第八章 假设检验
第八章 假设检验
1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27
3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受
假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.
解：设测定值总体X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知
步骤：（1）提出假设检验H：μ=3.25; H1：μ≠3.25
（2）选取检验统计量为
（3）H的拒绝域为| t |≥
（4）n=5, α = 0.01，由计算知
查表t0.005(4)=4.6041,
（5）故在α = 0.01下，接受假设H
0
2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l的比，这样的矩形称为黄金
矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如
窗架）、
工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采
用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的
比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，
其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）
H0：μ = 0.618 H1：μ≠0.618
0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628
0.668
0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.
解：步骤：（1）H0：μ = 0.618； H1：μ≠0.618
（2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为| t |≥
（4）n=20 α = 0.05，计算知
，
（5）故在α = 0.05下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值
为0.618
3.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元
件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿
命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显著水平α = 0.05下确定这
批元件是否合格？设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：
μ<1000。
解：步骤：（1）μ≥1000；H1：μ<1000；（σ =100已知）
（2）H0的拒绝域为
（3）n=25，α = 0.05，，
计算知
（4）故在α = 0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。
12.[十一] 一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初
中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的
时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看
电视的时间小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的
看法是对的？取α = 0.05。（注：这是大样本检验问题。由中心极限定
理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充
分
大时近似地服从正态分布。）
解：（1）提出假设H0：μ≤8；H1：μ>8
（2）当n充分大时，近似地服从N（0，1）分布
（3）H0的拒绝域近似为≥z
α
（4）n=100，α = 0.05，，S=2，由计算知
（5）故在α = 0.05下，拒绝H0，即认为校长的看法是不对的。
14.[十三] 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。
今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态
分布。问在水平α = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
解：（1）提出H0：σ ≤0.005；H1：σ >0.005
（2）H0的拒绝域为
（3）n=9，α = 0.05，S=0.007，由计算知
查表
（4）故在α = 0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏
大。
15.[十四] 在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α = 0.05）
H0：σ 2 =0.112， H1：σ 2 ≠0.112。
解：步骤（1）H0：σ 2 =0.112； H1：σ 2 ≠0.11
2
（2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为
（4）n=20，α = 0.05，由计算知S 2=0.0925 2，
查表知
（5）故在α = 0.05，接受H0，认为总体的标准差σ为0.11.
16.[十五] 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出
s=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ 2为总体方差。试在水平α =
0.05下检验假设H0：σ ≥0.04%；H1：σ <0.04%。
解：（1）H0：σ 2 ≥(0.04%)2；H1：σ 2 < (0.04%)
2
（2）H0的拒绝域为
（3）n=10，α = 0.05，S=0.037%，查表知
由计算知
（4）故在α = 0.05下，接受H0，认为σ大于0.04%
17.[十六] 在第6[五]题中分别记两个总体的方差为。试检验假设
（取α = 0.05）H0：以说在第6[五]题中我们假设是合理的。
解：（1）H0：
（2）选取检验统计量为
（3）H0的拒绝域为
（4）n1=8，n2=10，α = 0.05，查表知F0.025(7,9)= 4.20
F0.975(7,9)
18.[十七] 在第8题[七]中分别记两个总体的方差为。试检验假设
（取α = 0.05）H0：以说明在第8[七]题中我们假设是合理的。
解：（1）H0：
（2）选取检验统计量
（3）n1=n2=12，α = 0.05，查表知
F0.025(11,11)= 3.34，
由计算知
（4）故在α = 0.05下，接受H0，认为
24.[二十三] 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，
其结果为
错误个数f
i
0123456≥7
含fi个错误的
页数
36401920210
问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α = 0.05）。
解：（1）H0：总体X~π(λ )；H1：X不服从泊松布；（λ未知）
（2）当H0成立时，λ的最大似然估计为
（3）H0的拒绝域为
（4）n=100
对于j>3，
将其合并得
合并后，K=4，Y=1
查表知
由计算知
（5）故在α = 0.05下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松
分布。
第八章 假设检验
(一)问题的提出
例1.1 体重指数BMI是目前国际上常用的衡量人体胖 瘦程度以及是否健康的一个标准. 专家指出, 健康 成年人的BMI 取值应在 18.55- 24.99 之间.某种 减肥药广告宣称, 连续使用该种减肥药一个星期便 可达到减肥的效果.为了检验其说法是否可靠,随机 抽取9位试验者(要求BMI 指数超过25,年龄在20-25 岁女生),
x 0.522 0.465, 依然拒绝H0;
那么，拒绝H0的最小的值 是多少？最小的显 著水平又是多少？
(一)问题的提出
先让每位女生记录没有服用减肥药前的体重, 然后 让每位女生服用该减肥药, 服药期间, 要求每位女 生保持正常的饮食习惯, 连续服用该减肥药1周后, 再次记录各自的体重.测得服减肥药前后的体重差 值X(服药前体重-服药后体重) (单位: kg): 1.5，0.6，-0.3，1.1，-0.8，0，2.2，-1.0，1.4 设X~N(μ,0.36), μ未知，根据目前的样本资料能否 认为该减肥药广告中的宣称是可靠的？
n i1
Xi
~
N(,
1 ), n
H0 : 0, H1 : 1( 0 ), 拒绝域：X c.
