重庆理工大学高等数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共计15分）
1．=-+→113lim )0,0(),(xy xy y x （ ）
A 、3
B 、6
C 、∞
D 、不存在
2．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(22222
2y x y x y x xy y x f 在点（0，0）处（ B ）
A 、连续但不存在偏导数
B 、存在偏导数但不连续
C 、既不连续又不存在偏导数
D 、既连续又存在偏导数
3．D 为圆122≤+y x ，则dxdy y x D
⎰⎰--221=（ D ）
A 、 π
B 、
3π C 、32π D 、2
π 4．下面四个函数中，函数（ D ）在点（0，0）处不取得极值但点（0，0）是它的驻点。
A 、xy y x f =),( B 、22),(y x y x f += C 、)(),(22y x y x f +-= D 、22),(y x y x f +=
5．设平面闭区域D ={}222),(R y x y x ≤+，1D ={}0,0,),(222≥≥≤+y x R y x y x ，则下列等式中正确的是（ D ）
A 、σσd x xd D D ⎰⎰⎰⎰=1
4 B 、σσd y yd D D ⎰⎰⎰⎰=14 C 、σσd xy xyd D D ⎰⎰⎰⎰=14 D 、σσd x d x D D ⎰⎰⎰⎰=1
224
二、填空题（每小题3分，共计24分）
1．微分方程1sin cos =+'x y x y 的通解为 ；
2．函数x y z arctan =，则x
z ∂∂= ； 3．若曲线L 是圆周122=+y x ，则曲线积分⎰L
ds = 2pai ； 4．曲面32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的切平面方程为 2x+y-3=0 ；
5．准线C 为⎩
⎨⎧=--=++012222222z y x z y x ，母线平行于Z 轴的柱面方程为 ； 6．计算⎰⎰-2202x y dy e dx = ；
7．如曲线积分dy y y x dx xy x L
)56()4(4214-++-⎰λλ与路径无关，则λ= 3 ； 8．幂级数∑∞
=⋅13n n n
n x 的收敛半径是R= 3 。
三、解答题（每小题7分，共计56分）
1、设一平面经过点P （2，-1，-1）及点Q （1，2，3）且与平面06532=+-+z y x 垂直，求此平面方程。
2、设x y e z =，求y
x z ∂∂∂2。
3、设),(22xy e y x f z -=，其中f 可微，求
x z ∂∂，y z ∂∂。
4、设),(y x f z =是由方程0=+----x y z xe x y z 确定的隐函数，求dz 。
5、求⎰⎰D dxdy y x 22 ，其中D 是由x y =，2=y 及双曲线1=xy 围成的平面区域。
6、计算三重积分dv z ⎰⎰⎰Ω
，其中Ω由曲面22y x z +=和平面4=z 所围成。
7、计算dy x x dx y xy L
)4()22(2-+-⎰，其中L 为圆周922=+y x 的正向边界。
8、求微分方程x e y y y =+'-''23的通解。
四、判定级数∑∞=+1)
1(cos n n n n α是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（5分）
得分 评卷人。
重庆理工大学概率论试卷及答案5
概率与数理统计复习资料一、单选1.设随机事件A 与B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则〔 〕 A.()1()P A P B =-〕 B.()()()P AB P A P B =⋅ C.()1P A B =D.()1P AB =2.设A ,B 为随机事件,()0P A >,(|)1P A B =,则必有〔 〕 A.()()P A B P A = B.A B ⊂ C.()()P A P B =D.()()P AB P A =3.将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为〔 〕A.2224B.1224C C C.242!A D.24!!4.某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为34,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率是〔 〕A.33()4B.231()44⨯C. 213()44⨯ D.22413()44C 5.已知随机变量X 的概率密度为()X f x ,令2Y X =-,则Y 的概率密度()Y f y 为〔 〕A.2(2)x f y -B. 2()2x y f - C. 1()22x y f -- D.1()22x yf - 6.如果函数,;()0,x a x b f x x a x b≤≤⎧=⎨<>⎩或是某连续随机变量X 的概率密度,则区间[,]a b 可以是〔 〕A.(0,1)B.(0,2)C. D.(1,2)7.下列各函数中是随机变量分布函数的为〔 〕A.F x x x 1211(),=+-∞<<+∞B.200()01x F x x x x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ C.3(),x F x e x -=-∞<<+∞D.F x arctgx x 43412(),=+-∞<<+∞π8.设二维随机向量〔X,Y 〕的联合分布列为〔 〕则(0)P X == A.112B. 212C. 412D. 5129.已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[1,3]-和[2,4]上服从均匀分布,则()E XY =〔 〕 A.3B.6C.10D.1210.设()x Φ为标准正态分布函数,1,0,i A X A ⎧=⎨⎩事件发生；事件不发生，1,2,,100i =,且()0.8P A =,12100,,,X X X 相互独立.令1001i i Y X ==∑,则由中心极限定理知Y 的分布函数()F y 近似于〔 〕A.()y ΦB.80()4y -Φ C.(1680)y Φ+ D.(480)y Φ+ 11.设随机事件A 与B 互不相容,且有P<A>>0,P<B>>0,则下列关系成立的是< >A. A,B 相互独立B. A,B 不相互独立C. A,B 互为对立事件D. A,B 不互为对立事件12. 已知P<A>=0.3,P<B>=0.5,P<A ∪B>=0.6,则P<AB>=< >. A. 0.15 B. 0.2 C. 0.8 D. 113. 设随机变量X 的概率密度为f<x>,则f<x>一定满足〔 〕A.0≤f<x>≤1B.{}()XP X x f t dt-∞>=⎰C.()1f x dx +∞-∞=⎰D.f<+∞>=114. 从0,1,…,9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字,则"8〞至少出现一次的概率为< > A.0. 1 B.0.3439 C. 0.4 D. 0.656115. 设一批产品共有1000个,其中有50个次品.