码CDNA)序列中, 正确的阅读框下,三联子码(codon)序列就可看作一个Markov链.这是因为氨基酸之间具有不同的结合能,因此有不同的稳定性.在长期的自然选择下,较稳定的连接对应的三联子码(codon)连接,就会比不稳定的三联子码(codon)连接以更大的可能出现. 所以将三联子码(codon)序列看作Markov链比通常采用的独立模型更为合理.3. 一个平稳随机序列(其有限个随机变量的联合分布平移不变: 例如(X(1),X(2),X(3)) 和(X(1+n),X(2+n ),X(3+n)) 具有相同的联合分布), 通常可以近似地认为X(n)的分布只依赖于它前面足够多的有限个(例如s个), 这时,{(X(n),X(n+1),X(n+2),…,X(n+s-1) )|n=0,1,2,… }就是一个Markov链.Poisson 过程Poisson 过程是一个连续时间的,取整数值的独立增量过程, 所以它有Markov 性. 它是时间连续的Markov 链。
马氏链简介
显然，cij 0
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
n
cij (ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ), (i 1,2,, n)
j 1
j 1
n
用随机变量 X n 表示第 n 个月的经营状况
Xn 1 Xn 2
表示销路好； 表示销路坏；
n 0,1,2
X n 称为这个经营系统的状态。
用ai n表示第 n 月处于状态 i 的概率， i 1,2,
即
ai n PXn i ai n 称为状态概率。
pij 表示已知这月处于状态 i ，下月处于状态 j 的概率，i, j 1,2, 即
每次传播消息的失真率为 p, 0 p 1,
即 ai 将消息传给 ai1, 时，传错的概率为 p
这样经过长时间传播第n个人得知消息时，消息 的真实程度如何？
第n个人知道消息可能是真，也可能是假， 有两种状态，记为
Xn 1 Xn 2
表示消息假； 表示消息真；
n 0,1,2
用ai n表示第 n 个人处于状态 i 的概率， i 1,2,
n01 2 3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0.5 0.45 0.445 0.4445 ？
0 0.5 0.55 0.555 0.5555 ？
a1(n)
5 10
5 102
a2 (n)
4 9
5 10n
5 10
1 (
1 10n1
05 马氏链模型
w (0.285,0.263,0.452 )
0.264 0.285 0.080 0.263 0.019 0.452 0.105
从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。
模型求解
第n周平 均售量
3
2. 估计这种策略下每周的平均销售量
i
Rn [ jP( Dn j, S n i) iP( Dn i, S n i) ]
N (t ) ni (t )
i 1 k
t年总人数
ni (t ) ai (t ) N (t )
a(t)~等级结构
ai (t ) 0,
a (t ) 1
i 1 i
k
转移矩阵 Q={pij}kk, pij 是每年从i 转至j 的比例
基本模型
模型建立
状态概率 ai (n ) P( S n i ), i 1,2,3
马氏链的基本方程
0.632 0.368 0 P 0.368 0.368 0.264 0.184 0.368 0.448
N
a(n 1) a(n) P
已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率
状态与状态转移
设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2…
n
a1(n)
0
1
1
0.8
2
0.757
3
50
0 0 1
0.7285 0.1293
a2(n)
a3(n)
0
0
0.18
0.02
0.189
0.054
0.1835
0.0326
0.0880 0.8381
第六章 马尔科夫链
三、马氏链的例子
解：马尔科夫链的 { X n，n 0，2， } 的状态空间为： 1，
S { 0，，， } 1 2
一步状态概率为：
j | X n i}
p， 若 j i 1，i 0；
q， 若 j i 1，i 0；
P{ X n 1
记 ( 0，1， )，( i P{ X 0 i}，i S ) .称
为齐次马尔可夫链的初始分布.
齐次马尔科夫链的有限维分布族完全由其一步转移 概率矩阵 P 和初始分布 确定.
三、马氏链的例子
例1 (一个简单的疾病死亡模型)
考虑一个包含两个健康状态S1和S2以及两个死亡状态 S3和S（即由不同原因引起的死亡）的模型。若个体病愈， 4 则认为它处于状态S1，若患病，则认为它处于S2，个体可 以从S1，S2 进入S3和S4，易见这是一个马氏链，转移矩阵为
以{X n，n 0} 表示质点在时刻 n 时的位置，则 X n是齐 次马尔可夫链，称为带有两个吸收壁的随机游动.求其 一步转移概率矩阵. 解：一步状态概率为：
P{ X n 1 j | X n i}
一步状态概率矩阵为：
1 0 0 0 0 q 0 p 0 0 0 q 0 p 0 P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
的状态与其过去的历史状态无关(独立).
一、马尔可夫链的定义
【例】 细胞分裂实验
第一节
基本概念
马尔可夫链的研究内容
1、计算马尔可夫链 { X n，n 0} 的有限维分布.