P1 (X c)
P0 (X c)
0
c
1
犯两类错误的 概率相互制约
11
例1.1中，犯第I类错误的概率
(c) P{拒绝H0|H0是真的} P{X c| 0}
P{ X c | 0} / n / n
例1.2 一种饼干的包装盒上标注净重200g，假 设包装盒的重量为定值，且设饼干净重服从N (μ,σ2), μ, σ2均未知.现从货架上取来3盒，称 得毛重(单位：g)为 233，215，221，根据这 些数据是否可以认为这种包装饼干的标准差超 过6g？
第八章 假设检验
SE
X X
s
n 1
s n n 1
• 3、计算临界比率
t CR X SE
X 0
• 4、根据t值表由α查t值 • 5、做出决策，拒绝还是接受H0
Z检验又叫大样本检验，t检验又叫小样本检 验。
• 三、总体非正态分布 应该进行非参数检验或对原始数据进行对数转换或其它转 换，使非正态数据转化为正态形式，然后再作Z检验或t检 验。但如果样本容量较大，也可以近似的应用Z检验。
第八章 假设检验
假设检验在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
假设检验
第一节 假设检验的原理
• 什么是假设 • 统计学中的假设专
指用统计学术语对总体 参数的具体数值所做的 假定性说明（陈述）。
抛锚式教学方法要比传统 教学法效果好！
什么是假设检验?
1. 先对总体的参数 ( 或分布形式 ) 提出某种假设， 然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。 2. 分为参数检验和非参数检验 3. 逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理
D X X ( ) t X 1 X 2 t SED SE SE
X DX 1 2 1 2 DX DX
X
两个总体方差一致或相等
独立 样本 两个总体方差不齐性
SE
DX
S
2 n1
1
1
n
S
2 n2
1
2
n
（一）独立样本的平均数差异检验
• 1、两个总体方差一致或相等 12 22 02
• 一、总体正态分布、总体方差未知（t检验） 总体方差未知，要用其无偏估计量 sn 1 来代替σ0。
• • • • • •
教育与心理统计第八章假设检验
教育与心理统计第八章假设检验在统计中，通过样本统计量得出的差异作出一般性结论，判断总体检验参数之间是否存在差异，这种推论过程称为假设检验。
它的基本任务就是事先对总体参数或总体分布形态做出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，从而决定是否接受原假设。
假设检验包括参数检验和非参数检验。
若进行假设检验时总体的分布形式已知，需要对总体的未知参数进行假设检验，称其为参数假设检验；若对总体分布形式所知甚少，需要对未知分布函数的形式及其它特征进行检验，称之为非参数假设检验。
假设检验的原理第二节平均数的显著性检验第三节平均数差异的显著性检验第四节方差的差异检验SPSS假设检验的原理一、假设与假设检验假设一般专指用统计学术语对总体参数所做的假定性说明。
在进行任何一项研究时，都需要根据已有的理论和经验事先对研究结果作出一种预想的希望证实的假设。
这种假设叫科学假设，用统计术语表示时叫研究假设，记作H1。
假H0 H0为真，则H1为假设H1 H0为假，则H1为真在统计学中不能对H1的真实性直接经验，需建立与之对立的假设，称作虚无假设，或无差假设、零假设、原假设，记为H0。
在假设检验中H0总是作为直接被检验的假设，而H1与H0对立，二者择一，因而H1有时又叫做对立假设或备择假设，它的意思是一旦有充分理由否定虚无假设H0,则H1 这个假设备你选择。
运用统计方法若证明H0为真，则H1为假；反之H0为假，则H1为真。
虚无假设与备择假设互相排斥并且只有一个正确。
[例8―1]某班级进行比奈智力测验，结果X =110,已知比奈测验的常模μ0=100,σ0=16,问该班智力水平(不是这一次测验结果)是否确实与常模水平有差异。
虚无假设H0:μ1=μ0 备择假设H1:μ1 0 μ[心理实例1]已知研究者对安徽省安庆市、江苏省南京市、甘肃省天水市和河北省石家庄市四地的初三年级初中生进行了主观幸福感的测量，结果男生主观幸福感总得分的平均数为X ,女生主观幸福感总得分的平均数为X ,请问我国初三男女生主观幸福感是否存在差异？请指出虚无假设和备择假设。
【精品】概率论与数理统计PPT课件第八章 假设检验
16
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况 H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第一类错误
(弃真)
第二类错误
(取伪)
正确
犯第一类错误的概率通常记为
犯第二类错误的概率通常记为
17
如在例2中, 如果第一起交通事故发生后, 就 断定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错 误的概率是0.35. 当第二起交通事故发生后, 断 定隧道南更容易发生交通事故, 犯第一类错误 的概率是0.352=0.1225. 如果第四起交通事故又 发生在隧道南, 否定p=0.35时犯第一类错误的概 率是0.354=0.015.