从中随机地有放回地抽取500个产品,X 表示抽到次品的个数,则P ｛X ＝3｝＝< >A. 5001000497950350C C C B. 5001000497950350A A A C. 49733500)95.0()05.0(C D. 500316. 设随机变量X 的概率密度为f<x>=1cos ,,20,.x a x b ⎧<<⎪⎨⎪⎩其它 则区间<a,b>是< >.A. <0,2π>B. <2π-,0> C. <-π,π> D. <2π-,2π> 17. 已知随机变量X则P 〔{-2<X ≤A. 0 B. 0.2C. 0.35 D. 0.5518. 设二维随机向量〔X,Y 〕的概率密度为f<x,y>,则P{X>1}=〔 〕A. ⎰⎰+∞∞-∞-dy)y ,x (f dx 1 B. ⎰⎰+∞∞-+∞dy)y ,x (f dx1C. ⎰∞-1dx)y ,x (f D. dx)y ,x (f 1⎰+∞19．设随机变量X ～B 〔30,61〕,则E 〔X 〕＝< > A.61B.65C.625D. 520. 设随机变量X ～B<100,0.1>,则方差D<X>=< >. A. 10B. 100.1C. 9D. 3 二、填空1.一口袋中装有3只红球,2只黑球,今从中任意取出2只球,则这2只球恰为一红一黑的概率是.2.设1()2P A =,2(|)5P B A =,则()P AB =.3.则常数4.设随机变量(0,1)XN ,()x Φ为其分布函数,则()()x x Φ+Φ-=.5.已知连续型随机变量X 的分布函数为 设X 的概率密度为()f x ,则当0,()x f x <=.6.设随机变量X 与Y 相互独立,且1(1)2P X ≤=,1(1)3P Y ≤=,则(1,1)P X Y ≤≤= 7.设随机变量X 的概率密度为f<x>=22(),x f x x -=-∞<<+∞,则(1)E X +=.8.设随机变量X 与Y 相互独立,且()1D X =,()2D Y =,则()D X Y -=.则样本方差2s =.10.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,中μ未知,12,,nX X X 为其样本.若假设检验问题为201:1:1H H σσ=≠,则采用的检验统计量为 .11.已知P<A>=0.3,P<B>=0.5,P<A∪B>=0.8,那么P<AB >=______,P<AB >=______.12. 进行5重贝努利试验,事件A 在每次试验中发生的概率P<A>=0.1,则在5次试验中A 恰发生2次的概率为____________,A 至少发生1次的概率为____________13.若1,2,3,4,5号运动员随机排成一排,则1号运动员站在正中间的概率为_______________.14. 设X 为连续随机变量,c 为一个常数,则P ｛X ＝c ｝＝_______________. 15. 设X ～N<5,4>,若d 满足P<X>d>=Φ<1>,则d=______. ,其分布列为 的分布函数为F X <x>,则随机变量Y=3X+2的分布函数F Y <y>=___________. 18. 设随机变量X 有密度f<x>=(1),01,0,.K x x -<<⎧⎨⎩其它则K=______三、证明题1.设A 、B 为两个随机事件,0()1P B <<,且(|)(|)P A B P A B =,证明事件A 与B 相互独立.2. 设A,B 为随机事件,P 〔B 〕>0,证明：P<A|B>=1-P<B |A >.,那么当0≤x ＜1时,X 的分布函数的取值为F<x>=______.四、计算题〔共8分〕1.设随机变量X 的概率密度为,01;()0,.cx x f x α⎧<<=⎨⎩其它且()0.75E X =,求常数c和α.2. 设随机向量<X,Y>概率密度为f<x,y>=⎩⎨⎧<<<<其他 0,xy 1,0x 8xy,0<1>求边缘概率密度f X <x>,f Y <y><2>求概率P{Y ≤2X} 五、综合题1.设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为f<x,y>=,0;(,)0,.y e x y f x y -⎧<<⎨⎩其它一、 求(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y ； 二、 判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 2．设随机变量1X 与2X 相互独立,且21(,)X N μσ,21(,)X N μσ,令12X X X =+ 2,12Y X X =-.求：〔1〕(),()D X D Y ;<2>X 与Y 的相关系数XY ρ.3. 加工某种零件,如生产情况正常,则次品率为3%,如生产情况不正常,则次品率为20%,按以往经验,生产情况正常的概率为80%,①任取一只零件,求它是次品的概率. ②已知所制成的一个零件是次品,求此时生产情况正常的概率. 4. 设由取自正态总体2(,0.9)XN μ,容量为9的样本,得样本的5X =,求未知参数μ的95%置信区间 〔0.025 1.96u =〕六．应用题1．已知某炼铁厂在生产正常的情况下,铁水含碳量X 服从正态分布,其方差为0.03,在某段时间抽测了10炉铁水,算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？<显著性水平05.0=α<7.2)9(,023.19)9(2975.02025.0.==χχ>2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 设01:70:70H H μμ=≠答案一、单选 1.D 2.A3.A4.C5.D6.C7.B8.D9.A10.B11.D 12.B13.C14.B15.C 16.D17.D18.B19.D20.C 二、填空1. 0.62.153. 0.14. 15. 13e x 6.167. 18. 39. 210. <n-1>s 2或()xx ii n-=∑1211. 1 ,0.212. 缺答案13. 缺答案14. 缺答案15.116.0.417.218.3三、证明题〔共8分〕1.证法一：由题设与条件概率定义得P AB P B P AB P B ()()()(),=又P AB P A B P A P AB ()()()()=-=-, 由以上二式可得 P<AB>=P<A>P<B>,故A 与B 相互独立.证法二：由全概率公式得P<A>=P B P A B P B P A B ()(|)()(|)+=[P B P B ()()+]P<A|B> <由题设> =P<A|B>,则P<AB>=P<B>P<A|B>=P<A>P<B>, 故A 与B 相互独立.2,证：右边=()1(|)1()P AB P A B P B -=-()()()1(|)()()P B P AB P AB P A B P B P B --===左四、计算题〔共8分〕1.解：由cx dx cxdx αα==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎰⎰+10750111,.,可得cc αα+=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪112075,.,解得 α==23,.c 2解： ①30()884xX f x xydy xydy x +∞-∞===⎰⎰同理可得 401()0Y y y f x <<⎧=⎨⎩其它②12200()882x xXP Y dx xydy xdx ydy +∞-∞-∞≤==⎰⎰⎰⎰五、综合题〔本大题共两小题,每小题12分,共24分〕1．