2020年江苏省南通市高考押题卷 数学(1-8套)
2020年高考数学全真模拟试卷六(江苏南通专用)(原卷版)
2020年高考数学全真模拟试卷（六）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x∈R|x2≥2}，集合B={−2,−1,0，1，2}.则(∁R A)∩B中的元素个数为.2.已知复数z=5在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是.1+2i3.连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量a=(m,n)与向量b=(−1,1)的夹角θ>90˚的概率是.4.统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为______．5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3=.6.在1930年，德国汉堡大学学生考拉兹提出猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1：如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=.7. 如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则V 1+V 2V的值是_______．8. 已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N ∗，满足a m a n 2=a 42，则2m +1n 的最小值为______．9. 设P ：实数x 、y 满足：{x −y ≤0x +2y ≤2x ≥−2,q ：实数x 、y 满足(x +1)2+y 2≤m ，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则正实数m 的取值范围是______．10. 已知函数y =√3sin2x 的图象与函数y =3cos2x 的图象相邻的三个交点分别是A ，B ，C ，则△ABC 的面积为 .11. 如图，点F 是抛物线C ：x 2=4y 的焦点，点A ，B 分别在抛物线C 和圆x 2+(y −1)2=4的实线部分上运动，且AB 总是平行于y 轴，则△AFB 周长的取值范围是______．12. 已知函数f(x)={e −x ,x ≥112(x +1),x <1，若m <n ，且f(m)=f(n)，则m +n 的取值范围是 .13. 已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为________． 14. 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若tanA =2tanB ，则b+c a的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若23cos2A+cos2A=0，且△ABC为锐角三角形，a=7，c=6，求b的值；(2)若a=√3，A=π，求b+c的取值范围．316.在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1−ABC的体积．17.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB，在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC=2π3.计划在BC上再建一座观赏亭P，记∠POB=θ(0<θ<π2)．(1)当θ=π3时，求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．18.如图，已知椭圆C：x24+y2=1，F为其右焦点，直线l：y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，点A，B在l上，且满足|PA|=|PF|，|QB|=|QF|，|OA|=|OB|.(点A，P，Q，B从上到下依次排列)(Ⅰ)试用x1表示|PF|；(Ⅱ)证明：原点O到直线l的距离为定值．19.已知a，b∈R，设函数f(x)=e x−ax−b√x2+1．(Ⅰ)若b=0，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时，f(x)的最小值为0，求a+√5b的最大值．注：e=2.71828..为自然对数的底数．20.已知数列{x n}，{y n}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且x n+1x n =λx nx n−1,y n+1y n≥λy ny n−1，(λ为非零参数，n=2，3，4，…)．(1)若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ>0时，数列{x n}的通项公式；(2)(i)设a n=x ny n，当λ>0时，证明：对任意的n∈N∗，a n+1≤a n；(ii)当λ>1时，证明x1−y1x2−y2+x2−y2x3−y3+⋯+x n−y nx n+1−y n+1<λλ−1(n∈N∗)．数学附加题21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知△ABC 的顶点坐标分别为A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于x 轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转90°. (1) 分别求两次变换所对应的矩阵M 1,M 2;(2) 求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.B ：[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知曲线C 的参数方程为α∈[0,2π),曲线D 的极坐标方程为ρsin. (1) 将曲线C 的参数方程化为普通方程; (2) 曲线C 与曲线D 有无公共点?试说明理由.C ：[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知x≥1,y≥1,求证:x 2y+xy 2+1≤x 2y 2+x+y.2sin ,cos x y αα=⎧⎨=⎩π4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图,在三棱锥P-ABC中,已知平面PAB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2a,点O,D分别是AB,PB的中点,PO⊥AB,连接CD.(1) 若PA=2a,求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小;(2) 若二面角A-PB-C求PA的长.(第22题)23. (本小题满分10分)设n为给定的不小于3的正整数,数集P={x|x≤n,x∈N*},记数集P的所有k(1≤k≤n,k∈N*)元子集的所有元素的和为P k.(1) 求P1,P2;(2) 求P1+P2+…+P n.。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(七)(南通教研室)
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(七)（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5},B ={0,2,4,6},则A ∩B ＝ ▲ ． 2.已知复数z 满足z(2＋i )=2－3 i ,其中i 是虚数单位,则z的实部是 ▲ ． 3.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值是 ▲ ．4.如图,这是小明6次体育测试成绩的茎叶图,则小明这6次体育测试成绩的方差s 2＝ ▲ ．5.抛物线x 2＝12 y 的焦点到准线的距离是 ▲ ．6.函数y ≡－x 2＋2x ＋3 的定义域为 ▲ ．7.现有4张卡片,分別写有“强”身”健”“体”四个字,已知写有“强”的卡片被贴在宣传画中的① (如图),若其余3张卡片随机贴在②③④区(毎区贴1张卡片),则恰好能按图甲或乙组成“强身进体”宣传画的概率为 ▲ ．（第3题图）（第4题图）7 98 5 7 7 9 1 38.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36,点P 在棱AA 1上,则四棱锥P -BDD 1B 1的体积 为 ▲ ．9.已知方程sin2x －sin x ＝0,x ∈[0,2π],则该方程的所有实数根之和为 ▲ ． 10.如图,在四边形ABCD 中,AB ＝3,AD ＝1,CB ＝CD , ∠ADB ＝∠BCD ＝2,则AC → ・BD →的值为 ▲ ．11.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)， x ≥1，f （2－x ），x ＜1， 则不等式f (x )≤2的解集是 ▲ ．12.已知实数a ,b 满足则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤2，a ＞－1，则1a ＋1 －b 的最小值为 ▲ ．13.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A ,B 都在圆x 2＋y 2＝4上,且AB ＝2 2 ,点P (t ,4－t ) 则PA 2＋PB 2的最小值为 ▲ ．14.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项均为1, 其余各项均为大于1的正整数, 记c n ＝ a n ＋b n 若存在正整数k (k ≥2),满足C k －1＝100,C k +1＝1000,则C k 的值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,已知BC ＞AC ,cos A ＝45 ，sin(A －B )＝1010 .(1) 求tan2A 的值; (2) 求cos B 的值.甲① ② ③④（第7题图）强 身 健体乙强 健 身 体（第10题）如图、在四棱锥P -ABCD 中,已知AB ∥CD ,AD ⊥CD ,PA =AD ,F ,F 分別为线段PC ,PD 的中点,平面P AD ⊥平面PCD . （1）求证EF ∥平面P AB ； （2）求证CD ⊥平面P AD.17.(本小题满分14分)如图,为了保卫祖国海疆、我军在某海岸线(近似地看成直线)上相距20nmle 的A ,B 两处设立海防哨所.记某外轮所在位置为P ,在A 处测得∠BAP ＝α,在B 处测得∠ABP ＝β.按照《联合国海洋法公约》规定:领海宽度不超过12nmile ,外国船只除特许外,不得私自进入我国领海. （1）若α＝45°, β＝60°,则该外轮是否已进入我国领海?请说明理由. （2）若该外轮航行至点P 处(距海岸线403n mile ,且此时tan α＝－2)请求靠岸补给,我军立 刻同意并要求其继续保持到B 处的距离是到A 处距离的2倍航行直至靠岸,求该外轮从 发出请求到靠岸所航行的里程(π取3.14,结果保留1位小数).18.