24
假设检验步骤(三部曲) 根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1。
在H0为真时,选择合适的统计量T, 并确定
拒绝域。 根据样本值计算,并作出相应的判断.
25
提出 假设
总 结
抽取 样本
P(T W)=
-----犯第一 类错误的概率， W为拒绝域
根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备择假设H1
P= 0.353 ≈ 0.043.
这是一个很小的概率, 一般不容易发生.
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
4
这是 小概率事件, 一般在一次试验中是不会发 生的, 现一次试验竟然发生, 故可认为原假设不 成立, 即该批产品次品率p>0.04 , 则该批产品不 能出厂.
第八章 假设检验
第八章 假设检验参数估计和假设检验是统计推断中的两类重要问题。
在前一章中我们讨论了用样本统计量来推断总体未知参数的方法—参数的点估计与区间估计，本章我们将讨论正态总体分布中的未知参数的假设检验以及总体分布函数的假设检验。
§8.1 假设检验的基本概念§8.1.1 问题的提出在实际工作中，我们经常要面对这样的问题：总体的分布函数的类型或分布函数中的一些参数是未知的，需要对总体分布函数的类型或分布函数中的未知参数提出某种"假设"，然后通过已经获得的一个样本对提出的“假设”作出成立还是不成立的判断（或决策）。
为了介绍假设检验的基本思想，我们先来看一个例子：例8.1 某食品厂生产的罐头规定每听的标准重量为500克，这些罐头由一条生产线自动包装，在正常的情况下，由经验知道生产出的罐头重量（单位：克）服从正态分布N （500，22）。
质量管理中规定每隔一定时间要抽测5听罐头。
若某次抽测的5听罐头的重量为501，507，498，502，504（克），假定方差不变，这时我们是否可以得出生生产线运转正常（即这段时间生产的罐头的平均重量为500克）的判断呢？由题意知，罐头重量),2N(μ~X 2，记μ0=500，则要回答的问题是：μ=μ0吗？ 我们可以先假定μ=μ0，并称之为待检假设或原假设，记为H 0：μ=μ0这个原假设可能成立也可能不成立。
当原假设不成立时，称μ的取值为备选假设，这里取“μ≠μ0”为备选假设，记为H 1：μ≠μ0所谓假设检验问题就是要利用样本提供给我们的信息，在原假设H 0与备选假设H 1之间作出拒绝哪一个、接受哪一个的判断，简称为H 0对H 1的检验问题。
在例8.1中，我们把问题归结成统计假设：H 0：μ=500，对H 1：μ≠500。
那么，如何来解决H 0对H 1的检验问题呢？由参数估计知，x 是μ的一个"好"估计量。
如果原假设H 0成立，即μ=500，那么，x 通常应很接近500，即|x -500|通常应很小；否则，就认为原假设H 0不成立，也即μ≠500。
自考-概率论与数理统计 第八章 假设检验
双侧检验与单侧检验 (假设的形式)
研究的问题
假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验
H0 H1
= 0 ≠0
0 < 0
0 > 0
双侧检验
（原假设与备择假设的确定）
1. 2.
3.