解：〔1〕边缘概率密度为f x <x >=f x y dy e dy e x x xyx (,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪+∞---∞+∞⎰⎰000≤ f x <y >=f x y dx e dx ye y y xy y y(,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎰⎰---∞+∞000≤ 〔2〕由于f<x,y>≠⋅f x f y X Y ()(),故X 与Y 不独立. 〔3〕P{X+Y ≤1}=f x y dxdy x y (,)+⎰⎰≤1=dx e dy y xx --⎰⎰1012=12112+---e e.2.解：D<X>=D<X 1+X 2>=D<X 1>+D<X 2>=2σ2,D<Y>=D<X 1-X 2>= D<X 1>+ D<X 2>=2σ2, Cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>=E X E X E X E X E X E X ()()[(()][()()]12221212--+⋅-=D<X 1>-D<X 2>=0,则ρXY Cov X Y D X D Y ==(,)()().03．解：〔1〕边缘概率密度为f x <x >=f x y dy e dy e x x xyx (,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪+∞---∞+∞⎰⎰000≤ f x <y >=f x y dx e dx ye y y xy y y(,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎰⎰---∞+∞000≤ 〔2〕由于f<x,y>≠⋅f x f y X Y ()(),故X 与Y 不独立. 〔3〕P{X+Y ≤1}=f x y dxdy x y (,)+⎰⎰≤1=dx e dy y xx--⎰⎰1012=12112+---e e.4.解：D<X>=D<X 1+X 2>=D<X 1>+D<X 2>=2σ2,D<Y>=D<X 1-X 2>= D<X 1>+ D<X 2>=2σ2, Cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>=E X E X E X E X E X E X ()()[(()][()()]12221212--+⋅-=D<X 1>-D<X 2>=0,则ρXY Cov X Y D X D Y ==(,)()().0六、应用题〕1.解：缺答案2.解：这是两正态总体均值差的区间估计问题.由题设知,n 1=5,n 2=6,x =175.9,y =172,s 12113=.,s 22=9.1,α=005.. s n s n s n n w =-+-+-()()11222212112=3.1746选取t 0.025<9>=2.2622,则μμ12-置信度为0.95的置信区间为： [x y t n n s n n x y t n n s n n ww --+-+-++-+αα2121221212211211(),()]=[-0.4484,8.2484].。
重庆理工大学2015年 数学物理方法试卷B-
7（15 分） 、在半平面 y > o 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题
= 2 u 0 y > 0 。 ϕ u x | ( ) = = y 0
-1-
重庆理工大学考试试卷
２０１４ ～ ２０１５ 学年第 一 学期
班级 学号 姓名 考试科目 数学物理方法 B 闭卷 共 3 页
-3-
题号 分数
一
二
三
四
五
六
总分
ห้องสมุดไป่ตู้
总分人
一、填空题（每空 3 分，共 30 分）
得分
1、 i =
z
i
评卷人
。 。
2、 已知复数 z 满足方程 e + 1 = 0 ，则 z =
3、 函数 chωt 的拉普拉斯变换函数，即 L[ chωt ]= 4、 长为 l 的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为 x sin 2 x ，初始速度为 cos 2 x ，则其定解条件为 ， ， 。 ，解析 ，
utt − a 2u xx = 0 11（10 分） 、求解无限长弦的自由振动的定解问题， u |t =0 = ϕ ( x) 。 u | = −aϕ ′( x) t t =0
12（15 分） 、用分离变量法解两端固定弦的自由振动的定解问题
utt − a 2u xx = 0，
u |x =0 = 0 , u |x =l = 0 u |t =0 ϕ ( x) (0 < x < l ) ut |t =0 = ψ ( x)
8（10 分） 、试简要讨论一般有界稳定场问题 u xx + u yy = f ( x, y ) , u | x =0 = f1 ( y ), u | x = a = f 2 ( y ) , u | y =0 = ϕ ( x) , u | y =b = ψ ( x) 的求解思路。
2015年重庆理工大学818高等代数考研真题硕士学位研究生入学考试试
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
重庆理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试
题
学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：应用数学,统计学 考试科目（代码）：高等代数(818) A 卷 （试题共 4 页） 注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。
2.试题附在考卷内交回。
一. 填空题(共5小题，每题 3 分,共 15 分)
1.实数域上的不可约多项式的次数至多为 次。
2.设3阶方阵，为3阶非零矩阵且，则 。
3.设向量，且可由线性表示，则。
4.设3阶方阵的三个特征值分别为1,-1,0，则 。
5.若实对称方阵与合同，则二次型的规范形为 。
二. 单项选择题(共5小题,每题 3 分,共 15 分)
1．设为5阶方阵且，为的伴随矩阵，则( )
(A). 0 (B).1 (C).2 (D).3
第1页 R 12331943A t -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B AB O =t =(2,0,1),(0,1,1),(1,0,)k αβγ===γ,αβk =A 23A I -=A 100020004B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
123(,,)T f x x x x Ax =A =2A 秩*A A *=A 秩。