(本小题满分16分)在平面直角丝标系xoy 中已知圆 E : x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点(1， 22 )，短轴长为2.（1）求椭圆E 的标准方程;（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)是椭圆E 上异于顶点的3个不同的点,OC → ＝OA → ＋ OB →.① 直线AB ,OC 的斜率分别为k 1, k 2求证: k 1・k 2?为定值; ② 若y 1 y 2=,求OA → ・OB →的值.C（第16题）ADEFP（第17题）海岸线领海线已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ＜0时,f (x )＝a x ＋b -x (a ＞0且a ≠1,b ＞0且b ≠1).（1）若a ＝2, b ＝13.① 求函数f (x )在R 上的解析式; ② 解关于x 的不等式f (x )＞2・5x .（2）若a ＝b ,对任意的x 1,x 2∈(－∞,0),f (x 1)+f (x 2)≥kf (x 1+x 22)恒成立,求实数k 的最大值.20.(本小题满分16分)若数列{a n }满足只要a p ＝a q （p ，q ≥2,且p ≠q )必有a p -1＝a q -1,则称数列{a n }具有性质S. （1）若数列{a n }具有性质S,且a 4＝1,a 5＝2,a 8＝2,a 6＋a 7＝9,求a 3;（2）若数列{b n }是各项均不为0，且公差也不为0的等差数列，数列{c n }是等比数列,b 3＝c 5, 、b 5＝c 3，记a n = b n ・c n ,试判断数列{a n }是否具有性质S ，并说明理由; （3）已知数列{b n } (1≤n ≤100是有穷数列，且b 1=b 2,若a n -1=b n ＋cos a n (n ≥2),且对任意的a 100,数列{a n }具有性质S ,求证:数列{b n }(1≤n ≤100)是常数列.数学Ⅱ(附加题)21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵A ,B 满足AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 36 2 ,其中B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0，求矩阵A 及它的特征值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在极坐标系中,求圆C : ρ＝4sin θ的圆心C 到直线l : θ= π3 (ρ∈R )的距离.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分) 设x ∈R , 解不等式: ｜2x ｜＋｜x －1｜＞2.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在一个不透明的袋子里装有7个小球,其中有4个红球,编号分别为1,2,3,4;有3个白球, 编号分别为1,2,3.现从中随机取出4个小球.（1）求含有编号为3的小球的概率;（2）记取出的红球编号的最大值为X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X).23.(本小题满分10分)设数列{a n}同时满足以下三个条件:①对任意的n∈N※,a n∈N※,其中a2=2; ②对任意的n∈N※,a n＜a n+1;③对任意的正整数m,n,a mn＝a m·a n（1）求a4，a8的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式并证明.。
2020年高考模拟试卷江苏省南通市通州区高考数学一模试卷 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷一、填空题1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．设复数z+2i＝，则|z|＝．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．9．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．参考答案一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝（1，2）．【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}＝{x|1＜x＜2}，∴由题得A∩B＝{x|x＜2，x∈R}∩{x|1＜x＜2，x∈R}＝（1，2）．故答案为：（1，2）．2．设复数z+2i＝，则|z|＝3．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵z+2i＝＝﹣i，∴z＝﹣2i﹣i＝﹣3i，则|z|＝3，故答案为：3．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝2．【分析】当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，求出a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．从而f（）＝f（1），由此能求出结果．解：∵函数f（x）＝，f（a）＝f（a+2），∴当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，解得a＝﹣4（舍）或a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．∴a＝1，f（）＝f（1）＝12+1＝2．故答案为：2．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为﹣6．【分析】由已知求得，再由配方法求数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值．解：由S n＝2n﹣1，得a1＝S1＝1，当n≥2时，，a1＝1适合上式，∴．则b n＝a n2﹣7a n+6＝．∴当a n＝4时．故答案为：﹣6．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为4．【分析】令z＝x﹣2y，作平面区域，从而可得到z＝x﹣2y的最大值，从而求得a的最小值．解：令z＝x﹣2y，作变量x，y满足的平面区域如下，结合图象可知，C（0，﹣2）；且z＝x﹣2y在A（0，﹣2）处有最大值4，故a≥4，即实数a的最小值为4，故答案为：4．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．【分析】利用分导抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出事件A的概率．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径R＝3，圆柱与圆锥的高h＝4，则圆锥的母线长为l＝5，则圆锥的全面积为：πR2+×2πR×l＝9π+15π＝24π；圆柱的全面积为：2πR2+π×2R×h＝18π+24π＝42π．∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为：．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i＝1．第一次执行循环体后：a＝1，b＝8，不满足条件a＞b，故i＝2；第二次执行循环体后：a＝3，b＝6，不满足条件a＞b，故i＝3；第三次执行循环体后：a＝6，b＝3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：39．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos x，sin x，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵x∈（0，），tan（x+）＝＝﹣3，∴tan x＝2，即sin x＝2cos x，∴sin2x+cos2x＝（2cos x）2+cos2x＝5cos2x＝1，解得cos x＝，sin x＝，∴＝＝＝．故答案为：．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为﹣6或2．【分析】由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．所以圆心到切线的距离．则，解得实数a的值是﹣6或2．解：f′（x）＝，由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），所以函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．又因为圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心坐标为（1，﹣2），半径为3，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则，解得a＝﹣6或2．故答案为：﹣6或2．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为（6，9]．【分析】运用基本不等式可得xy的最大值，再由不等式的性质可得xy＞6，即可得到所求范围．解：x＞0，y＞0，x2﹣xy+y2＝9，可得xy＝（x2+y2）﹣9≥2xy﹣9，即xy≤9，当且仅当x＝y＝3取得最大值9；由|x2﹣y2|＜9，即﹣9＜x2﹣y2＜9，即xy﹣x2﹣y2＜x2﹣y2＜x2+y2﹣xy，（x＞0，y＞0），即xy＜2x2，xy＜2y2，化为x＜y＜2x，由x2+y2＝9+xy＞9，可得x＞3，则xy＞x2＞6，综上可得xy∈（6，9]．故答案为：（6，9]．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为﹣4．【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径；建立坐标系求出各点坐标以及对应向量的坐标；结合三角函数的有界性即可求解解：由题意，直角三角形，斜边长为5，由等面积，可得内切圆半径r＝＝1，建立如图所示坐标系则O（0，0），C（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），B（﹣1，3）；设P（cosθ，sinθ）；∴＝（2﹣cosθ，﹣1﹣sinθ），＝（﹣1﹣cosθ，3﹣sinθ）；∴＝cos2θ﹣cosθ﹣2+sin2θ﹣2sinθ﹣3＝﹣（2sinθ+cosθ）﹣4＝﹣sin（θ+φ）﹣4；其中tanφ＝；∴sin（θ+φ）＝﹣1时的最大值为：﹣4；故答案为：﹣4．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．【分析】由已知问题可转化为函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域的子集，结合导数及函数的性质分别求解函数的值域即可．