•
双侧检验属于决策中的假设检验。也就是说， 不论是拒绝 H0 还是接受 H0 ，我们都必需采 取相应的行动措施 例如，某种零件的尺寸，要求其平均长度为 10厘米，大于或小于10厘米均属于不合格 建立的原假设与备择假设应为 H0: 10 H1: 10
必是原假设不成立.
| X 10 | 的大小可以用来检验原假设是否成立.
合理的思路是找出一个界限K,
当 | X 10 | K 时,我们就接受原假设 H0. 当 | X 10 | K 时,我们就拒绝原假设 H0.
这里的问题是,我们如何确定常数K呢 细致的分析:
由于
X 要作出某种判断,必须从样 本(X1,X2,...,Xn)出发制定一个法则,一旦样本观察 值(x1,x2,...,xn)确定,可利用所构造的法则作出判断: 拒绝H0还是拒绝H1.这种法则称为H0对H1的一个检验 法则,简称为一个检验法则,或一个检验.
• 检验法则本质上就是把样本空间划分为两个互不相 交的子集C和C*,使得当样本(X1,X2,...,Xn)的观察值 (x1,x2,...,xn)∈C时,将拒绝原假设H0,若(x1,x2,...,xn)∈C*, 则接受原假设.这样的划分构成一个准则,称样本空间 的子集C为检验的临界域(或拒绝域).
小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理, 即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.
8.1.2统计假设的概念
第八章 假设检验
第八章 假设检验第一节 假设检验的原理 一、假设与假设检验（一）备择假设就是实验人员希望证实的假设，也称研究假设。
从内容上看，备择假设是假设两个样本统计（或两个总体参数）之间，又或者是样本统计量与总体参数之间存在真实的差异，是一种有差假设。
表达方式有二，即μ≠X 或0≠-μX ； 21μμ≠或021≠-μμ。
（二）虚无假设是研究人员为了证实研究假设是真的而利用概率论的反证法所进行的假设，即从研究假设的反面进行假设，用符号0H 表示。
建立起虚无假设目的是希望通过检验说明虚无假设是假的，以此来证明研究假设是真的。
因此，假设检验都是从虚无假设开始的。
从内容上看，虚无假设是假设两个总体参数之间或样本统计量与总体参数之间不存在真正的差异，其现存的表面差异是由抽样所造成的误差，是一种无差假设，又称零假设或原假设。
表达方式有二，即μ=X 或0=-μX 表示； 21μμ=或021=-μμ。
二、显著性水平（一）显著性水平的意义显著性水平指拒绝虚无假设的小概率值。
从理论上说，显著性水平的理论依据来自小概率事件。
统计中一般认为概率小于或等于0.05的随机事件属小概率事件。
若随机样本统计量的数值在抽样分布上出现的概率等于或小于这些小概率值，就以小概率事件拒绝虚无假设。
从直观上看，当两个总体均数相等时，1μ和2μ会落在Z 轴的同一点上，即0=Z 处，当1μ和2μ有差异时，则会产生差距，其差距在Z 轴上达到或超出±1.96σ时，就被认为出现显著差异，因此±1.96σ之内称接受虚无假设的概率区，其包含的面积达95%。
只要两均数差异检验的Z 值落入该区域，就认为差异不显著，这时应接受虚无假设而拒绝研究假设。
而±1.96σ之外称则拒绝虚无假设的小概率区，其包含面积为5%，称小概率值，即05.0=α。
只要两均数差异检验的Z 值落入这一区域，就认为存在显著差异。
这时应拒绝虚无假设而接受研究假设。
（二）差异显著性的判断规则表8-1 Z 值、p 值与差异显著性的关系Z p 值显著性 符号表示＜1.96 ＞0.05 不显著≥1.96 ≤0.05 显 著 * ≥2.58≤0.01极显著**值得注意的是，显著性水平的取值实际上是因事物的性质、统计的要求及研究者的需求不同确定的。
第八章 假设检验 - 副本解析
z n(x 0 ) 100(960 1000) 2 1.645
200
于是拒绝H0 ，认为这批灯泡的使用寿命低于
1000小时，批发商不应购买。
注：P值=P（Z≤z）,若 P 值 < ,则拒绝 H0
第二节 一个总体参数的检验
• 总体均值的检验 （1）样本量大 a) 方差已知:(例8.2） 检验统计量为 Z n(X 0) ～N（0，1）
（2）确定检验统计量：t
n(X 0)
S
～t(n-1)
（3）求出拒绝域：
P(| t |
n(X 0)
S
t (n 1)) 2
（4）取样，根据样本观察值作出决策：
x 5.3, n 10, s 0.3, t0.05 (10 1) t0.025 (9) 2.2622 2
t n(x 0 ) 10(5.3 5) 3.16 2.2622
s
0.3
于是拒绝H0 ，认为该机器的性能不好。
0.01155
例8.8 一项统计结果声称，某市老年人口（年 龄在65岁以上） 所占的比例为14.7%，该 市老年人口研究会为了检验该项统计是否 可靠，随机抽取了400名居民，发现其中有 57 人年龄在65岁以上。调查结果是否支持 该市老年人口比例为14.7%的看法 （ 0.05） ？
解：:(1)提出假设：
H0 : 14.7%支持
H1 : 14.7%不支持
• 总体比例的检验
二项分布当n很大时，与正态分布近似，
检验统计量 Z pˆ 0 ～ N(0,1), 0 (1 0 ) n
式中 pˆ 为样本比例； 0 为总体比例 的假设
值。
（2）确定检验统计量：Z
pˆ 0 0 (1 0 )
n(x 0 ) 200(0.076 0.081) 2.83 1.96
数理统计 第八章 假设检验
量
渐近2 服从ik自1 (由fi度n为pni（pik)-21）的ik1 2nf分pi2i布. n
检验的拒绝域形为： W= 2 C
当显著性水平给定时,可得 C=2 (k 1).