重庆大学高数(工学下)期末试题一(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ⨯与,a b 的位置关系是().(A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B).分析:,a b 的向量积a b ⨯是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面.2. 微分方程633xy dye e y x y dx=+- 的一个解为().(A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x =知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D).分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有y x =满足方程,故应选(D).3. 累次积分⎰⎰=-2022x y dy e dx ().(A))1(212--e (B))1(314--e (C))1(214--e (D))1(312--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C).分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(214--e ,只能选(C). 4．设曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ().(A)2x x e e -- (B)2xx e e --(C) 12-+-x x e e (D)21xx e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B).分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=-命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密()().x f x f x e '⇒-=-由结构看,C,D 不满足方程,代入,B 满足,A 不满足,选B.5. 设直线方程为1111220,0A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0,A B C D B D ≠则直线().(A) 过原点 (B) 平行于z 轴 (C) 垂直于x 轴 (D) 垂直于y 轴 知识点：直线与坐标轴的位置关系,难度等级：1. 答案:(D).分析:方程2220,0B y D D +=≠表示垂直于y 轴且不过原点的平面,11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩表示的直线位于垂直于y 轴且不过原点的平面上,不平行于z 轴,不垂直于x 轴.6. 设∑为球面2224(0)x y z z ++=≥的外侧,则2yzdzdx dxdy∑+⎰⎰().=(A)354(B)354π (C)12 (D)12π知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,难度等级：2. 答案:(D).分析: 添有向平面221:0(4)z x y ∑=+≤取下侧,则124,yzdzdx dxdy zdV π∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰1228.Dyzdzdx dxdy dxdy π∑+=-=-⎰⎰⎰⎰故有结果为D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.121lim(1)sin x y x y →→⎛⎫- ⎪⎝⎭__________.= 知识点：二重极限,难度等级：1. 答案:0. 证明:1(1)sin01x x y--≤- 0,ε∴∀>取,δε=只要0,δ<必有1(1)sin0.x yε--<121lim(1)sin 0.x y x y →→⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 8. 已知lim6,n n a →∞=则11()n n n a a ∞+=-=∑__________. 知识点：级数和,定义,难度等级：1. 答案:1 6.a - 分析: 部分和数列12231111()()() 6.n n n n s a a a a a a a a a ++=-+-++-=-→-9.2221___________,ds x y z Γ=++⎰其中Γ为曲线cos ,sin ,tttx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧.知识点：对弧长的曲线积分,难度等级：2. 答案21).e- 解:弧长的微分为tds dt ==,22222.tx y z e ++=于是2222011).ds x y z e Γ=-++⎰⎰10. 平面3x y z a ++=被球面2222x y z R ++=(0)R <所截得一个圆,则该圆的半径为__________.=知识点：平面,球面,半径,难度等级：1. 答案分析:该圆的中心在平面3x y z a ++=上,且三个坐标相等,中心坐标为(,,),a a a,11．设曲线积分 ,4 L 22⎰++-=yx xdyydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向,则__________.I =知识点：对坐标的曲线积分,难度等级：2. 答案:.π分析: 可取椭圆的参数方程计算.12. 设∑是球面222x y z R ++=在第一卦限部分,则2__________.x dS ∑=⎰⎰知识点：对面积的曲面积分,对称性,难度等级2. 答案:4.6R π分析:222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()22213x y z dS ∑=++⎰⎰ 224114.386R R R ππ=⋅⋅=三、计算题(每小题6分,共24分) 13. 求微分方程()0y xxe d y x xdy -=+的通解. 知识点：齐次微分方程,通解,难度等级1. 分析：齐次微分方程,作变量代换yu x=化为可分离变量的微分方程.解: 方程两端同除以,x 得()0.y xye dx dy x+-=令,y vx =则.dy vdx xdv =+ 代入上式,得0,ve dx xdv -= 即 0.vdx e dv x--= 积分之,得ln .v x e C -+=故原方程的通解为ln .y xx e C -+=14. 计算2(2)(3),y L x y dx x ye dy -++⎰其中L 由从)0,2(A 到)1,0(B 的直线段22=+y x 及从)1,0(B 到)0,1(-C 的圆弧21y x --=所构成.知识点：对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级：2. 分析：补充线段构成闭曲线用格林公式.解 :如图,添加一段定向直线,CA 这样L 与CA 构成闭路.