华中科技大学数理方程课件——第一章典型方程与定解条件
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
数理方程课件2.2
ny 0 b
ny C0 Cn Dn cos 0 b n 1
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。
因此：
C0 0, Cn Dn 0 (n 1, 2,).
na na n b b Cn e Dn e Ay 得： D0 a cos b y Ay n 1
的值代入式(2.2.4)： X ( x) X ( x) 0
解得
X 0 C0 D0 x
n 0
Dn e
nx b
X n ( x) Cn e
nx b
(n 1,2, )
0
Y0 ( y) A0
0
X 0 C0 D0 x n Yn ( y ) An cos y (n 1, 2,) nx b nx X n ( x) Cn e b Dn e b (n 1,2, )
例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 E0 是 铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆 柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是 匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究 导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
得：
( 2 ) ( )
本征值问题：
'' 0, ( 2 ) ( )
1） 0
微分方程的通解是: ( ) Ae 不具周期性，所以舍去。 2） 0 微分方程的通解是: B=0时具周期性。 3） 0 微分方程的通解是:
故问题的一般解为：
u ( x, y ) X 0 ( x)Y0 ( y ) X n ( x)Yn ( y )
第一章--偏微分方程定解问题
第一章 偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。
如牛顿定律22d x dtm g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂------(2)热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ------(3) 静电场位方程 2222222(,,)f x y z u u u a x y z ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭∂∂∂++∂∂∂ ------(4) 激波方程 0u uu t x∂∂+=∂∂ ------(5) 等等。
其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。
这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。
数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。
从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。
本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。
为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。
1. 常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。
含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。
2. 阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式220d x m g dt-= ------(1’) 22230u t a u f -∂∂∆-= -------(2’) 230u ta u f -∂∂∆-= ------(3’)230a u f ∆+= ------(4’)0u u t xu +∂∂∂∂= ------(5’)其中 2223222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。
《数理方程》第一讲
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
数学物理方程经典教案(研究生,高校本科生)
Equation of Mathematical Physics
第一章 定解问题 Chpt1 Definite solution problem
本章主要内容
• 数学物理方程是指自然科学和工程技术的 各门分支中出现的偏微分方程，这些方程 的物理背景直接来源于自然现象和工程技 术中的实际问题，其不仅仅是数学和应用 数学专业的一门重要的专业基础课，而且 也是水利、土木、环境、电子、石油、地 矿和大气科学等理工科专业本科生和研究 生的专建筑、石油勘探、能源、航天技术、 核技术等工程技术领域中都可以抽象出含 有多个变量的微分方程—偏微分方程。 • 解决这些方程的问题，则必须学会使用数 学方法来实现。因此，未来的科学家、工 程师们必须掌握这门数学工具。
1.1 定解问题
• 参考书: • 杨秀雯，梁立华 编《数学物理方程与特殊 函数》，天津大学出版社（工科研究生教 材） ，1985 • 李明秀，田太心 主编《数学物理方法》， 电子科技大学出版社（研究生系列教材）， 2007
a21 ( x )D
( n 2)
... an11 ( x )D ' an ( x )D，
则方程可表示为 Ly 0
1.1 常微分方程基础
• 二、高阶微分方程
定理：n阶常系数线性齐次微分方程的通解为： （ 1）特征方程有n个不同实根1 , 2 ,..., n , 则 y ci ei x , ci为任意常数；
(8)
y y1
x
0
x y f ( ) y2 f ( ) 1 d y2 d c1 y1 c2 y2 (9) 0 ( y1 , y2 ) ( y1 , y2 )
1.1 常微分方程基础
例子：求下面非齐次二阶常微分方程的初值问题。 Tn ''(t ) r 2Tn (t ) f n (t ) (1) (2) Tn (0) n , Tn '(0) n 解：相应齐次方程Tn ''(t ) r 2Tn (t ) 0的线性无关的特解为 cos rt与 sin rt。朗斯基行列式为 (Tn1 , Tn 2 ) Tn 2 ' Tn1 -Tn 2Tn1 ' cos rt (sin rt )' (cos rt )'sin rt r 代入(9)式即得
方程的导出、定解条件
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t ),
uxx uyy uzz f ( x, y, z, t ).
（2）非线性方程：
（a）拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总 体来说是线性的方程。比如
ut buux uxxx ,
ut uxx f (u).
t
x x
x
[ utt ( x, t ) Tuxx ( x, t ) F ( x, t )]dxdt 0.
表示单位质量在每点处所受的外力
仍有 x, t 的任意性，知
utt auxx ( x, t ) f ( x, t ) : F ( x, t ) / .
进一步推广到高维情况：
*目标函数： 弦上质点相对于平衡位置的位移图
OL l
x
L
*物理守恒律（转化方程等式）：
牛顿第二定律：F ma.
或冲量定理：F t p mv.
教材采用
下面我们推导弦振动方程，先考虑无外力情况：
u
O
t 时刻示意图
OL l
x
x x x
*初始条件：设弦在初始时刻 t 0 时的位置和速度为
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), (0 x l ).
*边界条件（注意该提法的物理背景）： （a）第一类边界条件（狄利克雷边界条件）: 在前面的推导中，弦的两端被固定在 x 0 和 x l 两点，即 u(0, t ) u(l , t ) 0. （b）第二类边界条件（诺伊曼边界条件）: 设弦的一端 x 0 处于自由状态，即可以在垂直于 x 轴 的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在 边界右端的张力的垂直方向分量是 Tu x ，于是边界处应 有 ux x0 0 也可考虑更一般非零情况。
第一章----波动方程
总之：
无外力作用的一维弦振动方程：
2u t 2
a2
2u x2
0
外力作用下的弦振动方程：
(1.4)
2u t 2
a2
2u x2
f (x,t)
(1.5)
其中 a2 T , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种 振动或波动现象，后面将给出解释。
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
chapter1_偏微分方程定解问题
.
(2)
若取 为齐次一阶线性偏微分方程
a ( x, y )
b ( x, y ) 0 x y
(3)
的解，则新方程 (2) 成为 (1) 型的方程
(a u b ) cu f x y
，
(Hale Waihona Puke ”)对 积分便可求出通解。 由于对 只要求它是 a( x, y)
1.2 定解问题及其适定性：
1.2.1 通解和特解
偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如： 例 1.2.1：求解二阶偏微分方程
2u 0 ，u u ( , ) 。
解：两边依次对 ， 积分，得
u f ( ) g ( ) ，
对于任意C 1 ( R) 函数 f 和 g ，都是方程在全平面的解。
r
u x 2 y 2 等。
1.2.2 定解条件
方程的解中可以出现任意函数， 不能确定一个真实的运动， 这是因为在建立方程的过程中， 仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的 物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。通常把反映 系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。泛定 方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。 常见的定解条件有： 1. 初始条件：如果方程中关于时间自变量 t 的最高阶导数是 m 阶的，则
当n 时，初始条件一致趋于 0，但对任意固定的 y，当n 时，解u ( x, y ) 无界，因而解 不稳定。这说明调和方程的混合问题是不适定的。
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：