解：∵，∴f（0）≤f（x）≤f（﹣1），即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，若对于任意的x1∈[﹣1，0]，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，则函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域A是集合B的子集，即A⊆B，①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，满足条件．②当a≠0时，g（x）＝a2log2x+3a在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，a2+3a]，即A＝[﹣+3a，a2+3a]，∴，解可得0≤a≤1，故答案为：{a|0≤a≤1}．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是[1+，e]．【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a 在t∈[1，e]上恒成立，得到≤f（x0）≤e，即≤﹣lnt+a≤e，得到关于a的不等式组，解得即可．解：函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a＝0可得x2e x＝a﹣lnt，令g（x）＝x2e x，则g′（x）＝2xe x+x2e x＝xe x（x+2），x∈[﹣1，1]，令g′（x）＝0，则x＝0，当g′（x）＞0时，0＜x≤1，当g′（x）＜0时，﹣1≤x＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，1]上单调递增，∴g（x）min＝f（0）＝0∵g（﹣1）＝＜g（1）＝e，∴g（x）max＝g（1）＝e，∵存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a在t∈[1，e]上成立，∴≤f（x0）≤e，因为≤﹣lnt+a≤e在t∈[1，e]上成立，∴，解得1+≤a≤e，故答案为[1+，e]．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解cos A，进而可求A；（2）由余弦定理结合基本不等式可求bc的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝，（2）由余弦定理可得，＝，所以b2+c2＝1+bc≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S＝＝．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．【分析】（1）利用线面平行的性质即可得证；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵BC∥平面AOE，BC在平面BCD内，平面BCD∩平面AOE＝OE，∴BC∥OE，∵E为CD的中点，∴O为BD的中点；（2）∵OE∥BC，BC⊥BD，∴OE⊥BD，∵AB＝AD，O为BD的中点，∴OA⊥BD，∵OE∩OA＝A，且都在平面AOE内，∴BD⊥平面AOE，∵BD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．【分析】（1）根据椭圆的定义，利用椭圆的离心率公式即可求得c和b，即可求得椭圆的标准方程；（2）设切线方程，根据点到直线的距离公式等于半径，求得k1k2＝1，将直线方程代入椭圆方程，求得B和D点坐标，求得直线BD的方程，即可判断直线BD过定点．解：（1）由椭圆的定义2a＝4，则a＝2，，则c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，因此椭圆C的标准方程；（2）证明：设切线AB，CD的方程为y＝k（x+2），则，即（4﹣r2）k2﹣8k+4﹣r2＝0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2，则k1k2＝1，联立，得（1+4k2）x2+16k2﹣4＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1＝，y1＝，同理得x2＝＝，y2＝＝，所以直线BD的斜率k BD＝＝．则直线BD的方程为y﹣＝（x﹣），整理得y＝（x+），故直线BD过定点（﹣，0）．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．【分析】（1）通过∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，推出PA：PB＝3：1，求出L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），得到解析式．（2），求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的最值即可．解：（1）因∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，所以，所以PA：PB＝3：1，即PA＝6，PB＝2，因PQ＝2，所以，，所以L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），所以，化简得，．（2）由（1）知，所以，化简得，由L'＝0，得，令，且，当θ∈（0，θ0）时，，L'＜0；当时，，L'＞0；所以函数L（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增；所以θ＝θ0时函数L（θ）取最小值，即当时，符合建桥要求，答：（1），；（2）当时，符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．【分析】（1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．（2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解．（3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明．【解答】（1）证明：若λ＝0，μ＝4，则当S n＝4a n﹣1（n≥2），所以a n+1＝S n+1﹣S n＝4（a n﹣a n﹣1），即a n+1﹣2a n＝2（a n﹣2a n﹣1），所以b n＝2b n﹣1，又由a1＝2，a1+a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2﹣2a1＝2≠0，即b n≠0，所以＝2，故数列{b n}是等比数列．（2）若{a n}是等比数列，设其公比为q（q≠0），当n＝2时，S2＝2λa2+μa1，即a1+a2＝2λa2+μa1，得1+q＝2λq+μ，①当n＝3时，S3＝3λa3+μa2，即a1+a2+a3＝3λa3+μa2，得1+q+q2＝3λq2+μq，②当n＝4时，S4＝4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4＝4λa4+μa3，得1+q+q2+q3＝4λq3+μq2，③②﹣①×q，得1＝λq2，③﹣②×q，得1＝λq3，解得q＝1，λ＝1．代入①式，得μ＝0．此时S n＝na n，（n≥2），所以a1＝2，{a n}是公比为1的等比数列，故λ＝1，μ＝0．（3）证明：若a2＝3，由a1+a2＝2λa2+μa1，得5＝6λ+2μ，又λ+μ＝，解得λ＝，μ＝1．由a1＝2，a2＝3，λ＝，μ＝1，代入S n＝λna n+μa n﹣1得a5＝4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n＝a n+a n﹣1，得S n+1＝a n+1+a n，两式相减得：a n+1＝a n+1a n+a n﹣a n﹣1，即（n﹣1）a n+1﹣（n﹣2）a n﹣2a n﹣1＝0，所以na n+2﹣（n﹣1）a n+1﹣2a n＝0，相减得：na n+2﹣2（n﹣1）a n+1+（n﹣2）a n﹣2a n+2a n﹣1＝0，所以n（a n+2﹣2a n+1+a n）+2（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝﹣（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝（a n﹣2a n﹣1+a n﹣2）＝…＝（a3﹣2a2+a1），因为a3﹣2a2+a1＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝0，即数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【分析】（1）设立两个新函数h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x），分别求导，看在x＝1处是否有极小值，从而得出判断．（2）①设立两个新函数h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），分别求导，由f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数，对a进行分类讨论，看极小值从而得到结论．②由①的结论，对不等式进行转化，根据恒成立的条件进行求解即可．解：令h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x）．（1）则h′1（x）＝2x+a+1，h′2（x）＝3x2+2ax+b．∵f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是一对“P（1）函数”；∴，∴此时，因h′2（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，h2（x）无极小值．故f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b不是一对“P（1）函数”．（2）①h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），h′1（x）＝e x+2x+a，h′2（x）＝e x[x2+（a+2）x+a+1]＝e x•（x+1）（x+a+1）．若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”，由h′2（x）＝e x•（x+1）（x+a+1）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣a﹣1，1°若a＞0，则有﹣a﹣1（﹣1，+∞）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣a﹣1）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝1，从而h′1（﹣1）＝e﹣1﹣2+a＝0，a＝2﹣，经验证知h1（x）＝e x+x2+（2﹣）x+1，在x＝﹣1处取得极小值，∴2°若a＜0，则有x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，﹣1）﹣1（1，+∞）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝﹣a﹣1；从而h′1（﹣a﹣1）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2＝0令φ（a）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2，a＜0，φ（a）在（﹣∞，0）是减函数，且φ（﹣1）＝0，所以a＝﹣1，从而，经验证知h1＝（x）＝e x+x2﹣x+1在x＝0处取得极小值，所以3．