设所围的区域为,D 于是根据格林公式得:2211(2)(3)55(211)24y L CA Dx y dx x ye dy dxdy π+-++==⋅⋅+⋅⎰⎰⎰15(1).4π=+ 则L⎰=.L CACA→+-⎰⎰又2221(2)(3) 3.y CAx y dx x ye dy x dx --++==⎰⎰故25(2)(3)5(1)32.44y L x y dx x ye dy ππ-++=+-=+⎰ 15. 计算22(),x y dS ∑+⎰⎰其中∑为抛物面222z x y =--在xoy 面上方的部分.知识点：对面积的曲面积分,难度等级：2.分析：直接将曲面积分化为二重积分,用极坐标计算二重积分. 解:∑在xoy 的投影为22:2,xy D x y +≤且= 于是22()x y dS ∑+⎰⎰22(xyD x y =+⎰⎰20220112(14(14)84149.30d r r πθππ==⋅+-+=⎰ 16. 计算333,x dydz y dzdxz dxdy ∑++⎰⎰其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.知识点：对坐标的曲面积分,高斯公式,球面坐标,难度等级：2 分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ 2223()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222053sin 12.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(,)z f x u =具有连续的二阶偏导数，而,u xy =求22.zx∂∂难度等级：1；知识点：复合函数的偏导数.分析: 按复合函数的偏导数的求法两次对x 求偏导数，即可求出22.z x∂∂ 解:x x u z f y f '''=+ 22.xx xx xu uu z f yf y f ''''''''⇒=++18．利用斯托克斯公式计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰其中Γ是用平面23=++z y x 截立方体[]⨯1,0[]⨯1,0[]1,0的表面所得的截痕,若从z 轴正向看去,Γ取逆时针方向.知识点：对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,难度等级：3 分析: 通过斯托克斯公式将曲线积分转化为对面积的曲面积分,注意积分技巧:可将方程代入被积函数.解: 如图,我们将平面23=++z y x 的上侧被Γ所围的部分取为,∑于是∑的单位法向量.n e =由斯托克斯公式得:dS y x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222cos coscos γβα ().x y z dS ∑=++ 观察上述积分,由于在∑上有3,2x y z ++=根据第二型曲面积分的计算公式,故396(6)().42xyxyD D I dS S ∑=-=-=-=-=-其中xy D 是∑在xOy 坐标平面的投影区域,而xyD S 为xy D 的面积.五、 证明题(每小题6分,共12分)19．试证:,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处偏导数存在,但是不可微.知识点：二元函数偏导数、可微,难度等级：1分析:先求出(0,0),(0,0)x y f f 然后说明(0,0)(0,0)x y z f x f y ∆-∆-∆不是比ρ更高阶的无穷小量就可以了.证明 : 0(,0)(0,0)lim 0(0,0);x x f x f f x∆→∆-==∆同理, (0,0)0.y f =则2200limlim.()()x x y y zx yx y ρρ→∆→∆→∆→∆→∆∆∆==∆+∆ 但是此极限不存在,故(,)f x y 在(0,0)处不可微.20. 证明:级数2(!)nn x y n ∞==∑满足方程0.xy y y '''+-= 知识点：幂级数,微分方程,难度等级：2. 分析：直接用幂数代入微分方程验证.证明: 因为20,(!)n n x y n ∞==∑所以122212(1),.(!)(!)n n n n nx n n x y y n n --∞∞==-'''==∑∑ 212222101122222111221(1)(!)(!)(!)(1)11(!)(!)(!)!(2)!!(1)!!!n n n n n n n nn n n n n nn n n n n x nx x xy y y x n n n n n x nx x n n n x x x n n n n n n --∞∞∞===--∞∞∞===--∞∞∞===''-'''+-=+--=++--=+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 21111(1)!(1)!(1)!!(!)(1)(1)(1)!!0n n nn n n nn x x x n n n n n n n xn n ∞∞∞===∞==+-+-++-+=+=∑∑∑∑∴方程0xy y y '''+-=成立.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设球在动点(),,P x y z 处的密度与该点到球心距离成正比,求质量为m 的非均匀球体2222x y z R ++≤对于其直径的转动惯量． 知识点：立体的转动惯量,难度等级：2. 分析：利用转动惯量公式,球坐标计算三重积分.解:设球体方程为2222:,x y z R Ω++≤密度函数ρ=则球体的质量为:234(,,)sin Rm x y z dxdydz k k d d r dr k R ππρθϕϕπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以,密度函数为ρ=计算该球体绕z 轴转动的转动惯量:22224235232240()(,,)(24sin sin 39Rm I x y x y z dxdydz xy R m d d r dr mR d mR R πππρπθϕϕϕϕπΩΩ=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22．将质量为m 的物体垂直上抛,假设初始速度为0,v 空气阻力与速度成正比(比例系数为k ),试求在物体上升过程中速度与时间的函数关系.知识点：微分方程的初值问题,难度等级：1 分析: 只需将二阶导数表示出来就可证之.解: 根据条件,空气阻力为.kv 于是物体上升过程中受力为()kv mg -+(其中负号表示力与运动方向相反),而运动加速度为.dva dt=因而得微分方程 .dv m kv mg dt=-- 又知初始速度为0v ,故得初值问题0,(0).dv kv g dt mv v ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ 因此000000(1.)()()ttkkkk k k dtdtt t t t tm m mm m mgm mg v egedt v ee v e v e k m k kg -----⎰⎰=-+=+-+=+⎰。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.