空间图形的基本关系与公理课件

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空间图形基本关系的认识教学课件

§4、空间图形的基本关系与公理
江西师大附中郑永盛
4.1空间图形的基本关系的认识
一、情景创设
1.空间图形包括平面图形和立体图形，都看作点集。
平面图形是指各点都在同一个平面内的图形。
立体图形是指各点不都在同一个平面内的图形。
二、新课讲授 2.平面的概念、特征及表示：
（1）平面的概念象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以平面 ____的印象光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.
（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß
a
一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图
3.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系（以
点作为元素，直线，平面作为点集）
(1)空间点与直线的位置关系：点A在直线a上：记为：A∈a
点B在直线a外：记为：B∈a
A
a
B
(2)空间点与平面的位置关系：点A在平面α内：记为：A∈α 点B在平面α外：记为：B∈ α
(A)最多4条最少3条 (B)最多3条最少1条 (C)最多3条最少2条 (D)最多2条最少1条
例3. 将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A在平面内，但不在平面内 (2)直线a经过平面外一点M (3)直线 l 在平面内,又在平面内（即平面和平面相交于直线）
解：（1）A ， A (2) M , M a

五. 思考交流:
两个平面能将空间分成几部分? 3或4 1 2 3 两个平面相交

两个平面平行
1

2
3
4
三个平面能将空间分成几部分?
1
4
3 4
2

空间图形的基本关系与公理(1)

分析可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.

变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解文字语言叙述为：点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分别在 α、β 内．图形语言表示为如图所示．
B α

A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b

④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．

高中数学空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件

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2.等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
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3.空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
��
=
��
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
��
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5

第八章 8.2空间图形的基本关系与公理

§8.2 空间图形的基本关系与公理知识梳理：1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．3．定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类： ⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 5．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．6．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．课前检测：1．下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) 答案 DA ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定解析如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，此时l 1与l 4相交，可以排除选项B.故选D.3．如图所示，已知在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是______，AE 和BG 所成角的大小是________．答案 45° 60°解析 ∵BC 与EG 所成的角等于AC 与BC 所成的角即∠ACB ，tan ∠ACB ＝AB BC ＝2323＝1，∴∠ACB ＝45°，∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角即∠GBF ，tan ∠GBF ＝GF BF ＝232＝3， ∴∠GBF ＝60°.4．已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC ＋BD )；②MN >12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN <12(AC ＋BD )．其中正确的是________．答案 ④解析如图，取BC 的中点O ，连接MO 、NO ，则OM ＝12AC ，ON ＝12BD ，在△MON 中，MN <OM ＋ON ＝12(AC ＋BD )，∴④正确. 应用示例：题型一平面基本性质的应用例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．思维点拨第(2)问先证CE 与D 1F 交于一点，再证该点在直线DA 上．证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1. 又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1，∴E 、C 、D 1、F 四点共面．(2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE 平面ABCD ，得P ∈平面ABCD .同理P ∈平面ADD 1A 1. 又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD . 又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC . ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解 ∵BE 綊12AF ，G 是F A 的中点，∴BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．题型二判断空间两直线的位置关系例2 (1)如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)思维点拨(1)连接B1C，B1D1，则点M点是B1C的中点，证明MN∥B1D1；(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面，再利用异面直线的判定定理判定．答案(1)D(2)②④解析(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．证明方法一(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线．方法二 (直接证法)∵a ∩c ＝P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C ∉平面α，B ∈平面α，BC 平面α，AD 平面α，B ∉AD ，∴AD 和BC 是异面直线．题型三求两条异面直线所成的角例3 如图，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．思维点拨取AC 中点，利用三角形中位线的性质作出所求角．解如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ， ∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°. 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°；当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°.故EF 与AB 所成的角为15°或75°.思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．(1)(2014·大纲全国)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.36 C.13 D.33(2)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 (1)B (2)C解析 (1)画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD 的中点F ，连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ，则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角．△ABC 为等边三角形，则CE ⊥AB ，易得CE ＝3，同理可得CF ＝3，故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF . 又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos ∠FEC ＝EO CE ＝123＝36. (2)如图，可补成一个正方体，∴AC 1∥BD 1.∴BA 1与AC 1所成角的大小为∠A 1BD 1.又易知△A 1BD 1为正三角形，∴∠A 1BD 1＝60°. 即BA 1与AC 1成60°的角．课堂小结：方法与技巧1．主要题型的解题方法： (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)． (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法： (1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．3．两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].课后作业：。

2012届高考数学(文)一轮复习课件：7-2第二节空间图形的基本关系与公理(北师大版)

第七章
立体几何
北师大版数学文
[解]
(1)取 CD 的中点 G，连结 MG、NG.
正方形 ABCD、DCEF 的边长为 2，则 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF，所以 MG⊥平面 DCEF.∴MG⊥NG， ∴MN＝ MG2＋NG2＝ 6.
(2)证明：假设直线ME与BN共面，
第七章
立体几何
北师大版数学文
第七章
立体几何
北师大版数学文
例4
(2009· 辽宁卷 )如图，已知两个正方形 ABCD和
DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
这与BC是正方体的棱相矛盾．
∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．
第七章
立体几何
北师大版数学文
[总结评价] (1)问通过观察，AM和CN显然不是异面直线，可以直接证明AM与CN共面．(2)问直观感觉到D1B和CC1 是异面直线的可能性较大，如果直接证明它们异面，很难达到目的，考虑到命题情况是单一的，不是异面，就是共面，因此想到用反证法来证明，反证法是立体几何中经常使用的
∴DB∥B′D′.
第七章
立体几何
北师大版数学文
∴A′B、DB、A′D是全等的正方形的对角线． ∴A′B＝BD＝A′D，即△A′BD是正三角形．
∴∠A′BD＝60°.
∵∠A′BD是锐角，
∴∠A′BD是异面直线A′B与B′D′所成的角．
∴A′B与B′D′所成的角为60°.