当a＝0时，h′2（x）＝e x•（x+1）2≥0，h2（x）是增函数，无极小值，与题设不符．综上所述：或，②∵a＜0，由①结论可知，f（x）＝e x与g（x）＝x2﹣x+1，∴易见f（x）＞0，g（x）＞0，故不等式f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x ）等价于：，令H（x ）＝，则H（x）max＜m．∵x≥1，∴H（x）单调递减，∴H（x）max＝H（1）＝+1，从而m．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i ＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．【分析】由题意λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，由λ1＝1得ab＝1，由Ma2＝λ2a2得•＝λ2，求得，再由λ1≠λ2求得a、b的值即可．解：由题意，λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab＝1；又因为Ma2＝λ2a2，所以•＝λ2，从而，所以，因为λ1≠λ2，所以λ2＝﹣1，从而a＝b＝﹣1，故矩阵M＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【分析】（Ⅰ）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）＝＝＝，即可得出结论．解：（Ⅰ）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，C1的极坐标方程为，C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，对应极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ＝α（ρ＞0，）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2＝2sinα，所以＝＝＝，又，，所以当，即时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．【分析】（1）当直线l过点M且垂直于x轴时，由AB＝4知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x化简得关于y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线l1的方程，再根据垂直关系求出直线l2的方程，由此求得两直线的交点坐标P，并判断点P在定直线x＝1上．【解答】（1）解：当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，由根与系数的关系得y1+y2＝，y1y2＝﹣4；又点C在直线AB上，则y C＝＝，所以直线l1的方程为y＝；又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y＝﹣（x﹣2）；联立，解得，所以点P（1，），所以点P在定直线x＝1上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1＝a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）＝p（1+x）p﹣1﹣p ＝p[（1+x）p﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0＝1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）＝（1+0）p﹣（1+p×0）＝0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0＝1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1＝a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边＝，当且仅当，即时，上式取“＝”号，当n＝1时，由题设知，∴上式“＝”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，又n＝1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．。
江苏省南通市2020高考数学监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =2．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803π C ．409π D ．809π 3．函数()2f x ax =-与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞D ．(2,e ⎤-∞⎦ 4．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A．12B．3C．22D．36．直角坐标系xOy中，双曲线22221x ya b-=（0a b，>）与抛物线22?y bx=相交于A、B两点，若△OAB是等边三角形，则该双曲线的离心率e=（）A．43B．54C．65D．767．双曲线2214xy-=的渐近线方程是（）A．3y x=±B．23y x=±C．2xy=±D．2y x=±8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r，大圆柱底面半径为2r，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12hh=（）A．21rr B．212rr⎛⎫⎪⎝⎭C．321rr⎛⎫⎪⎝⎭D21rr9．若复数21iz=+，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为i-B．2z=C．z的共轭复数为1i--D．2z为纯虚数10．已知31(2)(1)mxx--的展开式中的常数项为8，则实数m=（）A．2 B．-2 C．-3 D．311．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知()3E X=，则()(D X=)A．85B．65C．45D．2512．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学试题含答案
2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学I 卷2020.4一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设复数z 满足(z+i)(2+i)=5(i 为虚数单位),则z=___. 2.设全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B U A ⋂ ___.3.箱子中有形状､大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2球颜色不同的概率为____.4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)､第二组[160,165)､…､第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数为___.5.阅读如图所示的程序框,若输入的n 是30,则输出的变量S 的值是___.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为__.7.抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为__.8.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2,锐角为60°的菱形,侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点,则三棱锥MPAD 的体积为___.9.以抛物线24y x =的焦点为焦点,以直线y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为___.10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,,则圆锥的体积___是cm³ 11.设f(x)是R 上的奇函数,当x>0时,()2ln ,4x f x x=+记(5),n a f n =-则数列{}n a 前8项和为__.12.过曲线1(0)y x x x=->上一点P(x 0,y 0)处的切线分别与x 轴,y 轴交于点A,B,O 是坐标原点,若△OAB 的面积为1,3则0x =__.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O:222211,:(4)4,x y O x y +=-+=动点P 在直线0x b -=上,过P 分别作圆O,1O 的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA 的点P 有且只有两个,则实数b 的取值范围是___. 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若集合{|(1)()0,}x f x f x x -->∈=∅R ,则实数a 的取值范围为___. 二､解答题;本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知m=(sinB-sinC,sinC-sinA),n=(sinB+sinC,sinA),且m ⊥n. (1)求角B 的大小;(2)若b=c·cosA,△ABC 的外接圆的半径为1,求△ABC 的面积.16.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱,1111ABCDA B C D 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,11A C 与11B D 于点O.(1)求证:11,,A C F,E 四点共面;(2)若底面ABCD 是菱形,且1,OD A E ⊥求证:OD ⊥平面11.A C FE 17.(本小题满分14分) 已知函数2()2 1.f x x ax =-+(1)若函数()log [()](0,1)a g x f x a a a =+>≠的定义域是R ,求实数a 的取值范围; (2)当x>0时,恒有不等式()ln f x x x>成立,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,墙上有一壁画,最高点A 离地面4m,最低点B 离地面2m,观察者从距离墙xm(x>1),离地面高am(1≤a≤2)的C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大? (2)若1tan ,2θ=当a 变化时,求x 的取值范围.