理)含答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第I卷考生注意：1 •答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码•请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2 •每小题选出答案后，用2E铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号•在试题卷上作答无效.3 •本卷共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.4 •所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5 •考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A, B互斥，那么P（A B）=P（A）• P（B）如果事件A, B相互独立，那么p（MB）=P（A）L P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n（k） =C：P k（1-P）n±（k"1,2,|||, n）4 3以R为半径的球体积：v二n R33一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 •直线y = x • 1与圆x2 y2 = 1的位置关系为（）A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2 .已知复数z的实部为-1，虚部为2,则5i=（)zA. 2 -iB. 2 iC. -2-iD. -2 i2丄2 3 • (x )x 8的展开式中x4的系数是（)A. 16B. 70C.560D. 11204. 已知a =1, b = 6,al_（b —a）=2，则向量a与向量b的夹角是（）J[ JI JI TtA. B. C. D.6 4 3 225. 不等式x+3-x-1兰a -3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A . (」：，-1]U[4, =)B . (」：，-2]U[5, ：：)C. [1,2] D .(」：,1]U[2,：：)代 B,C ，向量 C ，3sin A,sin B) , n = (cosB,、,3cosA), 若 m|_n =1 cos(A B)，则 C =()兀兀2 二5 二A .B . C.D . --- _ -.o 一6 336x 2，其中R ，贝U a - b 的值为8.已知lim (- ax -b) =2 a, b -_¥ ■ x 1A . -6B . -2 C. 2 D . 69.已知二面角-■ - \ - ■■■的大小为50°, P 为空间中任意一点，则过点 平面1所成的角都是250的直线的条数为()-- A . 2B . 3C. 4D . 53f (x)二x 恰有5个实数解，则 m 的取值范围为()二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.把答案写在答题卡相应位置上.11. 若 A ={x ^ R||x £3〉, B ={x ^ R 2x >1}，则 A“ B = _____________ .112.若f (x) - a 是奇函数，则a= .—.2x _113. 将4名大学生分配到 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种(用数字作答).2 215.已知双曲线 令-专-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为Fj-c,。
重庆理工大学概率论与数理统计期末试卷
重庆理工大学考试试卷学年第 学期班级 学号 姓名 考试科目 概率与数理统计 A 卷 闭卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································)0.7AB =， B 、0.4 服从参数为(λλ,,n X 是来自正态总体2(,)N μσ2)μ- 2)X - C2、已知随机变量X的分布律为101~0.40.30.3X-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则X的分布函数()F x=。
【精品】重庆理工大学高数C2习题册答案
习题一 定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D2、B3、C4、C*5、D二、填空题1． 0 22x e dx -<<． 0 4．1x - 6．()()f b f a -7． 4π8．>三、求解题1．求下列函数的导数（1）解：()2x x ϕ'=（2）解：2324262()cos 2cos 3x x x e x x e x x ϕ'=⋅-⋅2．求下列极限：*(1)3x 0x x dt t 22⎰→arcsin lim*(2))2(1lim22n n n nn +++∞→解：230arcsin limx x x→+⎰解：221lim)n n n →∞+202arcsin 2lim3x x x x →+=1lim )n nn n→∞=+02arcsin 24lim 33x x x →+==11lim nn in →∞== 230arcsinlimx x x →-⎰0=⎰20arcsin 22lim 3x x x x →-⋅=23= 02arcsin 24lim33x x x →--==-故极限不存在。
3．证明：)(x φ=dt t f t x xa2)()(⎰-=22(2)()xax xt t f t dt -+⎰=22()2()()x x xaaax f t dt x tf t dt t f t dt -+⎰⎰⎰222()2()()2()2()()xxaax x f t dt x f x tf t dt x f x x f x ϕ'=+--+⎰⎰=2⎰-xadt t f t x )()(4．解：(1)x y e x '=-，令0y '=，得1x =，当1x <时，0y '<；当1x >时，0y '>，所以，函数y 在(,1)-∞内单调递减，在(1,)+∞单调递增，在1x =点处取得极小值1(1)(1)t y e t dt =-⎰=2e -.习题二 定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1．计算下列定积分(1)⎰--323)1(dx x (2)⎰-1212dt tet解：原式=332(1)(1)x d x ---⎰解：原式=2112201()2t ed t ---⎰=4321(1)4x --=654-2112t e -=-121e -=-(3)⎰-π3)sin 1(dx x (4)41⎰解：原式30sin dx xdx ππ=-⎰⎰解：原式41=⎰20(1cos )cos x d x ππ=+-⎰412=⎰301(cos cos )3x x ππ=+-411)= 43π=-32ln 2= (5)⎰+312211dx xx(6)⎰20xdx 2x πsin解：令tan x t =解：原式201cos 22xd x π=-⎰原式234ππ=⎰2201(cos 2cos 2)2x x xdx ππ=--⎰ 324sec tan t dt t ππ=⎰324cos sin t dt tππ=⎰2011(sin 2)222x ππ=---3241sin sin d t tππ=⎰341sin t ππ=-4π==(7)⎰230arccos xdx (8)⎰exdx 1ln sin解：原式0arccos x =-解：原式111sin ln cosln e ex x x x dx x =-⋅⎰0162π=-111sin1cosln sin ln e ee x x x x dx x=--⋅⎰12=-⋅1sin1cos11sin ln ee e xdx =-+-⎰1122=+故11sin ln (1sin1cos1)2e xdx e e =+-⎰2．