12
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得
（2 n－1）
2 1
2 (n 1)
(n 1)S 2
2
t(n1 n2 2)
2 2 (n 1) (X Y ) (1 2 )
S 1 1 w n1 n2
t(n1 n2 2)
F1 2 (n1 1, n2 1)
F(n1 1,n2 1)
npi
近似服从 2(1)
按 0.05，查表得
2 0.05
(1)
3.841，拒绝域为
W= 2 3.841
这里，n=70+27=97, k=2,
实测频数为70，27.
理论频数为： np1=72.75, np2=24.25
由于统计量 2的实测值 2=0.4158<3.841，17
理论频数npˆi 217 149 51
12
3
22
战争次数x 实测频数 fi 概率估计 pˆi 理论频数npˆi
0
1
223 142
0.502 0.346
217 149
2 48 0.119 51
3 15 0.027
12
4
4
0.006
3
15
检验统计量的观察值为
2 k ( fi npi )2 k fi2 n
i 1
npi
i1 npˆi
第八章假设检验_0
第八章假设检验作为统计推断的重要组成部分，假设检验也称为显著性检验，就是对所估计的总体先提出一个假设，然后再根据样本信息来检验对总体所做的假设是否成立。
假设检验可分为参数检验和非参数检验，对总体分布中未知参数的假设检验称为参数检验，而对未知分布函数的类型或其某些特征提出的假设称为非参数检验。
第一节假设检验概述在实际生活中，许多事例都可以归结为假设检验问题。
为了便于理解，下面我们结合具体实例来说明假设检验的思想方法。
例8．1 某厂生产中药地黄丸，药丸的重量服从正态分布N( , 2)，按规定每丸的标准重量为10克。
根据以往经验得知，生产药丸的标准差为 3.2克。
现从一批药丸中随机抽取100个，其平均重量为9.6克，试问这批药丸重量是否符合标准？从直观上来看，这批药丸重量不符合标准，两者差异显著。
但能否仅凭100个药丸的平均重量比标准重量小0.4克，而立即得出这批药丸不符合标准的结论呢？从统计学上来看，这样得出的结论是不可靠的。
这是因为，差异可能是这批药丸品质所造成的，也可能是由于抽样的随机性所造成的。
如果我们再随机抽取100个药丸进行检测重量，又可得到一个样本资料。
由于抽样误差的随机性，样本平均数（100个药丸的平均重量）就不一定是9.6克。
那么，我们对样本进行分析时，必须判断样本的差异是抽样误差造成的，还是因本质不同而引起的。
如何区分两类性质的差异？怎样通过样本来推断总体？这正是假设检验要解决的问题。
在假设检验中，先要根据问题的需要建立检验假设，假设有两种，一种是原假设或零假设，用H0表示，通常就是将要进行检验的假设；另一种是备择假设- 1 -或对立假设，用H1表示，是原假设H0相对立的假设。
例8.1中，如果将该批药丸的重量记作总体X，该问题就是检验总体X的均值 的变化情况。
那么，可以设原假设H0： 10( 0)，即认为这批药丸重量是符合标准的；而备择假设，即认为这批药丸重量是符合标准的 10( 0)，即认为这批药丸重量不H1：10( 0)符合标准的。