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆22221(0)x y a b n b+=>>的离心率是e,定义直线by e =±椭圆的“类准线”.已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上),过点P 作圆O 22:3x y +=的切线1,过点O 且垂直于OP 的直线与1交于点A,问点A 是否在椭圆C 上?证明你的结论.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列,偶数项是公差为2d 的等差数列,n S 数列{}n a 的前n 项和,121, 2.a a ==(1)若54516,,S a a ==求a 10;(2)已知15815,S a =且对任意n ∈N *，有1n n a a +<恒成立,求证:数列{}n a 是等差数列;(3)若1213(0),d d d =≠且存在正整数m,n(m≠n),使得.n m a a =求当1d 最大时,数列{}n a 的通项公式.21.[选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修4--2:矩阵与变换](本小题满分10分)求矩阵3113⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.B.[选修4--4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线1的极坐标方程为(cos )40ρθθ+=).求曲线C 上的点到直线1的最大距离,C.[选修4--5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x,y 均为正数,且x>y,求证:22122 3.2x y x xy y +≥+-+[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱111ABCA B C 中,AC=3,BC=4,AB=5,1 4.AA =(1)设,AD AB λ=异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为求λ的值; (2)若点D 是AB 的中点,求二面角1DCB B 的余弦值.23.(本小题满分10分) 设*(,)(1),.n f x n x n =+∈N (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项;(2)*n ∈N 时,化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++++ (3)求证:21132132n n n n n n C C C nC n -++++=⨯绝密★启用前2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅰ卷 参考答案与解析2020.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (本小题满分5分) 【答案】2－2i 2. (本小题满分5分) 【答案】{2} 3. (本小题满分5分) 【答案】354. (本小题满分5分) 【答案】1445. (本小题满分5分) 【答案】2406. (本小题满分5分) 【答案】927. (本小题满分5分) 【答案】358. (本小题满分5分) 【答案】3 9. (本小题满分5分) 【答案】x 212－y 212＝110. (本小题满分5分) 【答案】3π 11. (本小题满分5分) 【答案】－16 12. (本小题满分5分) 【答案】5【解析】P(x 0，y 0)处的切线斜率为1＋1x 20，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0) ，当x ＝0时，y ＝－2x 0；当y ＝0时，x ＝2x 0x 20＋1.S △OAB ＝12×2x 0 ×2x 0x 20＋1＝13，则x 0＝ 5.本题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题． 13. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎭⎫－203，4 【解析】设P 点坐标为(x ，y)，∵ PB ＝2PA ，∴ PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭⎫－43，0，r ＝83.因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题． 14. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，16 【解析】∵ {x|f(x －1)－f(x)>0，x ∈R }＝∅ ，∴ f(x －1)－f(x)≤0恒成立，即f(x －1)≤f(x)．(1) 当a ≤0时，当x ≥0时，f(x)＝12x ，又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴ 函数f(x)是在R 上的解析式为f(x)＝12x ，而f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位，则函数f(x)和f(x －1)的图象有下图关系：通过图象观察，当a ≤0时，f(x －1)≤f(x)恒成立；(2) 当a>0时，当x ≥0时，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∈-=),2[,3)2,[,),0[,)(a x a x a a x a a x x x f ∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R 上的图象为(如下图)：要使f(x －1)≤f(x)，两图象只要满足：由图知，只要满足－3a ＋1≥3a ，即0<a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．综上可得，当a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 因为m ⊥n ，所以sin 2B －sin 2C ＋sinA(sinC －sinA)＝0，即sinAsinC ＝sin 2A ＋sin 2C －sin 2B.(2分)由正弦定理得ac ＝a 2＋c 2－b 2，所以cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.(4分)因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(6分)(2) 因为c·cosA ＝b ，所以b c ＝b 2＋c 2－a22bc，即b 2＝c 2－a 2.(8分)又ac ＝a 2＋c 2－b 2，b ＝2RsinB ＝3，(10分) 解得a ＝1，c ＝2.(12分)所以S △ABC ＝12acsinB ＝32.(14分)16．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 连结AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC.(2分)由直棱柱知AA 1平行等于CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1.(5分)所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．(7分)(2) 连结BD ，因为直棱柱中DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥A 1C 1.(9分)因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1.又DD 1∩B 1D 1＝D 1，所以A 1C 1⊥平面BB 1D 1D.(11分) 因为OD ⊂平面BB 1D 1D ，所以OD ⊥A 1C 1.又OD ⊥A 1E ，A 1C 1∩A 1E ＝A 1，A 1C 1平面A 1C 1FE ，A 1E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE.(14分) 17．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分) 于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分)又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0，即A(6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0)．(11分)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋（3（2y 0－3）6－3y 0）23＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)20．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1. 因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅱ卷（附加题） 参考答案与解析2020.421．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题。
【数学】江苏省南通市2020届高考全真模拟试题
江苏南通2021年高|考数学全真模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.1.集合{0,1,2}A = ,那么A 的子集个数为 ．2.复数12i z a =+,22i z =- (其中0a > ,i 为虚数单位 ).假设12||||z z = ,那么a 的值为 ．3.执行如下列图的流程图 ,那么输出的结果S = ．4.假设直线1ey x b =+ (e 是自然对数的底数 )是曲线ln y x =的一条切线 ,那么实数b 的值是 ．5.某学校有两个食堂 ,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐 ,那么他们在同一个食堂用餐的概率为 ．6.数据12,,,n x x x 的方差为3 ,假设数据1ax b + ,2ax b + ,… ,n ax b +(,)a b ∈R 的方差为12 ,那么a 的值为 ．7.我们知道 ,以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4 ,类比该命题得到：以正四面体的四个面的中|心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ．8.在平面直角坐标系中 ,如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2(0)c c > ,那么当,a b 任意变化时 ,a b c+的最||大值是 ．9.函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩ ,假设方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根 ,那么实数a 的取值范围为 ．