解：令1x t -=，则⎰-2)1(dx x f 11()f t dt -=⎰01101111t dt dt e t -=+++⎰⎰ 令t e u =，则1011111(1)t e dt du e u u --=++⎰⎰1111()1e du u u -=-+⎰11ln 1e u u-=+ln 2ln(1)e =-++11001ln(1)ln 21dt t t=+=+⎰ ⎰-2)1(dx x f ln(1)e =+二、证明题1．证明：令1x t =-，则()111(1)nm m n x x dx t t dt -=--⎰⎰1(1)m n t t dt =-⎰1(1)m n x x dx =-⎰2．证明：令x t =-，则()()bbbbf x dx f t dt --=--⎰⎰()bbf x dx-=-⎰3．证明：令1x t=，则111222111()11x x dx dt x t t -=-++⎰⎰12111x dt t =+⎰12111xdx x =+⎰ 4．证明：0()()xx f t dt ϕ--=⎰，令t u =-，则0()()()xx x f t dt f u du ϕ--==--⎰⎰又()f u 是奇函数()xf u du =⎰)x ϕ=（即⎰=xdt t f x 0)()(ϕ是偶函数.习题三 广义积分，定积分的几何应用一、选择题1.B2.C3.D 二、填空题1．1≤， >1,11α-；1≥， <1 ，11α-6，(1)r -. 三、计算题1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1)dx x x 1e2⎰+∞ln (2)()dx x 1x 11002⎰∞++ 解：原式21ln ln ed x x +∞=⎰解：原式()21001(1)2(1)11x x dx x +∞+-++=+⎰ 11ln ex+∞=-=()()()98991001121()(1)111d x x x x +∞=-+++++⎰97111()29798994-=-+⨯ (3)⎰-111dx x(4)⎰1ln xdx解：原式1(1)x =--⎰解：原式10(ln 1)x x =-11202(1)x =--2=1=-2．解：⎰∞+2)(ln 1dx x x k 21ln (ln )k d x x +∞=⎰212ln ln 11(ln ) 11k x k x k k+∞-+∞⎧=⎪=⎨≠⎪-⎩ 11ln 211k k k k -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩发散 令1(ln 2)()1x f x x -=-，则112(ln 2)ln ln 2(1)(ln 2)()(1)x xx f x x ---⋅--'=- 11ln ln 2x =-为驻点，且111ln ln 2x <<-时，()0f x '<；11ln ln 2x >-时，()0f x '>， 所以11ln ln 2k =-时，⎰∞+2)(ln 1dx x x k 1(ln 2)1k k -=-取得最小值。
重庆理工大学高数上机电类习题册24-28答案
习题二十四一．1－5.√×√×√ 二．1-5.D A C B D 三．1.4π2. < > 四．解：在区间[0,1]内将其n 等分，并取子区间[1,i in n-]的右端点作为界点i ξ作积分和11i nni e n =⋅∑，即有11110111(1())lim lim 11i nnnn xnn n i ne e e dx e e n n e →∞→∞=-=⋅==--∑⎰ 五．解：令2()x xf x e-=，在区间[0,2]上，有124m a x m i n(),()f x e f x e -==,所以有22124210242(20)(20)22x xxxe edx e e e dx e------≤≤---≤≤-⎰⎰六．解：令sin ()xf x x=,()f x 在区间[,n n p +],(n →∞)上为连续函数，帮必存在一点ξ，使得：sin ()n p n xdx f p xξ+=⎰，因为,n ξ→∞→∞所以，故有：sin sin limlim 0n pnn x dx p x ξξξ+→∞→∞==⎰七．解：把区间[a,b]分成n 等份，（n →∞），并取子无区间[1(),()i ib a b a n n---]中的右端点为i ξ，则有1()()lim []nban i i b a b af x dx f n n→∞=--=⋅∑⎰由()0,()0b a i b a f n n-->≥又，且不垣等于零。
所以，1()()lim []0nban i i b a b af x dx f n n→∞=--=⋅>∑⎰习题二十五 微积分基本公式一 1.2.3., 4.二 1. D 2.A 3. D三 1.332. 3. 14. 5.四、1.解:2.解:3.解:4.解:5.解:五.解：六.证明:1、习题二十六定积分的换元法一、1. , 2, 3.二1.C 2.B 3.B 4.D三1.π 2.四、1.解:2.解:3.解:23=-234.解:5.解:6.解:6.解:4ln33五证明:令则六.证明:所以,习题二十七定积分的分部积分法一、1. , 2.1e+ 3. 0二、1.解:1 42π-2.解:3.解: 8ln24-4.解:5.解:2 2e -6.解:7.解:三证明：四、1(cos11)2习题二十八反常积分一、1. 2. 3.二、1.B 2.D 3.A 4.C 5.D三、1. 2.四、1.解：2.解：因为和在内都为正且单增，所以积分发散。
重庆理工大学高数理工类习题册答案第二册
V17 31 3二. A D 三.xoy 面 (-2,3,0)-2 a a四.cos 1 ——,cos 2——,cos 2五.（1） (-1,3, 3)二. C 三. 1. (-4, 2, —4) 2. 3. 4.四.S 15 五.去(5,V 93 2) 二. CDDCC 三. 1. 2 2. x 2四.1 .由 xoz 面上的曲线 2•由 xoy 面上的曲线 x 2二. BD 三. 1.点43’ 过点习题习题—10, 22 J3 yoz 坐标面COS5.习题二3. y 2 z 25x22x 绕z 轴旋转得到的 2—1绕x 轴旋转得到的4习题四2. x 2y 2 (0,0,3),2os 32©4. 3-,17,0 ）平行于z 轴的直线332953y (x 1)2z 2x 1 四.y 3 —=cos 3 -7= cos 迈3sin 五.在xoy 平面的投影曲线 x 2 y 2x y 1 z 0在yoz 平面的投影曲线 x 2(1 y z)2z x 0在xoz 平面的投影曲线 (1 x z)2 z 0习题五.DCC 二. 1. 