2、对马尔可夫链 { X n，n 0}的状态空间 S 按照某种 规则进行分类.
3、研究马尔可夫链 { X n，n 0} 的极限性质.
《工学马氏链》课件
通过建立马氏链模型，可以生成具有艺术性的音乐片段，为音乐创作提供灵感和创新。
垃圾邮件过滤
工学马氏链可以用于垃圾邮件过滤算法的设计，帮助识别垃圾邮件并提高电子邮件系统的安 全性。
状态转移概率矩阵
状态转移概率是指在马氏链中，从一个状态转移到另一个状态的概率。状态 转移概率矩阵是描述这些概率的矩阵。
• 植被模拟：使用马氏链模拟植被的生命周期，研究不同环境因素对植 被类型和分布的影响。
• 音乐生成：通过马氏链模型生成新颖的音乐片段，帮助音乐创作者创 作出独特的音乐作品。
• 垃圾邮件过滤：通过分析邮件内容和发件人的信息，使用马氏链算法 识别并过滤垃圾邮件。
这பைடு நூலகம்实际应用展示了马尔科夫过程在各个领域中的价值和潜力。
定义马氏链
马氏链是一种随机过程，其状态转移的概率只依赖于其当前状态，而不受其 过去状态的影响。它可以用于模拟各种随机事件的进程，如物质的扩散、金 融市场的波动等。
马氏链的定义包括状态空间、初始状态概率分布以及状态转移概率矩阵。
工学马氏链的应用
植被模拟
工学马氏链可以模拟植被的生长和变化过程，帮助环境科学家研究植被对气候变化的响应和 适应性。
《工学马氏链》PPT课件
# 工学马氏链 PPT课件大纲 ## 简介 - 定义马氏链 - 工学马氏链的应用 ## 状态转移概率矩阵 - 状态转移概率的定义 - 状态转移概率矩阵的构建 - 实例演示 ## 平稳分布 - 平稳分布的定义 - 构建平稳分布的方法 - 实例演示 ## 过渡概率矩阵 - 过渡概率矩阵的定义 - 过渡概率矩阵的构建 - 实例演示
过渡概率矩阵
过渡概率矩阵是描述马氏链中从一个状态转移到另一个状态的概率的矩阵。 它包含了马氏链中所有状态之间的转移概率。
马氏链理论
马尔可夫链理论
1 随机过程的概念
在许多，而且要进行多次，甚至接连不断观 测它的变化过程，这就要研究一族随机变量， 随机过程理论就是研究随机现象变化过程的 概率规律性。
析，主要目的是根据某些变量现在的情况及 其变动趋势，预测它在未来某特定区间可能 产生的变动，作为提供某种决策的依据。
2 马尔可夫链
现实世界中有很多这样的现象：某一系统在
已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情 况只与现在有关，而与过去的历史无直接关 系。描述此类随机现象的数学模型称为马氏 模型。
转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理
3 马尔可夫链的应用
应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分
《马尔可夫链讲》课件
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
马尔科夫链模型简介
马尔科夫链模型简介马尔科夫链模型是一种描述随机过程的数学模型，它使用状态转移概率矩阵来表示状态之间的转移。
该模型有着广泛的应用，在自然语言处理、金融学、生态学、物理学和化学等多个领域中有着重要的地位。
状态与状态转移马尔科夫链模型中的状态可以是任何状态，例如一个人的身体状态、一个系统的状况、一个物品的状态等。
设状态集合为$S=\\{s_1,s_2,...,s_n\\}$，则任何一个时刻系统都处于其中的一个状态。
接着，我们定义状态之间的转移概率矩阵$P=(p_{ij})_{n\\times n}$，其中p ij表示在状态s i下，系统转移到s j的概率。
因此，对于所有的$i,j\\in\\{1,2,...,n\\}$，有$0\\leq p_{ij}\\leq1$且$\\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$。
由此可以看出，状态转移矩阵P具有无后效性：状态s i到s i+k的转移只和当前状态s i有关，和之前的所有状态都无关。
马尔科夫性质马尔科夫链模型有一个很重要的性质，即马尔科夫性质。
它指的是，一个某时刻的状态和当前状态之前的所有状态无关，只和当前状态有关。
更正式地，对于所有$i\\in\\{1,2,...,n\\}$，$j\\in\\{1,2,...,n\\}$和k>0，有：$$ \\begin{aligned} P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i,X_{t-1}=s_{i-1},...,X_0=s_0)&=P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i)\\\\ &=p_{ij}^k \\end{aligned} $$其中X t表示在时刻t系统所处的状态。
这个性质使得我们可以用状态转移概率矩阵来描述系统随时间的演化。
平稳分布在马尔科夫链中，平稳分布是一个与时间无关的状态分布。
它满足以下条件：若$\\pi$是一个向量，其中第i个元素表示系统处于状态s i的稳态概率，则有$\\pi P=\\pi$。