10.函数()2cos f x x x =- ,数列{}n a 是公差为8π的等差数列 ,假设123()()()f a f a f a ++4()f a +5()5f a π+= ,那么2315[()]f a a a -= ．11.在平面直角坐标系中 ,假设直线l 与圆221:1C x y +=和圆222:(52)(52)49C x y -+-=都相切 ,且两个圆的圆心均在直线l 的下方 ,那么直线l 的斜率为 ．12.实数6n ≤ ,假设关于x 的不等式2(2)80xm x n +--≥对任意的[4,2]x ∈-都成立 ,那么443m n m n-的最||小值为 ． 13.角,αβ满足tan 7tan 13αβ= ,假设2sin()3αβ+= ,那么sin()αβ-的值为 ． 14.将圆的六个等分点分成相同的两组 ,它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如下列图的正六角星的中|心为点O ,其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.假设将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式 ,那么a b +的最||大值为 ．二、解答题 (本大题共6小题 ,共90分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )15.在平面直角坐标系中 ,点(0,0)A ,(4,3)B ,假设,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ,且直线BC 与x 轴交于点D .(1 )求cos CAD ∠的值；(2 )求点C 的坐标.16.如图 ,在四棱柱1111ABCD A BC D -中 ,平面11A ABB ⊥底面ABCD ,且2ABC π∠=.（1） 求证：//BC 平面11AB C ；(2 )求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 城A 和城B 相距20km ,现方案以AB 为直径的半圆上选择一点C (不与点A ,B 重合 )建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 ,对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和.记点到C 城A 的距离为x km ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查说明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系 ,比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系 ,比例系数为k .当垃圾处理厂建在AB 的中点时 ,对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1 )将y 表示成x 的函数.(2 )讨论 (1 )中函数的单调性 ,并判断在AB 上是否存在一点 ,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最||小 ?假设存在 ,求出该点到城A 的距离；假设不存在 ,请说明理由.18. 椭圆:C 2231mx my +=(0)m >的长轴长为 ,O 为坐标原点.(1 )求椭圆C 的方程和离心率.(2 )设点(3,0)A ,动点B 在y 轴上 ,动点P 在椭圆C 上 ,且点P 在y 轴的右侧.假设BA BP = ,求四边形OPAB 面积的最||小值.19. 函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >.(1 )设0c =.①假设a b = ,曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0) ,求0x 的值；②假设a b > ,求()f x 在区间[0,1]上的最||大值.（2） 设()f x 在1x x = ,2x x =两处取得极值 ,求证：11()f x x = ,22()f x x =不同时成立.20. 假设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ,那么将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1||mi ii a b =-∑. (1 )求数列1 ,3 ,5 ,6和数列2 ,3 ,10 ,7的距离.(2 )记A 为满足递推关系111n n na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合 ,数列{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素 ,且项数均为m .假设12b = ,13c = ,数列{}n b 和{}n c 的距离小于2021 ,求m 的最||大值.(3 )记S 是所有7项数列{}n a (其中17n ≤≤ ,0n a =或1 )的集合 ,T S ⊆ ,且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.(附加题 )21.【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题 ,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内作答.假设多做 ,那么按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4 -1：几何证明选讲]如图 ,AB BC ，分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且2AC AD = ,求证：2BC OD =.B.[选修4 -2：矩阵与变换]在平面直角坐标系中 ,点(0,0)A ,(2,0)B ,(2,2)C ,(0,2)D ,先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90° ,再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变 ,求连续两次变换所对应的矩阵M .C.[选修4 -4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中 ,曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数 ).现以O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴 ,建立极坐标系 ,求曲线C 的极坐标方程.D.[选修4 -5：不等式选讲],a b 为互不相等的正实数 ,求证：3334()()a b a b +>+.【必做题】第22题、第23题 ,每题10分 ,共计20分.请在答题卡制定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中 ,抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a . (1 )求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；（3） 假设123,,a a a 成等差数列 ,设其公差为(0)ξξ> ,求随机变量ξ的分布列与数学期望.23.数列{}n a 的前n 项和为n S ,通项公式为1n a n =,且221,1(),2n n n S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩. (1 )计算(1)(2)(3)f f f ，，的值；(2 )比较()f n 与1的大小 ,并用数学归纳法证明你的结论.参考答案一、填空题1. 82. 13. 12 4. 0 5. 14 6. 2± 7. 1:278. 9. 11[,)32 10. 21316π 11. 7 12. 803- 13. 15-14. 5 二、解答题15.解： (1 )设BAD α∠= ,CAD β∠= , 由三角函数的定义得4cos 5α= ,3sin 5α= ,故cos cos(60)βα=-=°14cos 2210αα+=+= ,即cos CAD ∠= (2 )设点(,)C x y .由 (1 )知sin sin(60)βα=-=°1sin 2αα-= ,因为5AC AB == ,所以5cos x β==,5sin y β=-= ,故点C .16.证明： (1 )在四棱柱1111ABCD A BC D -中 ,11//BC B C .因为BC ⊄平面11AB C ,11B C ⊂平面11AB C , 所以//BC 平面11AB C .(2 )因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ,平面11A ABB ∩底面ABCD AB = ,BC ⊂底面ABCD , 且由2ABC π∠=知AB BC ⊥ , 所以BC ⊥平面11A ABB .又11//BC B C ,故11B C ⊥平面11A ABB .而11B C ⊂平面11AB C ,所以平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 解： (1 )由题意知AC BC ⊥ ,AC x = ,20AB = , 那么22400BC x =- , 所以224400k y x x =+-(020)x <<.因为当x =时 ,0.065y = ,代入表达式解得9k = , 所以2249400y x x =+-(020)x <<. (2 )因为2249400y x x =+- , 所以32289(2)'(400)x y x x ⨯-=--=-422322188(400)(400)x x x x ---. 令'0y = ,得422188(400)x x =- ,所以2160x = ,即x =当0x << ,'0y < ,所以函数2249400y x x =+-为减函数；当20x <<时 ,'0y > ,所以函数2249400y x x=+-为增函数. 所以当x = ,即点C 到城A 的距离为km 时 ,函数2249400y x x=+-(020)x <<有最||小值. 18. 解： (1 )由题意知椭圆:C 221113x y m m+= , 所以21a m = ,213b m= ,故2a ==, 解得16m =, 所以椭圆C 的方程为22162x y +=.因为2c = ,所以离心率c e a ==. (2 )设线段AP 的中点为D .因为BA BP = ,所以BD AP ⊥.由题意知直线BD 的斜率存在 ,设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠ ,那么点D 的坐标为003(,)22x y + ,直线AP 的斜率003AP y k x =- , 所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-= ,故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-. 令0x = ,得2200092x y y y +-= ,故220009(0,)2x y B y +-. 由2200162x y += ,得220063x y =- ,化简得202023(0,)2y B y --. 