3x 7y 5z 14 2. (1,— 1,3) 3. 103 4. — 4,3三.x 7y 8z 12四. 9x y 3z 16 五.面方程: y 3x 3y 0习题六一. DBA 二. 1. L 0 x 12.C y 2 1y 1 1z 30 z 11,参数方程： x 1 2t,y 1 t,z 1 3t3三.直线方程:四.x 5y z 13、2X lim 20 ,x 01 X 24五、由于第八章 复习题三.1. 0 2. (X 3)2 (y 1) 4. 2 5. X 2 2 4z y ,z 6.X 2 y 3 z 1 12 20 23 四. ( 1,6,3)arcsin ——二. BBB 5 五. X 2'2(z 1)2 213.(X y)2 (z 1)23/2 六. 1、 2、3、 四、 1、 2、 35 (2,9,6) (X 1)2(yf(x,y) xy {(X, y)13 2)2 (Z 1)249sin(x 2 y 2) 0}.7665 arcsin ---133习题七lim(X, y) (0,0) y X1、2、四、1、2、4、五、1、2、2、2lim 4X y2 lim (x’y) (0,0) x4y2x 0 x4 y x '所以极限不存在2,x3 cotFy y2x1、du15x2 v n(2(x342 x z :zy x lny;22xln(xdzdtyzx yz4x4x3x2习题八4 cotyx3 y2).y2).5yjl n3(x3 7)2y2zy)y22yl nx 尹(1xln2y2lnx 7」 --- x z2x3x y12t232z 2xy2 2x y (x y)习题九6tJ1 (3t2 4t32)21dx zx yz ln xdy yx yz ln xdz2z 2y 2e 2xy 2习题1.X2. D B C y e u3、dz 3x 2 2e 2xdx 1 (x 3 e 2x )2四、1、z f(x x, y y) f(x, y)5 42dz 0.1252、z 1上 y 2f 2；z x—f1 2 f 1 2xyf 2x yyyz2z 2 --- 6xy f32xf yg;gxx y4、令u 2x y, v 3x 2y 则zz u zv2vu v13uv ・In uxu x v xyg2(3x 2y)(2x\3x 2y 1y) 2四、 1. 6x 2ycosy 3£3y 4xa)Z yxz b )2x yexy Z ye z 4xye 2X22x ye z3(2x y)3x 2y ln(2x y)五、 证明:x[y F(u) xy xF (u) z -F (u)] x yF (u) y[x F(u)]xy yF (u) xy1.2品2. e五、x 6, y 6,z 3习题习题四、1.1.3.A/5502. (3, 12. 6)2. (6e4. 01)习题3.1—(1,2,3)182. x 6y 10z 17 01. x3y 4z 1 _ 11x 4y 12z —2 4 12 22. x21 y 1z 2d1运x y 42x 1y 1 z 3. 12x 1 8y z 30 0 一J2y 3z 14 01.2四、1. 362. 182品2. e五、x 6, y 6,z 3复习题四、1. (1,3)为极大值点，极大值为103. 极大值6,极大小值X2 3 332sin(X 2 y 2) 1 03. (x,y)16且x 2 四、 1.2xy 3zf 1 yf 2 2xf 3 2. 3. 1.1. dz3x z 24y[(2x 2xz 3)d z (4yz 2 3y 2)d y72(5e2. 361. 1.1.1.16)习题十四四、R 32. 03.100习题十五2340 2.163.243 204. 8(1 cos1)dy (1 14a 4(1 cos1)f(x,y)d习题2. -R 3(3 (b1. 2 a22. 0四、 1.2.1. 641、 、1、 习题RdXdyX 2y 2f(X, y,z)d z1dX 1[(I n2 2 原式= 2、原式= 三、原式= dyX 22y 2f(X, y,z)d z8)3d 四、1、原式= 2、原式= 14 45si n2d dzcosd dzdrdr 3sin d d dz drdsin ) dz jd~22cos2、2dar 3sin dr2dz16 "93dz16 32acossi ndr(1cosr 3sin dr 10dxdy-12ddz28 3习题十九J 1 X 2dXdyD123 11620 032M x ydxdy 2 xydxdy D D 1 2D 1 3cos sin d d23d2cos 3cos sin d三、将扇形顶点放在坐标原点, y 轴为中心轴, 则质心为 (0,y)1 A D1 2ydxdy, A -a 2 2a 2 四、 ydxdy2asin五、I y x 2D (2) X 2 sin d d dxdy o,y d dza2・ Si nd 旦 sin3 质心为(0,2asin3cos2Rcos 03cos 5 R 4 4(x 2D y 2)dxdyadx a/ 2a (xy 2)dy8a 40,z zdv x 2 dx aa dy 。
重庆理工大学线性代数理工类_A卷_2010年5月
10、二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − x22 + x32 的正惯性指数是 ( A. 0 B. 1 C.2
重庆理工大学考试试题卷
2009～2010 学年第二学期
班级 学号 姓名 考试科目 线性代数（理工类） A卷 闭卷 共 2 页
·················· 密············ ·················· ············封············ ············线················ ················ 学生答题不得超过此线
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2009～2010 学年第二学期
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二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
⎛ 0 0 1 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎟⎛ 1 2 ⎞ ⎟⎜ ⎜ ⎟ =_______。 11、 ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ − 1 1 ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟⎜ 2 3 ⎟⎝ 0 1 ⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝
0⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ 12、设矩阵 A = ⎜ 0 − 2 0 ⎟ ，则 A−1 = ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎠ ⎝
12、 17、 18、
13、 19、 20、
三.、计算题。 （每小题 8 分，共 48 分）
21、 22、
23、