因此 ,OAP OAB OPAB S S S ∆∆=+四边形200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯ 2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+32≥⨯= 当且仅当0032||2||y y =时 ,即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB 面积的最||小值为19.解： (1 )当0c =时 ,32()f x ax bx b a =-+-.①假设a b = ,那么32()f x ax ax =- ,从而2'()32f x ax ax =- ,故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为3200()y ax ax --=2000(32)()ax ax x x --. 将点(1,0)代入上式并整理得200(1)x x -=000(1)(32)x x x -- ,解得00x =或01x =.②假设a b > ,那么令2'()320f x ax bx =-= ,解得0x =或213b x a=<.(ⅰ )假设0b ≤ ,那么当[0,1]x ∈时 ,'()0f x ≥ ,所以()f x 为区间[0,1]上的增函数 ,从而()f x 的最||大值为(1)0f =.(ii )假设0b > ,列表：所以()f x 的最||大值为(1)0f =.综上 ,()f x 的最||大值为0.(2 )假设存在实数,,a b c ,使得11()f x x =与22()f x x =同时成立.不妨设12x x < ,那么12()()f x f x <.因为1x x = ,2x x =为()f x 的两个极值点 ,所以2'()32f x ax bx c =-+123()()a x x x x =--.因为0a > ,所以当12[,]x x x ∈时 ,'()0f x ≤ ,故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数 ,从而12()()f x f x > ,这与12()()f x f x <矛盾 ,故假设不成立.既不存在实数a ,b ,c ,使得11()f x x = ,22()f x x =同时成立.20. 解： (1 )由题得数列1 ,3 ,5 ,6和数列2 ,3 ,10 ,7的距离为7.(2 )设1a p = ,其中0p ≠且1p ≠±. 由111n n na a a ++=- , 得211p a p +=- ,31a p =- ,411p a p -=+ ,5a p = ,….所以15a a = ,26a a = ,….因此集合A 中的所有数列都具有周期性 ,且周期为4.所以数列{}n b 中 ,32a b -= ,23a b -=- ,112a b -=- ,13a b =*()k N ∈ , 数列{}n c 中 ,33a c -= ,22a c -=- ,113a c -=-,12a c =*()k N ∈. 因为111||||k k i i i i i i b c b c +==-≥-∑∑ , 所以项数m 越大 ,数列{}n b 和{}n c 的距离越大. 因为17||3k i i i b c =-=∑ , 所以3456485411||||i i i i i i b c b c ⨯⨯==-=-=∑∑786420163⨯= , 因此 ,当3456m <时 ,1||2016mi i i b c =-<∑.故m 的最||大值为3455.(3 )假设T 中的元素个数大于或等于17.因为数列{}n a 中 ,0n a =或1 ,所以仅由数列前三项组成的数组 (1a ,2a ,3a )有且只有8个： (0 ,0 ,0 ) , (1 ,0 ,0 ) , (0 ,1 ,0 ) , (0 ,0 ,1 ) , (1 ,1 ,0 ) , (1 ,0 ,1 ) , (0 ,1 ,1 ) , (1 ,1 ,1 ).那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ,2a ,3a .设这3个元素分别为{}n c ：1c ,2c ,3c ,4c ,5c ,6c ,7c ；{}n d ：1d ,2d ,3d ,4d ,5d ,6d ,7d ；{}n f ：1f ,2f ,3f ,4f ,5f ,6f ,7f ,其中111c d f == ,222c d f == ,333c d f ==.因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3 ,所以在{}n c 与{}n d 中 ,i i c d ≠(4,5,6,7)i =至||少有3个成立.不妨设44c d ≠ ,55c d ≠ ,66c d ≠.由题意得4c ,4d 中一个等于0 ,另一个等于1.又因为40f =或1 ,所以44f c =和44f d =中必有一个成立.同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立 ,66f c =和66f d =中必有一个成立 , 所以 "i i f c =(4,5,6)i =中至||少有两个成立〞和 "i i f d =(4,5,6)i =中至||少有两个成立〞中必有一个成立.故71||2i i i fc =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立 ,这与题意矛盾. 所以T 中的元素个数小于或等于16.(附加题 )21.【选做题】A.解：易得90ADO ACB ∠=∠=° ,又A A ∠=∠ ,故Rt Rt ADO ACB ∆∆∽ , 所以BC AC OD AD=. 又2AC AD = ,故2BC OD =.B.解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°所对应的矩阵为A ,那么cos90sin 9001sin 90cos9010A --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦°°°°. 设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半 ,横坐标不变所对应的矩阵为B , 那么10102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦, 所以连续两次变换所对应的矩阵10010111100022M BA -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.C.解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩ (α为参数 ) , 因为22sin cos 1αα+= ,所以22(1)1x y -+= ,即2220x y x +-= ,化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-= ,即2cos ρθ= ,所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.D.证明：因为0a > ,0b > ,所以要证3334()()a b a b +>+ ,只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+ ,即要证2224()()a ab b a b -+>+ ,只需证23()0a b -> ,而a b ≠ ,故23()0a b ->成立.【必做题】22.解： (1 )由题意知根本领件数为39C ,而满足条件||2i j a a -≥ ,即取出的元素不相邻 ,那么用插空法 ,有37C 种可能 , 故所求事件的概率3739C 5C 12P ==. (2 )分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种:{1,2,3} ,{2,3,4} ,{3,4,5} ,{4,5,6} ,{5,6,7} ,{6,7,8} ,{7,8,9}； 2ξ=的情况有5种：{1,3,5} ,{2,4,6} ,{3,5,7} ,{4,6,8} ,{5,7,9}；3ξ=的情况有3种：{1,4,7} ,{2,5,8} ,{3,6,9}；4ξ=的情况有1种：{1,5,9}.故随机变量ξ的分布列如下：因此 ,75()121616E ξ=⨯+⨯31153416168+⨯+⨯=. 23.解： (1 )213(1)122f S ==+= , 4111113(2)23412f S S =-=++= , 62111119(3)345620f S S =-=+++=. (2 )由 (1 )知(1)1f > ,(2)1f >.下面用数学归纳法证明：当3n ≥时 ,()1f n <. (i )由 (1 )知当3n =时 ,()1f n <.(ii )假设当(3)n k k =≥时 ,()1f n < ,即111()112f k k k k =+++<+ , 那么11(1)12f k k k +=++++11122122k k k +++++ 1111()122k k k k =++++++1112122k k k ++-++ 11111()()21222k k k k<+-+-++ 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++． 所以当1n k =+时 ,()1f n <也成立.因此 ,当3n ≥时 ,()1f n <.综上 ,当1n =和2n =时 ,()1f n >；当时 ,()1f n <.。
2020年高考数学全真模拟试卷五(江苏南通专用)(原卷版)
2020年（南通）高考数学全真模拟试卷（五）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合M={x||x|<3}，N={x|y=√6+x−x2}，则M∩N=.2.设复数z满足z(2+i)=5，则|z−i|=.3.在等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的的条件.(在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填)4.从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，则两次取出的数字中至少有一个是奇数的概率为.5.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为mm．6.下图是某算法的伪代码，则输出的S的值是．7.己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2+y2=b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为.8.已知直线y=kx+k+1经过不等式组{2x+y−6≤0x+y−3≥0y≤2表示的平面区域，则实数k的取值范围是.9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P(sin132°,cos132°)，则tan(α+12°)= .10.已知一个底面半径为r ，高为h 的圆锥内有一个棱长为a 的内接正方体，且该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，若r =√2ℎ，则a ℎ=______．11.已知命题p:∃x 0∈R ，ax 02+x 0+12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 12.对任意的θ∈(0,π2)，不等式1sin 2θ+4cos 2θ≥|2x −1|恒成立，则实数x 的取值范围是______．13.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，xlnx ⋅f′(x)<−f(x)，则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是 .14.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为不共线的非零向量，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .定义点集M ={P|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}.当P 1,P 2∈M ，且不在直线AB 上时，若对任意的λ≥2，不等式|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⩽m|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数m 的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若2R(sin 2B −sin 2A)=(a +c)sinC ．(Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)若b =√7，c =2，求sin A 的值．16.在如图所示的多面体中，平面ABED 垂直于以AB 为直径的半圆面，C 为AB ⏜上一点，AB//DE ，AD ⊥AB ，12AB =AD =DE =2．(1)若点F 是线段BC 的中点，求证：EF//平面ACD ；(2)若点C为AB⏜的中点，求点E到平面BCD的距离．17.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于14(2)若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．18.已知椭圆E 的焦点为F 1(−1,0)和F 2(1,0)，过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x =3于点C.设AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，已知当λ=2时，|AB|=|BF 1|.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．19.已知点P 1(a 1,b 1)，P 2(a 2,b 2)，…P n (a n ,b n )，(n 为正整数)都在函数y =(12)x 的图象上．(1)若数列{a n }是等差数列，证明：数列{b n }是等比数列；(2)设a n =n ，(n ∈N +)，过点P n ，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c n ，试求最小的实数t ，使c n≤t对一切正整数n恒成立；(3)对(2)中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k−1个3，得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2016是否是数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．20.已知函数f(x)=xsinx+cosx，g(x)=cosx．x(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,−∞)上零点的个数；(Ⅱ)设函数g(x)在区间(0,+∞)上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，x4，…，x n.证明：(1)g(x1)+g(x2)<0；(2)对一切n∈N∗，g(x1)+g(x2)+g(x3)+⋯+g(x n)<0成立．数学附加题21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M =,β=,计算M 6β.B ：[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ(θ为参数)，已知点Q(6,0)，点P 是曲线C 1上任意一点，点M 满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线l ：y =kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ =4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求k 的值C ：[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设正数a,b,c 满足a+b+c≤3,求证:++≥.1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦17⎡⎤⎢⎥⎣⎦11a +11b +11c +32【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成.(1) 求出考生甲正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2) 若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.23. (本小题满分10分)设S n =-+-…+(-1)m ,m,n ∈N *且m<n,其中当n 为偶数时,m=;当n 为奇数时,m=. (1) 求证:当n ∈N *,n≥2时,S n+1=S n -S n-1;(2) 记S=-+-+…-,求S 的值. 230C n 1-1C n 2-2C n -C m n m 2n -12n 020141C 2014120131C 2013220121C 2012320111C 2011100710071C 1007。
南通市2020届高三数学最后一卷(押题卷)
1． 已知集合 A = −3，−1，1，3 ， B = x | x2 − 2x − 3 = 0 ，则 A B = ▲ ．
2． 已知复数 z 满足 (z − 2)i = 4 ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ▲ ． 3． 某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了 100 名女
面积的最小值；
（2）若 MN=100 m，求假山区域面积的最大值．
M
ANB来自（第 17 题）数学Ⅰ试卷 第3页 （共4页）
18．（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1 :
x2 9
+
y2 5
= 1 与 C2:
x2 36
+
y2 b2
= 1(0 b 6) 的
离心率相等．椭圆 C1 的右焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C1 交于 A，B 两点，射线 OB
（1）求曲线 y = f (x) 在 x = 1处的切线方程；
an
满足
an+1 an+1
+ an − an
= 2 ，且 a1
=
1 9
，则
a6
的值为
▲
．
9． 已知 f (x) 是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数，且 f (−2) = 2 f (8) +1，则 f (2020) 的值
为▲．
10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉
文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 P − ABC 中， PC ⊥ 平面ABC ， AB = 10 ， BC = 6 ， AC = PC = 8 ，
江苏省南通市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A BC D ．2【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，则可根据圆心到渐近线距离为2a 列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=22b c ==，即2222c a -=，因为1ce a=>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.2．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.3．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ）A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C =（个），则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则339319()128P E C =-=. 故选：B 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ． 方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 5．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）AB．C．2D【答案】D【分析】根据双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.【详解】∵双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，12=，∴4m =，∴双曲线的离心率2c e a ==. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48 B ．36C ．42D ．31【答案】D 【解析】试题分析：由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0n a >，1q >，所以35a a <，故解得：354,16a a ==，从而公比12,1q a ===； 那么55213121S -==-，故选D ．考点：等比数列．7．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48 B ．60C ．72D ．120【答案】A 【解析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A =个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A =个故满足条件的不同的五位数的个数是48个 故选A 【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。
2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。